第1章 第3节 不等关系与不等式-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

上篇：第一章集合、常用逻辑用语、不等式 第3节 不等关系与不等式 课程标准 核心素养 考情聚焦 不等关系、不等式的性质 1.了解现实世界和日常生1.用不等式（组）表示不等关系，达成数学建模 及应用是高考的热点，高考中 活中的不等关系 素养 常以不等式、不等关系为载体 2.了解不等式（组）的实际2.比较两个数（式）的大小，发展逻辑推理和数 考查充要条件问题，有时以新 背景。 学运算素养， 概念（定义）比较两个数的大 3.掌握不等式的性质及3.不等式的性质及应用，提升逻辑推理和数学 小，多以选择题为主，题目难 应用 运算素养 度不会太大 口夯实|必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 续表 1.两个实数比较大小的方法 同向同正 a>b>0 「a-b>0台a b, 可乘性 c>d>0 (1)作差法{a-b=0台a=b, a-b<0台ab: a>b>0→ 可乘方性 a,b同为正数 >1=a b(a∈R,b>0), (n∈N,n≥2) b (2)作商法g=1台a=b(a∈R,b>0), b a>b>0→a>b 可开方性 a,b同为正数 (n∈N,n≥2) <lea b(a∈R,b>0)」 b 2.不等式的性质 重要结论 不等式的一些常用性质 1.倒数性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>e 1)a>b,ab>0→a<方.】 传递性 a>b,b>c→ (2)a<0<b→1<1 (3)0<a<x<b或a<x<b<0→ 11<1 可加性 a>b台 2.有关分数的性质 a=by 若a>b>0,m>0,则 c>0 可乘性 c的符号 (1)真分数的性质 a>b c<of 6b+m,bbm (b-m>0). aa+m'a a-m (2)假分数的性质 同向可 a>b 加性 a>a+m,4<a-m(b-m>0. c>d bb+m'b 6-m 艺考生文化课百日冲关·数学 [自主诊断] A.v<40 km/h B.v>40 km/h [思考辨析] C.v≠40km/h D.v≤40km/h 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 里打“”，错误的打“X”. (1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个 3(2025·全国二卷)不等式二>2的解集是 数，不等号方向不变 ( ( (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小. A.{x|-2≤x≤1} B.{x|x≤-2} ( (3)同向不等式具有可加和可乘性. ( C.{xl-2≤x<1} D.xlx>1) (4)a>b>0,c>d>0→g>b」 ( 4.用不等号“>”或“<”填空 (5)若ab>0,则a>b=1<1 (1)a>b,c<d→a-c b-d; a b (2)a>b>0,c<d<0→ac bd; [小题查验] 1.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关 (3)a>b>0→a 6; 系是 ( A.MN B.M=N (4)a>b6>091 62 C.M<N D.与x有关 2.限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶 5.已知a>b>0,且c>d>0,则 层与，的大小 时，应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不 等式就是 ) 关系是 跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一 用不等式（组）表示不等关系（自主练透） [题组集训] (2)解题策略 1.已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表： ①分析题目中有哪些未知量； ②选择其中起关键作用的未知量，设为x, 食物种类 甲 乙 再用x来表示其他未知量； 维生素A(单位/kg) 600 700 ③根据题目中的不等关系列出不等式（组）. 维生素B(单位/kg) 800 400 提醒：①在列不等式（组）时要注意变量自身 设用甲、乙两种食物各xkg,ykg配成至多 的范围，解题时极易忽略，从而导致错解， 100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有 56000单位维生素A和62000单位维生素B,则 ②将实际问题中的不等关系写成相应的不等 x,y应满足的所有不等关系为 式（组）时，应注意关键性的文字语言与对应 2.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件 数学符号语言之间的正确转换，常见的转换 10元销售，每天可销售100件.现在他采用提高 售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商 关系如下表： 品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件 若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天 大于， 小于， 大于等 小于等 文字 的利润不低于300元的不等关系为 高于， 低于， 于，至少， 于，至多， 语言 /题后反思/ 超过 少于 不低于 不超过 用不等式（组）表示不等关系的常见类型及解题策略 (1)常见类型 ①常量与常量之间的不等关系； 符号 ②变量与常量之间的不等关系； 语言 ③函数与函数之间的不等关系； ④一组变量之间的不等关系. 8 上篇：第一章集合、常用逻辑用语、不等式 考点二比较两个数（式）的大小（师生共研） [典例](1)已知a1,a2∈(0,1)，记M=a1a2,N= 方法指导引 a1十a2一l,则M与N的大小关系是 比较两个数大小的常用方法 A.M<N B.M>N C.M=N D.不确定 (1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符 (2)记知a≠1且aER,试比较亡。与1+a的 号、得出结论，用作差法比较大小的关键是判 断差的正负，常采用配方、因式分解、分子（分 大小 母)有理化等变形方法. [尝试解答] (1) (2) (2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论，要 特别注意当商与1的大小确定后必须对商 式分子分母的正负做出判断，这是用作商法 比较大小时最容易漏掉的关键步骤， [互动探究] (3)特值验证法：对于一些题目，有的给出取值 若将本例(1)中a1,a2∈(0,1)这个条件去掉，又 将如何判断M,N的关系？ 范围，可采用特值验证法比较大小， [跟踪训练 已知实数a、b、c,满足b+c=6-4a十3a2,c-b= 4-4a+a2,则a、b、c的大小关系是 A.c≥b>a B.a>c≥b C.c>b>a D.a>c>b 考点三不等式的性质及应用（多维探究） 核心素养 [命题角度2]求某些代数式的取值范围 逻辑推理—不等式的性质及应用中的核心素养 3.设f(x)=a.x2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4， 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重 则f(一2)的取值范围是 要方式，是数学严谨性的基本保证，是人们在数学 [破题关键点]一是将f(一2)用f(一1)和f(1) 活动中进行交流的基本思维品质.应用不等式的性 质可以判断或证明不等式是否成立，进一步增强逻 表示出来；二是求f(-2)=4a一2b在 辑推理的核心素养 1≤f(-1)≤2， 1≤a-b≤2 即在 条件下的 [命题角度1]判断或证明不等式是否成立 2≤f(1)≤4， 2≤a+b≤4 1.若2a+log2a=4+2log4b,则 最值 A.a>26 B.a<2b C.ab2 D.a<b2 /题后反思/ 2.若a>b,则 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围 A.In(a-b)>0 B.34<36 应注意两点：一是必须严格运用不等式的性 C.a3-b3>0 D.lal>b /题后反思/ 质；二是在多次运用不等式的性质时有可能 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判 扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建 断或反例说明.常用的推理判断需要利用不 立所求范围的整体与已知范围的整体的等量 等式的性质. 关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求 (2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把 要判断的命题和不等式性质联系起来考虑， 解范围. 找到与命题相近的性质，并应用性质判断命 题真假，当然判断的同时还要用到其他知 C温馨提正 学习至此，请完成配套训练课时冲关三 识，比如对数函数，指数函数的性质等， 9②若-a=-2,即a=2,则q:(x+2)(x十a)<0无解，不 符合题意； ③若-a<-2,即a>2,则q:(x+2)(x十a)<0等价于 一a<x<-2,不符合题意. 综上，可得a的取值范围为（一co,一4）.门 考点二 1.D[A显然正确：由指数函数的性质知2-1>0恒成立， 所以B正确；当0<x10时，1gx<1,所以C正确：因为 sinx+cosx=Esin(e+圣） 所以一√2sinx十cos x2,所以D错误.门 2.C因为a>0,所以函数f)=a2+b+c在x三名处 取得最小值.