第3章 实数（举一反三讲义）数学新教材浙教版七年级上册

该初中数学实数单元复习讲义通过题型分类系统梳理知识体系，涵盖无理数判断、平方根与立方根计算、实数分类等基础内容，到综合运算、应用探究等进阶要点，用例题与变式题呈现知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从夯实基础到创新思辨，每个题型配例题与变式，如“算术平方根的应用”结合实际问题培养模型意识，“规律探究问题”提升推理能力，助力不同层次学生掌握方法，支持教师精准教学。

第3章 实数（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材浙教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 判断无理数】 1 【题型2 求一个数的平方根】 3 【题型3 求一个数的算术平方根】 4 【题型4 求一个数的立方根】 5 【题型5 判断平方根与立方根的性质】 6 【题型6 利用平方根与立方根求值】 8 【题型7 实数的分类】 9 【题型8 无理数的估算】 11 【题型9 实数与数轴的对应关系】 13 【题型10 实数的相反数与绝对值】 14 【进阶拔高】 15 【题型11 平方根与算术平方根的区别】 15 【题型12 已知平方根求这个数】 18 【题型13 已知立方根求这个数】 19 【题型14 利用算术平方根非负性求字母的值】 21 【题型15 实数的大小比较】 22 【题型16 实数在数轴上的位置判断】 24 【题型17 平方根与立方根综合求值】 26 【题型18 无理数估算与整数部分】 29 【题型19 实数的综合运算】 32 【题型20 程序设计与实数运算】 34 【创新思辨】 37 【题型21 算术平方根的应用】 37 【题型22 含参平方根与立方根综合】 39 【题型23 实数与数轴综合探究】 42 【题型24 立方根的应用】 49 【题型25 实数中的规律探究问题】 51 【夯实基础】 【题型1 判断无理数】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期末）下列四个实数中，是无理数的是（     ） A．0 B． C．   D．2 【答案】C 【分析】需先化简带根号的数，再根据无理数的定义判断各选项． 【详解】解：0，2均为整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 开方开不尽，为无理数． 【变式1-1】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）请写出一个小于的无理数：________．（写出一个正确答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据无理数的定义，利用算术平方根估算无理数的大小，即可得到符合要求的无理数． 【详解】解：， ， ∴， 又是无理数， 是小于的无理数． 【变式1-2】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在实数：，5，，，中，负无理数有_____个． 【答案】2 【分析】先将各数化简，再根据负无理数的定义逐一判断，统计得到负无理数的个数． 【详解】解：是负无理数，是正有理数，是负有理数，是负无理数，是正有理数， 因此负无理数共有个． 【变式1-3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）有六个数：，，，，，（相邻的两个2之间依次多一个0）．若其中无理数的个数为x，非负数的个数为y，则______． 【答案】6 【分析】先根据无理数的定义确定无理数的个数得到的值，再根据非负数的定义确定非负数的个数得到的值，最后计算即可． 【详解】解：无理数为：，（相邻的两个2之间依次多一个0），共个，即， 非负数为：，，，，共个，即， 则． 【题型2 求一个数的平方根】 【例2】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）13的平方根是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴13的平方根是． 【变式2-1】（25-26七年级下·全国·单元测试）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是(　　　) A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1 【答案】D 【分析】根据平方根的性质解答即可. 【详解】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根； B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根； C、>0，∴该数有平方根； D、∵，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根； 故选：D. 【点睛】此题考查了平方根的性质：正数有两个平方根，0有一个平方根是0，负数没有平方根，正确掌握实数的大小估算确定其为正数、负数或是0是解题的关键. 【变式2-3】（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：表示的算术平方根. ∵， ∴． 【题型3 求一个数的算术平方根】 【例3】（25-26八年级下·云南德宏·期末）计算：=______． 【答案】2 【分析】利用平方运算，求一个数的算术平方根，或二次根式的运算性质计算即可． 【详解】解：方法一：, 方法二： 【变式3-1】（25-26七年级下·江西宜春·期末）的算术平方根是____________． 【答案】2026 【分析】根据算术平方根的定义，先计算乘方结果，再求出其正的算术平方根即可． 【详解】解：， 所以的算术平方根是2026． 【变式3-2】（25-26八年级下·重庆开州·期末）已知，且，则的值为_________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质得到的所有可能值，再根据二次根式有意义的条件确定的取值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ，即， ，二次根式有意义的条件为被开方数是非负数， ， 解得， 不符合题意，舍去， ∴， 将代入得， ． 【变式3-3】（25-26七年级下·天津津南·期末）计算的结果等于_________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义和性质，将被开方数写成某个数的立方，即可计算出这个数的立方根． 【详解】解：，， ∴， ∴． 【题型4 求一个数的立方根】 【例4】（25-26七年级下·云南红河·期中）的立方根是（     ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【详解】∵， 又， 的立方根是， 即的立方根是． 【变式4-1】（25-26七年级下·山东滨州·期末）对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（     ） A．平方根是2 B．算术平方根是2 C．立方根是2 D．立方根是 【答案】D 【分析】先根据新定义运算求出的结果，再根据平方根、算术平方根、立方根的定义判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵负数没有平方根和算术平方根，因此排除A、B选项， 又∵， ∴结果的立方根是，D正确． 【变式4-2】（25-26七年级下·广东汕头·期末）已知，，，则（     ） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 【答案】B 【分析】被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么开立方的结果的小数点向右移动一位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 【变式4-3】（25-26九年级下·安徽淮南·自主招生）若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根式的运算性质，特别是奇次根式与偶次根式的区别，以及绝对值的应用，理解相关概念是解题的关键. 【详解】解： ∵； ∴ 故选：A. 【题型5 判断平方根与立方根的性质】 【例5】（25-26七年级下·新疆巴州·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．8的立方根是 C．4的平方根是2 D．是2的平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根与立方根的定义，根据定义逐一计算判断各选项即可得到正确结果． 【详解】A．，所以，的平方根是，因此本选项错误，不符合题意； B．，所以，的立方根是，因此本选项错误，不符合题意； C．，所以，的平方根是，因此本选项错误，不符合题意； D．，所以，是的平方根，因此本选项正确，符合题意； 【变式5-1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根的定义，先判断表示形式，再验证计算结果．即正数的平方根表示为，是算术平方根，是立方根． 【详解】解：64的平方根需表示为，A、C、D均不符合该形式． ∵， ∴，选项B正确． 【变式5-2】（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 【答案】D 【详解】解：A选项，，即1的立方等于本身，故A为假命题； B选项，，即0的绝对值等于本身，故B为假命题； C选项，的平方根是，不等于本身，故C为假命题； D选项，，，的立方根均等于本身，故D为真命题． 【变式5-3】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如表为嘉琪同学的答卷，她的得分应是（     ） 姓名：嘉琪  得分：__________ 填空：（每小题20分，共100分） ①的倒数是； ②的绝对值是 ； ③4的算术平方根为 2 ； ④平方根与立方根相等的数是 0 ； ⑤． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【答案】C 【分析】先根据倒数、绝对值、算术平方根、平方根、立方根的定义，逐个判断嘉琪的答案是否正确，再计算得分即可． 【详解】解：逐个判断正误： ①的倒数是，嘉琪答案错误； ②负数的绝对值是它的相反数，，嘉琪答案正确； ③算术平方根为非负数，4的算术平方根是，嘉琪答案正确； ④只有0的平方根与立方根相等，嘉琪答案正确； ⑤，嘉琪答案正确； ∴嘉琪共做对4道题，每小题20分，得分为分． 【题型6 利用平方根与立方根求值】 【例6】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 【变式6-1】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）计算的结果为________． 【答案】 【分析】根据平方、立方的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式6-2】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）若，则x的立方根是_______ 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．根据算术平方根的定义可求出x的值，再求它的立方根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴x的立方根是3． 故答案为：3． 【变式6-3】（25-26七年级下·新疆·期中）已知甲数是的算术平方根，乙数是的立方根，则甲、乙两个数的积是__． 【答案】2 【分析】分别根据算术平方根、立方根的定义可以求出甲数、乙数，进而即可求得题目结果． 【详解】解：∵甲数是的算术平方根 ∴甲数等于； ∵乙数是的立方根， ∴乙数等于． ∴甲、乙两个数的积是×=2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了算术立方根、平方根的定义，其中求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同． 【题型7 实数的分类】 【例7】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【答案】B 【分析】本题考查了实数的相关概念． 无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．． 【详解】A．有理数也包括无限循环小数（如），原说法错误，本选项不符合题意； B．无理数是无限不循环小数，原说法正确，本选项符合题意； C．无限小数也包括无限循环小数，而无限循环小数是有理数，故原说法错误，本选项不符合题意； D．是无理数，分数属于有理数，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式7-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】本题考查实数、有理数的定义，解题的关键是掌握：有理数和无理数统称为实数，整数和分数统称为有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．有理数和无理数统称为实数，实数包括正实数、负实数和0，原说法遗漏了0，故原说法不正确，故此选项不符合题意； B．有理数由正有理数、负有理数和0组成，而选项中的“正数”包含了无理数（如），故原说法不正确，故此选项不符合题意； C．有理数和无理数统称为实数，原说法不正确，故此选项不符合题意； D．无理数和有理数统称实数，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式7-2】（25-26七年级下·福建福州·期中）在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 【答案】⑥⑨；①④；②③⑦⑧⑩ 【分析】逐个分析每个数：如果一个数是像0、绝对值化简后为整数的数，那么它属于整数；如果一个数是小于0的分数（包括可化为分数的有限小数），那么它属于负分数；如果一个数是大于0且无限不循环的小数，那么它属于正无理数． 【详解】解：整数有：⑥⑨； 负分数有：①④； 正无理数有：②③⑦⑧⑩． 【变式7-3】（25-26七年级下·四川泸州·期中）把下列各数填入相应的集合内： ， ，，， ，，， (1)有理数集合：｛               ｝ (2)无理数集合：｛               ｝ (3)正实数集合：｛               ｝ (4)负实数集合：｛               ｝ 【答案】(1)，， ， ，， (2)，； (3)， ， ，，； (4)， ，． 【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，负实数是小于0的所有实数；结合，，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴有理数集合：｛，，，，，｝ （2）解：无理数集合：｛，｝ （3）解：正实数集合：｛，，，，｝ （4）解：负实数集合：｛，，｝ 【题型8 无理数的估算】 【例8】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找到与相邻的完全平方数，估算的取值范围，结合已知不等式确定的值． 【详解】解：∵，，且， ∴，即， ∵为正整数且， ∴． 【变式8-1】（25-26七年级下·天津津南·期末）估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴估计的值在6和7之间． 【变式8-2】（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）在与之间的整数是__________． 【答案】7 【详解】解：∵，且， ， 因此与之间的整数是． 【变式8-3】（24-25七年级下·湖南张家界·期中）规定无理数m的整数部分记为[m]，小数部分记为{m}，例如：，． (1)＝_________；＝_________． (2)求的值． 【答案】(1)3，； (2)1． 【分析】本题考查了估算无理数的大小，求一个数的平方根．解题的关键是理解题意，掌握估算无理数大小的方法，正确计算． （1）先根据无理数的大小估算办法估算即可； （2）先根据无理数的大小估算办法估算，然后再计算实数的混合运算． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3，； （2）∵， ∴，， ∴， ， ∴． 【题型9 实数与数轴的对应关系】 【例9】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）如图，数轴上在点A，点B之间，且表示整数的点有_____个． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴估算无理数的大小，解题关键是先判断和的范围． 由大于的最小整数为，小于的最大整数为，即可确定，两点之间表示整数的点的个数． 【详解】解：∵，， ∴数轴上介于和之间的整数有、、、， ∴在数轴上的点，点之间表示整数的点有4个． 【变式9-1】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴确定被遮挡数的取值范围． 【详解】解：由图可知，被手掌遮挡住的数在2与3之间． ， 该数应满足， A．，不合题意， B．，不合题意， C．，符合题意， D．，不合题意． 【变式9-2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴可得，则，然后化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴原式 . 【变式9-3】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点对应刻度尺上的“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点处，以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点．则点在刻度尺上对应的数为______． 【答案】 【详解】解：由题意得，正方形的边长为， ∵数轴上点对应刻度尺上的“4”， 以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点 ∴点在刻度尺上对应的数为． 【题型10 实数的相反数与绝对值】 【例10】（25-26七年级下·天津津南·期末）的绝对值是_________；的相反数是_________． 【答案】 【分析】根据绝对值和相反数的定义计算即可． 【详解】解：由题意得，的绝对值为； 的相反数为． 【变式10-1】（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：，，，故A，B，C选项中的两数均相等，不是相反数； D选项中，，两数互为相反数. 【变式10-2】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【答案】D 【分析】根据绝对值，相反数，倒数，有理数和无理数的定义逐一判断选项，找出错误说法. 【详解】解：∵ 负数的绝对值是它的相反数，，A选项说法正确； ∵ 只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是，B选项说法正确； ∵ 乘积为的两个数互为倒数，，的倒数是，C选项说法正确； ∵ 是开方开不尽的数，属于无理数，是无理数，不是有理数，D选项说法错误. 【变式10-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，求解代数式的值，正确掌握相关定义是解题关键． 根据相反数、倒数、绝对值的性质分别得出，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 【进阶拔高】 【题型11 平方根与算术平方根的区别】 【例11】（25-26七年级上·山东泰安·期末）下列说法不正确的是（   ） A．4的平方根是 B．