第1章 第5节 基本不等式-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

艺考生文化课百日冲关·数学 手是得+42得 n=1 .f(-2)=3f(-1)+f(1). 又：1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4， .5≤3f(-1)+f(1)10,故5≤f(-2)≤10. 法二：由01)=a-6 {f(1)=a+b, ∫a=号-1D+f 得 6=2f)--1] .f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又：1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴.53f(-1)十f(1)10,故5≤f(-2)≤10. 答案：[5,10] 第4节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)大于(2)判别式(3)△≥0(4)公共点情形 2.{xx<x1,或x>x2} {≠一会}Rz<<a 思考辨析(1)√(2)√(3)X(4)×(5)√ 小题查验 1.D2.D3.C4.(1,3)5.(-1,3) 跃升·关键能力考点一 解：(1)由△=9一16=一7<0，故不等式的解集为☑. (2)原不等式等价于3x+2x-8≥0台(x+2)(3x-4)≥ 0曰x≤-2或x≥3 故不等式的解集为{≤-，或≥号} (3)原不等式可化为(x一1)(ax-1)0, ∴.①当a=0时，可解得x>1, ②当a>0时，不等式可化为(x-1)(x-）<0, .当a=1时，不等式可化为(x-1)<0,解集为心： 当0<a<1时，>1，不等式的解案为{1<<日}： 当>1助<1，不等的解为{<}： a 当a<0时，不等式可化为x-1-日)>0， “不等我的解桑为{>1，或<日} 综上可知，当a<0时， 不等式的解集为{>1，或<日}： 当a=0时，解集为{x|x>1: 当0<a<1时，不等式的解集为{1<<日}： 当a=1时，不等式的解集为心； 当a>1时，不等式的解集为{红日<x<} 考点二 1.D[2x+k红-各<0对-切实数x都成立， 因2kx2+kx-8 <0是一元二次不等式，所以k0. 2k<0, 则必有 {4=-4x2×(音)0. 解得一3<k<0.] 2.解析：要使f(x)<-m十5在[1,3]上恒成立， 则m.x2-m.x+m-6<0, 即n-号）+是m-60在z1上板我立 3 ·3 有以下两种方法： 法-令8=a-）+子m-661. 当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以g(x)m*=g(3)=7-6<0. 所以m<号，则0<m<号 当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以g(x)max=g(1)=m-6<0. 所以m<6,所以m<0. 综上所速，m的取值范国是{m0<m<号，或m0} 法：为-+1=（-)广+>0… 11 又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<x-x+ 6 因为函数y=一x十1 6 6，。在[13]上的 1 2 3 (-）+ 最小值为号，所以只需m<号即可 因为m≠0，所以m的取值范围是 {al0<m<号成n<0} 答案：{n0<m<号，或m<0} 3.C[把不等式的左端看成关于a的一次函数， 记f(a)=(x-2)a十x2-4x+4, 则由f(a)>0对于任意的a∈[一1，l]恒成立， 所以f(-1)=x2-5x+6>0, 且f(1)=x-3x十2>0即可， 解不等式组-5x十6>0得<1或>3.] {x2-3.x+2>0, 考点三 [典例][解析](1)由题意得y=[12(1+0.75x) 10(1+x)]×10000X(1+0.6x)(0<x<1), 整理得y=一6000x2十2000x十20000(0x1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须 有二12-10)X10000>0, 10<x<1, 即500t+200x>0·解得0<x<3, 10x<1, 所以授入成本增知的此例应在(0，号)范固内。 跟踪训练 解：(1)降低税率后的税率为(10一x)%, 农产品的收购量为a(1十2x%)万担， 收购总金额为200a(1十2x%)万元. 依题意得y=200a(1十2x%)(10一x)% =50a100+2.x)(10-x)(0<x<10). (2)原计划税收为200a·10%=20a(万元). 徐题意得动a100+2)10-z)≥20aX83.2%. 化简得x2+40x一84≤0，解得-42≤x≤2. 又0<x<10,.0x2. ∴x的取值范围为(0,2 第5节 夯实·必备知识必备知识 1.(2)a=6(3)bab2.1)x=y2D 2 (2)x=y 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)×(5)/ 小题查验 1.C2.B3.C4.45.4 1 00 跃升·关键能力考点一 [典例](1)[解析]x(4一3.x)= 1·(3x)(4-3x) 3 「3x+(4-3x)12_4 3 2 3 当且仅当3=4一3，即2=号时，取等号. [答案] 3 (2)[解析]y=+2-x-2z+1D+(2x-2)+3 x-1 x-1 =(x-1)+2(x-1)+3 x-1 =x-1)+,37+2≥2v6+2 当且仅当-1=马即+1时，学号成立 [答案]2√3+2 [典例][解析]C[由lga+lgb=lg(a十b),得lg(ab)= ga+b,即a6b=a十6，则有+=1，所以a十6 b (日+6)+6)=2+名+名≥2+2会·号=4，当 且仅当a=b=2时等号成立，所以a十b的最小值为4.] 