所以f(m)是函数f(x)的最小值，] 3.B[对子选项A,sinx+cosz=V2sin(+)<反，所 以此命题不成立；对于选项B,x2-2x-1=(x-1)2-2, 当x>3时，(x一1)-2>0，所以此命题成立；对于选项 C+中1=(+号）广+是>0，所以r+=-1对径意 1 2 实数x都不成立，所以此命题不成立；对于选项D,当 x∈（x）时，tanx<0,sinx>0,命题里然不成立.] 4.D「根据存在量词命题的否定，存在量词改为全称量 词，同时把小于等于号改为大于号.] 5.C[命题p:所有指数函数都是单调函数，则一p:存在 一个指数函数，它不是单调函数.门 6.C[因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以一p: “任意x∈[1，十∞)，使得(log3)≤1”.] 7.A[依题意可得f(-1)·f(1)<0,即(-2a-a+3)· (2a一a十3)<0，解得a<一3或a>1.] 8.解析：“对Hx∈R,kx-k.x一1<0”是真命题，当k=0时，则 有一10：当≠0时，则有k<0且△=（一k)2一4×k×(一1） =k2十4k<0,解得一4<k<0,综上所述，实数k的取值 范围是（一4,0们. 答案：(-4,0] 9.解析：当x1∈[0,3]时，f(.x1)mim=f(0)=0, 当x:∈[1,2]时g（m=g2)=子-m 由f（x1)min≥g(x2）min, 得0产-，所以m≥子 故实数m的取值范国是[片，十） 答案：[+o) 引申探究 解析：当x∈[1,2]时，g(x2)x=g(1)= -m 由f）m≥g()得0≥子-mm≥子 故实数m的取值范国是合，十∞） 答案+∞） 跟踪训练 B[原命题的否定为Vx∈R,2x2+(a一1)x十- >0. 由题意知，其为真命题，即4=(a-1-4X2×7<0: 则-2a-1<2,即-1<a<3.] 第3节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)>(2)><2.baa>ca+c>b+c ac>bc ac<be a+c>b+d ac>bd a"b" ·29 参考答案 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)/(5)/ 小题查验 1.A2.D3.C4.(1)>(2)<(3)>(4) b 跃升·关键能力 考点一 「x十y100, 600.x+700y≥56000， 1.解析：依题意，有{800x+400y≥62000， x≥0， y≥0， x+y≤100. 整理化简得 6x+7y≥560， 2x+y≥155， x≥0，y≥0. x+y100 答案： 6x+7y≥560 2.x+y≥155 x≥0，y≥0 2.解析：若提价后商品的售价为x元，则销售量减少工10 1 ×10件，因此，每天的利润为(x一8)[100一10(x一10)] 元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(z -8)[100-10(x-10)]≥300.即x2-28.x+190≤0，同 时10≤x20. 答案：x2一28.x+1900(10x20) 考点二 [典例][解析](1)B[因为M-N=a1a2-a1一a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1), 又a1,a2∈(0,1)，所以a1-1<0,a2-1<0, 所以(a1-1)(a-1)>0,所以M>N.] (2)[解] 。1+a= 1=1+a. =0…1- ①当a=0时1-a 2701-a ②当a<1,且a≠0时1-a 1>1+a. @当a>l时已。<0亡。<1+a 1-a 互动探究 解：作差，即M-N=(a1-1)(a2-1). ①当a1a2∈(-∞，1)时，(a1-1)(a2-1)>0, 即M>N; ②当a1a2∈(1，+o∞)时，(a1-1)(a2-1)>0, 即M>N; ③当a1,a2中一个小于或等于1，另一个大于或等于1 时，(a1-1)(a2-1)≤0，即M≤N. 综上，当a1,a2∈(-∞，1)或a1,a∈(1，+∞)时，M> N,当a1a2中一个小于或等于1，另一个大于或等于1 时，M≤N. 跟踪训练 A[,c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0，∴.c≥b. (b+c)-(c-b)=2a2+2,.b=a2+1, .b一a=a一a十1>0，.b>a.综上可知，a、b、c的大小 关系是cb>a.] 考点三 1.B[由指数与对数运算可得：2+loga=4+2log:b= 2%+log2b,又因为26+l0gb<26+log2b+1=26+ log22b,即2°+log2a<2+log22b,令f(x)=2+logx, 由指数函数，对数函数单调性可得f(x)在(0，十∞)上单 调递增，由f(a)<f(2b),可得a<2b.] 2.C[若a>b,则a3>b,即a-b3>0.] 3.