的立方根是 C．5没有算术平方根 D．0的平方根和立方根都是0 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根和立方根的基本概念，解题的关键是掌握以上概念． 根据平方根和立方根的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A. 4的平方根是，该选项正确，不符合题意； B. 的立方根是，该选项正确，不符合题意； C. 5的算术平方根是，该选项错误，符合题意； D. 0的平方根和立方根都是0，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式11-1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（     ） A．算术平方根等于本身的数只有0 B．平方根等于本身的数是0和1 C．立方根等于本身的数是0和 D．负数没有立方根 【答案】C 【分析】根据平方根、立方根的定义依次验证4个选项． 【详解】解：A、算术平方根等于本身的数是0和1，故A项不符合题意； B、平方根等于本身的数只有0，故 B项不符合题意； C、立方根等于本身的数是0和，故C项符合题意； D、负数有立方根，故D项不符合题意． 故答案为C． 【变式11-2】（26-27八年级上·全国·课后作业）完成下列表格： 被开方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 算术平方根 平方根 【答案】 被开方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 算术平方根 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平方根 0 【分析】对于非负数，若，则是的平方根，其中非负的平方根是的算术平方根，据此计算对应值即可 【详解】解：根据定义逐个计算： 当被开方数为时， ∵ ，且是非负数， ∴ 的算术平方根为，平方根为； 当被开方数为时， ∵ ，其中非负平方根为， ∴ 的算术平方根为，平方根为； 当被开方数为时， ∵ ，其中非负平方根为， ∴ 的算术平方根为，平方根为； 同理可推得其余被开方数的结果： 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为； 被开方数：算术平方根为，平方根为 完成表格见答案 【变式11-3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果一个正数的平方根是m，那么这个数的另一个平方根是______，这个数的算术平方根是______，两个平方根的和是____． 【答案】 0 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得另一个平方根，再根据算术平方根的非负性可得这个数的算术平方根，最后根据相反数的性质即可解答． 【详解】解：∵一个正数的平方根是m， ∴那么这个数的另一个平方根是； 根据算术平方根的非负性可知，这个正数的算术平方根是； 根据一个正数的两个平方根互为相反数可知，这个正数的0． 故答案为，，0． 【点睛】本题主考查了平方根、算术平方根的意义，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解答本题的关键． 【题型12 已知平方根求这个数】 【例12】（25-26七年级下·山东德州·期中）已知一个正数的平方根分别为和，这个正数是___________． 【答案】9 【分析】一个正数的两个平方根是互为相反数的，据此可得，求出，再根据平方根的定义即可求出这个正数． 【详解】解：一个正数的平方根分别为和， ∴，解得：， ∴， ∴这个正数是． 【变式12-1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】D 【分析】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．根据平方根的性质即可求出答案． 【详解】解：与是同一个数的两个不等的平方根， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故选：D． 【变式12-2】（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出的值，进而可求出的值； （2）根据（1）所求代入求值即可． 【详解】（1）解：∵和是实数的两个不同的平方根， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， ∴． 【变式12-3】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】根据平方根、算术平方根的概念列式求解得到，再代入计算，最后算出平方根即可． 【详解】解：根据题意，，， 解得， ∴， ∴的平方根是． 【题型13 已知立方根求这个数】 【例13】（25-26七年级下·全国·课后作业）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是_________． 【答案】或1 【分析】设非零实数为 ，根据立方根的定义列出方程 ，通过立方运算和解方程求解． 本题考查了立方根，熟练掌握立方根的相关计算是解题的关键． 【详解】解：设这个非零实数为 ，则 ． 两边立方得 ，即 ． 因式分解得 ． 由于 ， 所以 或 ， 解得 或 ． 经检验， 和 都满足题意． 故答案为 1 或 ． 【变式13-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的值是________． 【答案】0或2/2或0 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出x的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值是0或2， 故答案为：0或2． 【变式13-2】（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， 解得，， ∴． 【变式13-3】．已知是的立方根，而是的相反数，且，求与的平方和的立方根． 【答案】 【分析】根据立方根定义和相反数性质列方程组，求解得到，，再计算的立方根即可． 【详解】解：∵是的立方根， ∴，， ∵是的相反数， ∴， ∴，两边同时立方可得：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∴，， ∴． 【题型14 利用算术平方根非负性求字母的值】 【例14】（25-26七年级下·重庆·期末）已知实数满足，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出不等式组求出的值，再代入求出的值，最后计算即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得， 解不等式组得． 将代入，得． 则． 【变式14-1】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 【变式14-2】（25-26七年级下·山东日照·阶段检测）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性确定的取值范围，再化简绝对值，整理等式变形即可求出所求式子的值． 【详解】解：由题意可得，，即 ， 由， 可得， ， ， ． 【变式14-3】（25-26七年级下·江西新余·期末）设，都是实数，且满足，求式子的算术平方根． 【答案】 【分析】先由平方和算术平方根的非负性求解，然后求解代数式的值，再求解算术平方根． 【详解】解：∵ ∴， 解得， 则    所以的算术平方根为． 【题型15 实数的大小比较】 【例15】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 【答案】 【分析】通过变形将问题转化为比较和的大小，利用算术平方根的性质估算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式15-1】（2026·山东威海·三模）在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】根据，，，确定绝对值的大小，根据实数的大小比较，求解即可． 【详解】解：3是正数，，，均为负数， ∵正数大于负数， ∴3是最大的数； ，，的绝对值分别为，，，且，，， ∵， ∴， ∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴， 故是最小的． 【变式15-2】（25-26七年级下·上海·期末）已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据平方根、绝对值、立方根的定义分别求出，和的值，比较大小得到最大数和最小数，计算两者的差即可． 【详解】解：是的负平方根， ． ，， ，即 最大的实数是，最小的实数是， ． 【变式15-3】（26-27八年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对两个正根式作6次乘方，转化为有理数比较大小． （2）先比较立方根的大小，再推导负数的大小关系． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴，； ∵， ∴； （2）解：∵ ， ∴， ∴． 【题型16 实数在数轴上的位置判断】 【例16】（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，，在数轴上对应的点分别为，点是的中点，则数轴上点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的特征，以及两点间的距离的求法，解题的关键是要熟练掌握这些内容． 设表示的数是，根据，求出的值即可． 【详解】解：设表示的数是， ∵， ∴ ∴． 