第2章 第5节 对数与对数函数-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

艺考生文化课百日冲关·数学 第5节对数与对数函数 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.对数的基本运算，发展数 对数及对数的运算性 1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式 学运算素养。 质，以对数函数为载体的对 能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.对数函数的图象及应用，数型函数的图象和性质，考 2.通过具体实例，了解对数函数的概念.能用描 提升直观想象和数学运 查函数值的大小比较及单 点法或借助计算工具画出对数函数的图象，探 算素养 调性的应用，尤其是有关对 索并了解对数函数的单调性与特殊点 3.对数函数的性质及应用，数函数的复合函数是高考 3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互 提升逻辑推理和数学运 热点.主要以选择题、填空 为反函数(a>0,且a≠1) 算素养 题形式出现，属于中低档题 夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] ②1ogab= ,推广1ogb·1ogc·l1og.d= logia 1.对数的概念 (1)对数的定义：如果a=N(a>0,且a≠1)，那么x 3.对数函数及其性质 叫做以a为底N的对数，记作 (1)概念：函数y=logx(a>0,且a≠1)叫做对数函 其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，十∞) (2)两种常见对数 (2)对数函数的图象与性质 对数形式 特点 记法 底 常用对数 底数为 a>1 0<a<1 数 自然对数 底数为 x=1 y=log.x x=1 2.对数的性质、换底公式与运算性质 图 i(1,0) (1)对数的性质：①log。1=;②log。a= 象 071,0) x y=logx ③alog。N= ;④log a=(a>0,且a≠1). 定义域： (2)对数的运算法则 值域： 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,那么 当x=1时，y=0,即过定点 ①loga(MN)= 性 M 质 当x>1时， 当x>1时， ②loga N 当0<x<1时， 当0<x<1时， ③logaM"= (n∈R); 在(0，十∞)上是 在(0，+∞)上是 ④log。M=”logM(m,n∈R,且m≠0). m 4.反函数 (3)对数的重要公式 指数函数y=ar(a>0,且a≠1)与对数函数 ①换底公式： (a,b均大于零 (a>0,且a≠1)互为反函数，它们 且不等于1)： 的图象关于直线 对称 ·30· 上篇：第二章函数、导数及其应用 重要结论对数函数的图象与底数大小的比较 [小题查验] 如图，作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点 1.(1og29)·(1og34)= 的横坐标为相应的底数. A .1 B. C.2 D.4 log。x logix 2.设a=5.3,b=l1og0.30.5,c=log30.4,则a,b,c的 y=1 大小关系是 ( log.x logx A.a<b<c B.b<c<a 故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律： C.c<a<b D.c<b<a 在第一象限内从左到右底数逐渐增大。 3.(多选题)已知函数f(x)=ln(e2x十1)-x,则 [自主诊断] ( [思考辨析] A.fn2)=1n号 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 里打“√”，错误的打“X” B.f(x)是奇函数 (1)函数y=1og2(x十1)是对数函数. C.f(x)在(0，十∞)上单调递增 (2)log2 x2=2l0g2 x. ( D.f(x)的最小值为ln2 (3)当x>1时，logax>0. ( 4.(2024·全国甲卷（理）)已知a>1且oga (4)对数函数y=logar(a>0且a≠1)的图象过 1 定点(1,0)，且过点(a,1) (日一小函数图象只 1og。4 号则a 在第一、四象限。 5.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在 (5)函数y=ln甚与y=n1+)）-11- [0,十o∞)上为增函数，f(3 0,则不等式 的定义域相同. ( f(logx)>0的解集为 口跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一对数的基本运算（自主练透） [题组集训] /题后反思/ 1.已知函数f(x)=1og2(x2+a),若f(3)=1,则 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形， a 化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简， 2.√g3)2-lg9+1(1gV27+1g8-1g√1000) 1g0.3·1g1.2 然后正用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运 3.若1og147=a,14=5,则用a,b表示1og3528 算，然后运用对数的运算性质，转化为同底 对数真数的积、商、幂的运算。 ·31· 艺考生文化课百日冲关·数学 考点二 对数函数的图象及应用（子母变式） 核心素养 [子题小 将母题变为：若不等式x2一logx<0对x∈ 直观想象 数形结合法在对数函数问题中的应用 (0,号)恒成立，则实数u的取值范固是 对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对 [子题2] 数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最 将母题变为：当0<x≤子时w反<1ogx 值)、零点时，常利用数形结合求解.