江西省南昌县莲塘第一中学2026-2027学年上学期高二10月份月考练习卷

**基本信息** 聚焦复数与立体几何核心内容，通过基础概念辨析（如纯虚数、点面对称）与空间几何综合应用（如球的表面积、二面角计算），考查数学抽象、空间观念及逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数（纯虚数）、空间坐标、向量共面、线面关系|第5题结合正四棱锥外接球，考查空间想象与方程思想| |多选题|3/18|复数性质、正方体线面关系|第10题探究棱上动点轨迹，体现分层设问| |填空题|3/15|复数模、二面角、异面直线角|第14题通过空间四边形周长最小化，考查转化能力| |解答题|5/77|复数运算、几何体体积表面积、线面垂直、二面角|第18题结合面面垂直与线面角，第19题探究线面平行存在性，突出逻辑推理与创新意识|

2026—2027年上学期高二10月份月考练习卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.) 1．已知复数为纯虚数，（为虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 2．点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．若向量，，共面，则（     ） A． B． C． D． 4．已知是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（    ） A．若、，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 5．已知球内部有一个正四棱锥，且顶点都位于球面上，，，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，若一条直线经过点，且以向量为方向向量，则这条直线可以用方程来表示．已知直线l的方程为，则到直线l的距离为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在棱长为1的正方体中，为平面内一动点，则下列说法不正确的是（    ） A．若在线段上，则的最小值为 B．平面被正方体内切球所截，则截面面积为 C．若与所成的角为，则点的轨迹为椭圆 D．对于给定的点，过有且仅有3条直线与直线所成角为 8．已知正方体的棱长为1，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积是（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错得得0分.) 9．对于复数，下列说法正确的是（     ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（    ） A．若是棱的中点，则平面 B．点到直线的距离的最小值为 C．棱上存在点，使得 D．若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 11．在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，直线与平面所成角的最大值为 C．当时，线段长度的范围是 D．当时，不存在点使得直线与直线所成的角为 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12．复数的模为________． 13．如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时，__________.    14．现有四棱锥（如图），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，点E，F分别在棱AB，BC上.当空间四边形PEFD的周长最小时，异面直线PE与DF所成角的余弦值为___________. 四、解答题(本题共5小题，共77分.) 15．已知复数满足： (1)求复数； (2)求的值． 16．已知长方体中，其外接球的表面积为，用平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体. (1)求的长； (2)求几何体的体积； (3)求几何体的表面积. 17．如图，在中，，.将绕边旋转到的位置，使，点为中点. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为的中点． (1)求证：． (2)若，，，且与平面所成角为． ①当时，求三棱锥的体积； ②当取最大值时，求二面角的正弦值． 19．如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面底面，分别为棱上的点，且，.    (1)若，证明：. (2)在（1）的条件下，若，且是边长为的等边三角形，求二面角的正切值. (3)在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B D B D C B ACD ACD 题号 11 答案 AC 1．D 【详解】由题意可得：， 因为复数为纯虚数，则，解得， 故，故. 2．D 【分析】根据点关于平面对称的性质判断即可. 【详解】点关于平面对称时，坐标不变，坐标不变，坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标为点. 3．B 【分析】利用空间三个向量共面的充要条件，将共面关系转化为线性表示关系，列方程组求解参数． 【详解】空间中三个向量共面的充要条件为：若与不共线，则存在实数对，使得， 所以， 所以，即，，． 4．D 【分析】对于A，可过n作平面，使，则，即可判断；对于B，由线面垂直的性质即可判断；对于C，由条件，可得，又，则，即可判断；对于D，要考虑可能在平面内，即可判断． 【详解】对于A，当时，过n作平面，使，则，因为，， 所以，所以，故A正确； 对于B，当，，由线面垂直的性质可得，故B正确； 对于C，因为，，所以，又，所以，故C正确； 对于D，当，时，可能在平面内，故D错误． 故选：D． 5．B 【分析】用正四棱锥几何对称性确定外接球球心位置，借助勾股定理建立方程求解外接球半径，再代入球的表面积公式完成计算. 【详解】如图，作正四棱锥，连结，，交于点，连结， 则平面，因为，，所以， 则，， 根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高的延长线上，连接， 则球的半径，则，则在内， 由可得，解得， 故正四棱锥外接球的表面积为. 6．D 【分析】根据条件得到直线上的点和直线的方向向量，再根据空间中点到直线的距离公式求得点到直线的距离. 【详解】直线的方程标准化得， 从而直线过点，方向向量， 与同向的单位向量， ，，， 点到直线的距离， 故选：D. 【点睛】结论点睛：空间中点到直线的距离公式 ，其中是直线的单位方向向量，是分别以点与直线上的任一点为始点和终点的向量. 7．C 【分析】把矩形与正方形置于同一平面，求出长判断A；求出内切球球心到平面，求出截面小圆半径判断B；建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角建立方程判断C；利用异面直线所成角的意义转化判断D. 【详解】对于A，正方体的对角面是矩形，把矩形与正方形 置于同一平面，且在直线两侧，连接，则， 当且仅当为与的交点时取等号，A正确； 对于B，令正方体内切球球心为，连接，为正方体的中心， ，，正半径， 正三棱锥底面上的高，又球的半径为， 则被截得的圆的半径为，面积为，B正确； 对于C，建立空间直角坐标系，如图， 则，设，有， 则，整理得， 则的轨迹是双曲线，C错误； 对于D，显然过的满足条件的直线数目等于过的满足条件的直线的数目，， 在直线上取点，使，不妨设，则， 则四面体是正四面体，有两种可能，直线也有两种可能， 若，则只有一种可能，就是与的角平分线垂直的直线，所以直线有三种可能，D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：选项A中，关键是将空间中的两距离之和最短转化为平面内三点共线时长度最短问题求解. 8．B 【分析】利用数量积的运算律得，结合数量积的几何意义确定点的轨迹，进而求出面积. 【详解】在棱长为1的正方体中， ， 则，而，由数量积的几何意义知，在上投影的数量为， 因此点在与垂直的平面内，且点到该平面的距离为， 在正方体中易证平面，点到平面的距离为， 取的中点，易得平面平面， 则平面，且点到平面的距离为， 所以点的轨迹所形成区域为等边，面积为. 故选：B 9．ACD 【分析】利用共轭复数的定义和复数的乘法可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用复数的运算可判断C选项；利用复数的乘法以及复数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，设，， 所以， 则， ，故，A对； 对于B选项，不妨取，则，，故，B错； 对于C选项，若，设，则， 所以 ，C对； 对于D选项，设，则， 若，则， 若，则，此时； 若，则，即，此时，则， 综上所述，若，则，D对. 10．ACD 【分析】对于A，设的中点为，通过证明四边形为平行四边形，可证得平面；对于B，通过建系设点，利用空间点到线的距离公式可求最小值；对于C，利用向量的坐标表示出夹角，计算出当时，，即可判断；对于D，由题意可求，再利用球的截面问题可直接求截面面积的最小值. 【详解】如图，设的中点为，连接，   是中点，，且， 对于A，若是中点，，且， ，且，所以四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，故A正确； 根据题意，以为原点，以直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，，， 所以点到直线的距离， 即点到直线的距离的最小值为，故B错误； 对于C，，所以， 则，当时，，即， 所以棱上存在点，使得，故C正确； 对于D，当是棱的三等分点时，点或，球心， 所以，又正方体外接球半径， 所以截面所得圆的最小半径，其面积为，故D正确. 故选：ACD. 11．AC 【分析】以为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断直线垂直，求线段长，线面角、异面直线所成的角，从而判断各选项． 【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 由得，即， 选项A，时，，， 则，所以，A正确； 选项BC，，， 由，所以，所以， 由平面的一个法向量是， 则， 设直线与平面所成角为，则， 由，则，则，，B错误、C正确； 选项D，，，，， 令，则， 又，∴，即点存在，D错误. 12．3 【详解】由题意得 ，得到，由模长公式得. 13． 【分析】建立空间直角坐标系，设出的长，求出平面与平面的法向量，借助面面角的向量求法求出关系，再判断当取最小时的长，进而求得的大小. 【详解】在三棱柱中，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图：    依题意，设，则， 则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 平面的法向量， 由平面与平面所成（锐）二面角为，得， 化简得，当取得最大值时，最小，此时，， 且，所以. 故答案为: 【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． 14．/ 【分析】根据两点间线段最短，结合平行线的性质、异面直线所成角的定义、空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】将沿旋转到平面内，如下图所示， 设点关于对称的点为，线段与的交点为， 此时空间四边形PEFD的周长最小， 因为，所以， 同理可得：， 因为底面ABCD是矩形，所以， 又因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 所以可以建立如下图所示的空间直角坐标系， ， ， 异面直线PE与DF所成角的余弦值为： ， 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用两点间线段最短是解题的关键. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据复数相等的条件列方程组求解，即可得到复数； （2）将第一问求得的代入待求表达式，对两个分项分别分母实数化化简后合并计算，即可得到最终结果. 【详解】（1）设，， ; （2）原式. 16．(1) (2)160 (3) 【分析】（1）先根据球的表面积公式求得直径，再利用长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长列式求解即可； （2）结合长方体和棱锥的体积公式，利用割补法求体积即可； （3）在中由余弦定理和同角三角函数关系求得，求得的面积，即可求解表面积. 【详解】（1）设，由可得，， 因为外接球的表面积为，即，解得， 又长方体外接球的直径等于长方体的体对角线长， 即，解得， 所以； （2） ， 即几何体的体积为160； （3）由（1）得，，，则， ，， 在中由余弦定理， 则， 所以， 从而得几何体的表面积为 . 17．(1)由题意知：，，平面， ∴平面， 又∵平面，所以． 又点C为的中点，所以， 又，平面， 所以平面， 又∵平面，所以． (2) 【分析】（1）先证得平面，可得，再证平面，即可得； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标运算求出平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，可得，利用空间向量坐标计算即可． 【详解】（1）略 （2）由（１）知平面， 以O为原点，，的方向分别作为x， z轴， 底面内与垂直的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，又， 则，，，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 则，取，则，， 则平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 18．(1)已知平面，且平面，因此； 已知平面平面，且平面平面，在平面内作于， 根据面面垂直的性质定理，可得平面，结合平面， 可得； 由于，且平面，根据线面垂直的判定定理，可得平面； 又因为平面，因此． (2)①② 【分析】（1）由线面垂直的定义先得到，在平面内作于，根据面面垂直的性质定理和线面垂直的定义 得到后利用线面垂直的判定定理和定义即可证得结论； （2）①找出与平面所成角，通过其正弦值求出，再利用锥体体积公式求解； ②建立空间直角坐标系表示与平面所成角，通过条件求出与的关系，利用基本不等式求的最大值后再利用公式求解. 【详解】（1）略 （2）①取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 由（1）平面，可得平面， 平面，所以， 由，为等腰直角三角形， 因此， 又因为平面，， 所以平面， 则就是与平面所成的角， 已知与平面所成角为，所以. 在等腰中，，所以； 在中，, 代入得，所以, 所以 所以三棱锥体积为. ②过点作平面，垂足为，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则. 故, 直线的方向向量. 设平面的法向量，故，即, 令，则，所以. 由直线与平面的夹角为，得， 整理得 ， 交叉相乘同时平方得， 进而有， 由基本不等式得，,所以 ， 当且仅当 时，即时等号成立，所以，即的最大值为. 此时 设平面的法向量，则， 即， 令，则，所以. 平面的一个法向量.S 设二面角为，则， 所以. 19．(1)如图，过点作，交于点，则与相交，设， 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面， 又因为平面，所以，又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以. (2) (3)存在， 【分析】（1）过点作，交于点，得到线面垂直，再根据已知条件证明线面垂直即可证明； （2）通过寻找二面角的平面角，利用几何法计算即可； （3）利用线面平行的判定定理，通过构造平面内的平行线来寻找点，连接，，连接，得到即可. 【详解】（1）略. （2）由于是边长为的等边三角形，， 则是的中点，过点作，交于点， 由（1）可知，平面，平面，所以， 为的中点，为的中点，所以，， 所以，，平面，平面， 又平面，，所以为二面角的平面角， ，所以，， ，即， 又，， 即二面角的正切值为. （3）存在点，当时，平面， 连接，设，连接，所以，，所以， 又，所以，即， 又平面，平面，所以平面. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $