第2章 第2节 函数的单调性与最值-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

艺考生文化课百日冲关·数学 ①中函数的值域为[0，十∞)，值域不关于原点对称，故 ①不符合题意； ②中函数的值域为（一∞，0）U(0,十∞)，值域关于原点 对称，故②符合题意： ③中函数的值域为（一○，十○），值域关于原，点对称，故 ③符合题意； ④中函数的值城为【，值域关于原，点对称，故④符合题意： ⑤中函数f(x)=2sinx一1的值域为[一3,1]，不关于原 点对称，故⑤不符合题意. 答案：②③④ 考点二 [典例][解析](1)法一：设t=√+1，则x=(t-1), t≥1，代入原式有f(t)=(t-1)2十2(t-1)=t-2t+1 +2t-2=r-1.故f(x)=x2-1,x≥1. 法二：，x+2√元=(W)+2√E+1-1 =(√x+1)2-1, .f(E+1)=(wE+1)2-1W+1≥1， 即f(x)=x2-1,x≥1. (2)法一（利用一般式)： 设f(x)=ax2+b.x十c(a≠0). 4a+2b+c=-1, 由题意得 a-b+c=-1, 1a=-4, 解得b=4, Aac-b =8, (c=7. .所求二次函数的解析式为f(x)=一4x十4x十7. 法二（利用顶，点式）： 设f(x)=a(x一m)十n. f(2)=f(-1), ·抛物线的对称轴为x=2+(一少= 2 六m=之又根据题意函数有最大值8，n=8. y=j=a(-)+8. :f2)=-1(2-合）+8=-1，解得a=-4 ∴fx)=-4(-合）+8=-4x+4+7 法三（利用零点式）： 由已知f(x)十1=0两根为x1=2,x2=一1， 故可设f(x)十1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=a.x2-a.x-2a-1. 又函数有最大值y=8,即a(-2a-1)-4=8. 解得a=一4或a=0(舍). .所求函数的解析式为f(x)=一4x十4x十7. (3)当x∈（一1,1）时， 有2f(x)一f(一x)=1g(x+1). 以-x代替x得，2f(一x)-f(x)=lg（-x十1). ② 由①②消去f(一x),得 fx)=号1gx+10+3g0-xe(-10. [答案](1)x2-1(.x≥1) (2)f(x)=-4.x2+4x+7 (3)f(x)= 号gx+1D+3g1-2xe(-1, 跟踪训练 1.解析：因为f(x)是一次函数， 可设f(x)=ax十b(a≠0)， ∴.3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17, 即a.x+(5a+b)=2x+17, 050十6=17，解得=2， 因此应有=2， 时{b=7. 故f(x)的解析式是f(x)=2x十7. 答案：2x十7 ·3( 2解析：令2+1=1，得z=,号 2 代入得f()=g气 2 又x>0,所以t>1, 故f(x)的解析式是f(z)=lg,x>1), 2 答案：fx)=lg二x>1) 3.解析：在f(x) 2(）-1中，将x换成 到得（位）2√F-1 [r)=2f(）-1 1一1 (）=2√ 解得f（x)= 2+3 1 答案：号匠+ 1 考点三 [典例1][解析] 由1-1≥0得0≤x≤2， {a2-1≠0， 1x≠0， 解得0x2, 故所求函数的定义城为(0,2]. [答案](0,2] [典别2】[解折】依题套产0.解得xE(,0) U(0,1]. [答案](-∞，0)U(0,1] L典例3][解析]B[由函数f(x)的定义域为（一1,0） 则使函数f(2x十1)有意义，需满足一1<2x十1<0，解得 即所求画教的定义城为(1，一合）门 1 -1<x<- 互动探究 1.解析：由已知x∈(-1,0)，所以2x十1∈（一1,1），故 f(x)的定义域为（一1,1）. 答案：(-1,1) 2.解析：由已知x[-11门，所以2∈[合2]故f)的 定义城为合]，所以在画教y=f(g,)中，号< logx≤2，即log2√2≤log2x≤log24,所以√2≤x≤4，故 f(logx)的定义域为[V2,4]. 答案：[√2,4] L典例4们[解析]因为函数f(x)的定义域为R,所以 2+-a-1≥0对x∈R恒成立，则x2十2a.x-a≥0恒 成立.因此有△=(2a)2+4a≤0，解得-1≤a≤0，故a的 取值范围为[一1,0们. [答案][一1,0] 考点四 1.C[根据分段函数的意义， f(-2)=1+log(2+2)=1+2=3.