【变式16-1】（2026·陕西渭南·模拟预测）若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 【答案】 【分析】首先利用算术平方根的性质估算出分别在哪两个连续整数之间，然后观察数轴确定墨迹覆盖的数值范围，最后找出位于该范围内的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由图可知，墨迹覆盖的范围是2到3之间， 能被墨迹覆盖的数是． 【变式16-2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在数轴上有A，B，C，D四个点，则下列说法正确的是（     ） A．点A表示的数可能是 B．点B表示的数可能是 C．点C表示的数可能是 D．点D表示的数可能是 【答案】D 【分析】先估算各选项中无理数的大小，确定其所在的整数区间，再结合数轴上各点的位置进行判断． 【详解】解： ， ， ， 而点在与之间，故A选项错误； ， ， 而点在与之间，故B选项错误； ， ， 而点在与之间，故C选项错误； ， ， 而点在与之间，故D选项正确． 【变式16-3】（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是_____． (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)； (2)的值为2； (3)的平方根为． 【分析】（1）根据点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，即可得到的值； （2）根据数轴得到的取值范围，去绝对值化简即可得出答案； （3）根据非负数的性质得到的值，代入求值，再求平方根得出答案． 【详解】（1）解：∵点A表示，蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B， ∴点表示的数为：； （2）解：由数轴可知，， ∴，， ． （3）解：与互为相反数， ， ，， 解得：，， ， 的平方根为． 【题型17 平方根与立方根综合求值】 【例17】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知是27的立方根，的算术平方根是4． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义列出关于、的方程，联立求解得到、的值； （2）将与的值代入计算，最后根据平方根的定义得到结果． 【详解】（1）解：∵是27的立方根，且的立方根是， ∴， ∵的算术平方根是， ∴， 整理得， 联立得方程组， 解得； （2）解：把，代入得， ∴的平方根为． 【变式17-1】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 【变式17-2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则______． 【答案】105或104 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根，解题的关键是理解算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．     根据平方根、算术平方根与立方根的定义分别计算出a、b、c的值，再代入代数式求值即可． 【详解】由题意可知： 解得：或． ∴， 或． 故答案为：105或104． 【变式17-3】（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义列方程求出，进而求出，再根据算术平方根的定义列方程求出； （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：一个非负数的平方根是与， ， 解得， 非负数的一个平方根是， ， 的算术平方根是，， ， 解得； （2）解： ，，， ， 的立方根为． 【题型18 无理数估算与整数部分】 【例18】（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)②④ (3) 【分析】（1）估算范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分为． （2）解：据图可知， 则，， 为无理数，则为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， 故，②正确； ， ， ，， ， 故③不正确； ， ， ， ④正确， 综上，正确的说法为②④． （3）解：，即， 则， 可得， 则，， 故． 【变式18-1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 【变式18-2】（25-26七年级下·山东德州·期中）若的整数部分是x，小数部分是y，则的值为________． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，确定的整数部分，再根据无理数中整数部分与小数部分的关系得到小数部分y，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，即， 的整数部分， 小数部分， 将，代入，得． 【变式18-3】（25-26七年级下·贵州安顺·期末）阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2)取无理数（答案不唯一），理由如下： ，，， ， ，的小数部分为， 的整数部分为，的小数部分为， 二者小数部分相等，符合要求． (3) 【分析】（1）通过平方数估算无理数取值范围，确定整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）利用“无理数加整数后小数部分不变”构造同小数部分的无理数； （3）分别表示出两个代数式的小数部分再相加，最后计算和的平方根． 【详解】（1）解：，，， ， ， 的整数部分为， 的小数部分为； （2）略 （3）解：， ，， 的整数部分为，的整数部分为， ，， ， 的平方根为． 【题型19 实数的综合运算】 【例19】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解：原式 【变式19-1】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： . 【变式19-2】（25-26七年级下·山东德州·期中）计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： 移项得：， 直接开平方得：； （3）解： 开立方得：， 解得：． 【变式19-3】（25-26七年级下·广东肇庆·期末）计算：． 【答案】 【详解】解： 【题型20 程序设计与实数运算】 【例20】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2) 解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）略 （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 【变式20-1】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 【答案】/0.5 【分析】根据程序图所示的运算顺序，对输入的依次进行平方、开立方、取倒数、开算术平方根的运算即可得出结果． 【详解】解：第一步，取的平方，即， 第二步，对结果取立方根，即， 第三步，对结果取倒数，即， 第四步，对结果取算术平方根，即， 因此，当输入时，输出的结果是． 【变式20-2】（25-26七年级下·重庆·期中）在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 【变式20-3】有一个数值转换器．原理如图． （1）当输入的为81时，输出的是多少？ （2）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由； （3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？ （4）若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【答案】（1）；（2）0或1； （3）∵负数没有算术平方根， ∴输入的数据可能是负数； （4）不唯一，5和25 【分析】（1）根据运算规则即可求解； （2）根据0和1的算术平方根即可判断； （3）根据算术平方根的定义，被开方数是非负数即可求解； （4）找到使得输出值为的两个数即可． 【详解】解：（1）当x=81时， =9，=3，是无理数， 故y=； （2）当x=0或1时，始终输不出y值． 因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数； （3） 略 （4）25的算术平方根是5，5的算术平方根是， 故输入的值不唯一，例如5和25． 【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确把握数值转换器的原理是解题关键． 【创新思辨】 【题型21 算术平方根的应用】 【例21】（25-26七年级下·陕西延安·期中）小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【答案】6 【分析】先根据正方体体积公式求出印章的棱长，得到长方体木匣的宽，再设木匣的长为未知数，根据长方体体积公式求解即可． 【详解】解：设正方体印章的棱长为， 由正方体体积公式得：， ∴， 因此木匣的宽为， 设木匣的长为，则木匣的高也为， 根据长方体体积公式可得：，即， 所以， 即木匣的长为． 【变式21-1】（25-26八年级下·山东临沂·期中）青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中G表示体重，h表示身高．已知小红的体重为，她的值为20，则她的身高是________ ． 【答案】 【详解】解：设小红的身高为， 由题意得， 整理得， 解得（负值舍去），则她的身高是． 【变式21-2】（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在做浮力实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用量筒量得溢出水的体积为；然后小明将铁块从烧杯中提起至完全脱离水面，量得烧杯中的水位下降．当时，烧杯内部的底面半径为__________． 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，根据溢出的水的体积等于圆柱的体积建立方程求解即可．弄清题意并列出方程是解题的关键． 【详解】解：烧杯内部的底面半径为， 根据题意，得： ， ∴， ∴或， ∵， ∴ 即烧杯内部的底面半径为． 故答案为：． 【变式21-3】（25-26七年级下·山西吕梁·期中）小康为研究汽车紧急制动时的安全刹车距离，整理出如下实验数据： 34 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 34.7 34.8 34.9 35 1156 1162.81 1169.64 1176.49 1183.36 1190.25 1197.16 1204.09 1211.04 1218.01 1225 根据上述表格内容，完成下列问题． (1)比较大小：________； (2)汽车在干燥水泥路面紧急刹车时，制动距离（单位：）与刹车前的行驶速度（单位：）之间的关系近似满足．现有一辆汽车在该路面行驶时突发状况，紧急刹车后测得制动距离，求这辆汽车刹车前的行驶速度大约是多少？ 【答案】(1) (2)这辆汽车刹车前的行驶速度大约是 【分析】（1）由表中数据得到，结合无理数比较大小的方法求解即可； （2）先由题中数据求出，再由表中数据估算出即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知，， ， ； （2）解：根据公式，代入制动距离， 得， 则或（负值，舍去）， 结合表格中的数据，可知，则， 答：这辆汽车刹车前的行驶速度大约是． 【题型22 含参平方根与立方根综合】 【例22】（25-26八年级上·河南郑州·开学考试）按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用算术平方根的非负性求出x、y的值，再计算的立方根即可； （2）利用立方根的性质求出x的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴， ∵； 的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 【变式22-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【答案】(1)，或；； (2) 【分析】本题考查了立方根、平方根的定义以及实数大小比较，关键是根据平方根的双值性求出的所有可能值，再分别计算和，从而比较大小和求的值． （1）先根据立方根的定义求出，再根据平方根和立方根的定义求出的所有可能值，然后计算，最后根据正数大于负数，以及正数之间的大小比较规则比较，，的大小． （2）先根据的不同取值分别计算的值，再对结果进行平方，得到的所有可能值． 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴． ∵的平方根是，的立方根是， ∴当取时，；当取时，． ∴或． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴； 综上，； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 故只有一个值为． 【变式22-2】（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 【变式22-3】（25-26八年级上·贵州毕节·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，一个正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 【答案】 【分析】根据立方根、算术平方根、无理数的估算、平方根的定义，先求出a、b、c、d的值，然后代入代数式求值，再计算平方根即可. 【详解】解：根据题意， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的平方根为：. 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是利用性质求出a、b、c、d值，然后再求的平方根，特别是最终求值，是本题的易错点．题目整体较难，适合课后培优训练． 【题型23 实数与数轴综合探究】 【例23】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，将面积分别为10和6的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为________；点B表示的数为________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ，． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示数的整数部分为________，小数部分为________． (3)记的整数部分是x，小数部分是y，求x和y的值． 【答案】(1)；． (2)2； (3)，． 【分析】本题考查了算术平方根、数轴上的点与实数的对应关系、无理数的整数部分与小数部分的求解，解题的关键是利用正方形面积求边长，再结合夹逼法确定无理数的整数部分与小数部分． （1）由正方形面积求边长，再根据数轴上点的位置确定表示的数； （2）用夹逼法估算的范围，确定其整数部分与小数部分； （3）用夹逼法估算的范围，进而确定的整数部分与小数部分． 【详解】（1）解：∵ 面积为10的正方形边长为，点A在原点左侧， ∴ 点A表示的数为． ∵ 面积为6的正方形边长为，点B在原点右侧， ∴ 点B表示的数为． （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ 的整数部分为2，小数部分为． （3）解：∵ ， ∴ ， 即， ∴ 的整数部分， 小数部分． ∴ ，． 【变式23-1】（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)计算：________；________； (2)若，写出所有满足题意的的整数值________； (3)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，试求的值． (4)①请你计算； ②请你观察①，思考并计算，直接写出答案________． 【答案】(1)2；6 (2)1或2或3 (3)的值为 (4)①；② 【分析】（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的x的整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （4）①同（1）逐项化简，然后求解即可； ②由①归纳规律，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，且为整数， ∴或或． （3）解：∵点A表示1，点B表示，点是的中点， ∴点C表示的数为， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即的值为． （4）解：① ； ②由①得， ， ， ； ∵，， ∴ ． 【变式23-2】（25-26七年级上·青海西宁·期末）综合与实践 阅读： 我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，既表示，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；表示，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”． 理解： （1）已知，计算和的值；并在数轴上分别表示出a、、对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值） （2）观察，，，，，…，写出（n为正整数）的末位数字的规律，再求的末位数字． 应用： （3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______． （4）已知，求的值，并说明该值在数轴上的位置特征． 拓展： （5）当n为正整数时，探究的值；并思考：是否存在整数x，使得？若存在，求x的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），， a用点A、用点B、用点C表示． ． （2）规律为周期为（、、、循环），末位数字是； （3）或；或或； （4）；是正数，在原点右侧，且距离原点个单位长度处； （5）； 不存在，理由如下： ，， 当时， 且， 解得：且， ， 的值不存在． 【分析】此题考查了数轴和实数、绝对值和偶次方的非负性、末位数字的特征，熟练运用这些性质是关键． （1）按乘方公式计算，并表示在数轴上即可； （2）通过观察已知数的个位数字，找到规律，再利用规律求的末位数字即可； （3）设未知数列方程再解即可； （4）根据绝对值和偶次方的非负性计算即可； （5）根据n为正整数时，n和是两个连续的自然数求值即可；根据绝对值和偶次方的非负性计算，判断x的值是否存在即可． 【详解】解：（1）， ， ， ，， 在数轴上原点左侧3个单位处； ，， 在数轴上原点右侧9个单位处； ，， 在原点左侧27个单位处． （2），，，， ，，，，， 周期为（2、4、8、6循环）， ，余数为1，对应周期的第一个数， 故的末位数字是； （3）设数x的平方等于它本身，即： ， 解得：或， 故答案为：0或1； 设数y的立方等于它本身，即： ， 解得：或或， 故答案为：0或1或； （4）， 且， 解得：，， ， 是正数，在原点右侧，且距离原点个单位长度处； （5）为正整数， 和是两个连续的正整数即：（一奇数一偶数） 当时，，此时； 当时，，此时； 综上，当n为正整数时，； 不存在整数x，使得， 【变式23-3】（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. (1) ______. (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根. 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式计算即可； （2）由（1）可得、，再利用绝对值的性质化简绝对值号，最后合并同类项即可解答； （3）根据绝对值和算术平方根的非负性质求出、的值，再代入，进而求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右爬了个单位长度到达点，点表示 ∴点表示 ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ∴， ∴ ． （3）解：∵与互为相反数 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 即的平方根是． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴、绝对值的性质、相反数的性质、非负数的性质、求一个数的平方根等知识点，掌握并灵活运用相关性质是解题的关键． 【题型24 立方根的应用】 【例24】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 【答案】9 【分析】根据题意可知，水位升高部分的圆柱体体积等于正方体的体积，根据圆柱和正方体的体积公式列方程，再利用立方根的意义求解，最后对结果取整数即可. 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，， 将代入， 可得：， ， ， 正方体的棱长为． 【变式24-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的表面积为___________． 【答案】486 【分析】先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方体水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长，进而根据正方体的表面积公式即可求解． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的棱长为， ∴第二个水箱的表面积为． 【变式24-2】（24-25七年级下·河南商丘·阶段检测）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 【变式24-3】（25-26七年级下·福建南平·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出：．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是___________； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是___________； ___________． (2)在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模型的体素总数为．为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型体素的，求缩小后该正方体模型的边长． 【答案】(1)2，2，22 (2)26 【分析】（1）根据立方数的个位数字规律和数的大小范围来逐步推导． （2）根据题意，先计算出缩小后模型的体素总数，然后利用（1）中学习的方法求其立方根，即可得到缩小后正方体模型的边长． 【详解】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是2； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是2； ． （2）解：缩小后模型的体素总数为， 设缩小后正方体模型的边长为， 所以， 因为， 所以是一个两位数， 因为，个位数字是， 所以的个位数字一定是， 划去后面的三位得， 因为， 所以的十位数字一定是， 所以． 答：缩小后该正方体模型的边长为． 【题型25 实数中的规律探究问题】 【例25】（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 【答案】68 【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，即可解答． 【详解】解：， 又， ， ∴能确定314432的立方根是个两位数． 314432的个位数是2， 又， ∴能确定314432的立方根的个位数是8． 划去314432后面的三位432得到数314，而，则， 可得，由此能确定314432的立方根的十位数是6， 因此314432的立方根是68， 故答案为68． 【变式25-1】（24-25七年级下·湖北十堰·期中）若，则与的数量关系是：_______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，可得 ，即可求解；会用立方根进行求解是解题的关键． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 【变式25-2】（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式25-3】（25-26七年级下·上海·期中）任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对35进行如下操作：，这样对35只需进行3次操作后变为1．那么对520需进行_____次操作后变为1． 【答案】4 【分析】本题考查取整函数与算术平方根的运算．按照题目定义的操作规则，对520连续进行取平方根后向下取整的操作，直至结果为1，统计操作次数即可． 【详解】由于，∴ 故第1次操作：， 同理，第2次操作：， 第3次操作：， 第4次操作：， 对520进行4次操作后变为1． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 实数（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材浙教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 判断无理数】 1 【题型2 求一个数的平方根】 2 【题型3 求一个数的算术平方根】 2 【题型4 求一个数的立方根】 2 【题型5 判断平方根与立方根的性质】 3 【题型6 利用平方根与立方根求值】 4 【题型7 实数的分类】 4 【题型8 无理数的估算】 5 【题型9 实数与数轴的对应关系】 5 【题型10 实数的相反数与绝对值】 6 【进阶拔高】 6 【题型11 平方根与算术平方根的区别】 6 【题型12 已知平方根求这个数】 7 【题型13 已知立方根求这个数】 7 【题型14 利用算术平方根非负性求字母的值】 7 【题型15 实数的大小比较】 8 【题型16 实数在数轴上的位置判断】 8 【题型17 平方根与立方根综合求值】 9 【题型18 无理数估算与整数部分】 9 【题型19 实数的综合运算】 10 【题型20 程序设计与实数运算】 11 【创新思辨】 12 【题型21 算术平方根的应用】 12 【题型22 含参平方根与立方根综合】 13 【题型23 实数与数轴综合探究】 13 【题型24 立方根的应用】 15 【题型25 实数中的规律探究问题】 16 【夯实基础】 【题型1 判断无理数】 【例1】（25-26七年级下·四川成都·期末）下列四个实数中，是无理数的是（     ） A．0 B． C．   D．2 【变式1-1】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）请写出一个小于的无理数：________．（写出一个正确答案即可） 【变式1-2】（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在实数：，5，，，中，负无理数有_____个． 【变式1-3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）有六个数：，，，，，（相邻的两个2之间依次多一个0）．若其中无理数的个数为x，非负数的个数为y，则______． 【题型2 求一个数的平方根】 【例2】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）13的平方根是___________． 【变式2-1】（25-26七年级下·全国·单元测试）一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是(　　　) A．x2＋1 B．|x|＋2 C． D．|a|－1 【变式2-3】（广西梧州市岑溪市2025-2026学年下学期七年级期末数学试卷）（     ） A． B． C． D． 【题型3 求一个数的算术平方根】 【例3】（25-26八年级下·云南德宏·期末）计算：=______． 【变式3-1】（25-26七年级下·江西宜春·期末）的算术平方根是____________． 【变式3-2】（25-26八年级下·重庆开州·期末）已知，且，则的值为_________． 【变式3-3】（25-26七年级下·天津津南·期末）计算的结果等于_________． 【题型4 求一个数的立方根】 【例4】（25-26七年级下·云南红河·期中）的立方根是（     ） A． B．4 C． D．16 【变式4-1】（25-26七年级下·山东滨州·期末）对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（     ） A．平方根是2 B．算术平方根是2 C．立方根是2 D．立方根是 【变式4-2】（25-26七年级下·广东汕头·期末）已知，，，则（     ） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 【变式4-3】（25-26九年级下·安徽淮南·自主招生）若，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【题型5 判断平方根与立方根的性质】 【例5】（25-26七年级下·新疆巴州·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．8的立方根是 C．4的平方根是2 D．