4.1 线段、射线、直线 题型专练 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 以“题型专练”为框架，通过“典例+举一反三”分层设计，覆盖线段、射线、直线的定义、表示、关系及应用，从概念理解到实际问题解决，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|定义、表示方法|典例聚焦核心概念（如直线定义判断），举一反三1-2题强化基础辨析（如射线表示正误）| |技能应用|性质、关系运算|结合图形语言转化（如点与直线位置关系作图），渗透推理意识（如线段和差计算）| |综合拓展|实际情境应用|以车票设计、路径最短等问题（如6条直线交点个数），培养模型意识与空间观念|

北师大版（2024）七年级上册 4.1 线段、射线、直线 题型专练 【题型1】直线的定义及表示方法 【典例】关于直线，下列说法正确的是(　　) A.可以量长度 B.有两个的端点 C.可以用两个小写字母来表示 D.没有端点 【举一反三1】下列关于直线的表示方法，正确的是(　　) ①直线A； ②直线AB； ③直线Ab； ④直线ab. A.① B.② C.③ D.④ 【举一反三2】如图，水平的直线可以表示为__________，也可以表示为_________；竖直的直线可以表示为_________，也可以表示为_________． 【举一反三3】图中有　　　　　条直线． 【题型2】点与直线及直线与直线间的关系 【典例】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m+n等于(　　) A.12 B.16 C.20 D.以上都不对 【举一反三1】如果平面上M，N两点的距离是10厘米，若在该平面上有一点P，点P与M、N两点的距离之和等于18厘米，那么下面结论正确的是(　　) A.点P在线段MN上 B.点P在直线MN外 C.点P在直线MN上 D.点P可能在直线MN外，也可能在直线MN上 【举一反三2】画一条直线同时经过点A和点B，这样的直线可以画______条． 【举一反三3】画出下列语句表达的图形： (1)点A在直线a上，点B在直线a外； (2)直线a、b、c相交于点M． 【题型3】直线的性质及应用 【典例】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是(　　) A.钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面； B.把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； C.把弯曲的公路改直，就能缩短路程； D.木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线． 【举一反三1】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是(　　) A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.以上都不是 【举一反三2】种树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在同一条直线上，其中的数学道理是：　                             　． 【举一反三3】一块不规则的木料甲与一直尺乙，如图那样拼在一起，两端重合，如果直尺已经校定为直的，那么不规则的木料甲有一边也是直的，理由是            ． 【题型4】射线的定义及表示方法 【典例】在如下所示四幅图中，符合“射线PA与射线PB表示同一条射线”的图形是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】日常生活中，手电筒发射出来的光线，类似于几何中的(　　) A.折线 B.直线 C.射线 D.线段 【举一反三2】如图，能用图中字母表示的射线有            条． 【举一反三3】如图：图中射线有            条． 【题型5】有关射线的问题 【典例】下列说法中正确的是(　　) A.x＝0不是一元一次方程 B.单项式的系数为 C.把数据8815.93万用科学记数法表示，结果是8.81593×103 D.射线OA与射线AO表示的是同一条射线 【举一反三1】下列结论正确的是(　　) A.直线比射线长 B.一条直线就是一个平角 C.过三点中的任两点一定能作三条直线 D.经过两点有且只有一条直线 【举一反三2】平面上有四个点，无三点共线，以其中一点为端点，并且经过另一点的射线共有__________条． 【举一反三3】若平面内有4个点，过其中任意两点画射线，最多可以画______条． 【题型6】线段的定义及表示方法 【典例】下列叙述正确的是(　　) A.线段AB可表示为线段BA B.射线CD可表示为射线DC C.直线可以比较长短 D.射线可以比较长短 【举一反三1】下列各图中，表示“线段CD”的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】如图中有　　条线段，分别表示为　                      　． 【举一反三3】在线段AB上取7个点时，则共有多少条线段？ 【题型7】确定线段 【典例】如图，线段AD上有两点B，C，则图中共有线段(　　) A.三条 B.四条 C.五条 D.六条 【举一反三1】如图，从甲地到乙地有两条路线，从乙地到丙地有三条路线，那么从甲地到丙地的路线条数是(　　) A.3 B.2 C.6 D.4 【举一反三2】如图，点C，D，E都在线段AB上，以图中的A，B，C，D，E为端点的线段共有______________条． 【举一反三3】如图，图(1)中含有1条线段，图(2)中含有3条线段，图(3)中含有6条线段，则接下去的图(4)中应含有_______条线段，第(10)图中应含有________条线段． 【题型8】线段的实际应用问题 【典例】如图所示，由泰山始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山——济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票(　　)种． A.5 B.10 C.15 D.20 【举一反三1】往返于甲、乙两市的列车，中途需停靠4个站，如果每两站的路程都不相同，这两地之间有多少种不同的票价(　　) A.15 B.30 C.20 D.10 【举一反三2】往返于A、B两地的客车，中途停靠3个站，每两个站间的票价均不相同，需准备(　　)种车票． A.10 B.20 C.6 D.12 【举一反三3】成都与重庆之间往返的动车，除起始站和终点站外中途都有3个停靠站，则铁路部门针对此动车需要发售 　   　种不同行程的动车票． 【举一反三4】如图，已知线段AD上有两个定点B，C． (1)图中共有 　　　　条线段． (2)若在线段CD上增加一点，则增加了 　　　　条线段． (3)现有一列往返于A，B两地的火车，中途停靠4个站．问：①有 　　　　种票价；②要准备_______种车票． (4)已知A，B两地之间相距160 km，在A，B所在的公路(AB看成直线)上有一处C，且B与C之间的距离为30 km，M在A，C两地的正中间，求M与A地之间的距离． 【题型9】直线、射线、线段的区别与联系 【典例】满足直线AB与射线CD相交的图形可能是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】下列说法中正确的是(　　) A.画一条长3 cm的射线 B.直线、线段、射线中直线最长 C.延长线段BA到C，使AC=BA D.延长射线OA到点C 【举一反三2】如图所示，共有直线            条，射线            条，线段            条． 【举一反三3】线段有            个端点，射线有            个端点． 【举一反三4】如图平面上有四个点，过其中每两个点画一条直线，可以画几条直线？在画出的图形中共有几条线段？几条射线？ 【题型10】几何语言与几何图形的互化 【典例】下列数学语言，不正确的是　　 A.画直线，在直线上任取一点 B.以点为端点画射线 C.直线，相交于点 D.延长线段到点，使 【举一反三1】根据语句“点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B．”画出的图形是( ) A. B. C. D. 【举一反三2】下列语句表示的图形是(只填序号). ①三条直线两两相交，交点分别为A、B、C．_________． ②已知点A、B、C，画直线AB、射线AC，连接BC．_________． ③以线段AB上一点C为端点画射线._________． 【举一反三3】读下面的语句，并按照这些语句画出图形． (1)点P在直线AB上，但不在直线CD上． (2)点Q既不在直线a上，也不在直线b上． (3)直线a、b交于点A，直线b、c交于点B，直线c、a交于点C． (4)直线a、b、c两两相交． (5)直线a和b相交于点P；点A在直线a上，但在直线b外． 【题型11】作线段(尺规作图) 【典例】如图，小林利用圆规在线段CE上截取线段CD，使CD=AB．若点D恰好为CE的中点，则下列结论中错误的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，点B，C，D依次在射线AP上，根据图示，下列线段长度错误的是(　　) A.AD＝2a B.BC＝a－b C.BD＝a－b D.AC＝2a－b 【举一反三2】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段a，b. 求作：线段AB，使AB＝a+b. 【举一反三3】如图，已知线段AB、a、b． (1)请用尺规按下列要求作图：(不要求写作法，但要保留作图痕迹) ①延长线段AB到C，使BC＝a； ②反向延长线段AB到D，使AD＝b． (2)在(1)的条件下，如果AB＝8 cm，a＝6 cm，b＝10 cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度． 【题型12】线段的和与差 【典例】平面上有三点A，B，C，如果AB=8，AC=5，BC=3，下列说法正确的是(　　) A.点C在线段AB上 B.点C在线段AB的延长线上 C.点C在直线AB外 D.点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外 【举一反三1】在同一平面内，线段AB＝7，BC＝3，则AC长为(　　) A.AC＝10 B.AC＝10或4 C.4＜AC＜10 D.4≤AC≤10 【举一反三2】能断定A，B，C三点在一条直线上的是(　　) A.AB＝2，BC＝3，AC＝4 B.AB＝6，BC＝6，AC＝6 C.AB＝8，BC＝6，AC＝2 D.AB＝12，BC＝13，AC＝15 【举一反三3】画直线l，并在直线l上截取线段AB＝5 cm，再在直线l上截取线段BC＝2 cm，则线段AC的长是__________． 【举一反三4】如图，将一根绳子对折后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm，若AP＝PB，则这条绳子的原长为__________cm． 【举一反三5】已知线段AB＝12，在AB上有C、D、M、N四点，且AC：CD：DB＝1：2：3．AM＝AC，DN＝BD，求线段MN的长． 