第一章 预备知识（高效培优单元自测·提升卷）数学北师大版高一必修第一册

**基本信息** 高中数学第一章预备知识单元提升卷，聚焦不等式、集合、充分必要条件等核心知识，通过分层题型设计，融合数学抽象、推理及运算能力培养，适配单元复习巩固与综合应用提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|不等式解集、集合关系、充分条件|基础概念辨析，考查抽象能力| |多选|3/18|不等式性质、最值问题|多选项辨析，培养批判性思维| |填空|3/15|函数不等式、集合参数范围|情境化设问，体现应用意识| |解答|5/67|集合运算与必要条件、不等式恒成立|综合问题设计，发展推理能力与模型意识|

第一章 预备知识（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．已知集合，，则（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 4．设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A． B． C． D． 6．若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 7．已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 8．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．已知，，为实数，则下列命题成立的是（    ） A．若，则 B．，，，都有 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为4 10．下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 11．已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知函数，当时，不等式解集 13．已知集合，．)若，求实数的取值范围 14．已知集合，集合，．记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围 四、解答题（本题共5小题） 15．（13分）已知集合，集合 (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16．（15分）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17．（15分）已知正数满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求取值范围. 18．（17分）设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 19．（17分）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 预备知识（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 C C C C A B C B 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9 10 11 BCD AB AC 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共20分．） 12． 13． 14．或． 四、解答题（本题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入求出集合，再根据交集的定义即可计算； （2）依题意可得为的真子集，分与两种情况讨论，即可求解的取值范围． 【详解】（1）当时，， 因此． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则为的真子集， 当时，即，解得， 当时，则，解得，检验符合， 因此的取值范围为． 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合子集关系求解即可. （2）将问题转化为集合是集合的真子集即可求解. 【详解】（1）由题意， 因为，所以； 所以，解得， 所以实数的取值范围为 （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得 ， 经检验，时，，与集合是集合的真子集矛盾，故舍去. 综上所述，实数的取值范围为． 17．（15分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用即可得解； （2）利用（1）中结论，将问题转化为恒成立，解之即可得解. 【详解】（1）因为正数满足，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）由（1）知，的最小值为， 而恒成立，所以恒成立， 即，解得， 所以取值范围为. 18．（17分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由为假命题，则的否定：，为真命题， 即，， 而当时，， 当且仅当时取等号，因此， 因为为假命题且为真命题，则， 则， 所以实数m的取值范围是. 19．（17分） 【答案】(1)， (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 (3) 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 预备知识（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求出分式不等式的解集即可. 【详解】因为不等式满足，所以， 所以，即，解得. 所以该不等式的解集为. 2．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. 3．已知集合，，则（    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 【答案】C 【详解】由题意可得，且（）为非负偶数， 又，故⫋. 4．设，使得不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，再根据不必要条件的判断方法即可确定选项. 【详解】由解得，即不等式的解集为， 而在选项中，仅有C项中的范围是的真子集，故C正确. 5．已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】举反例逐一判断三个不等式，已知仅给出条件，没有限定的正负性： ①：取，，满足，但，，此时，故①不恒成立； ②：取，，满足，但，，此时，故②不恒成立； ③：取，，满足，此时，，，即， 故③也不恒成立； 三个不等式都无法在的条件下保证成立，成立的个数为. 6．若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且，解得， 因为，所以，解得或（舍去）. 所以实数的值为. 7．已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两根，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 8．若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，，则实数m的取值范围是. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．已知，，为实数，则下列命题成立的是（    ） A．若，则 B．，，，都有 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为4 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式的性质，抛物线的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，是实数，若，则不成立，所以A错误； 对于B，. 因为，所以， 所以，，，恒成立， 当且仅当时，等号成立，所以B正确； 对于C，因为，所以，所以. 根据抛物线的性质可知，当时，的最大值为，所以C正确； 对于D，因为，所以令，则. 所以. 由基本不等式的性质可得，所以. 当且仅当，即时，等号成立， 此时的最小值为4，所以D正确. 10．下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 【答案】AB 【详解】不等式，即，解得或， 故不等式的解集为或，A正确； 不等式，即，即， 所以，解得， 故不等式的解集为，B正确； 不等式，即或，解得或， 即不等式的解集为或，C错误； 因为不等式， 所以，即，D选项的解集中包含了，所以D错误. 11．已知，，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为3 【答案】AC 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，对平方后利用基本不等式判断；对于C，由，再结合基本不等式分析判断；对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由 ，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故B错误； 对于C：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故C正确； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知函数，当时，不等式解集 【答案】 先因式分解找到两根，再比较两个根与的大小，分三类讨论求解集. 【详解】（1）当时，不等式为， 即，所以 所以不等式的解集为； 13．已知集合，．)若，求实数的取值范围 【答案】 ）由（1）知，． 因为恒成立，所以， 所以或，即或． 所以实数的取值范围为． 14．已知集合，集合，．记，且集合中有且仅有一个整数，求实数的取值范围 【答案】或． 由于，且集合中有且仅有一个整数. 当时，，则，舍； 当时，，此时， 中仅有整数，则，即； 当时，，中仅有整数， 则，即． 综上，实数k的取值范围为或． 四、解答题（本题共5小题） 15．（13分）已知集合，集合 (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入求出集合，再根据交集的定义即可计算； （2）依题意可得为的真子集，分与两种情况讨论，即可求解的取值范围． 【详解】（1）当时，， 因此． （2）若“”是“”的必要不充分条件，则为的真子集， 当时，即，解得， 当时，则，解得，检验符合， 因此的取值范围为． 16．（15分）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合子集关系求解即可. （2）将问题转化为集合是集合的真子集即可求解. 【详解】（1）由题意， 因为，所以； 所以，解得， 所以实数的取值范围为 （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得 ， 经检验，时，，与集合是集合的真子集矛盾，故舍去. 综上所述，实数的取值范围为． 17．（15分）已知正数满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基本不等式“1”的妙用即可得解； （2）利用（1）中结论，将问题转化为恒成立，解之即可得解. 【详解】（1）因为正数满足，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）由（1）知，的最小值为， 而恒成立，所以恒成立， 即，解得， 所以取值范围为. 18．（17分）设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由为假命题，则的否定：，为真命题， 即，， 而当时，， 当且仅当时取等号，因此， 因为为假命题且为真命题，则， 则， 所以实数m的取值范围是. 19．（17分）已知关于的不等式 的解集为． (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 (3) 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $