专题五 实际问题与二次函数【（挑战压轴题）导图知识卡片+八大考点讲练+优选题训练 共39题】-2026-2027学年人教版数学九年级上册典型题培优系列

本讲义聚焦初中数学“实际问题与二次函数”核心知识点，系统梳理图形问题、运动问题、拱桥问题等八大实际应用场景，通过思维导图构建知识脉络，以考点讲练（含典例与对应练习）和优选题训练为学习支架，助力学生掌握二次函数建模与应用。 资料以真实情境（如销售利润、投球轨迹）为载体，培养学生用数学眼光抽象数量关系，通过多步骤问题（如求最大面积、判断能否通过）发展推理与运算能力的数学思维，以函数关系式表达实际问题体现数学语言应用。课中便于教师分考点授课，课后学生可通过分层练习查漏补缺，强化知识应用。

2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题五 实际问题与二次函数 【思维导图+八大考点讲练+优选题训练 共39题〔原卷版〕】 目 录 2 【压轴考点01】图形问题（实际问题与二次函数 2 【压轴考点02】图形运动问题（实际问题与二次函数） 4 【压轴考点03】拱桥问题（实际问题与二次函数） 5 【压轴考点04】销售问题（实际问题与二次函数 7 【压轴考点05】投球问题（实际问题与二次函数 9 【压轴考点06】喷水问题（实际问题与二次函数 11 【压轴考点07】增长率问题（实际问题与二次函数） 13 【压轴考点08】其他问题（实际问题与二次函数） 13 15 【压轴考点01】图形问题（实际问题与二次函数 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加．求y与x之间的关系式． 【对应练习1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【对应练习2】（2026·山东泰安·三模）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 【压轴考点02】图形运动问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【对应练习1】（2025九年级下·北京·专题练习）已知，如图正方形的边长为，点是边上一个动点（不与，重合），连接，过点作交于点，设，． (1)求与间的函数关系式，并求的最大值． (2)画出函数的图象． 【对应练习2】（25-26八年级下·广西南宁·期末）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：）（），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（） A． B． C．点的纵坐标为250 D．点在该函数图象上 【压轴考点03】拱桥问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 【对应练习1】在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【对应练习2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）今年元旦期间，小王一家人前往泉州西湖景区游玩，游玩时路过一个截面边缘是抛物线的景观（如图1）．喜欢动脑筋的小王对此景观模型产生了兴趣．在游船船夫与家人的帮助下，测得水面的宽，景观最高点与水面的距离为．回岸后，小王想继续知道在离水面的、处的宽是否会超过？请你根据以上信息，帮助小王解决问题． (1)若以图2中的点为顶点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)判断图2中的宽是否会超过？并说明理由． 【压轴考点04】销售问题（实际问题与二次函数 【典例精讲】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．在市场调查中选取两类作品；原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)建立模型，设计方案：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件（，且为整数），若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且为使总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【对应练习1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【对应练习2】（2026·广西玉林·一模）综合与探究 某文具厂生产笔记本，每本笔记本的利润 元与每本的涨价金额 元（正数是涨价，负数是降价）满足二次函数关系：，数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究． (1)【性质研究】当_________时，每本笔记本的利润为0． (2)【模型探究】若时，为了保证销量，数学兴趣小组决定在降价2元到涨价2元（即）的范围内调整价格，发现每本笔记本能获得的最高利润和最低利润之间的差为6元．请求出的值； (3)【深入探究】如图，若目标收益线记为L：，每本利润函数在间的图象记为G，若在同一平面直角坐标系中L与G有两个交点，请求出的取值范围． 【压轴考点05】投球问题（实际问题与二次函数 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【对应练习1】（26-27九年级上·北京·课后作业）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 【对应练习2】（25-26九年级上·山西临汾·期末）综合与实践 为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，某班级对一家烟花公司在规定的户外场地开展的“小型烟花燃放试验活动”进行了研究．数据显示，从垂直地面的发射装置的顶端处，以一定的倾斜角度发射烟花，则烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 已知发射装置的高度是0.95米，当顶端处射出的烟花携带的火星与发射装置的水平距离为9米时，达到最大高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动．以点为原点，表示地面的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 (1)求该火星运行路线所在抛物线的解析式； (2)如图1，烟花携带的火星刚好落在场地围栏和地面的交界处，求该火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离； (3)为安全接住烟花携带的火星，在场地围栏旁图1中处放置安全回收箱，其截面示意图为矩形（如图2），其中为0.8米，为0.6米．为确保该火星落到回收箱内（包含、两点），需将烟花发射装置顶端向上升高米，且该火星运行的抛物线形状保持不变，请直接写出的最大值． 【压轴考点06】喷水问题（实际问题与二次函数 【典例精讲】（2026·甘肃天水·模拟预测）某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【对应练习1】（2026·甘肃武威·中考真题）如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【对应练习2】（25-26八年级下·福建福州·期末）某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式； (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 【压轴考点07】增长率问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 【对应练习1】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【对应练习2】由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【压轴考点08】其他问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 【对应练习1】（26-27九年级上·全国·课后作业）综合与实践 (1)观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ 【实践运用】 (2)如图，四边形的对角线互相垂直，且，求四边形的面积的最大值． 【对应练习2】（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的高（木条粗细忽略不计）为（     ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 4．（2026·新疆·中考真题）如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． B． C． D． 5．（2026·天津·中考真题）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边紧靠围墙，且的长不能超过，其余三边用长的铁质栅栏围成．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场的面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为． 其中，正确的是______（只需填序号）． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后到滑行停下来，滑行的时间是______，飞机滑行的距离是______． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 9．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，某学校大门的形状是一条抛物线，其函数表达式为，现有一货车，它的车身宽为米，车厢面距离地面的高度为米，准备拉一车学习用品从大门的正中间进入校园，为了安全通过学校大门，则该车堆放学习用品的高度应不高于__________米．