【举一反三6】如图，A，B，C三点在一条直线上，根据图形填空： (1)AC＝________＋______＋________； (2)AB＝AC－________； (3)DB＋BC＝________－AD； (4)若AC＝8 cm，D是线段AC的中点，B是线段DC的中点，求线段AB的长． 【题型13】线段n等分点的有关计算 【典例】如图，线段AB＝8 cm，点C是AB的中点，点D在CB上且DB＝1.5 cm，则线段CD的长(　　) A.2.5 cm B.3.5 cm C.2 cm D.3 cm 【举一反三1】已知线段，点是直线上的一点，，，点是线段的中点，则线段的长为(　　) A. B. C.或 D.或 【举一反三2】已知点C是线段AB的三等分点，点D是线段AC的中点．若线段BA的长度为12 cm，则线段AD的长度为(　　) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.2 cm或4 cm 【举一反三3】如图，C，D，E为线段AB上三点，DE＝AB＝2，E是DB的中点，AC＝CD，则CD的长为 　    　． 【举一反三4】已知线段AB＝24 cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C，且CD＝3BC，则线段CD＝　            　cm． 【举一反三5】如图，点B在线段AC的延长线上，点M、N分别是AC、BC的中点． (1)若AC＝10 cm，CB＝8 cm，求线段MN的长； (2)若AC＝a，CB＝b，求线段MN的长． 【题型14】线段的基本性质及应用 【典例】如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是(　　) A.两直线相交只有一个交点 B.两点确定一条直线 C.经过一点有无数条直线 D.两点之间，线段最短 【举一反三1】下列四个生产生活现象，可以用公理“两点之间，线段最短”来解释的是(　　) A.用两个钉子可以把木条钉在墙上 B.植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树坑在一条直线上 C.打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上 D.为了缩短航程把弯曲的河道改直 【举一反三2】已知点M是线段AB的中点，若线段AM＝3 cm，则线段A，B之间的距离是________cm. 【举一反三3】如图所示，工厂A与工厂B想在公路m旁修建一座共用的仓库O，并且要求O到A与O到B的距离之和最短，请你在公路m上确定仓库O的位置，同时说明你选择该点的理由． 【题型15】与线段有关的综合问题 【典例】下列说法中，错误的是(　　) A.过两点有且只有一条直线 B.两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离 C.两点之间，线段最短 D.在线段、射线、直线中直线最长 【举一反三1】下列说法中，错误的是(　　) A.过两点有且只有一条直线 B.两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离 C.两点之间，线段最短 D.在线段、射线、直线中直线最长 【举一反三2】如图，C、D、E为线段AB上三点，且AC=12CD，E为BD的中点，DE=15AB=2 cm，则CE的长为            cm． 【举一反三3】数轴上A、B两点离开原点的距离分别为2和3，则AB两点间的距离为            ． 【举一反三4】如图，平面上有三点、、，请按照下列语句画出图形并作答．    (1)画直线，射线； (2)连接，并延长至点，使，取的中点； (3)若，求线段的长． 北师大版（2024）七年级上册 第四章 基本平面图形1 线段、射线、直线 题型专练（参考答案） 【题型1】直线的定义及表示方法 【典例】关于直线，下列说法正确的是(　　) A.可以量长度 B.有两个的端点 C.可以用两个小写字母来表示 D.没有端点 【答案】D 【解析】直线没有端点，能无限延伸，不可以测量，故A、B、C错误， 故选：D． 【举一反三1】下列关于直线的表示方法，正确的是(　　) ①直线A； ②直线AB； ③直线Ab； ④直线ab. A.① B.② C.③ D.④ 【答案】B 【解析】直线可以用一个小写字母表示，或用两个大写字母(直线上的)表示． 故选：B． 【举一反三2】如图，水平的直线可以表示为__________，也可以表示为_________；竖直的直线可以表示为_________，也可以表示为_________． 【答案】直线AO；直线m；直线BO；直线n 【举一反三3】图中有　　　　　条直线． 【答案】2 【解析】图中的直线有2条直线． 故答案为：2． 【题型2】点与直线及直线与直线间的关系 【典例】平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m+n等于(　　) A.12 B.16 C.20 D.以上都不对 【答案】B 【解析】根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1；任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，∵任意三条直线不过同一点，∴此时交点为：6×(6-1)÷2=15，即n=15；则m+n=16．故选B． 【举一反三1】如果平面上M，N两点的距离是10厘米，若在该平面上有一点P，点P与M、N两点的距离之和等于18厘米，那么下面结论正确的是(　　) A.点P在线段MN上 B.点P在直线MN外 C.点P在直线MN上 D.点P可能在直线MN外，也可能在直线MN上 【答案】D 【解析】∵M，N两点的距离是10厘米，点P与M、N两点的距离之和等于18厘米，10＜18，∴点P可能在直线MN外，也可能在直线MN上．故选D． 【举一反三2】画一条直线同时经过点A和点B，这样的直线可以画______条． 【答案】1 【解析】画一条直线同时经过点A和点B，这样的直线可以画1条． 故答案为：1． 【举一反三3】画出下列语句表达的图形： (1)点A在直线a上，点B在直线a外； (2)直线a、b、c相交于点M． 【答案】解 (1) (2) 【题型3】直线的性质及应用 【典例】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是(　　) A.钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面； B.把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； C.把弯曲的公路改直，就能缩短路程； D.木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线． 【答案】D 【解析】A、钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面；说明线动成面，不符合题意； B、把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；说明点动成线，不符合题意； C、把弯曲的公路改直，就能缩短路程；是因为两点之间，线段最短，不符合题意； D、木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线；是因为两点确定一条直线，符合题意； 故选D． 【举一反三1】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是(　　) A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.垂线段最短 D.以上都不是 【答案】B 【解析】经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线． 故选：B． 【举一反三2】种树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在同一条直线上，其中的数学道理是：　                             　． 【答案】两点确定一条直线 【解析】∵只要定出两个树坑的位置，这条就确定了， ∴能使同一行树坑在同一条直线上． 故答案为：两点确定一条直线． 【举一反三3】一块不规则的木料甲与一直尺乙，如图那样拼在一起，两端重合，如果直尺已经校定为直的，那么不规则的木料甲有一边也是直的，理由是            ． 【答案】两点确定一条直线 【题型4】射线的定义及表示方法 【典例】在如下所示四幅图中，符合“射线PA与射线PB表示同一条射线”的图形是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A．射线PA和射线PB不是同一条射线，故此选项错误，不符合题意； B．射线PA和射线PB不是同一条射线，故此选项错误，不符合题意； C．射线PA和射线PB是同一条射线，故此选项正确，符合题意； D．射线PA和射线PB不是同一条射线，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【举一反三1】日常生活中，手电筒发射出来的光线，类似于几何中的(　　) A.折线 B.直线 C.射线 D.线段 【答案】C 【解析】手电筒发射出来的光线，给我们的感觉是手电筒是射线的端点，光的传播方向是射线的方向，故给我们的感觉是射线． 故选：C． 【举一反三2】如图，能用图中字母表示的射线有            条． 【答案】5 【解析】图中可以表示的射线有AC、CB、CD、DB、BD共5条． 【举一反三3】如图：图中射线有            条． 【答案】7 【解析】以C为端点的有1条，以B为端点的有1条，以A为端点的有1条，以O为端点时有2条，以P为端点的有1条，以E为端点的有1条，射线共有7条，故答案为：7． 【题型5】有关射线的问题 【典例】下列说法中正确的是(　　) A.x＝0不是一元一次方程 B.单项式的系数为 C.把数据8815.93万用科学记数法表示，结果是8.81593×103 D.射线OA与射线AO表示的是同一条射线 【答案】B 【解析】A.x＝0只含有一个未知数，且未知数的次数是1，故x＝0是一元一次方程，故A选项不符合题意； B.单项式的系数为，故B选项符合题意； C.数据8815.93万用科学记数法表示，结果是8.81593×107，故C选项不符合题意； D.射线用两个大写字母表示时端点在前，故射线OA与射线AO表示的不是同一条射线，故D选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三1】下列结论正确的是(　　) A.直线比射线长 B.一条直线就是一个平角 C.过三点中的任两点一定能作三条直线 D.经过两点有且只有一条直线 【答案】D 【解析】A.直线比射线长，直线与射线都是无限长不能比较，故本选项错误， B.一条直线就是一个平角，角必须有顶点，故本选项错误， C.过三点中的任两点一定能作三条直线，前提是三点不在同一条直线上，故本选项错误， D.经过两点有且只有一条直线，故本选项正确． 故选：D． 【举一反三2】平面上有四个点，无三点共线，以其中一点为端点，并且经过另一点的射线共有__________条． 【答案】12 【解析】如图，过一个端点可以作3条射线，同理，过其它3个端点都可以作3条射线，所以，射线共有3×4=12．故答案为：12． 【举一反三3】若平面内有4个点，过其中任意两点画射线，最多可以画______条． 【答案】12 【解析】设平面内这4个点分别为A，B，C，D， 过任意两点画射线则有，射线AB，射线BA，射线AC，射线CA，射线AD，射线DA，射线BC，射线CB，射线BD，射线DB，射线CD，射线DC，共12条． 故答案为：12． 【题型6】线段的定义及表示方法 【典例】下列叙述正确的是(　　) A.线段AB可表示为线段BA B.射线CD可表示为射线DC C.直线可以比较长短 D.射线可以比较长短 【答案】A 【解析】A．线段AB可表示为线段BA，故说法正确，符合题意； B．射线CD不可表示为射线DC，故说法错误，不合题意； C．直线不可以比较长短，故说法错误，不合题意； D．射线不可以比较长短，故说法错误，不合题意； 故选：A． 【举一反三1】下列各图中，表示“线段CD”的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A是直线CD，故此选项不符合题意； B是射线CD，故此选项不符合题意； C是射线DC，故此选项符合题意； D是线段CD，故此选项不符合题意； 故选：D． 【举一反三2】如图中有　　条线段，分别表示为　                      　． 【答案】6；AD，AC，AB，DC，DB，CB 【解析】分别以A，D，C为端点，线段有AD、AC、AB、DC、DB、CB． 故答案是：6，AD，AC，AB，DC，DB，CB． 【举一反三3】在线段AB上取7个点时，则共有多少条线段？ 【答案】解 ∵在线段AB上取7个点， ∴一共有9个点，组成的子线段有8条， ∴共有8+1+7+6+5+4+3+2+1=36(条)， 答：共有36条线段． 【题型7】确定线段 【典例】如图，线段AD上有两点B，C，则图中共有线段(　　) A.三条 B.四条 C.五条 D.六条 【答案】D 【解析】由图得，图中的线段有：AB，BC，CD，AC，BD，AD，一共6条． 故答案为：D. 【举一反三1】如图，从甲地到乙地有两条路线，从乙地到丙地有三条路线，那么从甲地到丙地的路线条数是(　　) A.3 B.2 C.6 D.4 【答案】C 【解析】从甲地其中一条路线到丙地有3条路线，从甲地另一条路线到丙地有3条路线．故共有6条．故选C． 【举一反三2】如图，点C，D，E都在线段AB上，以图中的A，B，C，D，E为端点的线段共有______________条． 【答案】10 【解析】图中的线段有：线段AB，线段AC，线段AD，线段AE，线段BC，线段BD，线段BE，线段CD，线段CE，线段DE，线段共10条． 故答案为：10． 【举一反三3】如图，图(1)中含有1条线段，图(2)中含有3条线段，图(3)中含有6条线段，则接下去的图(4)中应含有_______条线段，第(10)图中应含有________条线段． 【答案】10；55 【解析】图(1)中含有1条线段，图(2)中含有3条线段，即3=1+2，图(3)中含有6条线段，即6=1+2+3，以此类推．图(4)中有1+2+3+4=10(条)线段；第(10)图中有1+2+3+…+10==55(条)线段．故答案为10，55． 【题型8】线段的实际应用问题 【典例】如图所示，由泰山始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山——济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票(　　)种． A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】B 【解析】＝10(种)， ∴要为这次列车制作的单程火车票10种． 故选：B． 【举一反三1】往返于甲、乙两市的列车，中途需停靠4个站，如果每两站的路程都不相同，这两地之间有多少种不同的票价(　　) A.15 B.30 C.20 D.10 【答案】A 【解析】如图所示：    A，F代表甲，乙两市，B，C，D，E代表四个停靠站， 图中共有线段：，，，，．，，，，，，，，，，总共15条， 所以共有15种不同的票价， 故选：A． 【举一反三2】往返于A、B两地的客车，中途停靠3个站，每两个站间的票价均不相同，需准备(　　)种车票． A.10 B.20 C.6 D.12 【答案】B 【解析】此题相当于一条线段上有3个点，有多少种不同的票价即有多少条线段：4+3+2+1＝10； ∴有10种不同的票价； ∵车票是要考虑顺序的， ∴需准备20种车票， 故选：B． 【举一反三3】成都与重庆之间往返的动车，除起始站和终点站外中途都有3个停靠站，则铁路部门针对此动车需要发售 　   　种不同行程的动车票． 【答案】20 【解析】∵成都与重庆之间往返的动车，共有5个停靠站，每个站与其他4个站都要准备车票， ∴铁路部门针对此动车需要发售4×5＝20种不同行程的动车票． 故答案为：20． 【举一反三4】如图，已知线段AD上有两个定点B，C． (1)图中共有 　　　　条线段． (2)若在线段CD上增加一点，则增加了 　　　　条线段． (3)现有一列往返于A，B两地的火车，中途停靠4个站．问：①有 　　　　种票价；②要准备_______种车票． (4)已知A，B两地之间相距160 km，在A，B所在的公路(AB看成直线)上有一处C，且B与C之间的距离为30 km，M在A，C两地的正中间，求M与A地之间的距离． 【答案】解：(1)图中有6条线段，线段AB、AC、AD、BC、BD、CD． 故答案为：6； (2)增加一个点后共有10条线段 所以会增加4条线段． 