跟踪训练 1.D[,x>0,y>0且4x+y=xy, 1+4=1, x y x+4y=(x+(+号 4 =17+4g+4y≥25，当且 y 仅当x=y=5时取等号.] 2解折：>06>0a+方-10<a<16>1 .a=1 1_b-1>0, b b 26-1(高)+2=4 当且收音)61，即6=2a=之时，等号成三， 1 答案：4 考点二 [典例][解析]B[若每批生产x件产品，则每件产品 的生产复用是89元，仓储货用是营元，总的党用是8四 +晋≥2，√四·舌=20，当且仅当820=言甲=80 时取等号，] 跟踪训练 解析：每台机器运转x年的年平均利润为义=18 (+)西>0，故是<18-2V丽=8，当且仅当： x =5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8 万元. 答案：8 考点三 [典例][解析](1)因为a>0,b>0,a十b=2, 2 汉由/6≥+012a油2水 41 a 得。+6≥2：是+6≥2：a6长1：即①②回均正确：不 妨令a=b=1,则√a十√6=2>√2，故④错误；综上所迷述， 恒成立的是①②③. ·3 参考答案 (2)对任意x∈N,f(x)≥3恒成立，即t+a+1卫≥3 x+1 成立，即知≥-(+）十3 设g()=x+》,易知g(x)在(0,2回)上递减，在 (2反，+∞)上递增，而x∈N,且g(2)=6g(3)=号 :2>g8.x(-号a-（+9）十3≤ [答案](1)B 2【-+） 跟踪训练 1.C[当>2时x-2>0.x)=(x-2)+2+2≥ 22-2X2+2=4,当且仅当x-2=2>2).即1 =3时取等号，即当f(x)取得最小值时，a=3.] 2.ABD[时于A,u>0,b>0,a+6=ab,则a=6名>0 故b1,同理可得a>1,A正确；对于B,a>0,b>0,ab =a十b≥2√ab,∴.ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号， B正确：对于C,a>0,b>0,a+b=ab,则日+方=1，则 a+=(a+46)·(+)=1+++4≥5十 (地= 2=9,当且仅当0方，即a=3,6=号时取等号， la+b=ab C错误：对于D,由于b>0,故么十人=b二口+左=b a b 1十方≥2-1=1，当且仅当6=1时取等号，而6>1，故 +方>1，D正] 第二章 第1节 夯实·必备知识必备知识 1.非空数集非空集合任意唯一确定任意唯一确定 ABf:A-B2.(1)定义域{f(x)x∈A}值域 (2)定义域对应关系3.解析法列表法4.对应关系 思考辨析(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×(6)× 小题查验 1.B2.B3.C4.[-3,0]U[2,3][1,5][1,2)U (4,5]5.√3 跃升·关键能力考点一 1.B[①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x=x。时，y的值有两个， 因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y 值，因此是函数图象.门 2.A[对于A,g(x)=|x|,.f(x)=g(x),A符合题意： 对于B,f(x)=|x,g（x)=x(x≥0)， 两函数的定义域不同，B不符合题意； 对于C,f(x)=x十1(x≠1)，g(x)=x十1， ∴.两函数的定义域不同，C不符合题意； 对于D,f(x)=Wx+1·√x-1(x+1≥0且x-1≥0)， f(x)的定义域为{xx≥1}， g(x)=√x-1(x2-1≥0)， g(x)的定义域为{xx≥1，或x≤-1}. ∴.两函数的定义域不同，D不符合题意，] 3.解析：由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y, 使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互 为相反数，即f(y)=一f(x).故只有当函数的值域关于 原点对称时才会满足“美丽函数”的条件上篇：第一章集合、常用逻辑用语、不等式 第5节 基本不等式 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.掌握基本不等式vab≤a十b(a,1.利用基本不等式求最值，达成逻辑推理 利用基本不等式求函数 2 (a, 的最值，不等式的变形，构造 和数学运算素养」 b≥0). 基本不等式的形式，不等式 2.基本不等式的实际应用，发展数学建模 2.结合具体实例，能用基本不等式和数学运算素养. 的证明及利用不等式解决实 解决简单的最大值或最小值3.基本不等式的综合应用，提升逻辑推理 际问题等是高考的热点，各 问题 种题型均有可能出现，难度 和数学运算素养 中等，属于低中档题 口夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] [自主诊断] 1.基本不等式：√ab≤a十b [思考辨析] 2 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 (1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0. 里打“/”，错误的打“×”. (2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号. (1)函数y=x十的最小值是2. (3) 称为正数a,b的算术平均数， 称为正数a,b的几何平均数 (2)ab≤ 成立的条件是ab>0.( 2.利用基本不等式求最值 (3)x>0且y>0是x+y≥2的充要条件.( 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当 (4)若a>0.则。2+是的最小值是2a。（ 时，x+y有最小值是 (简记：积定 (5)(a+b)2≥4ab(a,b∈R). 和最小) [小题查验 (2)如果和x十y是定值s,那么当且仅当 1.设a>b>0,下列不等式不正确的是 时，xy有最大值是 (简记：和定积 A.ab<a2+62 2 B.ab< 最大) C 2ab/ab a+b D.ab>2ab a+b 重要结论 几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取 2.(2026·天津卷) +)(+)的最小值为 等号 A.10 B.9 C.8 D.6 (2)ab(a 2 (a,b∈R),当且仅当a=b时取 3.(2025·北京卷)已知a>0,b>0,则 等号 A.a2+62>2ab (3)2+6 2 (a,b∈R),当且仅当a=b时取 C.a+b-/ab D.1+152 a+6≤a品 等号 4.若实数x,y满足lgx十lgy=lg(x十y),则xy的 +号≥2(u,6同号)，当且仅当a=b时取 最小值为 (4)- a 5.(2026·上海卷)已知a2+4b2=1,则ab的最大 等号 值为 ·13· 艺考生文化课百日冲关·数学 跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一 利用基本不等式求最值（多维探究） [命题点1]通过配凑法利用基本不等式 续表 [典例](1)已知0<x<1,则x(4一3x)取得最大 着眼点三(“1”代换)：a十b 值时x的值为 利用常数“1”代换 =(日+)a+b (2)函数y= x2+2 的方法，将a十b x>1)的最小值为 x-1 变形为a十b= 2++ [尝试解答](1) (2) 求a十b的 (+方)a+ 着眼点四（基本不等式的应 [命题点2] 通过常数代换法利用基本不等式 最小值 =2十 合+，再用)：2+合+≥2十 [典例]若a>0,b>0,lga+lgb=lg(a+b),则a+b 利用基本不等式 的最小值为 2 b·4=4,当且仅当 a b 求其最小值 A.8 B.6 a=b=2时等号成立 C.4 D.2 核心素养 [尝试解答] 数学运算一基本不等式应用中的核心素养 /规律总结/ 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依 利用基本不等式求最值的三种常考类型及求解策略 据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前 解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选 提：“一正”“二定”“三相等” 择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等 (2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的 应用基本不等式求最值就极大地提升了数学运 特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式， 算的核心素养， 然后再利用基本不等式 (3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元 信息提取 信息解读 数学运算 法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的 方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本 着眼点一（对数的运算性 由lga十lgb= 不等式求最值 质)：由lga+lgb=lg(a 已知条件 Ig(a+b), +b),得lg(ab)=lg(a十 [跟踪训练] a0,b>0, 得lg（ab)= b),即ab=a+b. 1.若正实数x,y满足4x十y=xy,则x十4y取最小 lg a+lg b lg(a+b),即ab 着眼点二（等式的恒等变 值时，y的值为 ( =lg(a十b) =a十b,则有 形)：由ab=a十b,得1+ A.1 B.2 C.3 D.5 +1=1 a b 1 2.(2025·上海卷)设a,b>0,a十=1，则6+1 =1. 6 的最小值为 14· 上篇：第一章集合、常用逻辑用语、不等式 考点二基本不等式的实际应用（师生共研） [典例]某车间分批生产某种产品，每批产品 /方法指导/ 的生产准备费用为800元，若每批生产x件， 在利用基本不等式解决实际问题时，一定要注 则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓 意所涉及变量的取值范围，即定义域.若使基本 不等式等号成立的变量值不在定义域内时，则 储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准 要研究函数的单调性，利用单调性求最值. 备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 [跟踪训练】 ( ) 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台 A.60件 B.80件 机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与 机器运转时间x(单位：年)的关系为y=一x2+18x C.100件 D.120件 一25(x∈N*),则该公司年平均利润的最大值是 [尝试解答] 万元 考点三 基本不等式的综合应用（师生共研） [典例](1)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不 等式： 观察题目特点，利用基本不 求参数的值或 ①a2+b2≥2：②1+ 1 ≥2；③ab≤1；④√a+√b 等式确定相关成立条件，从 0 b 范围 而得参数的值或范围 ≤√2.恒成立的是 ( A.①②④ B.①②③ 与函数、数列、解 利用已知条件进行转化，再 C.②③④ D.①③④ 析几何等其他知 利用基本不等式求解 识结合的问题 (2已知函数f()=2+a十卫(a∈R),若对 x+1 于任意x∈N*,f(x)≥3恒成立，则a的取值范 [跟踪训练] 围是 [尝试解答](1) (2) 1.若函数f)=x十，2(x>2)在x=a处取最 小值，则a= 1方法指导1 A.1+√2 B.1+√5 综合应用基本不等式的重点题型与求解策略 C.3 D.4 题型 求解策略 2.(多选题)已知a>0,b>0,a十b=ab,则( 对所给不等式（或式子）变 A.a>1且b>1 B.ab≥4 判断或证明不等 形，然后利用基本不等式 C.a+4b≤9 式或比较大小 n.+>1 求解 C温馨提西 学习至此，请完成配套训练课时冲关五 15