是2的平方根 【变式5-1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）下列命题中，真命题是（     ） A．若一个数的立方等于它本身，则这个数一定是 B．若一个数的绝对值等于它本身，则这个数一定是正数 C．若一个数的平方根等于它本身，则这个数是和 D．若一个数的立方根等于它本身，则这个数为、、 【变式5-3】（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如表为嘉琪同学的答卷，她的得分应是（     ） 姓名：嘉琪  得分：__________ 填空：（每小题20分，共100分） ①的倒数是； ②的绝对值是 ； ③4的算术平方根为 2 ； ④平方根与立方根相等的数是 0 ； ⑤． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 【题型6 利用平方根与立方根求值】 【例6】（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【变式6-1】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）计算的结果为________． 【变式6-2】（25-26八年级上·河南洛阳·期中）若，则x的立方根是_______ 【变式6-3】（25-26七年级下·新疆·期中）已知甲数是的算术平方根，乙数是的立方根，则甲、乙两个数的积是__． 【题型7 实数的分类】 【例7】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．有理数是有限小数 B．无理数是无限小数 C．无限小数是无理数 D．是分数 【变式7-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（    ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式7-2】（25-26七年级下·福建福州·期中）在①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦，⑧，⑨，⑩（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填上对应的序号： 整数有____________________； 负分数有____________________； 正无理数有_______________________． 【变式7-3】（25-26七年级下·四川泸州·期中）把下列各数填入相应的集合内： ， ，，， ，，， (1)有理数集合：｛               ｝ (2)无理数集合：｛               ｝ (3)正实数集合：｛               ｝ (4)负实数集合：｛               ｝ 【题型8 无理数的估算】 【例8】（25-26八年级下·重庆荣昌·期末）若为正整数，且满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26七年级下·天津津南·期末）估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【变式8-2】（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）在与之间的整数是__________． 【变式8-3】（24-25七年级下·湖南张家界·期中）规定无理数m的整数部分记为[m]，小数部分记为{m}，例如：，． (1)＝_________；＝_________． (2)求的值． 【题型9 实数与数轴的对应关系】 【例9】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）如图，数轴上在点A，点B之间，且表示整数的点有_____个． 【变式9-1】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26七年级下·山西吕梁·期末）将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点对应刻度尺上的“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点处，以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点．则点在刻度尺上对应的数为______． 【题型10 实数的相反数与绝对值】 【例10】（25-26七年级下·天津津南·期末）的绝对值是_________；的相反数是_________． 【变式10-1】（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【变式10-2】（25-26七年级下·安徽滁州·期末）下列关于的说法错误的是（     ） A．的绝对值是 B．的相反数是 C．的倒数是 D．是有理数 【变式10-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【进阶拔高】 【题型11 平方根与算术平方根的区别】 【例11】（25-26七年级上·山东泰安·期末）下列说法不正确的是（   ） A．4的平方根是 B．的立方根是 C．5没有算术平方根 D．0的平方根和立方根都是0 【变式11-1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）下列关于平方根、算术平方根、立方根的说法，正确的是（     ） A．算术平方根等于本身的数只有0 B．平方根等于本身的数是0和1 C．立方根等于本身的数是0和 D．负数没有立方根 【变式11-2】（26-27八年级上·全国·课后作业）完成下列表格： 被开方数 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 算术平方根 平方根 【变式11-3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果一个正数的平方根是m，那么这个数的另一个平方根是______，这个数的算术平方根是______，两个平方根的和是____． 【题型12 已知平方根求这个数】 【例12】（25-26七年级下·山东德州·期中）已知一个正数的平方根分别为和，这个正数是___________． 【变式12-1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 【变式12-2】（25-26七年级下·广西桂林·期中）已知和是实数的两个不同的平方根． (1)求，的值； (2)计算的值． 【变式12-3】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）已知的平方根是，的算术平方根是，求的平方根． 【题型13 已知立方根求这个数】 【例13】（25-26七年级下·全国·课后作业）如果一个非零实数的立方根等于这个数本身，那么这个数是_________． 【变式13-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则的值是________． 【变式13-2】（25-26七年级下·宁夏固原·期中）已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（     ） A．0 B．1 C． D． 【变式13-3】．已知是的立方根，而是的相反数，且，求与的平方和的立方根． 【题型14 利用算术平方根非负性求字母的值】 【例14】（25-26七年级下·重庆·期末）已知实数满足，则的值为_____． 【变式14-1】（26-27八年级上·四川达州·开学考试）已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【变式14-2】（25-26七年级下·山东日照·阶段检测）已知，则的值为________． 【变式14-3】（25-26七年级下·江西新余·期末）设，都是实数，且满足，求式子的算术平方根． 【题型15 实数的大小比较】 【例15】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）比较大小：______1．（填“”或“”） 【变式15-1】（2026·山东威海·三模）在实数，，，3中，最小的数是（     ） A． B． C． D．3 【变式15-2】（25-26七年级下·上海·期末）已知是的负平方根，，，则，，中最大的实数与最小的实数的差是（     ） A． B．2 C．6 D．8 【变式15-3】（26-27八年级上·全国·课后作业）比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与． 【题型16 实数在数轴上的位置判断】 【例16】（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，，在数轴上对应的点分别为，点是的中点，则数轴上点表示的数是______． 【变式16-1】（2026·陕西渭南·模拟预测）若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 【变式16-2】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在数轴上有A，B，C，D四个点，则下列说法正确的是（     ） A．点A表示的数可能是 B．点B表示的数可能是 C．点C表示的数可能是 D．点D表示的数可能是 【变式16-3】（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是_____． (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【题型17 平方根与立方根综合求值】 【例17】（25-26七年级下·陕西榆林·期末）已知是27的立方根，的算术平方根是4． (1)求与的值； (2)求的平方根． 【变式17-1】（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【变式17-2】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则______． 