解析：法一：设f(-2)=mf(-1)十nf(1)(m,n为待定 系数)，则4a一2b=m(a-b)+n(a十b), 即4a-2b=(m+n)a十(n-m)b. 9 艺考生文化课百日冲关·数学 手是得+42得 n=1 .f(-2)=3f(-1)+f(1). 又：1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4， .5≤3f(-1)+f(1)10,故5≤f(-2)≤10. 法二：由01)=a-6 {f(1)=a+b, ∫a=号-1D+f 得 6=2f)--1] .f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). 又：1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴.53f(-1)十f(1)10,故5≤f(-2)≤10. 答案：[5,10] 第4节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)大于(2)判别式(3)△≥0(4)公共点情形 2.{xx<x1,或x>x2} {≠一会}Rz<<a 思考辨析(1)√(2)√(3)X(4)×(5)√ 小题查验 1.D2.D3.C4.(1,3)5.(-1,3) 跃升·关键能力考点一 解：(1)由△=9一16=一7<0，故不等式的解集为☑. (2)原不等式等价于3x+2x-8≥0台(x+2)(3x-4)≥ 0曰x≤-2或x≥3 故不等式的解集为{≤-，或≥号} (3)原不等式可化为(x一1)(ax-1)0, ∴.①当a=0时，可解得x>1, ②当a>0时，不等式可化为(x-1)(x-）<0, .当a=1时，不等式可化为(x-1)<0,解集为心： 当0<a<1时，>1，不等式的解案为{1<<日}： 当>1助<1，不等的解为{<}： a 当a<0时，不等式可化为x-1-日)>0， “不等我的解桑为{>1，或<日} 综上可知，当a<0时， 不等式的解集为{>1，或<日}： 当a=0时，解集为{x|x>1: 当0<a<1时，不等式的解集为{1<<日}： 当a=1时，不等式的解集为心； 当a>1时，不等式的解集为{红日<x<} 考点二 1.D[2x+k红-各<0对-切实数x都成立， 因2kx2+kx-8 <0是一元二次不等式，所以k0. 2k<0, 则必有 {4=-4x2×(音)0. 解得一3<k<0.] 2.解析：要使f(x)<-m十5在[1,3]上恒成立， 则m.x2-m.x+m-6<0, 即n-号）+是m-60在z1上板我立 3 ·3 有以下两种方法： 法-令8=a-）+子m-661. 当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数， 所以g(x)m*=g(3)=7-6<0. 所以m<号，则0<m<号 当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以g(x)max=g(1)=m-6<0. 所以m<6,所以m<0. 综上所速，m的取值范国是{m0<m<号，或m0} 法：为-+1=（-)广+>0… 11 又因为m(x2-x+1)-6<0,所以m<x-x+ 6 因为函数y=一x十1 6 6，。在[13]上的 1 2 3 (-）+ 最小值为号，所以只需m<号即可 因为m≠0，所以m的取值范围是 {al0<m<号成n<0} 答案：{n0<m<号，或m<0} 3.C[把不等式的左端看成关于a的一次函数， 记f(a)=(x-2)a十x2-4x+4, 则由f(a)>0对于任意的a∈[一1，l]恒成立， 所以f(-1)=x2-5x+6>0, 且f(1)=x-3x十2>0即可， 解不等式组-5x十6>0得<1或>3.] {x2-3.x+2>0, 考点三 [典例][解析](1)由题意得y=[12(1+0.75x) 10(1+x)]×10000X(1+0.6x)(0<x<1), 整理得y=一6000x2十2000x十20000(0x1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须 有二12-10)X10000>0, 10<x<1, 即500t+200x>0·解得0<x<3, 10x<1, 所以授入成本增知的此例应在(0，号)范固内。 跟踪训练 解：(1)降低税率后的税率为(10一x)%, 农产品的收购量为a(1十2x%)万担， 收购总金额为200a(1十2x%)万元. 依题意得y=200a(1十2x%)(10一x)% =50a100+2.x)(10-x)(0<x<10). (2)原计划税收为200a·10%=20a(万元). 徐题意得动a100+2)10-z)≥20aX83.2%. 化简得x2+40x一84≤0，解得-42≤x≤2. 又0<x<10,.0x2. ∴x的取值范围为(0,2 第5节 夯实·必备知识必备知识 1.(2)a=6(3)bab2.1)x=y2D 2 (2)x=y 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)×(5)/ 小题查验 1.C2.B3.C4.45.4 1 00