第1章 第2节 充分条件与必要条件、量词-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

艺考生文化课百日冲关·数学 第2节 充分条件与必要条件、量词 课程标准 核心素养 考情聚焦 充要条件的判断、全称量词 1.通过对典型数学命题的梳理，理解必1.充分、必要条件的判断与应 命题、存在量词命题的真假判断以 要条件、充分条件与充要条件的 用，提升数学抽象和逻辑推 及对含有一个量词的命题进行否 意义. 理的素养 定是高考的热点，多以选择题或填 2.通过已知的数学实例，理解全称量词2.全称量词命题、存在量词命题 空题的形式出现，一般难度不会太 与存在量词的意义. 的真假判断，达成直观想象和 大，属中低档题型，常和函数、不等 3.能正确使用存在量词对全称量词命 逻辑推理的素养 式及立体几何中直线、平面的位置 题进行否定，能正确使用全称量词对3.含有一个量词的命题的否定， 关系等有关知识相结合，考查考生 存在量词命题进行否定 形成和发展数学抽象的素养 的逻辑推理等能力 口夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] [自主诊断] 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 [思考辨析 p是q的 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 q是p的 p→q 里打“√”，错误的打“×” (1)若p是q成立的充分条件，则q是力成立的 p是q的 条件 p→q且qp 必要条件. ( ) p是q的 条件 pq且q→p (2)若p是q成立的充要条件，则可记为p一q. ( p是q的 条件 台q (3)存在一个集合，它里面没有任何元素.( p是q的 (4)“对顶角相等”是全称量词命题. ( 条件 p书q且qPp [小题查验] 2.全称量词和存在量词 1.(2024·新课标卷)已知命题p:Hx∈R,x+1> (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑 1,命题q:了x>0,x3=x,则 中通常叫做全称量词，用符号“ ”表示。 A.力和g都是真命题 (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在 B.一p和q都是真命题 逻辑中通常叫做存在量词，用符号“ ”表示. C.力和一g都是真命题 3.全称量词命题、存在量词命题及含一个量词的命 D.p和g都是真命题 题的否定 2.(2025·北京卷)已知函数f(x)的定义域为D, 命题 命题 则“函数f(x)的值域为R”是“对任意M∈R,存 名称 语言表示 符号表示 的否定 在xo∈D,使得|f(xo)川>M”的 A.充分不必要条件 对M中任意一 全称量 B.必要不充分条件 词命题 个x,有(x)成 C.充分必要条件 立 D.既不充分也不必要条件 存在量 存在M中的 3.已知命题p:x∈[-1,1]，x2>a,则p为 词命题 一个元素x, 使p(x)成立 4.“x-3=0”是“(x-3)(x-4)=0”的 条 件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不 重要结论 若p是q的充分（必要）条件，q是r 充分也不必要”) 的充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件，即 5.命题p的否定是“对所有正数x,√x>x十1”，则 “p→q且g→r”→“p2r”(“pg且gr”→“pr”) 命题p可写为 上篇：第一章集合、常用逻辑用语、不等式 跃升|关键能力 层级突破素养提升 考点一充分、必要条件的判断与应用（多维探究） [命题角度]充分、必要条件的判定 核心素养 1.(2026·天津卷)设x∈R,则“x>0”是“x2十3x> 逻辑推理一充分、必要条件关系中的核心素养 0”的 充分、必要条件问题中常涉及参数取值（范围） A.充分不必要条件 问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复 B.必要不充分条件 杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充 C.充分必要条件 分体现“逻辑推理”的核心素养.具体见下表： D.既不充分也不必要条件 信息提取 信息解读 逻辑推理 2.设x∈R,则T-3<0”是“1x-1<1"的( p对应集合 着眼点一：若p是 x+1 p:-2≤x {x|-2≤x≤ A.充分而不必要条件 ≤10，q:(x q成立的充分不必 10},g对应集 -a）(x-a 要条件，则{x|-2 B.必要而不充分条件 合{xlx>a+ -1)>0 ≤x≤10}手{x|x> C.充要条件 1,或x<a} a十1，或x<a}. D.既不充分也不必要条件 着眼点二：借助于 {x|-2≤x≤ 3.“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 p是q成立 数轴将集合间的基 的充分不必 10}{x|x> 本关系转化为关于 A.充分不必要条件 要条件 a+1,或x<a} 实数a的不等式组 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 [尝试解答 D.既不充分也不必要条件 [互动探究] 方法指导/ 本例中，若p:-2<x<10,q:(x一a)(x一a一1) 命题的充分、必要条件的判断方法 ≥0，其他条件不变，则a的取值范围是 (1)定义法：直接判断若p则g、若g则p的 /规律总结/ 真假. (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件 (2)等价法：利用A→B与B→A,B→A与A 或充要条件转化为集合之间的关系，然后根 据集合之间的关系列出关于参数的不等式 →7B,A台B与7B台A的等价关系，对于 求解。 条件或结论是否定式的命题，一般运用等 (2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若 价法 一是q的充分不必要（必要不充分、充 (3)利用集合间的包含关系判断：若A二B,则 要)条件，则卫是q的必要不充分（充分不必 A是B的充分条件或B是A的必要条件： 要、充要)条件 若A=B,则A是B的充要条件， [跟踪训练] [命题角度2]利用充要条件求参数的取值（范围） 已知p:号<2<16，g:(x+2(x+a<0,若力是g [典例]已知p:一2≤x≤10，q:(x-a)(x-a-1)>0, 的充分不必要条件，则a的取值范围为 ( 若p是q成立的充分不必要条件，则实数a的取 A.[-4,+o∞) B.(-o∞，-4) 值范围是 C.(-∞，-4] D.(4,+∞) ·5· 艺考生文化课百日冲关·数学 考点二全称量词命题、存在量词命题 [命题角度1]全称量词命题、存在量词命题的真 6.已知命题p:“存在x∈[1，十∞)，使得(1og23) 假判断（自主练透） >1”,则下列说法正确的是 1.下列命题中，是假命题的是 A.7p:“任意x∈[1，十∞)，使得(l0g23)r<1” A.Hx∈R,x2≥0 B.7p:“不存在x∈[1，十∞)，使得(og23)r<1” B.Hx∈R,2x-1>0 C.p:“任意x∈[1，+∞)，使得(10g23)r≤1” C.3x∈R,lgx<1 D.7p:“任意x∈(-∞，1)，使得(10g23)r≤1” D.]x∈R,sinx十cosx=2 2.已知a>0,函数f(x)=ax2十bx十c,若m满足 /技巧点拨/ 关于x的方程2a.x+b=0,则下列选项中的命题 全称量词命题与存在量词命题的否定与命题的 为假命题的是 否定有一定的区别，否定全称量词命题和存在量 A.3x∈R,f(x)≤f(m) 词命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在 B.3x∈R,f(x)≥f(m) 量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结 C.Hx∈R,f(x)≤f(m) 论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可. D.Hx∈R,f(x)≥f(m) 提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐 3.下列命题中，是真命题的是 含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命 A.3ze[0,]sinz+cos≥2 题的否定 B.Hx∈(3，+o∞)，x2>2x+1 [命题角度3]参数的取值范围问题（师生共研） C.3x∈R,x2+x=-1 7.已知函数f(x)=2ax-a十3，若3x∈(-1,1)，使得 D.yxe(经x小amx>sinx f(x)=0,则实数a的取值范围是 A.(-∞，-3)U(1,+∞) /题后反思/ B.(-∞，-3) 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 C.(-3,1) D.(1,+∞) 合题名称 真假 判断方法一 判断方法二 8.若命题“对Hx∈R,kx2一kx一1<0”是真命题， 真 所有对象使命题真 否定为假 则实数k的取值范围是 全称量 词命题 假 存在一个对象使命题假 否定为真 9.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)= m,若对 Hx1∈[0,3]，3x2∈[1,2]，使得f(x1)≥ 存在量 真 存在一个对象使命题真 否定为假 g(x2),则实数m的取值范围是 词命题 假 所有对象使命题假 否定为真 [引申探究] 提醒：不管是全称量词命题，还是存在量词命 若将9题中“3x2∈[1,2]”改为“Hx2∈[1,2]”， 题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其 其他条件不变，则实数m的取值范围是 否定的真假， [命题角度2]含有一个量词的命题的否定（自主练透） /思维升华 4.已知命题p:了x∈R,x2+2x十2≤0，则p为 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题， ( A.3x∈R,x2+2x+2>0 可根据命题的含义，利用函数值域（或最值）解决. B.3x∈R,x2+2x+2<0 [跟踪训练】 C.Hx∈R,x2+2x+2≤0 D.Hx∈R,x2+2x+2>0 已知命题“3x∈K,使2x2+(a-1)x+号≤0”是 5.已知命题p:所有指数函数都是单调函数，则p为 假命题，则实数a的取值范围是 ( A.(-0∞，-1) B.(-1,3) A.所有的指数函数都不是单调函数 C.(-3,+∞) D.(-3,1) B.所有的单调函数都不是指数函数 C温馨提 C.存在一个指数函数，它不是单调函数 学习至此，请完成配套训练课时冲关二 D.存在一个单调函数，它不是指数函数艺考生文化课百日冲关·数学 学习讲义 第一章 第1节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)确定性无序性互异性(2)∈庄(4)列举法 描述法图示法2.A二B(或B2A)A=B或B吴A A=B3.A∩Bx∈A,或x∈Bx∈A,且x∈B {xx∈U,且x年A}AA财AU②A 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 小题查验 1.B2.B3.B4.C5.{-1,0} 跃升·关键能力考点一 1.A[x2+y≤3，.x2≤3， x∈Z,.x=-1,0,1, 当x=一1时y=-1,0,1: 当x=0时，y=-1,0,1: 当x=1时，y=一1,0,1； 所以A中的元素共有9个.] 2.C【由题意(x-y)m=xs-（y)m=8-1=7.] 3.解析：由题意知，a十1=一1→a=一2. 答案：一2 4解折：由M=,知{%g” ÷,m-n=-1成0 答案：-1或0 考点二 [典例][解析](1)由题意，得B={-1,1}, 因为A三B,所以当A=时，a=0: 当A={一1}时，a=一1；当A=1}时，a=1. 又A中至多有一个元素， 所以a的取值构成的集合是{一1,0,1}. (2)当B=0时，有m十1≥2m一1，则m2. 当B≠☑时，若B三A,如图. -2m+10 2m-17x 1m+1≥-2 则2m-1≤7 ,解得2<m≤4. m+12m-1 综上，实数m的取值范围为m≤4. 「答案1(1)D(2){m|m4} 互动探究 解析：由题意，得B={xx>1,或x<一1}， 对子集合A.①当a>0时，A={>a} 因为AGB,所以≥1.又a>0,所以0<a≤ @a<0时A={<日} 因为ACB,所以二≤-1， 又a<0,所以一1a0, 综上所述，0<a≤1，或一1a<0. 故a的取值范围是[-1,0)U(0,1]. 答案：-1,0)U(0,1] 跟踪训练 1.B[由x<27,解得x<3,所以A={x∈N|x<27}= {x∈N|x<3}={0,1,2},所以A的子集有2=8个.故 选B.] 2解析：由十0，得-2≤x<2,所以A=z-2≤x 2},则CRA={xx<-2,或x≥2}， 由log2x≥a,得x≥2，又B二CRA,所以2≥2， 解得a≥1.故a的取值范围是1，十). 答案：[1，十∞) ·2 参考答案 考点三 1.A[首先解方程√五=x(需满足x≥0)：x=x→x(x 1)=0→x=0或x=1, 所以B={0,1},A∩B={0,1,3,6,9}∩{0,1}={0,1}.] 2.D[由并集运算，得AUB={1,2,4,6}.] 3.D[CuA={-2,2},B={-2,0,1}, .(CA)UB={-2,0,1,2}.] 4,解析：U={x2≤x≤5}，A={x2≤x<4}, ∴.A={x4x5}. 答案：{x4x5} 5.C[由题意可知x=1是方程x2一4x十m=0的解，代入 解得m=3,所以x2一4x十3=0，解得x=1或x=3,从 而B=1,3.] 6.A[由x2一4x+30,解得1<x3,所以B={x1z <3}.因为AUB=A,所以B二A,如图： A B a 1 所以a≤1，即a的取值范围是(-∞，1].] 第2节 夯实·必备知识必备知识 1.充分条件必要条件充分不必要必要不充分充要 既不充分也不必要2.(1)H(2)33.Vx∈M,p(x) 3x∈M,(x)3x∈M,p(x)Vx∈M,p(x) 思考辨析(1)√(2)√(3)√(4)/ 小题查验 1.B2.A3.x∈[一1,1]，xa4.充分不必要 5.3x∈(0，+∞)，Wx≤x+1 跃升·关键能力考点一 1.A[由x+3x>0知：x<一3或x>0. x>0→x2十3x>0,充分性成立. x2十3x>0有x>0或x<一3，必要性不成立 ∴.x>0是x2十3x>0的充分不必要条件，] 2.B[不等式<0-1<x<3,不等式x-1川<1 -1<x-1<1台0<x<2, 而集合{x|0x<2}是集合{x一1<x<3}的真子集， 所以“0”是x-1”的必要而不充分条件.了 3.B[由a°=b,则a=士b,当a=一b≠0时，a2十b2=2ab 不成立，充分性不成立： 由a十b=2ab,则(a-b)=0,即a=b, 显然a=b成立，必要性成立： 所以“a=b2”是“a十b=2ab”的必要不充分条件.] L典例][解析]由(x一a)(x一a一1)>0，得x>a十1或x< a,由题意，得{x一2x10}壬{xx>a十1，或x<a}, 所以a十1<-2或a>10,即a<一3或a10. 所以实数a的取值范围是（一，一3）U(10,十∞). [答案]（一0，-3）U(10,+o) 互动探究 解析：由(x一a)(x一a一1)≥0，得x≥a十1或xa,由 题意得{x一2<x<10}手{xx≥a十1，或xa}.所以a 十1≤一2，或a≥10，即a一3，或a≥10.所以a的取值 范围是（一co,一3]U[10,十co). 答案：（一0，-3]U[10,+o) 跟踪训练 B[由<2<16，得-2<<4. 即p:一2<x<4. 方程(x十2)(x十a)=0的两个根分别为一a,-2. ①若-a>-2,即a<2,则条件q:(x十2)(x十a)<0等 价于一2<x<一a,由p是g的充分不必要条件可得一a >4,则a<一4： ②若-a=-2,即a=2,则q:(x+2)(x十a)<0无解，不 符合题意； ③若-a<-2,即a>2,则q:(x+2)(x十a)<0等价于 一a<x<-2,不符合题意. 综上，可得a的取值范围为（一co,一4）.门 考点二 1.D[A显然正确：由指数函数的性质知2-1>0恒成立， 所以B正确；当0<x10时，1gx<1,所以C正确：因为 sinx+cosx=Esin(e+圣） 所以一√2sinx十cos x2,所以D错误.门 2.C因为a>0,所以函数f)=a2+b+c在x三名处 取得最小值.所以f(m)是函数f(x)的最小值，] 3.B[对子选项A,sinx+cosz=V2sin(+)<反，所 以此命题不成立；对于选项B,x2-2x-1=(x-1)2-2, 当x>3时，(x一1)-2>0，所以此命题成立；对于选项 C+中1=(+号）广+是>0，所以r+=-1对径意 1 2 实数x都不成立，所以此命题不成立；对于选项D,当 x∈（x）时，tanx<0,sinx>0,命题里然不成立.] 4.D「根据存在量词命题的否定，存在量词改为全称量 词，同时把小于等于号改为大于号.] 5.C[命题p:所有指数函数都是单调函数，则一p:存在 一个指数函数，它不是单调函数.门 6.C[因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以一p: “任意x∈[1，十∞)，使得(log3)≤1”.] 7.A[依题意可得f(-1)·f(1)<0,即(-2a-a+3)· (2a一a十3)<0，解得a<一3或a>1.] 8.解析：“对Hx∈R,kx-k.x一1<0”是真命题，当k=0时，则 有一10：当≠0时，则有k<0且△=（一k)2一4×k×(一1） =k2十4k<0,解得一4<k<0,综上所述，实数k的取值 范围是（一4,0们. 答案：(-4,0] 9.解析：当x1∈[0,3]时，f(.x1)mim=f(0)=0, 当x:∈[1,2]时g（m=g2)=子-m 由f（x1)min≥g(x2）min, 得0产-，所以m≥子 故实数m的取值范国是[片，十） 答案：[+o) 引申探究 解析：当x∈[1,2]时，g(x2)x=g(1)= -m 由f）m≥g()得0≥子-mm≥子 故实数m的取值范国是合，十∞） 答案+∞） 跟踪训练 B[原命题的否定为Vx∈R,2x2+(a一1)x十- >0. 由题意知，其为真命题，即4=(a-1-4X2×7<0: 则-2a-1<2,即-1<a<3.] 第3节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)>(2)><2.baa>ca+c>b+c ac>bc ac<be a+c>b+d ac>bd a"b" ·29 参考答案 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)/(5)/ 小题查验 1.A2.D3.C4.(1)>(2)<(3)>(4) b 跃升·关键能力 考点一 「x十y100, 600.x+700y≥56000， 1.解析：依题意，有{800x+400y≥62000， x≥0， y≥0， x+y≤100. 整理化简得 6x+7y≥560， 2x+y≥155， x≥0，y≥0. x+y100 答案： 6x+7y≥560 2.x+y≥155 x≥0，y≥0 2.解析：若提价后商品的售价为x元，则销售量减少工10 1 ×10件，因此，每天的利润为(x一8)[100一10(x一10)] 元，则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(z -8)[100-10(x-10)]≥300.即x2-28.x+190≤0，同 时10≤x20. 答案：x2一28.x+1900(10x20) 考点二 [典例][解析](1)B[因为M-N=a1a2-a1一a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1), 又a1,a2∈(0,1)，所以a1-1<0,a2-1<0, 所以(a1-1)(a-1)>0,所以M>N.] (2)[解] 。1+a= 1=1+a. =0…1- ①当a=0时1-a 2701-a ②当a<1,且a≠0时1-a 1>1+a. @当a>l时已。<0亡。<1+a 1-a 互动探究 解：作差，即M-N=(a1-1)(a2-1). ①当a1a2∈(-∞，1)时，(a1-1)(a2-1)>0, 即M>N; ②当a1a2∈(1，+o∞)时，(a1-1)(a2-1)>0, 即M>N; ③当a1,a2中一个小于或等于1，另一个大于或等于1 时，(a1-1)(a2-1)≤0，即M≤N. 综上，当a1,a2∈(-∞，1)或a1,a∈(1，+∞)时，M> N,当a1a2中一个小于或等于1，另一个大于或等于1 时，M≤N. 跟踪训练 A[,c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0，∴.c≥b. (b+c)-(c-b)=2a2+2,.b=a2+1, .b一a=a一a十1>0，.b>a.综上可知，a、b、c的大小 关系是cb>a.] 考点三 1.B[由指数与对数运算可得：2+loga=4+2log:b= 2%+log2b,又因为26+l0gb<26+log2b+1=26+ log22b,即2°+log2a<2+log22b,令f(x)=2+logx, 由指数函数，对数函数单调性可得f(x)在(0，十∞)上单 调递增，由f(a)<f(2b),可得a<2b.] 2.C[若a>b,则a3>b,即a-b3>0.] 3.解析：法一：设f(-2)=mf(-1)十nf(1)(m,n为待定 系数)，则4a一2b=m(a-b)+n(a十b), 即4a-2b=(m+n)a十(n-m)b. 9