（假设堆放学习用品的宽度与车身宽度一致） 10．（25-26九年级上·山东日照·期末）四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点、的位置如图所示，有下列结论：当时，；当时，的最大面积为；有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的序号为___________． 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品． (1)如果增加台机器，每天的生产总量为y件，请你写出与之间的关系式； (2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 12．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． (1)若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． (2)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? (3)若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状可视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1米，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是，身高米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴1米时，绳子刚好经过她的头顶．若身高米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，为确保绳子超过他的头顶，求m的取值范围． 15．（22-23九年级上·云南昭通·期末）今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数2月份为4万人，4月份为万人． (1)若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？ (2)若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区5月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题五实际问题与二次函数 【思维导图+八大考点讲练+优选题训练共39题〔原卷版)】 目录 【专题复习思维导图指引】 .2 二【压轴考点O1】图形问题（实际问思与二次函数★★女 2 二【压销考点021图形运动间思（实际问题与二次函数）★★女 4 【压轴考点03】拱桥问题（实际问题与二次函数）★★★ 5 【压轴考点04】销售问题（实际问题与二次函数★★★★ .7 s 【压轴考点05】投球问题（实际问题与二次函数★★★ .9 【压轴考点06】喷水问题（实际问题与二次函数★★★★ .11 【压轴考点07】增长率问题（实际问题与二次函数）★★★★ .13 ,【压轴考点08】其他问题（实际问题与二次函数）★★★★ .13 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 .400000.0.,15 第1页共21页 【专题复习思维导图指引】 4常见实际间题镇型与公式 ①二次函数的模型 日实际问题中的二次函数 ①底动员笔水问睡 一般地，形如y=ar2+b:+c(a0)的函数， 总原叫：把实玩问颜中的量用合话的量表示 h(单位：m)关于（单位：）的函数解杯式=-49+2数+11. 49F+28+1 叫做二次面数。 找到变量之间的关系 建立二次函数模型 重心通大高度：当1-名~是03时 字回 义 利用二次函数的性质求解最值问题。 h=-4.9×0.32+28×03+11=11.4m 二次项系数a≠0，决定开口方向和大小 常见类型 d123567 b 一次项系数 ·运动问题（高度，距离、面积等》 ②炮形第南面积最大问题 c常数项 ·经济问避（利润。销售、咸本等 设垂直于墙的边长为m,则平行于墙的边长为0一2红)m, ·几何问题面积最大化等) 面积3=(20-2)=-2r2+20r(0<x<10). 2二次函数的图象与性质 。抛物线形拱桥，地物线适动轨迹等实背别 当r=6时，8=0m 20-2 ①图象：抛物线=a+br+e(a≠0 ③真岳销情利润最大河题 ②性质：设对称轴为上一六 每件深价元时.销售(300-10)件，售额(60+)300一10m)元 九年级上册 进货价(40(300-10z))元，利润 顶点坐标为(-六，如“) 挑战压轴题专题五 g=(60+z(300-10r)-40(300-10m)=-10r2+100u+6000, 实际问题与二次函数 当=5时，利最大。最大利6250元 :的符号 4>0 ac0 开口方向 向上 向下 ④物拱桥同 对称轴 直线 建立平面直角坐标系，拱桥可看作y=型抛物线(a<0) 质点 量低点 最高点 已知两点求：日=号任≠0。 增减性 在对称销左侧速减， 在对称块左侧递减。 求水面宽度：当y取水面高座时 右衡递塘 最值 有最大值一一如。 ±日，水面克度=√月 石实际问题与二次函数轴题解题技巧 ③顶点式：y=a(一h+,顶点坐标为（，k. Q 明确己如量。未知显，择合适的 7典型题型举例（思路提示） 5常用公式与结论 精质自宝的家国使长。时间 ①运动轨迹类：已知初始位置和运动规律，求县大离度落地点等， 思路：建立离度4与时间：的二次函数一求对称轴一代入求最值 ①对称销：一一品 一般利用对称轴或顶点公式求最值，配大 ②面职最大类：给定周长或边长限制、求面积最大值， 思路：建立面职函数一确定自变里范围一求悬值一得感优解 ③最值：当a>0有最小值一：当a<0有最大值一 公数形结合商出草出（黄物线。示息图）。告助田像理耀量关系 角利润品大类·价格/锈量/成本的关系。求最大到粗 分集计您者间题含有多种可能情况伽最大/爱水、取植范 思路：建立利河面致一求对称或顶点一得最优定价成数量。 国记。)，需分类讨论。 ③顶点式：y=a(x-h)+k 司检给与题：检验结果是百符合实际义，带单位，写清结 线方程 代入已知点求参数一→求特量 ☆解愿关缓提醒 ·抓住变量之间的函戴关系是建模的核心·求最值问题是压轴题的高须考点 图形直观化有助于理解问题 ·注意结果的取值范围和实际意义 【压轴考点01】图形问题（实际问题与二次函数★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)如图所示，一个矩形的长为4cm, 宽为3cm,如果 将这个矩形的长与宽都增加xcm,那么这个矩形的面积增加ycm2.求y与x之间的关系式. 4cm xcm 3cm 第2页共21页 【对应练习1】(25-26九年级上·陕西安康·期中)在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂 直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用28m长的篱笆围成一个矩形花园.设AB=xm. 0。 D A (1)若围成花园的面积为192m2,求x的值. (2)己知在点0处有一棵树，且与墙体AD的距离为6m,与墙体CD的距离为15m.如果在围建花园时，要 将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【对应练习2】(2026·山东泰安·三模)如图，某酒店后面有一块梯形空地ABCD,其中AB=40m, CD=200m,∠C=∠D=45°，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场EFGH, 其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边GH和空地的最长边CD重合，E、F分别在 边AD、BC上，设EH=xm,矩形停车场EFGH的面积为Sm2. A B E (1)用含x的式子表示EF的长为m: (2)EH的长x的取值范围是_： (3)求修建的矩形停车场EFGH的面积S的最大值. 第3页共21页 【压轴考点02】图形运动问题（实际问题与二次函数）★★★ 【典例精讲】如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=4cm,点Q从点A开始沿AB边向 点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当P运动到C时，两点 停止运动.设运动时间为t秒. P A→Q B (1)填空：BQ=-,PB=-· (用含t的代数式表示)； (2)如果RQ分别从A、B两点出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ (3)在(1)中，△PBQ的面积能否等于7cm2？试说明理由. (4)点RQ运动几秒后，△PBQ的面积最大？最大值为多少？ 【对应练习1】(2025九年级下·北京·专题练习)已知，如图正方形ABCD的边长为4cm,点P是边 BC上一个动点（不与B,C重合），连接AP,过点P作PQ 1 AP交CD于点Q,设BP=xcm,CQ=ycm. D B P (1)求y与x间的函数关系式，并求y的最大值. (2)画出函数的图象. 第4页共21页 【对应练习2】(25-26八年级下·广西南宁·期末)为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动 点与观测点之间距离的平方.如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的 地B处运动.设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n),PQ2为y(单位：km2),如图2，y关于x的函数图象 与y轴交于点C,最低点D(m,81),且经过E(1,225)和F(n,225)两点.下列选项正确的是() 225 B 81 D 01 m 图1 图2 A.m=12 B.n=24 C.点C的纵坐标为250 D.点(16,86)在该函数图象上 【压轴考点03】拱桥问题（实际问题与二次函数）★★★ 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离AB=L称 跨度，桥面最高点到AB的距离CD=称拱高，如图，已知这座桥的跨度L=20米，拱高=5米，且设 计方案为抛物线型，抛物线的解析式为y=一六2+5.现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并 高出水面22米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由 O(D) 第5页共21页 【对应练习1】在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟.付峰同学家建有一个 长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙 体A的一面，面向正南)，另一端固定在离地面高3米的墙体B处(B处为厚实土墙)，现对其横截面建立 如图2所示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度y(米)与其离墙体A的水平距离x(米)之 间的关系满足y=一吉2+bx+G,现测得A,B两墙体之间的水平距离为12米。 图1 图2 (1)直接写出b,c的值： (2)求大棚的最高处到地面的距离： (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土 12 地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【对应练习2】(25-26九年级上·福建泉州·期末)今年元旦期间，小王一家人前往泉州西湖景区游 玩，游玩时路过一个截面边缘是抛物线的景观（如图1）·喜欢动脑筋的小王对此景观模型产生了兴 趣.在游船船夫与家人的帮助下，测得水面的宽AB=1.6m,景观最高点0与水面的距离0C为2.4m.回岸 后，小王想继续知道在离水面1.5m的E、D处的宽DE是否会超过1m？请你根据以上信息，帮助小王解决 问题 D B (图1) (图2) (1)若以图2中的点0为顶点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式： 第6页共21页 (2)判断图2中的宽DE是否会超过1m？并说明理由， 二【压轴考点04】销售问题（实际问题与二次函数★★女★ 【典例精讲】(26-27九年级上·福建福州·开学考试)某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟 营销”的项目式学习活动.在市场调查中选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B 品)· 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相 等 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16 元/件. 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件. (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本。 (2)建立模型，设计方案：设销售A品和B品的总利润为w元，A品售价为x元/件(x>18,且x为整 数)，若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且为使总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方 案 第7页共21页 【对应练习1】(25-26九年级上·陕西安康·期中)信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也 是河南省著名特产之一，已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60 罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20 罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为一元 【对应练习2】(2026·广西玉林·一模)综合与探究 某文具厂生产笔记本，每本笔记本的利润y元与每本的涨价金额x元（正数是涨价，负数是降价）满足二 次函数关系：y=ax2一2ax-3a(a≠0)，数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究. (1)【性质研究】当x= 。时，每本笔记本的利润为0. (2)【模型探究】若a<0时，为了保证销量，数学兴趣小组决定在降价2元到涨价2元（即-2≤x≤2） 的范围内调整价格，发现每本笔记本能获得的最高利润和最低利润之间的差为6元.请求出α的值： (3)【深入探究】如图，若目标收益线记为L:y=x+1,每本利润函数y=ax2-2ax-3a(a≠0)在 -2≤x≤2间的图象记为G,若在同一平面直角坐标系中L与G有两个交点，请求出a的取值范围. 第8页共21页 【压轴考点05】投球问题（实际问题与二次函数★★★ 【典例精讲】(25-26九年级上·陕西安康·期中)如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点） 抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点0和点A处，测得0A距离为 6m,若以点0为原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面1m的B处 将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线C1:y=a(x-3)2+2的一部分，小静恰在点C(0,c)处接住，然后跳起将 沙包回传，其运动轨迹为抛物线C2:y=一言x2+日x+c+1的一部分. m C 0 A m 图1 图2 (1)求a,c的值. (2)小林在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，若小林成功接到 小静的回传沙包，求n的整数值. 【对应练习1】(26-27九年级上·北京·课后作业)发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国 志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼.如图2，发石车位于点0处，其前方有一堵壁楼，其防御 墙的竖直截面为矩形ABCD,墙宽BC为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米.以点O为 原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线y=α(x一 20)2+k. 第9页共21页 0 AD 图1 图2 (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）： (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由 【对应练习2】(25-26九年级上·山西临汾·期末)综合与实践 为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，某班级对一家烟花公 司在规定的户外场地开展的“小型烟花燃放试验活动”进行了研究.数据显示，从垂直地面的发射装置OA 的顶端A处，以一定的倾斜角度发射烟花，则烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状. 【提出问题】 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 已知发射装置0A的高度是0.95米，当顶端A处射出的烟花携带的火星与发射装置0A的水平距离为9米 时，达到最大高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动.以点0为原点，表示地 面的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 【解决问题】 VA D EE B x CB主 图1 图2 第10页共21页 (1)求该火星运行路线所在抛物线的解析式； (2)如图1，烟花携带的火星刚好落在场地围栏和地面的交界B处，求该火星运行路线的落地点B与发射装 置OA的水平距离： (3)为安全接住烟花携带的火星，在场地围栏旁图1中B处放置安全回收箱，其截面示意图为矩形BCDE (如图2)，其中DC为0.8米，CB为0.6米.为确保该火星落到回收箱内（包含D、E两点），需将烟花 发射装置顶端A向上升高米，且该火星运行的抛物线形状保持不变，请直接写出的最大值， 【压轴考点06】喷水问题（实际问题与二次函数★★★★ 【典例精讲】(2026·甘肃天水·模拟预测)某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管0A喷 出，OA的长为1.5m,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形 状如图所示，落点B到点O的距离为3m.建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)之间近似满足函数关系式y=ax2+x+c（a≠0)，则水流喷出的最大高度为 B末 【对应练习1】(2026·甘肃武威·中考真题)如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股 水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力），图2是一 次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O射出，水流运动的高度y(c)与水平 距离x(cm)近似满足函数关系y=-。x2+4x(x≥0).若这只昆虫在点P(20,50),则这次射出的水流 击中昆虫.（填“能”或“不能”） 第11页共21页 y/cm x/cm 图1 图2 【对应练习2】(25-26八年级下·福建福州·期末)某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调 试.喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线.广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小 树，用于测试水流水压.将草坡截面抽象为直角三角形，如图，∠ABC=90°，AB=3米，BC=6米， 坡面AC上有一棵小树MN(小树粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点C不重合，MN1BC),现在斜坡底C 处安装一个喷水管CP,水流呈抛物线状，恰好落在A处.技术人员以B为原点，水平向右为x轴，竖直向上 为y轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到B的水平距离x(米)与水流的高度y(米)的变化规律如表： 0 2 4 27 27 y 3 8 8 N M B (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式： (2)若调试时，水流恰好经过树顶N点， ①为了美观，小树不能太高.请计算在现有水流轨迹下，这棵小树MN可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在MN右侧（靠近C的一侧）再放置一棵与MN等高的小树DE(D在坡面上，树干垂 直BC),且水流也能刚好经过树顶E.为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底M的横坐标的取值范 围 第12页共21页 【压轴考点07】增长率问题（实际问题与二次函数）★★★★ 【典例精讲】(25-26九年级上·安徽安庆·期中)一台机器原价为60万元，如果每年价格的下降率为 x,两年后这台机器的价格为y万元，则y关于x的函数关系式为 【对应练习1】(25-26九年级上·浙江·阶段检测)为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一 个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均 增长率为x,那么y与x的函数关系是( A.y=a(1+x)2 B.y=a(1-x)2 C.y=(1+x)2+a D.y=x2+a 【对应练习2】由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是 8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x,则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y (枚)与x的函数关系式是( A.y=8000(1+x) B.y=8000(1+x)2 C.y=8000(1+x2) D.y=8000(1+2x) 。【压轴考点08】其他问题（实际问题与二次面数）★★女女 【典例精讲】(26-27九年级上·全国·课后作业)小明以二次函数y=2x2-4比+8的图象为灵感设计 了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB=4,DE=3,则杯子的高CE为( A.14 B.11 C.6 D.3 第13页共21页 【对应练习1】(26-27九年级上·全国·课后作业)综合与实践 (1)观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最 大，如：91×99,92×98，…，98×92,99×91.你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ 【实践运用】 (2)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直，且AC+BD=20,求四边形ABCD的面积的最大值. 【对应练习2】(2026·广东深圳·中考真题)综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效 益成为关注重点.某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收 支平衡问题. 【研究条件】 条件1：该充电站收入y(单位：元)与当日充电汽车数量x(单位：辆)之间的对应关系如下表： X 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本w(单位：元)与充电汽车数量x之间满足：ω=x2+20x+500 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求y与x的函数关系式，并计算当x=40时，该充电站的收入为多少元？ 第14页共21页 (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡.求此时x的值，并写出该充电站收入y与x的新关系式： 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为y=x,成本关系保 持不变.已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益=收入-成本）取得最大值，请写出符合条件的m 值，并说明理由. 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因 素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策。 【压轴题专项训练优选题15题思维拓展练习】 1.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，己知正方形ABCD的边长是1，正方形EFGH的顶点分别在 AB,BC,CD,AD上.设正方形EFGH的面积是S,AE的长是x,则下列说法正确的是( ) A B E A.当x=时，S有最小值 B.当x=时，S有最大值 C.S随x的增大而减小 D.S随x的增大而增大 第15页共21页 2.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透 进的光线最多，选择窗子的高AB(木条粗细忽略不计)为( ) B A.1米 B.2米 C.3米 D.4米 3.(26-27九年级上·全国·单元复习)如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物 线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为( h/米 3 t/秒 A.4-26 B.8 C.4+26 D.9 4.(2026·新疆·中考真题)如图，水平放置的边长为2cm的正方形ABCD,边长为V2cm的正方形 EFGH的顶点F,H在同一水平线上，点F与AD的中点重合，现将正方形EFGH以1cm/s的速度沿AB方向匀 速运动，当点H运动到BC上时停止.在这个运动过程中，正方形EFGH与正方形ABCD重叠部分的面积 y(cm)与运动时间x(s之间的函数关系图象大致是( G Ay/cm2 个/cm2 B.C 第16页共21页 5.(2026·天津·中考真题)矩形ABCD中，AB=5cm,AD=7cm.动点P从点A出发，以1cm/s的速 度沿边AD、边DC向终点C运动；动点Q从点A同时出发，以1cm/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动.设 运动的时间为ts.当t=3s时，点P,Q的位置如图所示.给出下面三个结论： B ①当t=6s时，四边形APCQ是平行四边形： ②△APQ的最大面积为cm2: ③当△APQ的面积为10cm2时，t=2V5s或t=10s, 上述结论中，所有正确结论的序号是( A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 6.(26-27九年级上·全国·课后作业)如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边AD紧 靠围墙，且AD的长不能超过28m,其余三边AB,BC,CD用60m长的铁质栅栏围成.有下列结论： ①AB的长可以为15m; ②当农场ABCD的面积为200m时，满足条件的AB的长只有一个值： ③农场ABCD面积的最大值为450m2. 其中，正确的是」 (只需填序号). 围墙 A 7.(26-27九年级上·全国·课后作业)飞机着陆后滑行的距离w(单位：m)关于滑行的时间t(单位： s)的函数解析式是w=60t-2,飞机者陆后到滑行停下来，滑行的时间是_一一s,飞机滑行的距离是 m. 8.(26-27九年级上·全国·课后作业)廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所 示，已知抛物线的函数表达式为y=一高2+10，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为8 米的C,D两处安装警示灯，则警示灯D离水面AB的距离为米， 第17页共21页 yA 0 B 9.(25-26九年级上·安徽六安·期末)如图，某学校大门的形状是一条抛物线，其函数表达式为y= x2+3x,现有一货车，它的车身宽AB为3.0米，车厢面EF距离地面AB的高度FA为1.6米，准备拉一车 学习用品从大门的正中间进入校园，为了安全通过学校大门，则该车堆放学习用品的高度DF应不高于 米.（假设堆放学习用品的宽度与车身宽度一致） A B 10.(25-26九年级上·山东日照·期末)四边形ABCD中，AD II BC,∠B=90°，AB=8Cm,AD= 10cm,BC=16cm.动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时 出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运 动.设运动的时间为t.当t=2s时，点M、N的位置如图所示，有下列结论：①当t=6s时，CN=DM: ②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2;③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2.其 中，正确结论的序号为 D M 11.