第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

艺考生文化课百日冲关·数学 3.解析：因为对任意工1≠4，都有）f0, 所以y=f(x)在（一C∞，十o)上是增函数. 2-a>0, 所以)a>1, 解得<a<2 (2-a)×1+1≤a 故实数a的取值范国是[会，2) 答案：受2） 第3节 夯实·必备知识必备知识 1.f(一x)=f(x)y轴f(一x)=一f(x)原点 2.(1)f(x+T)=f(x)(2)存在一个最小最小 思考辨析(1)×(2)×(3)/(4)√/(5)√(6)√ 小题查验 1.B2.A3.A4.D5.-1 跃升·关键能力考点一 1.B[对Af=千画数定义城为R包《-1D 2》号-D≠0.所以e不是锅高 数，北A每民：对心)=，岛戴定义线为R且 -=s+-o=x,剥fx)为 (-x)2+1 x+1 偶函数，故B正确：对C,函数定义域为{xx≠一1}，不关于 原，点对称，则f(x)不是偶函数，故C错误；对D,因为f(一x) =血(-)+4(-2=-sinx+4红=-f(x),则fx)为奇 e 函数，不是偶函数，故D错误.] 2.B 3.解：1)由3。x之0得x=3,解得x=士5. {x2-3≥0， 即函数f(x)的定义域为{一√3，W3}, 从而f(x)=√3-x+√-3=0. 因此f(一x)=一f(x)且f(一x)=f(x), .函数f代x)既是奇函数又是偶函数. 、《2)由22得定义诚为(-1,0U0,D.关于原点对 称.x-2<0,.z-2一2=-x, .f()=lg(1-2') 又：f-=1=（-]=-l1=2--f. x ∴.函数f(x)为奇函数」 (3)显然函数f(x)的定义域为（一，0）U(0,十)， 关于原点对称.当x<0时，一x>0, 则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=f(x)； 当x>0时，一x<0, 则f(-x)=(-x)-x=x2-x=-f(x): 综上可知：对于定义域内的任意x,总有f(一x)= 一f(x)成立，.函数f(x)为奇函数. 考点二 1.D[由f(x)=a+r-3a2-r=a"·a-3a2·ar, 则f(-x)=a--3a2+=a·a-3a2·a, 又函数f(x)为R上的奇函数，则f(一x)=一f(x), 即a·ar-3a2·a=-u·a十3a2·ar对任意x∈ R成立， 整理得(a"一3a)(a十ar)=0, 所以a-3a2=0,即a-2=3,结合a>1,解得a=3, 所以f(.x)=33+-3×32,即f(2)=3-3×3” =240.」 ·30 B[由题意知g)=h是奇函数，而f心)=（女士 g(x)为偶函数，有f(-x)=(-x十a)g(一x)=-(-x十a) g(x)=(x十a)g(x)=f(x),故x-a=x+a,则a=0.] 3.解析：f(ln2)=-f(-ln2)=eaa2=e24=2·=8, .0=-3. 答案：一3 [典例][解]第一步根据奇偶性补全函数∫(x)和 g(x)在整个定义战上的图象y=f(x)是偶函数，y= g(x)是奇函数，根据函数图象的奇偶性画出y=f(x),y =g(x)在[一3,0]上的图象如图所示， y y=g(x) -3-2 /-10/12 树N 第二步将分式不等式等价转化 )0等价于{二0'或f(x)0, {g(x)<0,{g(x)>0, 第三步根据图象，分别解两个不等式组 由图可知f八x)>0,g(x)<0时，-2<x<-1或0<x<1, f(x)<0,g(x)>0时，2<x<3. 第四步根据求解结果取并集 可求得其解集是{x一2<x<一1，或0x<1,或2<x3} 跟踪训练 BLf(x十2)是偶函数，即f(x十2)=f(2一x),可得f(x)的 对称轴为x=2,f(2x十1)为奇函数，即f(1+2x)=一f(1一 2x),可得f(x)的对称中心为(1,0.此时，x=0和x=2关于 (1,0)对称，∴f(x)是偶函数，此时有f(一1)=f(1)=0.其 他选项不一定成立. 考点三 [典例][解析](1)由f(x)+f(x-2)=0→f(x) =-f(x-2)→f(x-2)=-f(x-4), 联立可得：f(x)=f(x一4)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数，因为f(x)是偶函 数，所以有f(x一2)=f(2一x). 由f(x一2)+f(x)=0,得：f(2一x)=一f(x)=f(2十x), 说明f)关于直线x=2对称，在定义区间x子3]内， f(x)=x十a.x十b是二次函数，其对称轴必为x=2.根据二 次函数对称轴公式得： -号=2，即a=-4, 另外，由于f(x)是偶函数且周期为4：f(3)=f(3一4) =f(-1)=f(1), 根据f(1)+f(1-2)=f(1)+f(-1)=2f(1)=0→ f(3)=f(1)=0. 所以f(3)=3-4×3十b=0,即-3十b=0,解得b=3, 所以a=一4，b=3. (2):函数f(x)是(-∞，十∞)上的奇函数，且f(x)的 图象关于x=1对称， f(-x)=一f(x),由图象关于x=1对称， 得f1十x)=f(1一x),即f(一x)=f(2+x)=一f(x), ∴.f(4十x)=一f(2十x)=f(x),.周期T=4. 当x∈[0,1]时，f(x)=2-1, ∴.f(2027)+f(2028)=f(-1)+f(0)=-f(1)+ f(0)=-2+1+1-1=-1. [答案](1)D(2)B 跟踪训练 1.A[f(-是)=f()=f(2+)=5-2(2+) ,故选A.] 04 2.A[令y=1,得f(x+1)+f(.x-1) =f(x)·f(1)=f(x)→f(x+1)=f(x)-f(.x-1), 故f(x+2)=f(x+1)-f(x), f(x+3)=f(x+2)-f(x+1), 消去f(x十2)和f(x十1)，得到f(x十3)=一f(x), 故f(x)周期为6； 令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0)→f(0)=2, f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1, f(3)=f(2)-f(1)=一1-1=一2， f(4)=f(3)-f(2)=-2-(-1)=-1, f(5)=f(4)-f(3)=-1-(-2)=1, f(6)=f(5)-f(4)=1-(-1)=2, 根据周期性质，f(k)(k=1,2,…,22)中，任意连续6个数 的和为0， 故总f(k)=3[f(1)+f(2)+.+f(6)]+f(19)+ f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4) =1+(-1)+(-2)十(-1)=-3， 即f(k)=-3.] =1 第4节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)根式(2)aa2.(1)am 1 a 二没有意义 (2)a+:a”a'b3.(1)y=a(a>0且a≠1) (2)(0,+∞)(0,1)y>10<y<1y>10<y<1 增函数减函数 思考辨析(1)×(2)/(3)×(4)/ 小题查验 1.B2.A3.A4.D5.[1,+o) 跃升·关键能力考点一 1.B[由题意，a·a=a·a青=a.] 2解：1)原成=（品）-（-10·（仔） ()-1--49+号-1=-46. (2)原式=甘位a·a音·66音=云c6 100 4 考点二 [典例][解析](1)A[将函数解析式与图象对比 分析， 因为函数f(.x)=1一e是偶函数，且值域是（一o,0], 只有A满足上述两个性质.门 (2)D[第一步将不等式2(x一a)<1变形为两个基 本初等函数构成的不等式 不等式2r(x-a)<1可变形为x-a<(分)月 第二步画出画数y=(合)川 与y=x一a的图象 Y=x-d 在同一平面直角坐标系内作出 直线)y=-a与y=(合)广的 图象.由题意，在(0，十∞)上，直 0 线有一部分在曲线的下方. 第三步观察图象，列出有关a满足的条件 观察可知，有-a<1,所以a>-1.] (3)[解析]曲线y=2+1与直 线y=b的图象如图所示，由图象可 得：如果|y=2+1与直线y=b没有 y=b 公共点，则b应满足的条件是b 0 ∈[-1,1]. y=-2-1 [答案][-1,1] ·3 参考答案 互动探究 1.解析：曲线y=|2一1|与直线y=b 的图象如图所示，由图象可得，如 果曲线y=|2一1与直线y=b有 -Y=0 两个公共点，则b的取值范围是 (0,1). 答案：(0,1) 2.解析：因为函数y=|2一1|的单调递减区间为 (一c○，0]，所以k≤0，即k的取值范围为（一○，0]. 答案：(-∞，0] 3.解析：y=|a一1|的图象是由y=a先向下平移1个单 位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的. 当>1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)： 当0<a1时，要使两个图象有两个交，点， 则0<2a<1,得到0<a<号知图(2) =2a 图(1) 图(2) 综上可知a的取值范周是(0,2) 答案：(0)】 跟踪训练 1.D[法一：当0<a<1时，函数y=a- 是减函数，且 a 其图象可视为是由函数y=a'的图象向下平移工个单 位长度得到的，结合各选项知选D. 法二：因为函数y=a-上(a>0,且4≠1)的图象必过 点(-1,0)，所以选D.] 2.