第2章 第4节 指数与指数函数-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

2.A[令y=1,得f(x+1)+f(.x-1) =f(x)·f(1)=f(x)→f(x+1)=f(x)-f(.x-1), 故f(x+2)=f(x+1)-f(x), f(x+3)=f(x+2)-f(x+1), 消去f(x十2)和f(x十1)，得到f(x十3)=一f(x), 故f(x)周期为6； 令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0)→f(0)=2, f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1, f(3)=f(2)-f(1)=一1-1=一2， f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1, f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1, f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2, 根据周期性质，f(k)(k=1,2,…,22)中，任意连续6个数 的和为0， 故总f(k)=3[f(1)+f(2)+.+f(6)]+f(19)+ f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4) =1+(-1)+(-2)十(-1)=-3， 即f(k)=-3.] =1 第4节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)根式(2)aa2.(1)am 1 a 二没有意义 (2)a+:a”a'b3.(1)y=a(a>0且a≠1) (2)(0,+∞)(0,1)y>10<y<1y>10<y<1 增函数减函数 思考辨析(1)×(2)/(3)×(4)/ 小题查验 1.B2.A3.A4.D5.[1,+o) 跃升·关键能力考点一 1.B[由题意，a·a=a·a青=a.] 2解：1)原成=（品）-（-10·（仔） ()-1--49+号-1=-46. (2)原式=甘位a·a音·66音=云c6 100 4 考点二 [典例][解析](1)A[将函数解析式与图象对比 分析， 因为函数f(.x)=1一e是偶函数，且值域是（一o,0], 只有A满足上述两个性质.门 (2)D[第一步将不等式2(x一a)<1变形为两个基 本初等函数构成的不等式 不等式2r(x-a)<1可变形为x-a<(分)月 第二步画出画数y=(合)川 与y=x一a的图象 Y=x-d 在同一平面直角坐标系内作出 直线)y=-a与y=(合)广的 图象.由题意，在(0，十∞)上，直 0 线有一部分在曲线的下方. 第三步观察图象，列出有关a满足的条件 观察可知，有-a<1,所以a>-1.] (3)[解析]曲线y=2+1与直 线y=b的图象如图所示，由图象可 得：如果|y=2+1与直线y=b没有 y=b 公共点，则b应满足的条件是b 0 ∈[-1,1]. y=-2-1 [答案][-1,1] ·3 参考答案 互动探究 1.解析：曲线y=|2一1|与直线y=b 的图象如图所示，由图象可得，如 果曲线y=|2一1与直线y=b有 -Y=0 两个公共点，则b的取值范围是 (0,1). 答案：(0,1) 2.解析：因为函数y=|2一1|的单调递减区间为 (一c○，0]，所以k≤0，即k的取值范围为（一○，0]. 答案：(-∞，0] 3.解析：y=|a一1|的图象是由y=a先向下平移1个单 位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的. 当>1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)： 当0<a1时，要使两个图象有两个交，点， 则0<2a<1,得到0<a<号知图(2) =2a 图(1) 图(2) 综上可知a的取值范周是(0,2) 答案：(0)】 跟踪训练 1.D[法一：当0<a<1时，函数y=a- 是减函数，且 a 其图象可视为是由函数y=a'的图象向下平移工个单 位长度得到的，结合各选项知选D. 法二：因为函数y=a-上(a>0,且4≠1)的图象必过 点(-1,0)，所以选D.] 2.解析：方程的解可看作函数y=2 ty y=2 和y=2一x的图象交点的横坐 2 标，分别作出这两个函数图象（如 1 图所示). y=2-x 由图象得只有一个交点，因此该 12、x 方程只有一个解 答案：1 考点三 1.B[因为y=4.2在R上递增，且一0.3<0<0.3，所以0< 4.283<4.2°<4.20.3， 所以0<4.20.3<1<4.2°.3，即0<a<1<b, 因为y=log.2x在(0，十∞)上递增，且0<0.2<1， 所以log.20.2<log21=0,即c<0, 所以b>a>c.] 2.C[当a<0时，不等式f(a)<1可化为(2）-7<1， 即(2)<8，即（合）<（合） 因为0<2<1，所以a>-3,此时-3<a<0: 当a≥0时，不等式f(a)<1可化为√a<1, 所以0a<1.