第1章 第4节 一元二次不等式及其解法-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

艺考生文化课百日冲关·数学 手是得+42得 n=1 .f(-2)=3f(-1)+f(1). 又：1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4， .5≤3f(-1)+f(1)10,故5≤f(-2)≤10. 法二：由01)=a-6 {f(1)=a+b, ∫a=号-1D+f 得 6=2f)--1] .f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又：1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴.53f(-1)十f(1)10,故5≤f(-2)≤10. 答案：[5,10] 第4节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)大于(2)判别式(3)△≥0(4)公共点情形 2.{xx<x1,或x>x2} {≠一会}Rz<<a 思考辨析(1)√(2)√(3)X(4)×(5)√ 小题查验 1.D2.D3.C4.(1,3)5.(-1,3) 跃升·关键能力考点一 解：(1)由△=9一16=一7<0，故不等式的解集为☑. (2)原不等式等价于3x+2x-8≥0台(x+2)(3x-4)≥ 0曰x≤-2或x≥3 故不等式的解集为{≤-，或≥号} (3)原不等式可化为(x一1)(ax-1)0, ∴.①当a=0时，可解得x>1, ②当a>0时，不等式可化为(x-1)(x-）<0, .当a=1时，不等式可化为(x-1)<0,解集为心： 当0<a<1时，>1，不等式的解案为{1<<日}： 当>1助<1，不等的解为{<}： a 当a<0时，不等式可化为x-1-日)>0， “不等我的解桑为{>1，或<日} 综上可知，当a<0时， 不等式的解集为{>1，或<日}： 当a=0时，解集为{x|x>1: 当0<a<1时，不等式的解集为{1<<日}： 当a=1时，不等式的解集为心； 当a>1时，不等式的解集为{红日<x<} 考点二 1.D[2x+k红-各<0对-切实数x都成立， 因2kx2+kx-8 <0是一元二次不等式，所以k0. 2k<0, 则必有 {4=-4x2×(音)0. 解得一3<k<0.] 2.解析：要使f(x)<-m十5在[1,3]上恒成立， 则m.x2-m.x+m-6<0, 即n-号）+是m-60在z1上板我立 3 ·3 有以下两种方法： 法-令8=a-）+子m-661. 当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以g(x)m*=g(3)=7-6<0. 所以m<号，则0<m<号 当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以g(x)max=g(1)=m-6<0. 所以m<6,所以m<0. 综上所速，m的取值范国是{m0<m<号，或m0} 法：为-+1=（-)广+>0… 11 又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<x-x+ 6 因为函数y=一x十1 6 6，。在[13]上的 1 2 3 (-）+ 最小值为号，所以只需m<号即可 因为m≠0，所以m的取值范围是 {al0<m<号成n<0} 答案：{n0<m<号，或m<0} 3.C[把不等式的左端看成关于a的一次函数， 记f(a)=(x-2)a十x2-4x+4, 则由f(a)>0对于任意的a∈[一1，l]恒成立， 所以f(-1)=x2-5x+6>0, 且f(1)=x-3x十2>0即可， 解不等式组-5x十6>0得<1或>3.] {x2-3.x+2>0, 考点三 [典例][解析](1)由题意得y=[12(1+0.75x) 10(1+x)]×10000X(1+0.6x)(0<x<1), 整理得y=一6000x2十2000x十20000(0x1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须 有二12-10)X10000>0, 10<x<1, 即500t+200x>0·解得0<x<3, 10x<1, 所以授入成本增知的此例应在(0，号)范固内。 跟踪训练 解：(1)降低税率后的税率为(10一x)%, 农产品的收购量为a(1十2x%)万担， 收购总金额为200a(1十2x%)万元. 依题意得y=200a(1十2x%)(10一x)% =50a100+2.x)(10-x)(0<x<10). (2)原计划税收为200a·10%=20a(万元). 徐题意得动a100+2)10-z)≥20aX83.2%. 化简得x2+40x一84≤0，解得-42≤x≤2. 又0<x<10,.0x2. ∴x的取值范围为(0,2 第5节 夯实·必备知识必备知识 1.(2)a=6(3)bab2.1)x=y2D 2 (2)x=y 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)×(5)/ 小题查验 1.C2.B3.C4.45.4 1 00艺考生文化课百日冲关·数学 第4节一元二次不等式及其解法 课程标准 核心素养 考情聚焦 一元二次不等式、分式不等 1.一元二次不等式的解法，达 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不 式的解法，及一元二次不等式的恒 成直观想象和数学运算 等式的过程，了解一元二次不等式的现 成立问题是高考的热点，常常与集 素养 实意义 合运算、函数定义域求解、用导数 2.与一元二次不等式有关的 2.能借助一元二次函数求解一元二次不 求单调区间等问题结合考查.题型 恒成立问题，提升直观想象 等式，并能用集合表示一元二次不等式 多样，选择题或填空题考查解法及 和数学运算素养. 的解集 恒成立问题，难度不大，属于低中 3.一元二次不等式的实际应 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二 档题型，解答题与导数结合，考查 用，增强数学建模和数学运 次不等式与相应函数、方程的联系 函数的单调性，难度中等及以上， 算素养 属于中高档题 夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 重要结论 简单的分式不等式与一元二次不等 1.一元二次不等式的解法 式的等价关系 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 零的不等式a.x2+b.x+c>0(a>0)或 1. x->0等价于(x-a)(x-b)>0. x-b a.x2+b.x+c<0(a>0). 2. x-a<0等价于(x-a)(x-b)<0. (2)计算相应的 x-b (3)当 时，求出相应的一元二次方程的根。 I一≥0等价于 3. x-a)(x-b)≥0， x-b (4)利用二次函数的图象与x轴的 确定一 x-b≠0. 元二次不等式的解集 x-a 1(x-a)(x-b)≤0， 4. 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次 x一b ≤0等价于 x-b≠0. 方程的关系 [自主诊断] 判别式 [思考辨析] △>0 △=0 △<0 △=b2-4ac 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 二次函数 里打“/”，错误的打“X” y=ax2+bx+c (1)若不等式a.x2十bx十c<0的解集为(x1,x2), (a>0)的图象 02 0 则必有a>0. () (2)若不等式a.x2+bx+c>0的解集是(-∞， 一元二次方程 有两相异 有两相等 实根x1= 没有实 x1)U(x2,十o∞)，则方程ax2+bx十c=0的两个 ax2+bx+c= 实根x1,x2 b 数根 根是x1和x2 () 0(a>0)的根 (（x<x2) x2= 2a (3)若方程a.x2+b.x十c=0(a≠0)没有实数根， ax2+bx+c 则不等式a.x2+bx十c>0的解集为R.() 0(a>0)的 (4)不等式ax2+bx十c≤0在R上恒成立的条件 解集 是a<0且△=b2-4ac≤0 (5)若二次函数y=a.x2+bx+c的图象开口向 ax2+bx+c<0 下，则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是 (a>0)的解集 空集 ( ·10 上篇：第一章集合、常用逻辑用语、不等式 [小题查验] 3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在 [0,+∞)上单调递减，且f(3)=0,则不等式 1.函数f(x)= 1 1n(-x2+4x-3) 的定义域是 (2x一5)f(x一1)<0的解集为 ( ) A.(-,-2U(4 B.(4,+∞) A.(-∞，1)U(3,+∞) B.(1,3) C.(-∞，2)U(2,+∞) D.(1,2)U(2,3) (-2)U4+∞) D.(-o∞，-2) 2.不等式2一2 ( ) 4.(2025·上海卷)不等式二<0的解集为 x+1 0的解集是 x一3 A.(-∞，-1)U(-1,2] B.[-1,2] 5.(2024·上海卷)不等式x2-2x一3<0的解集为 C.(-∞，-1)U[2,+∞) D.(-1,2] 加跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一 一元二次不等式的解法（自主练透） [题组集训] /题后反思/ 解关于x的不等式： 1.解一元二次不等式的一般步骤 (1)x2+3x+4<0; (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标 (2)-3x2-2x+8≤0； 准形式. (3)a.x2-(a+1)x+1<0. (2)判：计算对应方程的判别式， (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据 判别式说明方程有设有实根. (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不 等式的解集 2.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的 依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于 0,还是大于0，然后将不等式转化为一次不 等式或二次项系数为正的形式 (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨 论判别式△与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根 时，要讨论两个根的大小关系，从而确定解集 形式. 提醒：当不等式中二次项的系数含有参数 时，不要忘记讨论其等于0的情况. 考点二与一元二次不等式有关的恒成立问题（多维探究） 核心素养 [命题角度1]在实数R上的恒成立 直观想象一一元二次不等式恒成立问题中的核心素养 1若一元二次不等式22十x一号<0对一切实 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事 数x都成立，则k的取值范围为 () 物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过 A.(-3,0] B.[-3,0) 程.解决一元二次不等式的恒成立问题，常常将一元 C.[-3,0] D.(-3,0) 二次不等式与一元二次方程、二次函数联系在一起， [命题角度2]在给定区间上的恒成立问题 做到相互转化，借助于二次函数的图象—抛物线进 2.设函数f(x)=m.x2-m.x-1(m≠0)，若对于x∈ 行求解. [1,3],f(x)<一m十5恒成立，则m的取值范围 是 11 艺考生文化课百日冲关·数学 [破题关键点]函数f(.x)<-m+5在[1,3]上 A.(-∞，2)U(3,+∞) 恒成立.即（一）广+m-5<0在1， B.(-∞，1)U(2,+o∞) C.(-∞，1)U(3,+∞) 上恒成立，方法一：物造函数g(x)=m(一)》 D.(1,3) m-6,x∈[1,3]，分m>0与m<0两种情况 +3 规律总结/ 恒成立问题求解思路 判断g(x)在[1,3]上的单调性，由g(x)max<0求 (1)由一元二次不等式在R上恒成立确定参数 出m的取值范围； 方法：曲于-+1=（一+>0，所 的范围时，结合一元二次方程，利用判别式 来求解 以将参数m分离出来，即m< 6 (2)由一元二次不等式在x∈[a,b]上恒成立确 x2-x十1 定参数范围时，要根据函数的单调性，求其 6 转化为求函数y= x2-x+1 在[1,3]上的最 最小值，让最小值≥0，从而求参数的范围. 小值. (3)由一元二次不等式对于参数m∈[a,b]恒成 [命题角度3]给定参数范围的恒成立问题 立确定x的范围，要注意变换主元，一般地， 3.已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0 知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围， 恒成立，则x的取值范围为 ( 谁就是参数 考点三一元二次不等式的实际应用（师生共研） [典例]某汽车制造厂上年度生产汽车的投入成 规律总结引 求解不等式应用题的四个步骤 本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售 第1步 阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量， 量为10000辆.本年度为适应市场需求，计划提 找准不等关系 高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入 第2步 引出数学符号，将文字信息转化为符号语言，用 成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应 不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 地提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的 第3步 解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中 比例为0.6x,已知年利润=（出厂价一投入成 自变量的实际意义 本)X年销售量. 第4步 回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的 (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加 结果 的比例x的关系式； [跟踪训练 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并且每 (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则 100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）， 投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收 [思维导引](1)由年利润=（出厂价一投入成 购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百 分点，预测收购量可增加2x个百分点. 本)×年销售量，建立年利润y与投入成本增加的 (1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关 比例x的关系式；(2)由本年度的年利润比上年度 系式； 有所增加，建立关于投入成本增加的比例x的不等 (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划 税收的83.2%，试确定x的取值范围. 式组，求x的取值范围. [尝试解答] C温攀提 学习至此，请完成配套训练课时冲关四 ·12