解析：方程的解可看作函数y=2 ty y=2 和y=2一x的图象交点的横坐 2 标，分别作出这两个函数图象（如 1 图所示). y=2-x 由图象得只有一个交点，因此该 12、x 方程只有一个解 答案：1 考点三 1.B[因为y=4.2在R上递增，且一0.3<0<0.3，所以0< 4.283<4.2°<4.20.3， 所以0<4.20.3<1<4.2°.3，即0<a<1<b, 因为y=log.2x在(0，十∞)上递增，且0<0.2<1， 所以log.20.2<log21=0,即c<0, 所以b>a>c.] 2.C[当a<0时，不等式f(a)<1可化为(2）-7<1， 即(2)<8，即（合）<（合） 因为0<2<1，所以a>-3,此时-3<a<0: 当a≥0时，不等式f(a)<1可化为√a<1, 所以0a<1.综上可知，a的取值范围是（一3,1）.] -x2-4.x+3 3.解：当a=-1时x)=(兮)》 令g(x)=-x2-4x+3, 由于g(x)在(-∞，一2)上单调递增，在(-2，十∞)上单 在R上单调递减， 05上篇：第二章函数、导数及其应用 [命题角度3]利用单调性求参数的取值范围或值 (2)解含“”的不等式.在求解与抽象函数有关 (2-a)x+1,x<1, 3.如果函数f(x) 满足对任 的不等式时，利用函数的单调性将“f”符号 a,x≥l 脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时 意≠，都有f)二f)>0成立，那么实 x1一x2 应特别注意函数的定义域. 数a的取值范围是 (3)利用单调性求参数 [破题关键点]函数f(x)满足对任意x1≠x2, ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调 都有f)->0成立，推出f(x)在 性定义，确定函数的单调区间，与已知单调 x1-x2 区间比较求参数； (一∞，十∞)上是增函数. ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的， /规律总结/ 则该函数在此区间的任意子集上也是单 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 调的 (1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化 到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性 ©温馨提污 学习至此，请完成配套训练课时冲关七 解决 第3节 函数的奇偶性与周期性 课程标准 核心素养 考情聚焦 函数的奇偶性、周期性的应用是高 1.结合具体函数，了解函数奇偶1.判断函数的奇偶性，发展数学 考的热点，常与函数的求值、图象、单调 性的概念和几何意义. 抽象和逻辑推理素养. 性、对称性、零点等知识交汇命题，函数 2.会运用函数的图象理解和研2.函数奇偶性的应用，发展逻辑 的周期性也经常会涉及三角函数或抽 究函数的奇偶性. 推理和数学运算素养. 象函数，并且考查力度逐年加大.本讲 3.结合三角函数，了解函数周期3.函数周期性的应用，发展数学 内容在高考中多以选择题或填空题的 性的概念和几何意义。 抽象和逻辑推理素养。 形式出现，难度不会太大，属于低中档 4.会运用函数的图象理解和研4.函数基本性质的综合应用，提 题型，主要考查考生对函数性质的理解 究函数的周期性 升逻辑推理和数学运算素养 及应用能力 口夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 2.函数的周期性 1.函数的奇偶性 (1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非 奇偶性 定义 图象特点 零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都 如果对于函数f(x)的定义 域内任意一个x,都有 关于 偶函数 有 ,那么就称函数y=f(x)为 ,那么函数 对称 f(x)是偶函数 周期函数，称T为这个函数的周期。 如果对于函数f(x)的定义 关于 (2)最小正周期：如果在周期函数(x)的所有周期 奇函数 域内任意一个x,都有 ,那么函数 中 的正数，那么这个最小正数就 对称 f(x)是奇函数 叫做f(x)的 正周期. ·23· 艺考生文化课百日冲关·数学 重要结论 (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一 1.函数奇偶性的四个重要结论 定过原点 (1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义，即 (3)如果函数f(x),g(x)为定义域相同的偶函 f(0)有意义，那么一定有f(0)=0. 