一些对数型函 则实数a的取值范围是 数、方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图 [子题3]将母题变为：已知函数f(x)= 象问题，利用数形结合法求解， log2x,x>0 且关于x的方程f(x)十x一a=0 3,x≤0 [母题] 当0<≤2时，4<ogx,则a的取值范 有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 围是 ( /规律总结引 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的 C.(1,√2) D.(2,2) 对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、 [破题关键点]方法一：构造函数f(x)=42和 值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想. g(x)=logax,利用这两个函数图象的上下位置 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应 关系，求出a的取值范围；方法二：采用排除法 的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用（师生共研） [命题角度1]比较对数值的大小 /规律总结/ 1.若a>b>0,0<c<1,则 ( 对数函数性质及应用中应注意的问题 A.logac<logic B.log a<logb C.a<b D.ca>c (1)比较对数值大小时，若底数相同，构造相应的对 [命题角度2]解简单的对数不等式 数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中 2.已知f(x)=logax(a>0且a≠1)，如果对于任 间量，也可以用换底公式化成同底的对数再 意的x∈[32]都有f()1≤1成立，则a的取 比较 值范围为 (2)解简单的对数不等式时，先利用对数的运算 [命题角度3] 与对数有关的复合函数问题 性质化为同底数的对数值，再利用对数函数 3.已知函数f(x)=log5(x2 a.x-a）在 的单调性转化为一般不等式求解。 2 上是增函数，则实数a的取值范围是 (3)利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复 合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面 A.[-1,+∞) B1 的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义 c【-1,2] D.(-∞，-1] 域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复 合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复 [命题角度4]利用对数函数的性质求参数 x+6,x≤2， 合而成的 4.若函数f(x)= a>0,且a≠1) 3+logax,x>2 C温馨提 的值域是[4，十∞)，则实数a的取值范围是 学习至此，请完成配套训练课时冲关十 ·32艺考生文化课百日冲关·数学 所以f(x)在（一∞，一2）上单调递减，在(-2，十∞)上单 调递增，即函数f(x)的单调递增区间是（一2，十c○），单 调递减区间是（一○，一2） g(rY (2)令g)=ar-4红+3，f)=(兮 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值一1， 1a>0, 因此必有3a-4=-1, a 解得a=1,即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3)由指数函数的性质知， /11 g(x》 要使y= 3 的值城为(0，十∞)， 应使g(x)=a.x2-4.x十3的值域为R, 因此只能a=0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值 域不可能为R).故a的值为0. 第5节 夯实·必备知识必备知识 1.(1).z=log,N (2)10 Ig N e In N 2.(1)0 1 N b (2)log,M+log,N log,M-log.N nlog,M (3)log,N= log.N log.d3.(2)(0,+o)R(1,0)y>0 log b y<0y<0y>0增函数减函数4.y=log.t y=x 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√ 小题查验 1.D2.D3.AcD4.645.(（0,）U2,+) 跃升·关键能力考点一 1.解析：根据题意有f(3)=log2(9十a)=1,可得9十a=2, 所以a=-7 答案：一7 V0g30-2g3+7(含1g3+3g2- 3 2.解析：原式= (1g3-1)·(1g3+21g2-1) 1-lg3)·2g3+2g2-1D 3 (1g3-1)·(1g3+2lg2-1) 2 3 答案：一2 3.解析：14=5，log1:5=b,又log1:7=a, 14 ∴log28= log128 log 2-a logu35 logu:5+logu7 a+6' 答案名名 考点二 [母题][解析]B[法一：构造函 y 数f(x)=4和g(x)=logx,当a 2 >1时不满足条件，当0<a<1 时，画出两个画教在(0，】上的 f(x)1 图象，可知，（）<（合）即2 011 g(x) 所以的取维范图为侣) 法：0<≤号1<4≤2∴l1ogx>4>1, 1 :0<a<1,滟除选项CD;取a=弓x=号 1 则有付=2，log时2-1，显然<10gx不成立，排除选 项A.] ·3 [子题1]解析：由x2-log。x<0,得x<logx, 设f1(x)=x,f(x)=logx, 要使x∈(（0，)时，不等式r<logx版成立， 只需j,)=f在(，）上的因象在人)=lo腿园 象的下方即可.当a>1时，显然不成立； 当0<a<1时，如图所示，要使x ↑yfx)=x <1ogx在x(（0,)上版成立 离（合）f(合) 011 2f(x)=iogx 所以有（合）≤1og是解得a≥6…心6<a<1. 1 1 即实教。的取值龙阔足[片 答案：[6) [子题2]解析：若√<log.x在x∈ (0,]成立，则0<a<1,且y y √反的图象在y=log。x图象的下 方，如图所示， 2个 ∠1og: 011 由图象规√ 1 4 y=log.x ,0<a<1, 即实数a的取位范周是（品1） 答案：(61)】 [子题3]解析：如图，在同一坐标系中 分别作出y=f代x)与y=-x+a的 图象，其中a表示直线在y轴上的截 距，由图可知，当a>1时，直线y= 一x+a与y=f(x)只有一个交，点. 答案：a>1 考点三 1.B[:0<c<1,.当a>b>1时，logc>log6c,A项错 误；0<c<1,∴y=logx在(0，十oo)上单调递减，又a >b>0,∴loga<logb,B项正确： 0<c<1,∴.函数y=x在(0，十o∞)上单调递增， 又，a>b>0,∴.a>b,C项错误； 0<c<1,∴y=c在(0，十∞)上单调递减， 又a>b>0,∴c<c,D项错误.] 2.解析：f(x)=logx, 则y=f(.x)川的图象如图所示. y 01112 即-1≤10g。3 1 33 p1og.a≤1og3≤loga. 当a>1时，得a1<子≤a,即a≥3： 当0a<1时，得a1≥号>a,得0<a≤子 综上所遂a的取值范周是(0，号]U[3.+o), 答案：(0，]U[3,+∞) 3.B[fx)=log（r-ax-a)在(o,-专]上是增函 数，说明内=-ara在(，上是 减西数且加)>0成立，只需对称轴2=号>-号且 )m=(-)>0,解得a【-1,）门 4.解析：当x≤2时，f(x)=一x十6，f(x)在(-o,2]上为减函 数，∴.f(x)∈[4，十∞)；当x>2时，若a∈(0,1)，则f(x)=3 +logx在(2，+∞)上为减函数，f(x)∈（一∞， 3十log.2),显然不满足题意，a>1,此时f(x)在 (2,十∞)上为增函数，f(x)∈(3+log2,+),由题意 可知(3+log2,+∞)二[4，+∞)，则3+log2≥4，即 log2≥1，∴.1<a≤2.即实数a的取值范围是(1,2]. 答案：(1,2] 第6节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)y=x(3)[0,+)[0,十∞){yly≠0}奇 奇在（一∞，0]上单调递减，在[0，十∞）上单调递增在 R上单调递增在[0，十∞)上单调递增在（一o,0)和 (0,十o)上单调递减(1,1) 2.(1)ax十b.x+c(a≠0)(m,n) (2)4ac-i,+e）】 Aa Aac-b （-oo,4a + 6 1 -o,-2a] 思考辨析 (1)×(2)(3)×(4)× 小题查验 1.C2.B3.A4.y=3x-2x+35.1或2 跃升·关键能力考点一 1.C[令f(x)=r,则4=2a=2心f(x)=x.] 2.A[因为a=4音，b=4音，c=25京=5音，函数f(x)=x台 在(0，十∞)上单调递增，所以4言<5方，又4<4，所以 b<a<c.] 3.B[由于f(x)为幂函数，所以n+2m-2=1, 解得n=1或n=-3,经检验只有n=1适合题意.] 4.解析：不等式(a+1)言<(3-2a)言等价于a十1>3 2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a,解得a -1成号<a< 答案：(-，-DU(号，2)） 考点 1.DL由A,C,D知，f(0)=c<0,从而由abc>0,所以ab<0, 所以对称轴x=一品>0，知A,C错误，D满足要求：由B项 2a 知代0)=c>0,所以ab>0,所以=一会<0.B项错误.] 2.D[当a=0时，f(x)=2z-3,在定义域R上是单调递 增的，故在（一©o,4)上单调递增； 当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x=一】 a 因为f(x)在（一∞，4）上单调递增， 所以a<0,且-≥4，解得-子≤a<0. 综上可知，实数a的取值范因是-十<a<0.] 3.D[f()=-4(2-受）-4a,对称轴为x=受 ①当≥1，即a≥2时，f(x)在[0,1]上单调递增， ymx=f(1)=-4-a2, 令-4-a2=-5,得a=士1（舍去）. ·30 参考答案 ②当0<号<1，即0<a<2时y=f(2)F-a· 令-4a=-5,得a=票. ③当号≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]上单调递减， …ymx=f(0)=-4a-a2,令-4a-a2=-5, 得a=-5或a=1(含去).综上所述0=子或-5] 4.解析：由f(x)>0,即ax2-2x+2>0,x∈(1,4)，得a> 是+是在00上板底2. 令g(x)=- +2-（公）+2 士∈(，1）所以gx=g(2)= 所以要使f()>0在(1，)上恒成立，只要a>2即可。 答案：(2+0）】 第7节 夯实·必备知识必备知识 2.(1)f(x)-k(2)-f(x)f(-x)-f(-x)logx(a >0且a≠1)(3)f(ax)afx)(4)lf(x)lf(xl) 思考辨析 (1)/(2)×(3)×(4)/(5)× 小题查验 1.A2.A3.D4.上35.(0，+o) 跃升·关键能力考点一 解：(1)函数的定义域为{xx>0} 且y=emr=x(.x>0), 其图象如图(1)所示」 12 图(1) 图(2) (2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y= |1og2(x十1)的图象，如图(2)所示. (3)y (a）x<0(0<a<1), 1 只需作出0<a<1时函数y=a(x≥0)和y= ) (x<0)的图象，合起来即得函数y=ax(0<a<1)的图 象，如图(3)所示， -2-10123x 图(3) 图(4) (④)”y=2十之放函数图象可由y=上的图象向右 平移1个单位，再向上平移2个单位而得，如图(4)所示 考点二 [典例][解析](1)A[设f(x)=(3-3)cosx, f(-x)=(3-3)c0s(-x)=-f(x),所以f(.x)为奇 函数，排除BD,令x=1, 则f(1)=(3-3-1)cos1>0,排除C.]