故答案为：4； (3)当直线m上有2个点时，线段的总条数为1， 直线m上有3个点时，线段的总条数为1+2＝3， 直线m上有4个点时，线段的总条数为1+2+3＝6， … 由此得出当直线m上有n个点时，线段的总条数为1+2+3+…+(n﹣1)＝， ①现有一列往返于A，B两地的火车，中途停靠4个站， 所以直线上共有6个点，共有线段＝15(条)， 所以共有15种票价． 故答案为：15； ②因车票需要考虑方向性，故需要准备车票的种类是票价的2倍， 所以15×2＝30(种)， 所以共有30种票价． 故答案为：30； (4)当点C在线段AB上时，如图： ∵AB＝160 km，CB＝30 km， ∴AC＝AB+BC＝160﹣30＝130 km， ∵M是AC的中点， ∴AM＝AC＝65 km； 当点C在线段AB的延长线上时，如图： ∵AB＝160 km，CB＝30 km， ∴AC＝AB+BC＝160+30＝190 km， ∵M是AC的中点， ∴AM＝AC＝95 km； 综上，AM＝65或95 km． 【题型9】直线、射线、线段的区别与联系 【典例】满足直线AB与射线CD相交的图形可能是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】能相交的图形只有D. 故答案为：D. 【举一反三1】下列说法中正确的是(　　) A.画一条长3 cm的射线 B.直线、线段、射线中直线最长 C.延长线段BA到C，使AC=BA D.延长射线OA到点C 【答案】C 【解析】A.画一条长3 cm的射线，射线没有长度，故此选项错误； B.直线、线段、射线中直线最长，错误，射线、直线都没有长度，故此选项错误； C.延长线段BA到C，使AC=BA，正确； D.延长射线OA到点C，错误，可以反向延长射线．故选C． 【举一反三2】如图所示，共有直线            条，射线            条，线段            条． 【答案】2；7；6 【解析】线段有：线段AB、线段AD、线段BD、线段BC、线段AC、线段CD；射线有：射线DB、射线AB、射线BC、射线CB、射线AC、射线CA、射线DC；直线有：直线BC、直线AC．即共有6条线段，共有7条射线，共有2条直线．故答案为：2、7、6． 【举一反三3】线段有            个端点，射线有            个端点． 【答案】2；1 【举一反三4】如图平面上有四个点，过其中每两个点画一条直线，可以画几条直线？在画出的图形中共有几条线段？几条射线？ 【答案】解：6条直线，6条线段，12条射线. 【题型10】几何语言与几何图形的互化 【典例】下列数学语言，不正确的是　　 A.画直线，在直线上任取一点 B.以点为端点画射线 C.直线，相交于点 D.延长线段到点，使 【答案】C 【解析】A、画直线，在直线上任取一点，正确； B、以点为端点画射线，正确； C、直线，相交于点，点应该用大写的英文字母表示，故错误； D、延长线段到点，使，正确； 故选：C． 【举一反三1】根据语句“点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B．”画出的图形是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】“点C不在直线AB上，直线AB与射线BC交于点B．”画出的图形是： 故选：B． 【举一反三2】下列语句表示的图形是(只填序号). ①三条直线两两相交，交点分别为A、B、C．_________． ②已知点A、B、C，画直线AB、射线AC，连接BC．_________． ③以线段AB上一点C为端点画射线._________． 【答案】①(2) ②(1) ③(3) 【解析】①三条直线两两相交，交点分别为A、B、C，图形(2)符合；②已知点A、B、C，画直线AB、射线AC，连接BC，图形(1)符合；③以线段AB上一点C为端点画射线，图形(3)符合．故答案为：(2)，(1)，(3)． 【举一反三3】读下面的语句，并按照这些语句画出图形． (1)点P在直线AB上，但不在直线CD上． (2)点Q既不在直线a上，也不在直线b上． (3)直线a、b交于点A，直线b、c交于点B，直线c、a交于点C． (4)直线a、b、c两两相交． (5)直线a和b相交于点P；点A在直线a上，但在直线b外． 【答案】解 (1)如图所示： (2)如图所示： (3)如图所示： (4)如图所示： (5)如图所示： 【题型11】作线段(尺规作图) 【典例】如图，小林利用圆规在线段CE上截取线段CD，使CD=AB．若点D恰好为CE的中点，则下列结论中错误的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意得：D是线段CE的中点，AB=CD， ∴CD=DE，即选项A正确； AB=CE=CD=DE,即B、D正确，C错误． 故答案为C． 【举一反三1】如图，点B，C，D依次在射线AP上，根据图示，下列线段长度错误的是(　　) A.AD＝2a B.BC＝a－b C.BD＝a－b D.AC＝2a－b 【答案】C 【解析】A项，因为AB＝BD＝a，所以AD＝AB＋BD＝a＋a＝2a，故A选项正确； B项，因为BD＝a，CD＝b，所以BC＝BD－CD＝a－b，故B选项正确； C项，由图示可知，BD＝a，故C选项错误； D项，因为AB＝BD＝a，CD＝b，所以AC＝AB＋BD－CD＝2a－b， 故D选项正确． 【举一反三2】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：线段a，b. 求作：线段AB，使AB＝a+b. 【答案】解 线段AB就是所求的线段． 【举一反三3】如图，已知线段AB、a、b． (1)请用尺规按下列要求作图：(不要求写作法，但要保留作图痕迹) ①延长线段AB到C，使BC＝a； ②反向延长线段AB到D，使AD＝b． (2)在(1)的条件下，如果AB＝8 cm，a＝6 cm，b＝10 cm，且点E为CD的中点，求线段AE的长度． 