第2章 第1节 函数的概念及其表示-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

第二章 函数、导数及其应用 第1节函数的概念及其表示 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.了解构成函数的要素，会求一1.函数的概念，感悟和发展 以理解函数的概念，会求一些简单函数 的定义域为主，常与不等式相结合求函数的 些简单函数的定义域和值域，数学抽象的素养. 了解映射的概念 2.函数的解析式，提升逻辑 定义域、值域.函数解析式的求解与应用是 2.在实际情境中，会根据不同的推理和数学运算的素养. 函数内容的基础，注意换元法、待定系数法 等数学思想方法的运用.分段函数主要涉及 需要选择恰当的方法（如图象3.函数的定义域，发展数学 法、列表法、解析法)表示函抽象和提升逻辑推理的 的是与其相关的函数值、方程或不等式，该 部分内容高考中多以选择题或填空题的形 数，理解函数图象的作用. 素养. 3.通过具体实例，了解简单的分4.分段函数及应用，提升逻 式考查，难度不会太大，属于低中档题.主要 段函数，并能简单应用 辑推理和数学运算的素养 考查考生的函数与方程思想、数形结合思 想、分类讨论思想以及运算求解的能力 夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] (2)如果两个函数的 相同，并且 1函数与映射的概念 完全一致，则这两个函数为相等函数. 类别 函数 映射 3.函数的表示法 两个集合 设A,B是两个 设A,B是两个 A、B 表示函数的常用方法有 、图象法和 4.分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因 如果按某一个确定 如果按照某种确 不同而分别用不同的式子来表示，这种 定的对应关系f, 的对应关系f,使对 对应关系 使对于集合A中的 于集合A中的 函数称为分段函数： f:A→B 一 个数x 一个元素x,在 在集合B中都有 集合B中都有 重要结论 的数f(x)和它对应 的元素y与之 对应 1.函数是特殊的映射，是A,B为非空数集的映 射，其特征：第一，在A中取元素的任意性：第 称f: 为从 称 为从集 名称 集合A到集合B的 合A到集合B的一 二，在B中对应元素的唯一性， 一个函数 个映射 2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义 记法 函数y=f(x),x∈A 映射f:A→B 域和对应关系完全一致 2.函数的定义域、值域 3.分段函数的定义域等于各段函数的定义域 (1)在函数y=f(x),x∈A中，x叫做自变量，x的 取值范围A叫做函数的 ;与x的值相 的并集，其值域等于各段函数的值域的并 对应的y值叫做函数值，函数值的集合 集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示 叫做函数的 的是一个函数， ·16 上篇：第二章函数、导数及其应用 [自主诊断] 2.已知函数f(x)= oe0g [思考辨析] 3,x≤0， ()的 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 值是 里打“√”，错误的打“×”. A.9 C.-9 D.-9 (1)函数是建立在其定义域到值域的映射. ( ) 3.下列图象可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义 (2)函数y=f(x)的图象与直线x=a最多有2 域，以N={y0≤y≤1}为值域的函数的是 个交点， (3)函数f(x)=x2-2x与g(t)=t2-2t是同一 函数 ( ) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个 函数是相等函数， ( ) 4.函数y=f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定 1(x≥0)， 义域是 :值域是 ;其中只与x (5)f(x)=与g(x) 表示同 x -1(x<0) 的一个值对应的y值的范围是 函数 (6)若A=R,B={xlx>0},f:x→y=|x|,其对 应是从A到B的映射， ( :0123 [小题查验] xx0 1.函数y=√ln(1-x)的定义域为 ) 5.(2024·上海卷)已知函数f(x) 1,x≤0 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 则f(3) 跃升关键能力 层级突破素养提升 考点一 函数的概念（自主练透） [题组集训] 1.下列所给图象是函数图象的个数为 ①)=：@)=马③f)=lh(2+3g ④f(x)=2x-2-x:⑤f(x)=2sinx-1. 以 其中是“美丽函数”的序号有 /题后反思/ ① 2 函数的三要素 A.1 B.2 C.3 D.4 定义域、值域、对应法则.这三要素不是独立 2.下列各组函数中，表示同一函数的是 ( ) 的，值域可由定义域和对应法则唯一确定；因 此当且仅当定义域和对应法则都相同的函数 A.f(x)=lxl,g(x)=Vz2 才是同一函数.特别值得说明的是，对应法则 B.f(x)=√Z,g(x)=(W元)2 是就效果而言的（判断两个函数的对应法则 C)=g()=+1 x2-1 是否相同，只要看对于函数定义域中的任意 一个相同的自变量的值，按照这两个对应法 D.f(x)=√x+1·√x-1,g(x)=√x2-1 则算出的函数值是否相同)不是指形式上的 3.设函数f(x)的定义域为D,若对任意的x∈D, 即对应法则是否相同，不能只看外形，要看本 都存在y∈D,使得f(y)=一f(x)成立，则称函 质；若是用解析式表示的，要看化简后的形式 数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数： 才能正确判断： ·17· 艺考生文化课百日冲关·数学 考点二 求函数的解析式（课堂共研） [典例](1)已知f(√(+1)=x+2√(，则f(x)= (2)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函 数、二次函数)，可用待定系数法 (2)已知二次函数f(x)满足f(2)=一1，f(-1) (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式， =一1，且f(x)的最大值是8，则f(x)的解析式 可用换元法，此时要注意新元的取值范围. 为 (4)消去法：已知关于f(x)与 (3)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)一 f)成- f(-x)=lg(x十1)，则函数f(x)的解析式 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个 为 等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). [尝试解答] (1) (2) [跟踪训练] (3) 1.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)一2f(x 1方法指导引 1)=2x+17,则f(x)= 函数解析式的求法 2.已知(2+1)g,则fx)的解析式为一 (1)配凑法：由已知条件f(g(x)=F(x),可将 3.已知函数f(x)的定义域为(0，十∞)，且f(x) F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x 替代g(x),便得f(x)的解析式. 2n)后-1，则f)= 考点三 函数的定义域（多维探究） [命题角度1]求给定函数解析式的定义域 [命题角度3]已知定义域确定参数问题 [典例 函数f()=√1-x-1 [典例4]若函数f(.x)=√2r+2ax-a-1的定义域 (a>0且a≠1) a2-1 为R,则a的取值范围为 的定义域为 [尝试解答] [尝试解答 [典例2]函数f(x)=1+√1-x的定义域是 /规律总结引 求函数定义域的三种常考类型及求解策略 (1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的 [尝试解答 不等式（组）求解。 [命题角度2]求抽象函数的定义域 (2)抽象函数 [典例3]已知函数f(x)的定义域为(-1,0)，则 ①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复 函数f(2x+1)的定义域为 ( 合函数f(g(x)的定义域由a≤g(x)≤b A.(-1,1) 〔1，-) 求出. ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b], C.