数，则F(x)=f(x)十g(x)是偶函数 (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|). (4)若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y= (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同 f(x)关于直线x=a对称. () 的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间 (5)若函数y=f(x十b)是奇函数，则函数y= 上具有相反的单调性. f(x)关于点(b,0)中心对称. (4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数· 奇函数=偶函数，奇函数十奇函数=奇函数，偶 (6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x十2)= f(x),则f(2026)=0. ( ) 函数·偶函数=偶函数，偶函数十偶函数=偶 函数，奇函数·偶函数=奇函数. [小题查验] 2.函数周期性的三个常用结论 1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的 对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有： 偶函数，那么a十b的值是 ( (如下a>0): 1 (1)若f(x十a)=一f(x),则T=2a; A.一3 1 (2)若fx+a)=fa)则T=2a: c号 D.- (3)若fx+a)=- fx),则T=2a. 1 2.下列函数为奇函数的是 3.函数对称性的三个常用结论 A.y=2-1 B.y=x3 sin x (1)若函数y=f(x十a)是偶函数，即f(a一x) C.y=2cos x+1 D.y=x2+2* f(a十x),则函数y=f(x)的图象关于直线x 3.已知函数f(x)为R上的偶函数，且当x>0时， a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或 f(x)=log4x-1,则f(-2)= f(一x)=f(2a十x),则y=f(x)的图象关于直 A.- 2 线x=a对称； (3)若函数y=f(x十b)是奇函数，即f(-x+b)十 f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中 c号 号 心对称. 4.已知f(x)=e eax-1 是偶函数，则a= [自主诊断] A.-2 B.-1 [思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 C.1 D.2 里打“√”，错误的打“×”. 5.(2026·上海卷)已知函数f(x)是偶函数，当x≥0 (1)函数y=x2,x∈(0，+∞)是偶函数.( 时，f(x)=√-a,若f(-4)=3,则a= 跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一判断函数的奇偶性（自主练透）》 [题组集训] 2.函数f(x)=9+1的图象 1.(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是( gr A.I(r)=e-22 B.f(x)=cos x+x2 A.关于x轴对称 x2+1 x2+1 B.关于y轴对称 C.f(xr)=e'-z C.关于坐标原点对称 x+1 D.f()=sin z+4x D.关于直线y=x对称 ·24 上篇：第二章函数、导数及其应用 3.判断下列函数的奇偶性： /题后反思/ (1)f(x)=√3-x2+√2-3； 判断函数奇偶性的方法 (2)f(x)= g(1-x2) (1)定义法 1x-2-2 z2+x,x<0, 定义域 确定定义域 关于原点对称 否 既不是奇函数 也不是偶的双 (3)f(x)= -x2+x,x>0. 是 化简) 计算肌-习 、确定x)与-x)的关系 结论○ (2)图象法 关于原点对称 x)为奇函数 的图象 关于y轴对称 (fx)为偶函数 (3)性质法 ①“奇十奇”是奇，“奇一奇”是奇，“奇·奇”是 偶，“奇÷奇”是偶； ②“偶十偶”是偶，“偶一偶”是偶，“偶·偶”是 偶，“偶÷偶”是偶； ③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇 提醒：①“性质法”中的结论是在两个函数的 公共定义域内才成立的. ②判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(一x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都 满足相同的关系时，才能判断其奇偶性. 考点二 函数奇偶性的应用（多维探究） [命题角度1]利用奇偶性求函数值 核心素养 1.已知a>1,函数f(x)=aa+r-3a2-x,(x∈R)为 奇函数，则f(2)= 逻辑推理—函数图象与性质在函数中 A.13 B.24 C.80 D.240 具体应用的核心素养.具体见下表： [命题角度2]利用奇偶性求参数值 信息提取 信息解读 逻辑推理 2.若f(x)=(x+a)ln 为饲函数，则a y-f(x)是偶函数 偶函数的图象关于y ( 轴对称，奇函数的图象 y=g(x)是奇函数 c 关于原点对称 A.-1 B.0 D.1 解分式不等式 g(r) 定义域是[-3,3]， 题干已给出x∈[0,3] <0台f(x)·g(x) [命题角度3]利用奇偶性求解析式 且它们在x∈ 上的图象，可根据奇偶 <0台x∈[0,3]时， 3.已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x) [0,3]上的图象如 性的图象特征补上 由图象直接判断： 一ear,若f(ln2)=8,则a= 图所示 x∈[-3,0]上的图象 [命题角度4]利用奇偶性的图象特征解不等式 x∈[一3,0]时，根 [典例]已知y=f(x)是偶函 据奇偶性补全图象 此分式不等式可等价 数，y=g（x)是奇函数，它们 后判断取并集，得 的定义域是[一3,3]，且它们 y=g(x) 转化为分子、分母相乘 到分式不等式的 不等式）<0 的不等式，最终还是判 在x∈[0,3]上的图象如图所 g() 解集 y=f(x) 断f(x)与g(x)在定 示，求不等式<0的 g(x) 义域内的正负值情况 解集. ·25· 艺考生文化课百日冲关·数学 [尝试解答] /规律总结/ 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数 值求解 (2)求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上， 1方法总结引 再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造 关于f(x)的方程（组），从而得到f(x)的解 画函数图象：根据奇偶函数的图象特征可画出 析式 另一对称区间上的图象，进而利用整个定义域 (3)求函数解析式中参数的值 上的图象解不等式或判断单调性。 利用待定系数法求解，根据f(x)士f(一x)=0 [跟踪训练] 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性 已知函数f(x)的定义域为R,f(x十2)为偶函 得参数的值或方程（组），进而得出参数的值. 数，f(2x十1)为奇函数，则 ( ) (4)画函数图象和判断单调性 A.(-)=0 B.f(-1)=0 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象 C.f(2)=0 D.f(4)=0 及判断另一区间上的单调性. 考点三函数周期性的应用（师生共研） [典例](1)(2026·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义 [跟踪训练] 域为R的偶函数，f(x)+f(x一2)=0，且当x∈ 1.(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周 23]时，f)=r2+ax+6,则 期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x, A.a=-2,b=-3 B.a=-2,b=3 C.a=-4,b=-3 D.a=-4,b=3 (2)已知函数f(x)是（一∞，+∞）上的奇函数，且 f(x)的图象关于x=1对称，当x∈[0,1]时，f(x)= A.一2 B- 2x-1.则f(2027)+f(2028)的值为 ( A.-2 B.-1 C.0 D.1 [尝试解答](1) (2) c /题后反思/ 2.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+ (1)判断函数周期性的两个方法 ①定义法.②图象法. f(x-y)=f(x)f(y),f1)=1,则fk)=() (2)函数周期性的重要应用 A.-3 B.-2 利用函数的周期性，可将其他区间上的求 值，求零点个数，求解析式等问题，转化为已 C.0 D.1 知区间上的相应问题，进而求解. 易错警示：应用函数的周期性时，应保证自变 @温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关八 量在给定的区间内. ·26·