【变式17-3】（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【题型18 无理数估算与整数部分】 【例18】（25-26七年级下·甘肃嘉峪关·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如： ，即， 的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是________（填序号即可）； ①，均为有理数；②；③；④ (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【变式18-1】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【变式18-2】（25-26七年级下·山东德州·期中）若的整数部分是x，小数部分是y，则的值为________． 【变式18-3】（25-26七年级下·贵州安顺·期末）阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 【题型19 实数的综合运算】 【例19】（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）计算： 【变式19-1】（25-26七年级下·吉林·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式19-2】（25-26七年级下·山东德州·期中）计算： (1) (2)； (3)． 【变式19-3】（25-26七年级下·广东肇庆·期末）计算：． 【题型20 程序设计与实数运算】 【例20】（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【变式20-1】（25-26七年级下·陕西商洛·期中）如图，小雅用计算机设计了一个运算程序图，若输入的的值为时，输出的结果是______． 【变式20-2】（25-26七年级下·重庆·期中）在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【变式20-3】有一个数值转换器．原理如图． （1）当输入的为81时，输出的是多少？ （2）是否存在输入有效的值后，始终输不出值？如果存在．请写出所有满足要求的的值；如果不存在，请说明理由； （3）小明输入数据，在转换器运行程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推算输入的数据可能是什么情况？ （4）若输出的是，试判断输入的值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【创新思辨】 【题型21 算术平方根的应用】 【例21】（25-26七年级下·陕西延安·期中）小亮有一枚体积为的正方体玉石印章，可以放进一个体积为的长方体木匣中（不考虑木匣的厚度），木匣的宽与印章的棱长相等，木匣的长与高相等，则木匣的长为______． 【变式21-1】（25-26八年级下·山东临沂·期中）青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中G表示体重，h表示身高．已知小红的体重为，她的值为20，则她的身高是________ ． 【变式21-2】（24-25八年级上·山西长治·期中）如图，在做浮力实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用量筒量得溢出水的体积为；然后小明将铁块从烧杯中提起至完全脱离水面，量得烧杯中的水位下降．当时，烧杯内部的底面半径为__________． 【变式21-3】（25-26七年级下·山西吕梁·期中）小康为研究汽车紧急制动时的安全刹车距离，整理出如下实验数据： 34 34.1 34.2 34.3 34.4 34.5 34.6 34.7 34.8 34.9 35 1156 1162.81 1169.64 1176.49 1183.36 1190.25 1197.16 1204.09 1211.04 1218.01 1225 根据上述表格内容，完成下列问题． (1)比较大小：________； (2)汽车在干燥水泥路面紧急刹车时，制动距离（单位：）与刹车前的行驶速度（单位：）之间的关系近似满足．现有一辆汽车在该路面行驶时突发状况，紧急刹车后测得制动距离，求这辆汽车刹车前的行驶速度大约是多少？ 【题型22 含参平方根与立方根综合】 【例22】（25-26八年级上·河南郑州·开学考试）按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【变式22-1】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【变式22-2】（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【变式22-3】（25-26八年级上·贵州毕节·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，一个正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 【题型23 实数与数轴综合探究】 【例23】（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）如图，将面积分别为10和6的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为________；点B表示的数为________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ，． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点B所表示数的整数部分为________，小数部分为________． (3)记的整数部分是x，小数部分是y，求x和y的值． 【变式23-1】（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)计算：________；________； (2)若，写出所有满足题意的的整数值________； (3)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，试求的值． (4)①请你计算； ②请你观察①，思考并计算，直接写出答案________． 【变式23-2】（25-26七年级上·青海西宁·期末）综合与实践 阅读： 我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，既表示，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；表示，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”． 理解： （1）已知，计算和的值；并在数轴上分别表示出a、、对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值） （2）观察，，，，，…，写出（n为正整数）的末位数字的规律，再求的末位数字． 应用： （3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______． （4）已知，求的值，并说明该值在数轴上的位置特征． 拓展： （5）当n为正整数时，探究的值；并思考：是否存在整数x，使得？若存在，求x的值；若不存在，说明理由． 【变式23-3】（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m. (1) ______. (2)求的值； (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根. 【题型24 立方根的应用】 【例24】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 【变式24-1】（25-26七年级下·陕西西安·期中）有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的表面积为___________． 【变式24-2】（24-25七年级下·河南商丘·阶段检测）如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【变式24-3】（25-26七年级下·福建南平·期中）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出：．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是___________； 划去后面的三位得10， ， 的十位数字一定是___________； ___________． (2)在软件研发过程中，小明需要处理一个由体素（即体积像素）构成的三维正方体模型，已知该原始模型的体素总数为．为了优化计算性能，需将该模型进行等比例缩小，使其体素总数变为原始模型体素的，求缩小后该正方体模型的边长． 【题型25 实数中的规律探究问题】 【例25】（24-25七年级下·重庆渝北·期末）求59319的立方根，解答如下： ①，又，，∴能确定59319的立方根是个两位数． ②59319的个位数是9，又，∴能确定59319的立方根的个位数是9． ③划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得，由此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是__________． 【变式25-1】（24-25七年级下·湖北十堰·期中）若，则与的数量关系是：_______． 【变式25-2】（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式25-3】（25-26七年级下·上海·期中）任何实数，可用表示不超过的最大整数，如，，现对35进行如下操作：，这样对35只需进行3次操作后变为1．那么对520需进行_____次操作后变为1． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $