第1章 第1节 集合-【创新教程】2027年高考数学艺考生文化课百日冲关学生用书

[上篇]知识必备一遍通 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 第1节集合 课程标准 核心素养 考情聚焦 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的从属1.集合的基本概念， 集合的概念及运算的考 关系 形成直观想象和查以集合的运算为主，其中 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上， 提升数学运算的交、并、补集的运算以及两集 用符号语言刻画集合 素养 合包含关系的考查是高考的 3.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 2.集合间的基本关热点：多以选择题或填空题 4.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合 系，提升逻辑推理的形式出现，一般难度不大， 的子集. 和数学运算属低档题型，通常与函数、方 5.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合 的素养. 程、不等式等知识结合，也常 的并集与交集 3.集合的基本运算，出现新情境设置题，考查考 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给 形成直观想象，提生函数与方程、转化与化归、 定子集的补集 升逻辑推理和发数形结合等数学思想的运用 7.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算， 展数学运算的以及对新情境设置题的阅读 体会图形对理解抽象概念的作用 素养 理解能力 夯实引必备知识 教材夯实强基固本 [必备知识] 2.集合间的基本关系 1.集合的基本概念 关系 自然语言 符号语言 Venn图 (1)集合元素的性质： 集合A中所有 子 元素都在集合B (2)元素与集合的关系 集 中（即若x∈A, 或A(B) ①属于，记为 ;②不属于，记为 则x∈B) (3)常见数集的记法 集合A是集合B 真 自然 正整 有理 的子集，且集合B 集合 整数集 实数集 子 数集 数集 数集 集 中至少有一个元 素不在集合A中 符号 N N*(或N+) Q R 集合 集合A,B中的元 (4)集合的表示方法：① ；② 素相同或集合A, A(B) ③ 等 B互为子集 艺考生文化课百日冲关·数学 3.集合的基本运算 (2)空集是任何集合的子集，两元素集合是三元 基本 素集合的子集。 并集 交集 补集 运算 (3)a在集合A中，可用符号表示为a三A. 若全集为 符号 U,则集合A (4)N二N*二Z. ( AUB 表示 的补集为 (5)若A={xy=x2},B={(x,y)ly=x2},则 CvA A∩B={xlx∈R}. [小题查验 图形 1.设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A 表示 三B,则a= 数学 A.2 B.1 c号 D.-1 语言 2.已知集合A={x|x2-4x+3≥0}，B={y∈N|y AU(CUA)= =4一x2},则A∩B= ) AUO- ;A∩0= ；A∩ 运算 A.{0,1,2,3,4》 B.{0,1,3,4} AUA- A∩A= (CUA)= 性质 C.{1,3,4} D.{-1,0,1,2,3,4} AUB-BUA A∩B=B∩A CU(CvA)= 3.(2026·北京卷)已知集合M={x|一1<x<3}, N={xlx≥2}，则MUN= () 重要结论1.AUB=A台BCA,A∩B=A台ACB. A.[2,3) B.(-1,+∞) 2.若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2， C.[-1,+∞) D.(2,3) 真子集个数为2”一1，非空真子集个数为2”一2. 4.(2025·全国一卷)已知全集U={x|x是小于9 [自主诊断] 的正整数}，集合A={1,3,5},则C0A中元素的 [思考辨析] 个数为 ( 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号 A.0 B.3 C.5 D.8 里打“/”，错误的打“X” 5.已知A={x|2x≤1}，B={-1,0,1},求A∩B (1)0={0}. 口跃升关键能力 层级突破素养提升 考点一 集合的基本概念（自主练透） [题组集训] 4.已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N, 1.已知集合A={(x,y)lx2+y2≤3，x∈Z,y∈Z}, 则(m-n)2027= /题后反思/ 则A中元素的个数为 ( 1.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满 A.9 B.8 C.5 D.4 足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母 2.若集合A={-2,1,4,8},B={x-y2|x∈A,y∈ 的值后，要注意检验集合的元素是否满足互 A},则B中元素的最大值为 ( ) 异性， 2.对于集合相等的问题，首先要分析已知元 A.4 B.5 C.7 D.10 素与另一个集合中哪一个元素相等，分几 3.(2026·上海卷)若集合A={2,a+1},且-1∈A, 种情况列出方程（组）进行求解，要注意检 则a 验是否满足互异性 ·2 上篇：第一章集合、常用逻辑用语、不等式 考点二集合间的基本关系（师生共研） [典例](1)已知集合A={xlax=1},B={xlx2-1 方法指导引 =0},若A二B,则a的取值构成的集合是( 由集合的关系求参数的关键点 A.{-1} B.{1} 由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的 关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满 C.{-1,1} D.{-1,0,1} 足的关系，解决这类问题要合理利用数轴、 (2)已知集合A={x|-2≤x≤7}，B={x|m+1 Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论， <x<2m一1}，若B二A,则实数m的取值范围 注意区间端点的取舍 提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集 是 的情况， [尝试解答] (1) (2) [跟踪训练] [互动探究] 1.已知集合A={x∈N|x3<27},则A的子集的个 数是 ( ) 本例(1)中若A={xax>1(a≠0)}，B={x|x2 A.4 B.8 C.16 D.32 一1>0}，其他条件不变，则a的取值范围是 2已知集合A={号≤0}B=xlc≥a. 若B二CRA,则a的取值范围是 考点三 集合的基本运算（多维探究） [命题角度1]求交集、并集 6.已知集合A={x|x>a},B={x|x2-4x+3< 1.(2026·全国Ⅱ卷)已知集合A={0,1,3,6,9},B 0},若AUB=A,则a的取值范围是 ={x√=x},则A∩B= A.(-∞，1] B.(-∞，3] A.{0,1} B.{3,6} C.(-∞，1) D.(-∞，3) C.{0,1,9} D.{0,3,9} 2.设集合A={1,2},B={2,4,6}则AUB= /方法指导引 解集合运算问题应注意以下三点 A.{2} B.1,2》 (1)看元素组成.集合是由元素组成的，从研究 C.{2,4,6} D.{1,2,4,6》 集合中元素的构成入手是解决集合运算问 [命题角度2]集合的交、并、补的综合运算 题的关键. 3.(2026·天津卷)已知全集U={-2,-1,0,1,2,3}, (2)对集合化简.有些集合是可以化简的，先化 集合A={-1,0,1,3},集合B={-2,0,1},则 ) 简再研究其关系并进行运算，可使问题简单 (CUA)UB= ( A.{-2} B.{-2,2} 明了、易于解决. C.{0,1,2} D.{-2,0,1,2} (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合 4.(2025·上海卷)已知全集U={x2≤x≤5，x∈R}, 形式有数轴、坐标系和Venn图. 集合A={x2≤x<4,x∈R},则A 提醒：Venn图图示法和数轴图示法是进 [命题角度3]利用集合的基本运算求参数的取 行集合交、并、补运算的常用方法，其中运 值（范围） 用数轴图示法要特别注意端点是实心还 5.设集合A={1,2,4},B={xx2-4x十m=0}.若 是空心 A∩B={1},则B ( A.1,-3} B.{1,0} ©温馨提 学习至此，请完成配套训练课时冲关一 C.1,3} D.{1,5} ·3艺考生文化课百日冲关·数学 学习讲义 第一章 第1节 夯实·必备知识必备知识 1.(1)确定性无序性互异性(2)∈庄(4)列举法 描述法图示法2.A二B(或B2A)A=B或B吴A A=B3.A∩Bx∈A,或x∈Bx∈A,且x∈B {xx∈U,且x年A}AA财AU②A 思考辨析(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× 小题查验 1.B2.B3.B4.C5.{-1,0} 跃升·关键能力考点一 1.A[x2+y≤3，.x2≤3， x∈Z,.x=-1,0,1, 当x=一1时y=-1,0,1: 当x=0时，y=-1,0,1: 当x=1时，y=一1,0,1； 所以A中的元素共有9个.] 2.C【由题意(x-y)m=xs-（y)m=8-1=7.] 3.解析：由题意知，a十1=一1→a=一2. 答案：一2 4解折：由M=,知{%g” ÷,m-n=-1成0 答案：-1或0 考点二 [典例][解析](1)由题意，得B={-1,1}, 因为A三B,所以当A=时，a=0: 当A={一1}时，a=一1；当A=1}时，a=1. 又A中至多有一个元素， 所以a的取值构成的集合是{一1,0,1}. (2)当B=0时，有m十1≥2m一1，则m2. 当B≠☑时，若B三A,如图. -2m+10 2m-17x 1m+1≥-2 则2m-1≤7 ,解得2<m≤4. m+12m-1 综上，实数m的取值范围为m≤4. 「答案1(1)D(2){m|m4} 互动探究 解析：由题意，得B={xx>1,或x<一1}， 对子集合A.①当a>0时，A={>a} 因为AGB,所以≥1.又a>0,所以0<a≤ @a<0时A={<日} 因为ACB,所以二≤-1， 又a<0,所以一1a0, 综上所述，0<a≤1，或一1a<0. 故a的取值范围是[-1,0)U(0,1]. 答案：-1,0)U(0,1] 跟踪训练 1.B[由x<27,解得x<3,所以A={x∈N|x<27}= {x∈N|x<3}={0,1,2},所以A的子集有2=8个.故 选B.] 2解析：由十0，得-2≤x<2,所以A=z-2≤x 2},则CRA={xx<-2,或x≥2}， 由log2x≥a,得x≥2，又B二CRA,所以2≥2， 解得a≥1.故a的取值范围是1，十). 答案：[1，十∞) ·2 参考答案 考点三 1.A[首先解方程√五=x(需满足x≥0)：x=x→x(x 1)=0→x=0或x=1, 所以B={0,1},A∩B={0,1,3,6,9}∩{0,1}={0,1}.] 2.D[由并集运算，得AUB={1,2,4,6}.] 3.D[CuA={-2,2},B={-2,0,1}, .(CA)UB={-2,0,1,2}.] 4,解析：U={x2≤x≤5}，A={x2≤x<4}, ∴.A={x4x5}. 答案：{x4x5} 5.C[由题意可知x=1是方程x2一4x十m=0的解，代入 解得m=3,所以x2一4x十3=0，解得x=1或x=3,从 而B=1,3.] 6.A[由x2一4x+30,解得1<x3,所以B={x1z <3}.因为AUB=A,所以B二A,如图： A B a 1 所以a≤1，即a的取值范围是(-∞，1].] 第2节 夯实·必备知识必备知识 1.充分条件必要条件充分不必要必要不充分充要 既不充分也不必要2.(1)H(2)33.Vx∈M,p(x) 3x∈M,(x)3x∈M,p(x)Vx∈M,p(x) 思考辨析(1)√(2)√(3)√(4)/ 小题查验 1.B2.A3.x∈[一1,1]，xa4.充分不必要 5.3x∈(0，+∞)，Wx≤x+1 跃升·关键能力考点一 1.A[由x+3x>0知：x<一3或x>0. x>0→x2十3x>0,充分性成立. x2十3x>0有x>0或x<一3，必要性不成立 ∴.x>0是x2十3x>0的充分不必要条件，] 2.B[不等式<0-1<x<3,不等式x-1川<1 -1<x-1<1台0<x<2, 而集合{x|0x<2}是集合{x一1<x<3}的真子集， 所以“0”是x-1”的必要而不充分条件.了 3.B[由a°=b,则a=士b,当a=一b≠0时，a2十b2=2ab 不成立，充分性不成立： 由a十b=2ab,则(a-b)=0,即a=b, 显然a=b成立，必要性成立： 所以“a=b2”是“a十b=2ab”的必要不充分条件.] L典例][解析]由(x一a)(x一a一1)>0，得x>a十1或x< a,由题意，得{x一2x10}壬{xx>a十1，或x<a}, 所以a十1<-2或a>10,即a<一3或a10. 所以实数a的取值范围是（一，一3）U(10,十∞). [答案]（一0，-3）U(10,+o) 互动探究 解析：由(x一a)(x一a一1)≥0，得x≥a十1或xa,由 题意得{x一2<x<10}手{xx≥a十1，或xa}.所以a 十1≤一2，或a≥10，即a一3，或a≥10.所以a的取值 范围是（一co,一3]U[10,十co). 答案：（一0，-3]U[10,+o) 跟踪训练 B[由<2<16，得-2<<4. 即p:一2<x<4. 方程(x十2)(x十a)=0的两个根分别为一a,-2. ①若-a>-2,即a<2,则条件q:(x十2)(x十a)<0等 价于一2<x<一a,由p是g的充分不必要条件可得一a >4,则a<一4：