(-1,0) D(合 则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的 值域. [尝试解答] (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意 [互动探究] 义，又要考虑实际问题的要求 1.已知函数f(2x+1)的定义域是(-1,0)，则f(x) 提醒：(1)如果所给解析式较复杂，切记不要 的定义域为 化简后再求定义域. 2.已知f(2x)的定义域是[-1,1]，则f(1og2x)的 (2)所求定义域须用集合或区间表示. 定义域为 ·18· 上篇：第二章函数、导数及其应用 考点四 分段函数及应用（多维探究） [命题角度]求函数值、值域（最值） 规律总结/ 分段函数“两种”题型的求解策略 1+1og2(2-x),x<1, (1)根据分段函数的解析式求函数值 1.设函数f(x) 2x-1,x≥1， 首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选 定相应的解析式代入求解， 则f(-2)+f(1og212)= (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或 范围 A.3 B.6 应根据每一段的解析式分别求解，但要注意 C.9 D.12 检验所求自变量的值或范围是否符合相应 段的自变量的取值范围. 2.定义新运算“④”：当a≥b时，a①b=a;当a<b时， 提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分 类讨论 a⊕b=b2.设函数f(x)=(1④x)x一(2⊕x),x∈ C温馨提 [-2,2],则函数f(x)的值域为 学习至此，请完成配套训练 课时冲关六 第2节 函数的单调性与最值 课程标准 核心素养 考情聚焦 确定函数的单调性、单调区间及应 1.函数的单调性的判断或证明，发展 用函数的单调性比较函数值大小、求最 1.借助函数图象，会用符号 数学抽象和逻辑推理素养」 值、求参数的取值（范围）是高考的热 语言表达函数的单调性、2.确定函数的单调区间，提升直观想 点，多以选择题、填空题的形式出现，难 最大值、最小值，理解它 象和逻辑推理素养 度不大，属于低中档题型，常与函数的 们的作用和实际意义.3.确定函数的最值（值域），发展直观 图象及奇偶性交汇命题；若与导数交汇 2.会运用基本初等函数的 想象和数学运算素养. 命题，则以解答题的形式出现，难度较 图象分析函数的性质 4.函数单调性的应用，发展逻辑推理 大，属于中高档题型.在解答题中常与 和数学运算素养 恒成立、方程有解等问题综合考查 口夯实|必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 续表 1.函数的单调性 y=f(x) (1)单调函数的定义 ty f(x2) y=f(x) fx月 if(x)f(x2) 增函数 减函数 图象 描述 0x1x2 一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于 自左向右看图象是 自左向右看图象是 定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值x1·x2 (2)单调区间的定义 定义 当x1<x2时，都有 当x1<x2时，都有 如果函数y=f(x)在区间D上是 或 ,那么就说 ,那么就说 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间 函数f(x)在区间D 函数f(.x)在区间D 具有（严格的）单调性， 叫做函数y= 上是增函数 上是减函数 f(x)的单调区间. ·19跃升·关键能力考点一 [典例](1)[解析]x(4一3.x)= 1·(3x)(4-3x) 3 「3x+(4-3x)12_4 3 2 3 当且仅当3=4一3，即2=号时，取等号. [答案] 3 (2)[解析]y=+2-x-2z+1D+(2x-2)+3 x-1 x-1 =(x-1)+2(x-1)+3 x-1 =x-1)+,37+2≥2v6+2 当且仅当-1=马即+1时，学号成立 [答案]2√3+2 [典例][解析]C[由lga+lgb=lg(a十b),得lg(ab)= ga+b,即a6b=a十6，则有+=1，所以a十6 b (日+6)+6)=2+名+名≥2+2会·号=4，当 且仅当a=b=2时等号成立，所以a十b的最小值为4.] 跟踪训练 1.D[,x>0,y>0且4x+y=xy, 1+4=1, x y x+4y=(x+(+号 4 =17+4g+4y≥25，当且 y 仅当x=y=5时取等号.] 2解折：>06>0a+方-10<a<16>1 .a=1 1_b-1>0, b b 26-1(高)+2=4 当且收音)61，即6=2a=之时，等号成三， 1 答案：4 考点二 [典例][解析]B[若每批生产x件产品，则每件产品 的生产复用是89元，仓储货用是营元，总的党用是8四 +晋≥2，√四·舌=20，当且仅当820=言甲=80 时取等号，] 跟踪训练 解析：每台机器运转x年的年平均利润为义=18 (+)西>0，故是<18-2V丽=8，当且仅当： x =5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8 万元. 答案：8 考点三 [典例][解析](1)因为a>0,b>0,a十b=2, 2 汉由/6≥+012a油2水 41 a 得。+6≥2：是+6≥2：a6长1：即①②回均正确：不 妨令a=b=1,则√a十√6=2>√2，故④错误；综上所迷述， 恒成立的是①②③. ·3 参考答案 (2)对任意x∈N,f(x)≥3恒成立，即t+a+1卫≥3 x+1 成立，即知≥-(+）十3 设g()=x+》,易知g(x)在(0,2回)上递减，在 (2反，+∞)上递增，而x∈N,且g(2)=6g(3)=号 :2>g8.x(-号a-（+9）十3≤ [答案](1)B 2【-+） 跟踪训练 1.C[当>2时x-2>0.x)=(x-2)+2+2≥ 22-2X2+2=4,当且仅当x-2=2>2).即1 =3时取等号，即当f(x)取得最小值时，a=3.] 2.ABD[时于A,u>0,b>0,a+6=ab,则a=6名>0 故b1,同理可得a>1,A正确；对于B,a>0,b>0,ab =a十b≥2√ab,∴.ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号， B正确：对于C,a>0,b>0,a+b=ab,则日+方=1，则 a+=(a+46)·(+)=1+++4≥5十 (地= 2=9,当且仅当0方，即a=3,6=号时取等号， la+b=ab C错误：对于D,由于b>0,故么十人=b二口+左=b a b 1十方≥2-1=1，当且仅当6=1时取等号，而6>1，故 +方>1，D正] 第二章 第1节 夯实·必备知识必备知识 1.非空数集非空集合任意唯一确定任意唯一确定 ABf:A-B2.(1)定义域{f(x)x∈A}值域 (2)定义域对应关系3.解析法列表法4.对应关系 思考辨析(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×(6)× 小题查验 1.B2.B3.C4.[-3,0]U[2,3][1,5][1,2)U (4,5]5.√3 跃升·关键能力考点一 1.B[①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x=x。时，y的值有两个， 因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y 值，因此是函数图象.门 2.A[对于A,g(x)=|x|,.f(x)=g(x),A符合题意： 对于B,f(x)=|x,g（x)=x(x≥0)， 两函数的定义域不同，B不符合题意； 对于C,f(x)=x十1(x≠1)，g(x)=x十1， ∴.两函数的定义域不同，C不符合题意； 对于D,f(x)=Wx+1·√x-1(x+1≥0且x-1≥0)， f(x)的定义域为{xx≥1}， g(x)=√x-1(x2-1≥0)， g(x)的定义域为{xx≥1，或x≤-1}. ∴.两函数的定义域不同，D不符合题意，] 3.解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y, 使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互 为相反数，即f(y)=一f(x).故只有当函数的值域关于 原点对称时才会满足“美丽函数”的条件 艺考生文化课百日冲关·数学 ①中函数的值域为[0，十∞)，值域不关于原点对称，故 ①不符合题意； ②中函数的值域为（一∞，0）U(0,十∞)，值域关于原点 对称，故②符合题意： ③中函数的值域为（一○，十○），值域关于原，点对称，故 ③符合题意； ④中函数的值城为【，值域关于原，点对称，故④符合题意： ⑤中函数f(x)=2sinx一1的值域为[一3,1]，不关于原 点对称，故⑤不符合题意. 答案：②③④ 考点二 [典例][解析](1)法一：设t=√+1，则x=(t-1), t≥1，代入原式有f(t)=(t-1)2十2(t-1)=t-2t+1 +2t-2=r-1.故f(x)=x2-1,x≥1. 法二：，x+2√元=(W)+2√E+1-1 =(√x+1)2-1, .f(E+1)=(wE+1)2-1W+1≥1， 即f(x)=x2-1,x≥1. (2)法一（利用一般式)： 设f(x)=ax2+b.x十c(a≠0). 4a+2b+c=-1, 由题意得 a-b+c=-1, 1a=-4, 解得b=4, Aac-b =8, (c=7. .所求二次函数的解析式为f(x)=一4x十4x十7. 法二（利用顶，点式）： 设f(x)=a(x一m)十n. f(2)=f(-1), ·抛物线的对称轴为x=2+(一少= 2 六m=之又根据题意函数有最大值8，n=8. y=j=a(-)+8. :f2)=-1(2-合）+8=-1，解得a=-4 ∴fx)=-4(-合）+8=-4x+4+7 法三（利用零点式）： 由已知f(x)十1=0两根为x1=2,x2=一1， 故可设f(x)十1=a(x-2)(x+1), 即f(x)=a.x2-a.x-2a-1. 又函数有最大值y=8,即a(-2a-1)-4=8. 解得a=一4或a=0(舍). .所求函数的解析式为f(x)=一4x十4x十7. (3)当x∈（一1,1）时， 有2f(x)一f(一x)=1g(x+1). 以-x代替x得，2f(一x)-f(x)=lg（-x十1). ② 由①②消去f(一x),得 fx)=号1gx+10+3g0-xe(-10. [答案](1)x2-1(.x≥1) (2)f(x)=-4.x2+4x+7 (3)f(x)= 号gx+1D+3g1-2xe(-1, 跟踪训练 1.解析：因为f(x)是一次函数， 可设f(x)=ax十b(a≠0)， ∴.3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17, 即a.x+(5a+b)=2x+17, 050十6=17，解得=2， 因此应有=2， 时{b=7. 故f(x)的解析式是f(x)=2x十7. 答案：2x十7 ·3( 2解析：令2+1=1，得z=,号 2 代入得f()=g气 2 又x>0,所以t>1, 故f(x)的解析式是f(z)=lg,x>1), 2 答案：fx)=lg二x>1) 3.解析：在f(x) 2(）-1中，将x换成 到得（位）2√F-1 [r)=2f(）-1 1一1 (）=2√ 解得f（x)= 2+3 1 答案：号匠+ 1 考点三 [典例1][解析] 由1-1≥0得0≤x≤2， {a2-1≠0， 1x≠0， 解得0x2, 故所求函数的定义城为(0,2]. [答案](0,2] [典别2】[解折】依题套产0.解得xE(,0) U(0,1]. [答案](-∞，0)U(0,1] L典例3][解析]B[由函数f(x)的定义域为（一1,0） 则使函数f(2x十1)有意义，需满足一1<2x十1<0，解得 即所求画教的定义城为(1，一合）门 1 -1<x<- 互动探究 1.解析：由已知x∈(-1,0)，所以2x十1∈（一1,1），故 f(x)的定义域为（一1,1）. 答案：(-1,1) 2.解析：由已知x[-11门，所以2∈[合2]故f)的 定义城为合]，所以在画教y=f(g,)中，号< logx≤2，即log2√2≤log2x≤log24,所以√2≤x≤4，故 f(logx)的定义域为[V2,4]. 答案：[√2,4] L典例4们[解析]因为函数f(x)的定义域为R,所以 2+-a-1≥0对x∈R恒成立，则x2十2a.x-a≥0恒 成立.因此有△=(2a)2+4a≤0，解得-1≤a≤0，故a的 取值范围为[一1,0们. [答案][一1,0] 考点四 1.C[根据分段函数的意义， f(-2)=1+log(2+2)=1+2=3.又log212>1, f(1og12)=2212-1=22=6,因此f(-2)+ f(log12)=3+6=9.] 2.解析：由题意知，fc)=-2,x∈[-2,1门， {x3-2,x∈(1,2]， 当x∈[-2,1]时，f(x)∈[-4，-1]：当x∈(1,2]时， f(x)∈（一1,6].故当x∈[-2,2]时，f(x)[一4,6]. 答案：[一4,6] 第2节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)f(x1)f(x2) f(x1)>f(x2)上升的下降的 (2)增函数减函数区间D2.(1)f(x)≤M (2)f(x。)=M(3)f(x)≥M(4)f(x。)=M