综上可知，a的取值范围是（一3,1）.] -x2-4.x+3 3.解：当a=-1时x)=(兮)》 令g(x)=-x2-4x+3, 由于g(x)在(-∞，一2)上单调递增，在(-2，十∞)上单 在R上单调递减， 05 艺考生文化课百日冲关·数学 所以f(x)在（一∞，一2）上单调递减，在(-2，十∞)上单 调递增，即函数f(x)的单调递增区间是（一2，十c○），单 调递减区间是（一○，一2） g(rY (2)令g)=ar-4红+3，f)=(兮 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值一1， 1a>0, 因此必有3a-4=-1, a 解得a=1,即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. (3)由指数函数的性质知， /11 g(x》 要使y= 3 的值城为(0，十∞)， 应使g(x)=a.x2-4.x十3的值域为R, 因此只能a=0.(因为若a≠0，则g(x)为二次函数，其值 域不可能为R).故a的值为0. 第5节 夯实·必备知识必备知识 1.(1).z=log,N (2)10 Ig N e In N 2.(1)0 1 N b (2)log,M+log,N log,M-log.N nlog,M (3)log,N= log.N log.d3.(2)(0,+o)R(1,0)y>0 log b y<0y<0y>0增函数减函数4.y=log.t y=x 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√ 小题查验 1.D2.D3.AcD4.645.(（0,）U2,+) 跃升·关键能力考点一 1.解析：根据题意有f(3)=log2(9十a)=1,可得9十a=2, 所以a=-7 答案：一7 V0g30-2g3+7(含1g3+3g2- 3 2.解析：原式= (1g3-1)·(1g3+21g2-1) 1-lg3)·2g3+2g2-1D 3 (1g3-1)·(1g3+2lg2-1) 2 3 答案：一2 3.解析：14=5，log1:5=b,又log1:7=a, 14 ∴log28= log128 log 2-a logu35 logu:5+logu7 a+6' 答案名名 考点二 [母题][解析]B[法一：构造函 y 数f(x)=4和g(x)=logx,当a 2 >1时不满足条件，当0<a<1 时，画出两个画教在(0，】上的 f(x)1 图象，可知，（）<（合）即2 011 g(x) 所以的取维范图为侣) 法：0<≤号1<4≤2∴l1ogx>4>1, 1 :0<a<1,滟除选项CD;取a=弓x=号 1 则有付=2，log时2-1，显然<10gx不成立，排除选 项A.] ·3 [子题1]解析：由x2-log。x<0,得x<logx, 设f1(x)=x,f(x)=logx, 要使x∈(（0，)时，不等式r<logx版成立， 只需j,)=f在(，）上的因象在人)=lo腿园 象的下方即可.当a>1时，显然不成立； 当0<a<1时，如图所示，要使x ↑yfx)=x <1ogx在x(（0,)上版成立 离（合）f(合) 011 2f(x)=iogx 所以有（合）≤1og是解得a≥6…心6<a<1. 1 1 即实教。的取值龙阔足[片 答案：[6) [子题2]解析：若√<log.x在x∈ (0,]成立，则0<a<1,且y y √反的图象在y=log。x图象的下 方，如图所示， 2个 ∠1og: 011 由图象规√ 1 4 y=log.x ,0<a<1, 即实数a的取位范周是（品1） 答案：(61)】 [子题3]解析：如图，在同一坐标系中 分别作出y=f代x)与y=-x+a的 图象，其中a表示直线在y轴上的截 距，由图可知，当a>1时，直线y= 一x+a与y=f(x)只有一个交，点. 答案：a>1 考点三 1.B[:0<c<1,.当a>b>1时，logc>log6c,A项错 误；0<c<1,∴y=logx在(0，十oo)上单调递减，又a >b>0,∴loga<logb,B项正确： 0<c<1,∴.函数y=x在(0，十o∞)上单调递增， 又，a>b>0,∴.a>b,C项错误； 0<c<1,∴y=c在(0，十∞)上单调递减， 又a>b>0,∴c<c,D项错误.] 2.解析：f(x)=logx, 则y=f(.x)川的图象如图所示. y 01112 即-1≤10g。3 1 33 p1og.a≤1og3≤loga. 当a>1时，得a1<子≤a,即a≥3： 当0a<1时，得a1≥号>a,得0<a≤子 综上所遂a的取值范周是(0，号]U[3.+o), 答案：(0，]U[3,+∞)上篇：第二章函数、导数及其应用 第4节 指数与指数函数 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.根式与有理数指数幂的 幂的运算性质、指数函 1.通过对有理数指数幂a”(a>0,且a≠1；m,n 运算，提升数学运算 数的图象和性质是高考命 为整数，且n>0)、实数指数幂ar(a>0,且a 素养 题的热点，往往与其他函数 ≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过 2.指数函数的图象及应用， 相结合考查，如：图象的识 程，掌握指数幂的运算性质 达成直观想象和逻辑推别与应用，利用单调性比较 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理 理素养。 大小，解不等式，求参数的 解指数函数的概念 3.指数函数的性质及应用，取值范围等.主要以选择 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数 发展逻辑推理和数学运 题、填空题形式出现，属于 的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 算素养 中低档题 夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 续表 1.根式 定义域 R (1)概念：式子a叫做 ,其中n叫做根指 值域 数，a叫做被开方数。 过定点 ,即x=0时，y=1 (2)性质：(Va)”= (a使a有意义)；当n为奇 当x>0时， 当x<0时， 数时，Va”= 当n为偶数时，a"=|al 性质 当x<0时， 当x>0时， 1a,a≥0， -a,a<0. 在(-∞，十∞)上是 在（一∞，十∞）上是 2.分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a”= 重要结论1.(a)"=a(n∈N*). (a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负 a,n为奇数， 分数指数幂的意义是a” (a>0, 2.a"= a,a≥0， n为偶数. m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0； -a,a<0, 0的负分数指数幂 3.底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论 (2)有理指数幂的运算性质：a'a 是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大， (a)8= ；(ab)r= ,其中 函数图象越高 a>0,b>0,r,s∈Q [自主诊断 3.指数函数及其性质 [思考辨析] (1)概念：函数 叫做指数函数，其中 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 指数x是自变量，函数的定义域是R,a是底数. 里打“/”，错误的打“×” (2)指数函数的图象与性质 (1)2a·2b=2ab ( ) a>1 0<a<1 (2)函数y=3·2与y=2x+1都不是指数函数. ty a () y=a' 图象 (0,1) --y=1 (0,1) (3)函数y=ax+1(a>1)的值域是(0，十o∞). -y=1 1% (4)函数y=2一r在R上为单调减函数.( 27· 艺考生文化课百日冲关·数学 [小题查验] 3.已知函数f(x)=4+ax一1的图象恒过定点P,则 1.化简[（一2）6]一(-1)°的结果为 点P的坐标是 () A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0) A.-9 B.7 C.-10 D.9 4.若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c 2.在同一坐标系中，函数y=2x 与y 的图 的大小关系为 () A.c>a>b B.c>b>a 象之间的关系是 C.a>b>c D.b>a>c A.关于y轴对称 B.关于x轴对称 5.已知函数f(x) C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 化。则的查装为 ☐跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一 根式与有理数指数幂的运算（自主练透） [题组集训] /题后反思/ 1.(2026·上海卷)a是不为1的任意实数，则a· 指数幂运算的一般原则 Ja- (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数 A.a B.a C.a D.a 运算 2.求值与化简 (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的 1a.02-(-)+(2号)-5-1： 倒数. (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化 6/4abT)3 成分数；底数是带分数的，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂 的形式表示，运用指数幂的运算性质来 解答 易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数 指数，也不能既有分母又含有负指数 考点二指数函数的图象及应用（师生共研） [典例] (I)函数f(x)=1一ex的图象大致是 信息提取 信息解读 直观想象 题干给出的不等式2(x a)<1不易求解，可转化为 木 两个基本初等函数构成不 画出=（合）广的图象 等式一<（侵） 2r(.x-a） 1成立 考虑利用初等函数的图象解 画出直线y=x一a的图 (2)若存在正数x使2x(x-a)<1成立，则a的 决，即转化为直线y=,x一a 象，满足在y轴的右侧，有 在(0，十∞)上，有一部分在 一部分在曲线y= 取值范围是 ( A.(-∞，+∞) 曲线，()的下方 (合)广的下方 B.(-2,+o∞) C.(0,+∞) D.(-1,+o∞) 根据在同一平面直角坐标 求a的 观察图象，写出满足的条 系内直线y=x一a与y 核心素养 取值 件，即可求得结果 范围 （）的图象，列出有关a 直观想象 函数图象在不等式中的具体应用 的不等式，求得结果 信息提取 信息解读 直观想象 (3)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共 存在 存在正数x,即x>0,体现 将不等式2(x一a)<1 点，则b的取值范围是 正数x 在图象上就是y轴的右侧 变形为x一<（合） [尝试解答](1) (2) (3) ·28 上篇：第二章函数、导数及其应用 [互动探究] 易错警示：应用指数函数的图象解决指数方 1.若将本例(3)中“|yl=2x十1”改为“y=2-1” 程、不等式问题以及指数型函数的性质，要注 且与直线y=b有两个公共点，则b的取值范围是 意画出图象的准确性，否则数形结合得到的 2.若将本例(3)改为：函数y=|2x一1|在（一∞，k] 可能为错误结论 上单调递减，则k的取值范围是 [跟踪训练 3.若将本例(3)改为：直线y=2a与函数y=|a一1 1.函数y=a一1(a>0,且a≠1)的图象可能是 (a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范 围是 1方法指导引 指数函数图象可解决的两类热点问题及思路 (1)求解指数型函数的图象与性质问题 对指数型函数的图象与性质问题（单调性、 最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相 应指数函数的图象，通过平移、对称变换得 到其图象，然后数形结合使问题得解。 (2)求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往 利用相应指数型函数图象数形结合求解 2.方程2=2一x的解的个数是 考点三 指数函数的性质及应用（多维探究） [命题角度1]比较指数式的大小 使f(x)的值域为(0，+∞)，应使g(x)=a.x2 1.(2024·天津卷)若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c 4x十3的值域为R,由此可求出a的值. log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a [命题角度2]简单的指数方程或不等式的应用 7,x<0, 2.设函数f(x) 若f(a)<1,则 √x,x≥0， /规律总结/ 实数a的取值范围是 指数函数的性质及应用问题解题策略 A.(-∞，-3) B.(1,+o∞) (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及 中间值(0或1)法. C.(-3,1) D.(-∞，-3)U(1,+∞) (2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此 [命题角度3] 探究指数型函数的性质 类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意 4x+3 3.已知函数f(x) 底数a的取值范围，并在必要时进行分类 讨论. (1)若a=-1,求f(x)的单调区间； (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数 (2)若f(.x)有最大值3，求a的值； 的概念和性质同函数的其他性质（如奇偶 (3)若f(x)的值域是(0，+o∞)，求a的值. 性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不 [思路导引门(1)遵循“同增异减”法则求(x) 确定时，对底数的分类讨论。 的单调区间；(2)由于f(x)有最大值3，所以 C温馨提西 g(x)应有最小值-1，由此可求出a的值；(3)要 学习至此，请完成配套训练 课时冲关九 ·29