(26-27九年级上·全国·单元复习)某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现 准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平 均每天将少生产4件产品. (1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式： (2增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 第18页共21页 12.(26-27九年级上·广西南宁·开学考试)综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图.甲、乙、丙三人在表演 “踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛 物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）· A B 末地面 (图1) (图2) (1)如图2，甲站在地面的点0处，从距离地面0.6m高的点A踢出花枪，点A与点0的水平距离是1m,花枪 飞行到与0点水平距离6m的c处达到最高，高度为2.6m, ①以点O为坐标原点，以地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为ym,到点0 的水平距离为xm,求y关于x的函数表达式： ②花枪下落过程中，乙在与点0水平距离dm处接花枪，能接到的高度最大为2.1m,最小为0.6m,求d的 取值范围 (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪.已知花枪飞行高度五m与时间ts之间 的关系式是=-0.2t2+1.2t(t>0),丙在距花枪落地点7.2m处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均 速度. 第19页共21页 13.(26-27九年级上·全国·课后作业)某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50 元.为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天 可多售出2双. (1)若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出双鞋子. (2)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ (3)若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价元， 14.(26-27九年级上·全国·课后作业)跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形 状可视为一条抛物线.如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高 度都为1米，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其 中小冬拿绳子的手的坐标是(0,1)，身高1.60米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴1米时，绳子刚好经 过她的头顶.若身高1.75米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，为确保绳子超过他的头顶，求 m的取值范围. /米 12 x/米 第20页共21页 15.(22-23九年级上·云南昭通·期末)今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景 区的游客人数2月份为4万人，4月份为5.76万人 (1)若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？ (2)若该景区仅有A,B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3万、3万和2万.并且当甲、乙两种门票价 格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门 票的游客改为购买丙种门票. ①若丙种门票价格下降10元，求景区5月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 第21页共21页 2026-2027学年人教版数学九年级上册挑战压轴题典型题系列「新教材」 专题五 实际问题与二次函数 【思维导图+八大考点讲练+优选题训练 共39题〔解析版〕】 目 录 2 【压轴考点01】图形问题（实际问题与二次函数 2 【压轴考点02】图形运动问题（实际问题与二次函数） 5 【压轴考点03】拱桥问题（实际问题与二次函数） 9 【压轴考点04】销售问题（实际问题与二次函数 12 【压轴考点05】投球问题（实际问题与二次函数 16 【压轴考点06】喷水问题（实际问题与二次函数 20 【压轴考点07】增长率问题（实际问题与二次函数） 23 【压轴考点08】其他问题（实际问题与二次函数） 25 28 【压轴考点01】图形问题（实际问题与二次函数 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加．求y与x之间的关系式． 【答案】y与x之间的关系式为． 【思路引导】根据题意得，变化后的矩形的长为，宽为，然后列式计算即可． 【规范解答】解：根据题意得，变化后的矩形的长为，宽为， ∴． 【对应练习1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【答案】(1)12或16 (2) 【思路引导】（1）根据题意可以列出相应的方程，再求出解即可； （2）根据题意可得到S关于x的关系式，然后化为顶点式，再根据题意列出关于x的不等式组，从而可以得到围成的花园的最大面积． 【规范解答】（1）解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； （2）解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． 【对应练习2】（2026·山东泰安·三模）如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)该矩形停车场的最大面积为 【思路引导】（1）容易判断与都是等腰直角三角形，则，结合矩形的性质可得； （2）结合图形容易判断，解不等式即可； （3）利用矩形面积公式可得关于的二次函数，再结合二次函数的性质求出面积的最大值． 【规范解答】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由图可知，, ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 答：该矩形停车场的最大面积为． 【压轴考点02】图形运动问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)；； (2)1秒后 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【思路引导】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【规范解答】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【对应练习1】（2025九年级下·北京·专题练习）已知，如图正方形的边长为，点是边上一个动点（不与，重合），连接，过点作交于点，设，． (1)求与间的函数关系式，并求的最大值． (2)画出函数的图象． 【答案】(1)当时，有最大值 (2) 如图所示： 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的解析式与最值、函数图象的画法，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质是解题的关键． （1）先利用正方形的性质和垂直条件证明与相似，再根据相似三角形对应边成比例列出等式，推导出与的函数关系式，最后通过配方法或顶点公式求出二次函数在给定区间内的最大值． （2）根据第（1）小题得到的函数关系式（），选取区间内的若干值，计算对应的值，列出表格，然后在平面直角坐标系中描点、连线，画出函数图象． 【规范解答】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴ （）， ∵ ， ∴有最大值， ∴当时，有最大值． （2）解：列表： 0 1 2 3 4 0 1 0 函数图象为开口向下的抛物线的一部分，顶点为，过点和，描点并画图； 【对应练习2】（25-26八年级下·广西南宁·期末）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：）（），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（） A． B． C．点的纵坐标为250 D．点在该函数图象上 【答案】C 【思路引导】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【规范解答】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：（负值舍去），故选项A不正确； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B不正确； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C正确； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点不在该函数图象上，故选项D不正确． 【压轴考点03】拱桥问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 【答案】货船不能顺利通过这座桥，理由如下： 当时，即， 解得，． ，且， 货船不能顺利通过该桥． 【思路引导】根据题意，当时，可得方程，再解方程，即可得出结论． 【对应练习1】在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】(1)； (2)大棚最高处到地面的距离为米； (3)共需要（根）竹竿． 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将（1）中函数解析式化为顶点式，然后求解即可； （3）根据题意得出，然后结合题意即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意知点坐标为，点B坐标为 将、坐标代入得： 解得：； （2）解： 当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又∵大棚的长为160米， ∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米） ∴共需要（根）竹竿． 【对应练习2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）今年元旦期间，小王一家人前往泉州西湖景区游玩，游玩时路过一个截面边缘是抛物线的景观（如图1）．喜欢动脑筋的小王对此景观模型产生了兴趣．在游船船夫与家人的帮助下，测得水面的宽，景观最高点与水面的距离为．回岸后，小王想继续知道在离水面的、处的宽是否会超过？请你根据以上信息，帮助小王解决问题． (1)若以图2中的点为顶点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)判断图2中的宽是否会超过？并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：宽不会超过，理由如下： 离水面的高 设点坐标为（） 根据题意得， 解得： 的宽为 ， ， 的宽不超过． 【思路引导】（1）设抛物线（），点在抛物线上，解答即可． （2）设点坐标为（）根据题意得，，解答即可． 本题考查了待定系数法，求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【规范解答】（1）解：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为， 设抛物线（），点在抛物线上， ， 抛物线的解析式． 【压轴考点04】销售问题（实际问题与二次函数 【典例精讲】（26-27九年级上·福建福州·开学考试）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．在市场调查中选取两类作品；原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高2元，用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为18元/件时，其销量为220件，售价每涨1元，销量减少10件；B品售价固定为16元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共300件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)建立模型，设计方案：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件（，且为整数），若制作A品和B品的总成本不超过1400元，且为使总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 (2)制作A品100件，B品200件时总利润最大 【思路引导】（1）设制作一件B品的成本为a元，则制作一件B品的成本为元，根据“用120元制作A品的件数与用80元制作B品的件数相等．”列出方程，即可求解； （2）根据题意，列出w关于x的函数关系式，再求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设制作一件B品的成本为a元，则制作一件A品的成本为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：根据题意得：A品的销量为：件，B品的销量为：件， 则， ∵制作A品和B品的总成本不超过1400元， ∴， 解得：， ∵且， 解得：， ∴， ∵，且， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为4800， 此时， 即制作A品100件，B品200件时总利润最大． 【对应练习1】（25-26九年级上·陕西安康·期中）信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【思路引导】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【规范解答】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 【对应练习2】（2026·广西玉林·一模）综合与探究 某文具厂生产笔记本，每本笔记本的利润 元与每本的涨价金额 元（正数是涨价，负数是降价）满足二次函数关系：，数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究． (1)【性质研究】当_________时，每本笔记本的利润为0． (2)【模型探究】若时，为了保证销量，数学兴趣小组决定在降价2元到涨价2元（即）的范围内调整价格，发现每本笔记本能获得的最高利润和最低利润之间的差为6元．请求出的值； (3)【深入探究】如图，若目标收益线记为L：，每本利润函数在间的图象记为G，若在同一平面直角坐标系中L与G有两个交点，请求出的取值范围． 【答案】(1)，3 (2) (3)且． 【思路引导】（1）令，解一元二次方程即可求解； （2）求得对称轴为直线，当时，最大值为，最小值为，根据题意得到，据此求解即可； （3）联立两函数解析式可求得两函数交点的横坐标，分情况讨论当时，当时，结合题目要求在间有两个交点即可求出范围． 【规范解答】（1）解：令，则， ∵， ∴， 解得或， ∴当或3时，每本笔记本的利润为0； （2）解：当时，开口向下，的对称轴为直线； 时， 当时，最大值； 当时，最小值； ∵y的最大值与最小值的差为6， ∴， 解得； （3）解：∵， ∴抛物线交x轴于点，， 直线交x轴于点， ∴函数与始终有一个交点， 联立， 整理得， 解得， 则两图像的交点横坐标分别为和， 若，则， 不满足在内有两个交点； 若，则需且， 解得且， 综上所述：当且时，L与G有两个交点． 【压轴考点05】投球问题（实际问题与二次函数 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【思路引导】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 【对应练习1】（26-27九年级上·北京·课后作业）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 【答案】(1) (2)石块能飞越防御墙； 理由如下：由题意知，点的坐标为， ； 当时，， 石块能飞越防御墙． 【思路引导】（1）由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； （2）确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； 【规范解答】（1）解：由题意得，函数的最大值为10，即， 将点代入抛物线，得， 解得， 此抛物线的表达式； 【对应练习2】（25-26九年级上·山西临汾·期末）综合与实践 为了让同学们在实践中深入理解二次函数的实际应用，感受数学与生活的紧密联系，某班级对一家烟花公司在规定的户外场地开展的“小型烟花燃放试验活动”进行了研究．数据显示，从垂直地面的发射装置的顶端处，以一定的倾斜角度发射烟花，则烟花携带的火星运行的路线呈抛物线形状． 【提出问题】 怎样求该火星运行路线所在抛物线的解析式呢？ 【分析问题】 已知发射装置的高度是0.95米，当顶端处射出的烟花携带的火星与发射装置的水平距离为9米时，达到最大高度5米，此时烟花绚丽绽放，火星仍会沿原来的抛物线继续运动．以点为原点，表示地面的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． 【解决问题】 (1)求该火星运行路线所在抛物线的解析式； (2)如图1，烟花携带的火星刚好落在场地围栏和地面的交界处，求该火星运行路线的落地点与发射装置的水平距离； (3)为安全接住烟花携带的火星，在场地围栏旁图1中处放置安全回收箱，其截面示意图为矩形（如图2），其中为0.8米，为0.6米．为确保该火星落到回收箱内（包含、两点），需将烟花发射装置顶端向上升高米，且该火星运行的抛物线形状保持不变，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)米 (3) 【思路引导】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）令，求出对应的即可得出答案． （3）分别求出对应点的抛物线解析式，进而可求出答案． 【规范解答】（1）解：根据题意可知，抛物线顶点坐标为， 故令抛物线表达式为， ∵点坐标为，代入上述表达式， 得， 解得， ∴ 故抛物线表达式为． （2）解：令，得， 解出或， 结合题意，点在轴正半轴上，故， ∴落地点与发射装置的水平距离为米． （3）解：如图所示： ∵，，， ∴，， 设， 把点代入 ， 得， 解得， 由平移可知，发射装置顶端上升的高度最大值为． 【压轴考点06】喷水问题（实际问题与二次函数 【典例精讲】（2026·甘肃天水·模拟预测）某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】/米 【思路引导】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【规范解答】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． 【对应练习1】（2026·甘肃武威·中考真题）如图，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流________________击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【思路引导】要判断水流能否击中昆虫，只需验证点是否在抛物线上，即将代入函数解析式计算y的值，并与昆虫的高度进行比较． 【规范解答】解：当时，， ∵，即当水平距离为时，水流的高度为，低于昆虫所在的高度， ∴不在抛物线上， ∴这次射出的水流不能击中昆虫． 【对应练习2】（25-26八年级下·福建福州·期末）某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式； (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①2米；② 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①求出直线的函数解析式为；设，则，可求出，据此可得答案；②设第二棵树底横坐标为，同理可得，根据题意可得，，则可推出，再根据求出m的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：设水流的函数解析式为， 由题意得 ∴， ∴水流的函数解析式为； （2）解：①∵米，米， ∴， 设直线的函数解析式为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为； 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为2， 答：这棵小树可达到的最大高度是2米； ②设第二棵树底横坐标为， 同理可得， ∵两棵树等高，即， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【压轴考点07】增长率问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽安庆·期中）一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 根据题意列出函数解析式即可． 【规范解答】解：由题意得：两年后的价格为：， 故y与x的函数关系式是：． 故答案为：． 【对应练习1】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【规范解答】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 【对应练习2】由于长期受新型冠状病毒的影响，核酸检测试剂需求量剧增，某医院去年一月份用量是8000枚，二、三两个月用量连续增长，若月平均增长率为x，则该医院三月份用核酸检测试剂的数量y（枚）与x的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查二次函数的应用，设月平均增长率为x，根据题意列出函数关系式即可． 掌握增长率问题中增加量平均增长率原销售量，抓住公式列函数式是解题关键． 【规范解答】设月平均增长率为x， 根据题意得，． 故选：B． 【压轴考点08】其他问题（实际问题与二次函数） 【典例精讲】（26-27九年级上·全国·课后作业）小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 【答案】B 【思路引导】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入抛物线解析式，得到，则，又，则可知杯子高度． 【规范解答】解：， 点的坐标为，抛物线的对称轴为， ， ， 点的横坐标为：， 当时，， 点纵坐标为14， 点的纵坐标为， ， ，即杯子的高度为11． 【对应练习1】（26-27九年级上·全国·课后作业）综合与实践 (1)观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ 【实践运用】 (2)如图，四边形的对角线互相垂直，且，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1)解：猜想，的积最大，理由如下： 由题意，两个两位数的和为，是定值，设其中一个两位数为，则另一个两位数为， 设这两个两位数的积为，则有， ， ∴当时，有最大值， 故的积最大． (2) 【思路引导】（1）设其中一个两位数为，则另一个两位数为，列出二次函数解析式求最值即可； （2）根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，得到，列出二次函数求最值即可. 【规范解答】（1）略 （2）解：∵四边形的对角线互相垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，为． 【对应练习2】（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 (2)的值为或，收入与的新关系式为 (3)，理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【思路引导】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【规范解答】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； （2）解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 【答案】A 【思路引导】根据全等三角形的判定定理得到，根据全等三角形的性质得到，利用勾股定理，在中，，所以，再利用二次函数求最值即可． 【规范解答】解：四边形为正方形，四边形也是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， 面积，， ， 当时，S有最小值. 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，用12米长的木条做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的高（木条粗细忽略不计）为（     ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】C 【思路引导】设长为米，由图可得，横档的长为米，表示出透光面积并结合二次函数的性质求解即可． 【规范解答】解：设长为米， 由图可得，横档的长为米， ∴透光面积为 ， ， 当时，取得最大值，最大值为． 3．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【思路引导】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【规范解答】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 4．（2026·新疆·中考真题）如图，水平放置的边长为的正方形，边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，现将正方形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，正方形与正方形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点，分四种情况讨论，分别求出重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系表达式，进而得到对应的函数图象，即可得解． 【规范解答】解：如图，连接、交于点，正方形的边与正方形交于点、，交于点， 边长为的正方形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合， ，，，垂直平分， ， ①当时，叠部分的面积为，此时， ， ， ， ， ； ②当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 即当时，有最大值为2； ③当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ； ④当时，叠部分的面积为，此时， 同理可得，， ， 综上可知，当时，图象为开口向上的抛物线；当时，图象为开口向下的抛物线，且有最大值为2；当时，图象为开口向下的抛物线；当时，图象为开口向上的抛物线， 只有B选项符合题意． 5．（2026·天津·中考真题）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断． 【规范解答】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 6．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边紧靠围墙，且的长不能超过，其余三边用长的铁质栅栏围成．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场的面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为． 其中，正确的是______（只需填序号）． 【答案】② 【思路引导】设边长为，则边长为，当时，解方程即可判断①；根据开心农场面积为，列出一元二次方程，解方程，即可判断②；设矩形菜园的面积为，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，结合的取值范围即可判断③． 【规范解答】解：设边长为，则边长为， 当时， 解得， 的长不能超过， ，故①不正确； 开心农场面积为， 解得， 又∵， ， 满足条件的的长只有一个值，故②正确； 由题意得，设矩形开心农场的面积为， 根据题意得，， ，， 当时，有最大值，最大值为不可能为，故③不正确； 综上所述，正确的是②． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后到滑行停下来，滑行的时间是______，飞机滑行的距离是______． 【答案】 【思路引导】飞机滑行到停止时滑行距离达到最大，对二次函数配方求顶点，即可得到停止时的滑行时间和总滑行距离． 【规范解答】解：将函数解析式整理配方，， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， ∴当时，取得最大值，此时飞机停止滑行， 即飞机着陆后停下来滑行的时间是，滑行的总距离是． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 【答案】 【思路引导】抛物线对称轴为轴，由，水平距离为8米，可得点横坐标，代入解析式即可求出点纵坐标，即所求距离． 【规范解答】解：抛物线关于轴对称，，在抛物线上同一高度且水平距离为米， 点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 警示灯离水面的距离为米． 9．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，某学校大门的形状是一条抛物线，其函数表达式为，现有一货车，它的车身宽为米，车厢面距离地面的高度为米，准备拉一车学习用品从大门的正中间进入校园，为了安全通过学校大门，则该车堆放学习用品的高度应不高于__________米．（假设堆放学习用品的宽度与车身宽度一致） 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二次函数的应用，灵活运用二次函数的性质以及数形结合思想是解题的关键． 如图：设抛物线的对称轴交x轴于G，由二次函数的性质可得抛物线的对称轴直线为：，即点G的横坐标为，进而得到点A的横坐标为；如图：延长交抛物线于点H，则点H的横坐标为3，再求出点H的纵坐标为，即；进而得到米即可解答． 【规范解答】解：如图：设抛物线的对称轴交x轴于G， ∵函数表达式为， ∴抛物线的对称轴直线为：，即点G的横坐标为， ∵， ∴点A的横坐标为：， 如图：延长交抛物线于点H，则点H的横坐标为3， ∴点H的纵坐标为，即， ∴米， ∴则该车堆放学习用品的高度应不高于米． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·山东日照·期末）四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点、的位置如图所示，有下列结论：当时，；当时，的最大面积为；有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的序号为___________． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，三角形面积的计算，熟练应用数形结合思想和二次函数的性质是解题的关键．当时，点在上， 求出、，可判断；当时，点在上，利用三角形面积公式表示出的面积，利用二次函数的性质，可判断；分两种情况：当点在上时，当点在上时，结合的面积为，列出方程，可判断． 【规范解答】解：根据题意得：点在上的运动时间为，点在上的运动时间为，点在上的运动时间为， 当时，点在上， 此时，， ， ，故正确； 当时，点在上， 此时，， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故正确； 当点在上时，，此时， ， 的面积为， ， 解得，（舍去）， 当时，的面积为； 当点在上时， ， ，， ，即， 此时， 解得， 当时，的面积为； 有两个不同的值满足的面积为，故正确． 故答案为：． 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）某工厂现有20台机器，每台机器平均每天生产160件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于某种原因，每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品． (1)如果增加台机器，每天的生产总量为y件，请你写出与之间的关系式； (2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？ 【答案】(1)（且为整数） (2)增加10台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是3600件 【思路引导】（1）增加台机器后，机器总台数为台； 每增加1台机器，每台日均少生产4件，因此增加台后，单台机器日均生产数量为件， 每天生产总量 = 总台数 × 单台日均产量，根据此关系式列式子即可； （2）根据二次函数的性质求最大值即可． 【规范解答】（1）解：增加台机器后，机器总台数为台； 每增加1台机器，每台日均少生产4件，因此增加台后，单台机器日均生产数量为件， ∴（且为整数）； （2）解：， 当时，有最大值，最大值为3600， 因此增加10台机器时生产总量最大，最大值为3600件． 12．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 【答案】(1)①；② (2)丙的平均速度为 【思路引导】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）①由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； ②由题意可把，代入①中函数解析式进行求解即可； （2）由题意易得花枪落地所需的时间为，然后根据“速度=路程÷时间”进行求解即可． 【规范解答】（1）解：①由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； ②由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，；当时，， ∴的取值范围为． （2）解：当花枪落地时，则有， ∴， 解得：（舍去）， ∴花枪落地所需的时间为， ∴丙的平均速度为； 答：丙的平均速度为． 13．（26-27九年级上·全国·课后作业）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出40双，每双盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价1元，商场平均每天可多售出2双． (1)若每双鞋子降价20元，则商场平均每天可售出______双鞋子． (2)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润?最大利润为多少元? (3)若商场每天要盈利2448元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价______元． 【答案】(1)80 (2)当每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润，最大利润为2450元 (3)16 【思路引导】（1）根据题意列出算式，即可求解； （2）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质，求得最值即可求解； （3）设每双降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：（双）， ∴商场平均每天可售出80双鞋子； （2）解：设每双鞋子降价m元时，每天可以获得最大利润元． 由题意得， ， 当元时，元， 答：每双鞋子降价15元时，每天可以获得最大利润2450元； （3）解：设每双降价x元． 由题意得， 解得， 让顾客尽可能得实惠， ， ∴每双鞋子应降价16元． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状可视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1米，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是，身高米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴1米时，绳子刚好经过她的头顶．若身高米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，为确保绳子超过他的头顶，求m的取值范围． 【答案】 【思路引导】依据题意，设解析式为，再由小丽头顶的坐标，且过，求出a，k，最后令，求出x，进而表示出m的范围． 【规范解答】解：由题意，可知对称轴是：直线， 设抛物线的解析式为， 又由小丽头顶的坐标，且过， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴m的取值范围为． 15．（22-23九年级上·云南昭通·期末）今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数2月份为4万人，4月份为万人． (1)若设月平均增长率相同，则该景区游客人数平均每月增长百分之几？ (2)若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 100元/人 80元/人 160元/人 据预测，5月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有3万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票． ①若丙种门票价格下降10元，求景区5月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区5月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 【答案】(1) (2)①898万元；②当丙种门票价格降低24元时，景区5月份的门票总收入有最大值，为917.6万元 【思路引导】（1）设该景区游客人数的月平均增长率为，则三月份的游客为万人，四月份的游客为万 人，再列方程，解方程可得答案； （2）①分别计算购买甲，乙，丙三种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案； ②设丙种门票价格降低元，景区5月份的门票总收入为万元，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设该景区游客人数的月平均增长率为， 由题意，得， 解这个方程，得（舍去） 答：该景区游客人数平均每月增长率为． （2）解：①由题意，得： （万元）， 答：景区5月份的门票总收入为898万元． ②设丙种门票价格降低元，景区5月份的门票总收入为万元， 由题意，得： ， ， 当时，取最大值，为元，即万元． 答：当丙种门票价格降低24元时，景区5月份的门票总收入有最大值，为万元． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null