【答案】解 (1)①如图所示，线段BC即为所求， ②如图所示，线段AD即为所求； (2)∵AB＝8 cm，a＝6 cm，b＝10 cm， ∴CD＝8+6+10＝24 cm， ∵点E为CD的中点， ∴DE＝DC＝12 cm， ∴AE＝DE﹣AD＝12﹣10＝2 cm． 【题型12】线段的和与差 【典例】平面上有三点A，B，C，如果AB=8，AC=5，BC=3，下列说法正确的是(　　) A.点C在线段AB上 B.点C在线段AB的延长线上 C.点C在直线AB外 D.点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外 【答案】A 【解析】如图： 从图中我们可以发现AC+BC=AB，所以点C在线段AB上．故选A. 【举一反三1】在同一平面内，线段AB＝7，BC＝3，则AC长为(　　) A.AC＝10 B.AC＝10或4 C.4＜AC＜10 D.4≤AC≤10 【答案】D 【解析】若点A，B，C三点共线，则AC＝4或10； 若三点不共线，则应满足大于4而小于10． 所以4≤AC≤10． 故选：D． 【举一反三2】能断定A，B，C三点在一条直线上的是(　　) A.AB＝2，BC＝3，AC＝4 B.AB＝6，BC＝6，AC＝6 C.AB＝8，BC＝6，AC＝2 D.AB＝12，BC＝13，AC＝15 【答案】C 【解析】A项，因为2＋3≠4，所以A，B，C三点不在一条直线上，错误； B项，因为6＋6≠6，所以A，B，C三点不在一条直线上，错误； C项，因为6＋2＝8，所以A，B，C三点在一条直线上，正确； D项，因为12＋13≠15，所以A，B，C三点不在一条直线上，错误． 【举一反三3】画直线l，并在直线l上截取线段AB＝5 cm，再在直线l上截取线段BC＝2 cm，则线段AC的长是__________． 【答案】3 cm或7 cm 【解析】在直线l上截取线段AB＝5 cm，再在直线l上截取线段BC＝2 cm， 所以点C在点B左侧时，线段AC的长是AB﹣BC＝5﹣2＝3 cm， 当点C在点B右侧时，线段AC的长是AB+BC＝5+2＝7 cm． 所以线段AC的长是3 cm或7 cm． 故答案为：3 cm或7 cm． 【举一反三4】如图，将一根绳子对折后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm，若AP＝PB，则这条绳子的原长为__________cm． 【答案】100或150 【解析】①当PB的2倍最长时，得PB＝30， ∴AP＝PB＝20， ∴AB＝AP+PB＝50， ∴这条绳子的原长为2AB＝100 cm， ②当AP的2倍最长时，得AP＝30， ∵AP＝PB， ∴PB＝AP＝45， ∴AB＝AP+PB＝75， ∴这条绳子的原长为2AB＝150 cm． 故答案为：100 cm或150 cm． 【举一反三5】已知线段AB＝12，在AB上有C、D、M、N四点，且AC：CD：DB＝1：2：3．AM＝AC，DN＝BD，求线段MN的长． 【答案】解 当C点在线段AB上： ∵AB＝12，AC：CD：DB＝1：2：3， ∴AC＝×12＝2，CD＝×12＝4，DB＝×12＝6， ∴AM＝AC＝1，DN＝BD＝， ①当点N在点D右侧时，如图1，MN＝MC+CD+DN＝2﹣1+4+＝； ②当点N在点D左侧时，如图2，MN＝MC+CD﹣DN＝2﹣1+4﹣＝． 综上所述，线段MN的长为或． 【举一反三6】如图，A，B，C三点在一条直线上，根据图形填空： (1)AC＝________＋______＋________； (2)AB＝AC－________； (3)DB＋BC＝________－AD； (4)若AC＝8 cm，D是线段AC的中点，B是线段DC的中点，求线段AB的长． 【答案】解　(1)AC＝AD＋DB＋BC. (2)AB＝AC－BC. (3)DB＋BC＝AC－AD. (4)因为D是线段AC的中点，AC＝8 cm， 所以AD＝DC＝4 cm， 因为B是线段DC的中点，所以DB＝DC＝2 cm， 所以AB＝AD＋DB＝4＋2＝6(cm)． 所以线段AB的长为6 cm. 【题型13】线段n等分点的有关计算 【典例】如图，线段AB＝8 cm，点C是AB的中点，点D在CB上且DB＝1.5 cm，则线段CD的长(　　) A.2.5 cm B.3.5 cm C.2 cm D.3 cm 【答案】A 【解析】∵线段AB＝8 cm，点C是AB的中点， ∴BC＝AB＝4(cm)， ∵DB＝1.5 cm， ∴CD＝BC﹣BD＝4﹣1.5＝2.5(cm)． 故选：A． 【举一反三1】已知线段，点是直线上的一点，，，点是线段的中点，则线段的长为(　　) A. B. C.或 D.或 【答案】C 【解析】当点P在线段上时， ∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴； 当点P在线段的延长线上时， ∵，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴； 综上所述：或； 故选C． 【举一反三2】已知点C是线段AB的三等分点，点D是线段AC的中点．若线段BA的长度为12 cm，则线段AD的长度为(　　) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.2 cm或4 cm 【答案】D 【解析】①如图1， 因为C是线段AB的三等分点，AB＝12 cm， 所以AC＝AB＝×12＝4(cm)， 因为D是线段AC的中点， 所以AD＝AC＝×4＝2(cm)； ②如图2， 因为C是线段AB的三等分点，AB＝12 cm， 所以AC＝AB＝×12＝8(cm)， 因为D是线段AC的中点， 所以AD＝AC＝×8＝4(cm)． 