又log212>1, f(1og12)=2212-1=22=6,因此f(-2)+ f(log12)=3+6=9.] 2.解析：由题意知，fc)=-2,x∈[-2,1门， {x3-2,x∈(1,2]， 当x∈[-2,1]时，f(x)∈[-4，-1]：当x∈(1,2]时， f(x)∈（一1,6].故当x∈[-2,2]时，f(x)[一4,6]. 答案：[一4,6] 第2节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)f(x1)f(x2) f(x1)>f(x2)上升的下降的 (2)增函数减函数区间D2.(1)f(x)≤M (2)f(x。)=M(3)f(x)≥M(4)f(x。)=M 思考辨析(1)×(2)X(3)×(4)×(5)√(6)/ 小题查验 1.D2.B3.A4.D5.31 跃升·关键能力考点一 1.B[函数y=一x十1在(1，十∞)上为减函数，A不符合 题意y己在(1，十0)上为增函数B特合题意 一(x一1)”在(1，十0)上为减函数，C不符合题意；y= 3·在(1，十∞)上为减函数，D不符合题意.] 2.证明：法一（定义法）：设一1<x1<x2<1, 则f(x1)-f(x2)= -1- _az xi-ary -az:x+az: (x-1)(x-1) e-1<. .x2-x1>0,x1x2+1>0,(x-1)(z-1)>0. 因此当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),此时函数f(x)在(-1,1)上单调 递减 法二（导数法）：∫)=a(x-1)-2ax -a(x2+1) (x2-1)2 (x2-1) 又a>0,所以f(x)<0,所以函数f(x)在（一1,1）上单 调递减。 考点二 [典例][解析](1)由图象知f(x)在（一∞，0]和 [合十上单弱递减，而在[，]上单铜适增，文0 <Q<1时，y=logx为(0，十∞)上的减函数，所以要使 )=o驱)单润递浅：考要6gzp号门即0≤ 1ogx≤号，解得x∈[a,1]. (2)由于y= j-x+2x+1,x≥0， {-x2-2x+1,x<0, 即y= ∫-(x-1)+2,x≥0， 32-10123x {-(x+1)2+2,x<0. 画出函数图象如图所示，单调递增 区间为（一o,一1]和[0,1]，单调递 减区间为[-1,0]和[1，十c∞). [答案](1)B(2)(-∞，-1]和[0,1][-1,0]和 「1，+o) 互动探究 1.解：函数y=|-x2+2x十1的 图象如图所示 由图象可知，函数y= |一x十2x十1|的单调递增 区间为(1一√2,1)和(1+√2， 1-√2011+W2 十∞)；单调递减区间为（一∞， 1一√2)和(1,1十√2). 2.解析：由例(1)解析知，需1ogx≤0或logx≥2，解得 x≤1或x≥√a,又x>0,所以单调递减区间为(0,1]， [Wa,+o∞). 跟踪训练 x,x>1, 1.B[g(x)= 0,x=1, -x,x1 如图所示， 其递减区间是[0,1).] ·3 参考答案 2.C[由f(2)=4,得log.2=4, 所以a=2,又a>0且a≠1， 所以a=2>1, 而f(x)=log。|x的定义域为(-∞，0)U(0,十o),x= 0处无定义， 当x>0时，f(x)=logx,因为a>1,所以对数函数y= log.r在(0，十c∞)上单调递增； 当x<0时，f(x)=log.(-x), 根据复合函数性质得，内层t=一x在（一○，0）上单调 递减， 外层y=logt单调递增，因此f(x)在（一o∞，0）上单调 递减， 则f(x)的递增区间是(0，十o).] 考点三 [典例][解析](Q)因为函教(x)在区同[2,2]上是 增画数，值城为[22]所以f(合)=合f2)=2,即 1 a 11 =2, 、a2 (2)法一：基本不等式法：fx)=+8 x-1 1)+2(x-1D+9=(21）++29 x-1 x7,即x= 2x1)91+2=8,当且仅当x-1=9小 4时，f(x)nmim=8。 法二：导数法：f(x)=x一4)(x+2) (x-1)2 令f'(x)=0,得x=4或x=一2（舍去）. 当1<x4时，(x)0,f(x)在(1,4)上单调递减： 当x>4时，f(x)>0,f(x)在(4，十co)上单调递增， 所以f(x)在x=4处达到最小值， 即f(x)min=f（4)=8. 答案1号 (2)8 跟踪训练 1.解析：令1=，则≥0，所以y=1-f=一（-号)十 子，结合二次函最的图象知，当1=之即x=十时9 = 答案：子 2.解析：由于y=(仔)）在R上递减y=1og:红+2)在 [-1,1]上递增，所以f(x)在[一1,1]上单调递减，故 f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3. 答案：3 考点四 B[:函数f(z)=logx十在(，十o∞)上为增函 数，且f(2)=0, .当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)=0, 当x2∈(2，+∞)时，f(x2)>f(2)=0, 即f(x1)<0,f(x2)>0.] 2.B[2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x-8) 2,可得f[x(x一8)]f(9),因为f(x)是定义在(0， 1x>0, 十∞)上的单调增函数，所以有{x-8>0,解得8<x≤9， (x(x-8)9, 故x的取值范围是(8,9].] 3 艺考生文化课百日冲关·数学 3.解析：因为对任意工1≠4，都有）f0, 所以y=f(x)在（一C∞，十o)上是增函数. 2-a>0, 所以)a>1, 解得<a<2 (2-a)×1+1≤a 故实数a的取值范国是[会，2) 答案：受2） 第3节 夯实·必备知识必备知识 1.f(一x)=f(x)y轴f(一x)=一f(x)原点 2.(1)f(x+T)=f(x)(2)存在一个最小最小 思考辨析(1)×(2)×(3)/(4)√/(5)√(6)√ 小题查验 1.B2.A3.A4.D5.-1 跃升·关键能力考点一 1.B[对Af=千画数定义城为R包《-1D 2》号-D≠0.所以e不是锅高 数，北A每民：对心)=，岛戴定义线为R且 -=s+-o=x,剥fx)为 (-x)2+1 x+1 偶函数，故B正确：对C,函数定义域为{xx≠一1}，不关于 原，点对称，则f(x)不是偶函数，故C错误；对D,因为f(一x) =血(-)+4(-2=-sinx+4红=-f(x),则fx)为奇 e 函数，不是偶函数，故D错误.] 2.B 3.解：1)由3。x之0得x=3,解得x=士5. {x2-3≥0， 即函数f(x)的定义域为{一√3，W3}, 从而f(x)=√3-x+√-3=0. 因此f(一x)=一f(x)且f(一x)=f(x), .函数f代x)既是奇函数又是偶函数. 、《2)由22得定义诚为(-1,0U0,D.关于原点对 称.x-2<0,.z-2一2=-x, .f()=lg(1-2') 又：f-=1=（-]=-l1=2--f. x ∴.函数f(x)为奇函数」 (3)显然函数f(x)的定义域为（一，0）U(0,十)， 关于原点对称.当x<0时，一x>0, 则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=f(x)； 当x>0时，一x<0, 则f(-x)=(-x)-x=x2-x=-f(x): 综上可知：对于定义域内的任意x,总有f(一x)= 一f(x)成立，.函数f(x)为奇函数. 考点二 1.D[由f(x)=a+r-3a2-r=a"·a-3a2·ar, 则f(-x)=a--3a2+=a·a-3a2·a, 又函数f(x)为R上的奇函数，则f(一x)=一f(x), 即a·ar-3a2·a=-u·a十3a2·ar对任意x∈ R成立， 整理得(a"一3a)(a十ar)=0, 所以a-3a2=0,即a-2=3,结合a>1,解得a=3, 所以f(.x)=33+-3×32,即f(2)=3-3×3” =240.」 ·30 B[由题意知g)=h是奇函数，而f心)=（女士 g(x)为偶函数，有f(-x)=(-x十a)g(一x)=-(-x十a) g(x)=(x十a)g(x)=f(x),故x-a=x+a,则a=0.] 3.解析：f(ln2)=-f(-ln2)=eaa2=e24=2·=8, .0=-3. 答案：一3 [典例][解]第一步根据奇偶性补全函数∫(x)和 g(x)在整个定义战上的图象y=f(x)是偶函数，y= g(x)是奇函数，根据函数图象的奇偶性画出y=f(x),y =g(x)在[一3,0]上的图象如图所示， y y=g(x) -3-2 /-10/12 树N 第二步将分式不等式等价转化 )0等价于{二0'或f(x)0, {g(x)<0,{g(x)>0, 第三步根据图象，分别解两个不等式组 由图可知f八x)>0,g(x)<0时，-2<x<-1或0<x<1, f(x)<0,g(x)>0时，2<x<3. 第四步根据求解结果取并集 可求得其解集是{x一2<x<一1，或0x<1,或2<x3} 跟踪训练 BLf(x十2)是偶函数，即f(x十2)=f(2一x),可得f(x)的 对称轴为x=2,f(2x十1)为奇函数，即f(1+2x)=一f(1一 2x),可得f(x)的对称中心为(1,0.此时，x=0和x=2关于 (1,0)对称，∴f(x)是偶函数，此时有f(一1)=f(1)=0.其 他选项不一定成立. 考点三 [典例][解析](1)由f(x)+f(x-2)=0→f(x) =-f(x-2)→f(x-2)=-f(x-4), 联立可得：f(x)=f(x一4)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数，因为f(x)是偶函 数，所以有f(x一2)=f(2一x). 由f(x一2)+f(x)=0,得：f(2一x)=一f(x)=f(2十x), 说明f)关于直线x=2对称，在定义区间x子3]内， f(x)=x十a.x十b是二次函数，其对称轴必为x=2.根据二 次函数对称轴公式得： -号=2，即a=-4, 另外，由于f(x)是偶函数且周期为4：f(3)=f(3一4) =f(-1)=f(1), 根据f(1)+f(1-2)=f(1)+f(-1)=2f(1)=0→ f(3)=f(1)=0. 所以f(3)=3-4×3十b=0,即-3十b=0,解得b=3, 所以a=一4，b=3. (2):函数f(x)是(-∞，十∞)上的奇函数，且f(x)的 图象关于x=1对称， f(-x)=一f(x),由图象关于x=1对称， 得f1十x)=f(1一x),即f(一x)=f(2+x)=一f(x), ∴.f(4十x)=一f(2十x)=f(x),.周期T=4. 当x∈[0,1]时，f(x)=2-1, ∴.f(2027)+f(2028)=f(-1)+f(0)=-f(1)+ f(0)=-2+1+1-1=-1. [答案](1)D(2)B 跟踪训练 1.A[f(-是)=f()=f(2+)=5-2(2+) ,故选A.] 04上篇：第二章函数、导数及其应用 考点四 分段函数及应用（多维探究） [命题角度]求函数值、值域（最值） 规律总结/ 分段函数“两种”题型的求解策略 1+1og2(2-x),x<1, (1)根据分段函数的解析式求函数值 1.设函数f(x) 2x-1,x≥1， 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选 定相应的解析式代入求解， 则f(-2)+f(1og212)= (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或 范围 A.3 B.6 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意 C.9 D.12 检验所求自变量的值或范围是否符合相应 段的自变量的取值范围. 2.定义新运算“④”：当a≥b时，a①b=a;当a<b时， 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分 类讨论 a⊕b=b2.设函数f(x)=(1④x)x一(2⊕x),x∈ C温馨提 [-2,2],则函数f(x)的值域为 学习至此，请完成配套训练 课时冲关六 第2节 函数的单调性与最值 课程标准 核心素养 考情聚焦 确定函数的单调性、单调区间及应 1.函数的单调性的判断或证明，发展 用函数的单调性比较函数值大小、求最 1.借助函数图象，会用符号 数学抽象和逻辑推理素养」 值、求参数的取值（范围）是高考的热 语言表达函数的单调性、2.确定函数的单调区间，提升直观想 点，多以选择题、填空题的形式出现，难 最大值、最小值，理解它 象和逻辑推理素养 度不大，属于低中档题型，常与函数的 们的作用和实际意义.3.确定函数的最值（值域），发展直观 图象及奇偶性交汇命题；若与导数交汇 2.会运用基本初等函数的 想象和数学运算素养. 命题，则以解答题的形式出现，难度较 图象分析函数的性质 4.函数单调性的应用，发展逻辑推理 大，属于中高档题型.在解答题中常与 和数学运算素养 恒成立、方程有解等问题综合考查 口夯实|必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 续表 1.函数的单调性 y=f(x) (1)单调函数的定义 ty f(x2) y=f(x) fx月 if(x)f(x2) 增函数 减函数 图象 描述 0x1x2 一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于 自左向右看图象是 自左向右看图象是 定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值x1·x2 (2)单调区间的定义 定义 当x1<x2时，都有 当x1<x2时，都有 如果函数y=f(x)在区间D上是 或 ,那么就说 ,那么就说 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间 函数f(x)在区间D 函数f(.x)在区间D 具有（严格的）单调性， 叫做函数y= 上是增函数 上是减函数 f(x)的单调区间. ·19 艺考生文化课百日冲关·数学 2.函数的最值 [自主诊断] 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数 [思考辨析] 前提 M满足 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 (1)对于Vx∈1，都有 (3)对于Vx∈I,都有 里打“/”，错误的打“×” 条件 、 (1)函数f(x)的图象如图所 (2)了x6∈I,使得 (4)3xo∈I,使得 示，则函数f(x)的单调增区 间是(-∞，0]U(0,+∞). M是函数y=f(x)的 结论 M是函数y=f(.x)的 最大值 最小值 (2)若定义在R上的函数 重要结论 f(x),有f(一1)<f(3),则函数f(x)在R上为 1.设Hx1,x2∈D(x1≠x2),则①x1-x2>0(或< 增函数. 0),f(x1)-f(x2)>0(或<0)台f(x)在D上单 (3)函数y=|x是R上的增函数. 调递增；x1-x2>0(或<0)，f(x1)-f(x2)<0 (4)函数y=f(x)在[1，+∞)上是增函数，则函 (或>0)台f(x)在D上单调递减； 数的单调递增区间是[1，+∞). ( @f)-f>0(或(x1-2)[f() (5)对于函数f(x),x∈D,若x1,x2∈D,且 x1一x2 (x1一x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x) f(x2)]>0)台f(x)在D上单调递增： 在D上是增函数. ③f1)-fx2<0(或(x1-2)[f(n1) (6)在闭区间上单调的函数，其最值一定在区间 x1一x2 端点取到. f(x2)]<0)台f(x)在D上单调递减， [小题查验] 1.下列函数中是增函数的为 2.对勾函数y=x十是(a>0)的增区间为(-， A.f(x)=-x B.f(x)= 一a]和[√a,+∞)；减区间为[一√a,0)和 (0,√a],且对勾函数为奇函数. C.f(x)=x2 D.f(x)=( 3.单调函数的运算性质 2.设定义在[一1,7]上的函数y=f(x)的图象如图 (1)在函数f(x),g(x)的公共单调区间上，有如下 所示，则关于函数y一的单调区间表述正确 结论： ①若f(x),g(x)都是增（减）函数，则f(x)十 的是 g(x)也是增（减）函数； ②若f(x)是增（减）函数，g(x)是减（增）函数，则 67 f(x)一g(x)是增（减）函数； A.在[-1,1]上单调递减 (2)若函数f(x)在区间D上具有单调性，则在区 B.在(0,1]上单调递减，在[1,3)上单调递增 间D上具有以下性质： ①当a>0时，函数af(x)与f()有相同的单调性 C.在[5,7]上单调递减 当a<0时，函数af(x)与f(x)有相反的单调性； D.在[3,5]上单调递增 ②当函数f(x)恒为正（或恒为负）时，f(x)与 3.以下函数既是奇函数，又是减函数的是( 有相反的单调性； 1 A.y=-3x B.y=x3 C.y=log3x D.y=3 ③若f(x)≥0，则f(x)与√f(x)具有相同的单 4.已知函数f(x)=2x一x一1，则不等式f(x)>0的 调性 解集是 4.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在 A.(-1,1) B.(-∞，-1)U(1,+∞) 区间[b,c]上单调递减，则函数y=f(x),x∈[a, C.(0,1) D.(-∞，0)U(1,+∞) c]在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在 区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，则 5.函数x)=千在[1,2]上的最大值和最小值 函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b) 分别是 ·20 上篇：第二章函数、导数及其应用 跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一函数单调性的判断或证明（自主练透） 核心素养 /题后反思/ 逻辑推理一函数单调性问题中的核心素养 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤 依据增函数、减函数的定义证明函数单调性， 设x1,x2是定义区间内的任意两个值，且 通常按照设元、作差、变形、判号、定论这五个步骤 取值 进行，充分体现了“逻辑推理”的核心素养. x1<x2 [题组集训] 作差f(x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1),并 1.下列函数中，在区间(1，十∞)上是增函数的是 作差、 通过因式分解、配方、有理化等方法，向有 ( 变形 利于判断差的符号的方向变形 A.y=-x+1 B.y-]-z C.y=-(.x-1)2 D.y=31-x 确定差f(.x1)-f(x2)(或f(x2)-f(x1) 2判断并证明函数f代)兰（其中a>o)在xE 定号 的符号，当符号不确定时，可以进行分类 讨论 (一1,1)上的单调性. 判断一根据定义作出结论 易错警示：可导函数也可以利用导数判断.但 是，对于抽象函数单调性的证明，只能采用定 义法进行判断. 考点二 确定函数的单调区间（课堂共研） [典例](1)函数y=f(x)(x∈ 2.若将典例(1)中的“0<a<1”改为“a>1”,则函数 R)的图象如图所示，则函数 g(x)的单调递减区间如何？ g(z)=f(logax)(0<a<1) 的单调递减区间是 ( A,】 B.[√a,1] C.(-,0U分+） D.[a,Va+I] (2)函数y=一x2十2|x+1的单调递增区间为 ,单调递减区间为 [尝试解答](1) (2) [互动探究] 1.若将典例(2)中的函数变为“y=|一x2+2x+1”,则 结论如何？ ·21 艺考生文化课百日冲关·数学 1方法指导引 (4)若这两个函数同增同减，则y=f(g(x)为 1.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致 增函数；若一增一减，则y=f(g(x)为减函 数，即“同增异减” (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数 提醒：单调区间只能用区间表示，不能用集合 的和、差或复合函数，求单调区间. 或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不 (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义， 能用并集符号“U”联结，也不能用“或”联结 (3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者 [跟踪训练] f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它 1,x>0 的单调区间 1.设函数f(x)= 0,x=0,g(x)=x2f(x-1), (4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单 -1,x<0, 调区间. 则函数g(x)的递减区间是 2.求复合函数y=f(g(x)的单调区间的步骤 A.(-∞，0] B.[0,1) (1)确定函数的定义域 C.[1,+o∞) D.[-1,0] (2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u), 2.已知函数f(x)=log。|x|(a>0且a≠1)，若 f(2)=4,则f(x)的递增区间是 ( ) u=g(x). A.[0,+o∞) (3)分别确定这两个函数的单调区间. B.(-o∞，0) C.(0,+∞) D.(-∞，0] 考点三 确定函数的最值（值域）（师生共研） [奥例]a)若函数x)-是-在合2]上的 (3)基本不等式法：分子、分母中的一个为一次函 数，一个为二次函数结构以及两个变量（如xy) 值域是[2,2]则实数a的值为 的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三 (2)函数f(x)= x2+8 相等”的条件，用基本不等式法求最值（值域）. (x>1)的最小值为 (4)导数法：用导数法，先求出给定区间上的极 值，再结合端点值求得. [尝试解答](1) (2) (5)换元法：对解析式较复杂的函数，可通过换 /方法指导引 元转化为以上四种类型中的某种，再求解： 求函数最值（值域）的常用方法及适用类型 易错警示：用换元法时，一定要注意新“元”的范围。 (1)单调性法：应先确定函数的单调性，然后再 [跟踪训练」 由单调性求解， 1.函数y=√一x(x≥0)的最大值为 (2)图象法：作出函数的图象，利用最值的儿何 -1og2(x+2)在区间[-1,1] 意义，观察其图象最高点、最低点，求出 2.函数f)() 最值. 上的最大值为 考点四 函数单调性的应用（多维探究） [命题角度1]比较两个函数值或两个自变量的大小 [命题角度2]解函数不等式 1.已知函数f(x)=l1og2x+1-x若1∈(1,2)，x2 2.f(x)是定义在(0，+∞)上的单调增函数，满足 ∈(2，十∞)，则 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+ A.f(x1)<0,f(x2)<0 f(x一8)≤2时，x的取值范围是 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 A.(8,+∞) B.(8,9] D.f(x1)>0,f(x2)>0 C.[8,9] D.(0,8) ·22· 上篇：第二章函数、导数及其应用 [命题角度3]利用单调性求参数的取值范围或值 (2)解含“”的不等式.在求解与抽象函数有关 (2-a)x+1,x<1, 3.如果函数f(x) 满足对任 的不等式时，利用函数的单调性将“f”符号 a,x≥l 脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时 意≠，都有f)二f)>0成立，那么实 x1一x2 应特别注意函数的定义域. 数a的取值范围是 (3)利用单调性求参数 [破题关键点]函数f(x)满足对任意x1≠x2, ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调 都有f)->0成立，推出f(x)在 性定义，确定函数的单调区间，与已知单调 x1-x2 区间比较求参数； (一∞，十∞)上是增函数. ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调的， /规律总结/ 则该函数在此区间的任意子集上也是单 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 调的 (1)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化 到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性 ©温馨提污 学习至此，请完成配套训练课时冲关七 解决 第3节 函数的奇偶性与周期性 课程标准 核心素养 考情聚焦 函数的奇偶性、周期性的应用是高 1.结合具体函数，了解函数奇偶1.判断函数的奇偶性，发展数学 考的热点，常与函数的求值、图象、单调 性的概念和几何意义. 抽象和逻辑推理素养. 性、对称性、零点等知识交汇命题，函数 2.会运用函数的图象理解和研2.函数奇偶性的应用，发展逻辑 的周期性也经常会涉及三角函数或抽 究函数的奇偶性. 推理和数学运算素养. 象函数，并且考查力度逐年加大.本讲 3.结合三角函数，了解函数周期3.函数周期性的应用，发展数学 内容在高考中多以选择题或填空题的 性的概念和几何意义。 抽象和逻辑推理素养。 形式出现，难度不会太大，属于低中档 4.会运用函数的图象理解和研4.函数基本性质的综合应用，提 题型，主要考查考生对函数性质的理解 究函数的周期性 升逻辑推理和数学运算素养 及应用能力 口夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 2.函数的周期性 1.函数的奇偶性 (1)周期函数：对于函数y=f(x),如果存在一个非 奇偶性 定义 图象特点 零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都 如果对于函数f(x)的定义 域内任意一个x,都有 关于 偶函数 有 ,那么就称函数y=f(x)为 ,那么函数 对称 f(x)是偶函数 周期函数，称T为这个函数的周期。 如果对于函数f(x)的定义 关于 (2)最小正周期：如果在周期函数(x)的所有周期 奇函数 域内任意一个x,都有 ,那么函数 中 的正数，那么这个最小正数就 对称 f(x)是奇函数 叫做f(x)的 正周期. ·23·