【举一反三3】如图，C，D，E为线段AB上三点，DE＝AB＝2，E是DB的中点，AC＝CD，则CD的长为 　    　． 【答案】4.5 【解析】∵E是BD的中点， ∴DB＝2DE＝4， ∵DE＝AB＝2， ∴AB＝10， ∴AD＝AB﹣DB＝10﹣4＝6， 又∵AC＝CD， ∴CD＝AD＝×6＝4.5， 故答案为：4.5． 【举一反三4】已知线段AB＝24 cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C，且CD＝3BC，则线段CD＝　            　cm． 【答案】9或18 【解析】∵AB＝24 cm，点D是线段AB的中点， ∴BD＝12 cm， 设BC＝x cm，则CD＝3BC＝3x cm， 当C点在B、D之间时，DC＝BD﹣BC， 即3x＝12﹣x， 解得x＝3， ∴CD＝9(cm)； 当C点在DB的延长线上时，DC＝DB+BC， 即3x＝12+x， 解得x＝6， ∴CD＝18(cm)； 故答案为：9或18． 【举一反三5】如图，点B在线段AC的延长线上，点M、N分别是AC、BC的中点． (1)若AC＝10 cm，CB＝8 cm，求线段MN的长； (2)若AC＝a，CB＝b，求线段MN的长． 【答案】解 (1)∵AC＝10 cm，点M是AC的中点， ∴CM＝AC＝5 cm， ∵CB＝8 cm，点N是BC的中点， ∴CN＝BC＝4 cm， ∴MN＝CM+CN＝9 cm， ∴线段MN的长度为9 cm； (2)∵AC＝a，点M是AC的中点， ∴CM＝AC＝a， ∵CB＝b，点N是BC的中点， ∴CN＝BC＝b， ∴MN＝CM+CN＝(a+b)， ∴线段MN的长度为(a+b)． 【题型14】线段的基本性质及应用 【典例】如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是(　　) A.两直线相交只有一个交点 B.两点确定一条直线 C.经过一点有无数条直线 D.两点之间，线段最短 【答案】D 【解析】将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间线段最短． 故选：D． 【举一反三1】下列四个生产生活现象，可以用公理“两点之间，线段最短”来解释的是(　　) A.用两个钉子可以把木条钉在墙上 B.植树时，只要定出两棵树的位置，就能使同一行树坑在一条直线上 C.打靶的时候，眼睛要与枪上的准星、靶心在同一直线上 D.为了缩短航程把弯曲的河道改直 【答案】D 【解析】A.根据两点确定一条直线，故本选项不符合题意； B.根据两点确定一条直线，故本选项不符合题意； C.根据两点确定一条直线，故本选项不符合题意； D.根据两点之间，线段最短，故本选项符合题意． 故选：D． 【举一反三2】已知点M是线段AB的中点，若线段AM＝3 cm，则线段A，B之间的距离是________cm. 【答案】6 【解析】因为点M是线段AB的中点，AM＝3 cm，所以AB＝2AM＝2×3＝6(cm)． 【举一反三3】如图所示，工厂A与工厂B想在公路m旁修建一座共用的仓库O，并且要求O到A与O到B的距离之和最短，请你在公路m上确定仓库O的位置，同时说明你选择该点的理由． 【答案】解　如图，连接AB交直线m于点O，则O点即为所求的点． 理由如下：因为连接两点间的所有连线中，线段最短， 所以OA＋OB最短． 【题型15】与线段有关的综合问题 【典例】下列说法中，错误的是(　　) A.过两点有且只有一条直线 B.两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离 C.两点之间，线段最短 D.在线段、射线、直线中直线最长 【答案】D 【解析】A.过两点有且只有一条直线，说法正确； B.两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离，说法正确； C.两点之间，线段最短，说法正确； D.在线段、射线、直线中直线最长，说法错误；故选D． 【举一反三1】下列说法中，错误的是(　　) A.过两点有且只有一条直线 B.两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离 C.两点之间，线段最短 D.在线段、射线、直线中直线最长 【答案】D 【解析】A.过两点有且只有一条直线，说法正确； B.两点之间的线段的长度，叫做两点之间的距离，说法正确； C.两点之间，线段最短，说法正确； D.在线段、射线、直线中直线最长，说法错误；故选D． 【举一反三2】如图，C、D、E为线段AB上三点，且AC=12CD，E为BD的中点，DE=15AB=2 cm，则CE的长为            cm． 【答案】6 【解析】∵DE=15AB=2 cm，∴AB=2×5=10，∵E为BD的中点，∴BD=2DE=2×2=4 cm，∴AD=AB-BD=10-4=6 cm，∵AC=CD，∴CD=AD=×6=4 cm，∴CE=CD+DE=4+2=6 cm．故答案为：6． 【举一反三3】数轴上A、B两点离开原点的距离分别为2和3，则AB两点间的距离为            ． 【答案】5或1 【解析】∵数轴上A、B两点离开原点的距离分别为2和3可得出点A表示±2，点B表示±3，∴当点A、B在原点的同侧时，AB=|3-2|=1；当点A、B在原点的异侧时，AB=|-2-3|=5．故答案为：5或1． 【举一反三4】如图，平面上有三点、、，请按照下列语句画出图形并作答．    (1)画直线，射线； (2)连接，并延长至点，使，取的中点； (3)若，求线段的长． 【答案】解：(1)图形如图所示：    (2)图形如图所示：    (3)∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $