拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题）（3类热点题型训练）2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦圆锥曲线定点、定值、定直线问题，通过典例与变式系统整合椭圆、双曲线、抛物线核心知识，强化推理能力与模型观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定点问题|3典例+3变式|动直线/圆过定点证明，涉及垂直关系、中点轨迹|以圆锥曲线定义为基础，通过坐标法构建方程，结合韦达定理推导定点坐标，体现从几何到代数的转化| |定值问题|3典例+3变式|斜率和/积、面积、距离等定值探究，含参数讨论|整合方程求解、弦长公式等，通过代数运算消参验证定值，培养运算能力与逻辑推理| |定直线问题|3典例+3变式|交点轨迹在定直线上，涉及切线、反射性质|联系圆锥曲线几何性质与直线方程，利用轨迹思想推导定直线，强化数学抽象与模型观念|

第11讲 拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题） 题型01圆锥曲线中的定点问题 【典例1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点（可以重合） (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的两条直线相互垂直，直线与交于两点，直线与交于两点，线段的中点分别为. ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【典例2】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 【典例3】（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，直线为的一条渐近线． (1)求的方程； (2)若过左焦点的直线与交于两点，证明：以为直径的圆经过定点. 【变式1】（25-26高二下·上海闵行·期末）已知椭圆 ： ，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； (3)若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 【变式2】已知，分别是双曲线：（，）的左､右焦点，点为双曲线上的点，且的面积为. (1)求双曲线的标准方程. (2)设原点到直线的距离为，直线交双曲线于，两点，试问：以线段为直径的圆是否经过一个定点？若经过，求出该定点；若不经过，请说明理由. 【变式3】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 题型02圆锥曲线中的定值问题 【典例1】（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【典例2】（26-27高三上·重庆·开学考试）已知椭圆：上任意一点到它两焦点的距离之和为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，求证：为定值，并求出此定值． 【典例3】（25-26高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的右焦点为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的两条直线分别交的右支于A，B两点和C，D两点，且，证明：直线与直线的斜率之和是定值. 【变式1】（25-26高二下·北京海淀·期中）已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当为何值时，为定值． 【变式2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. (1)求动点P的轨迹曲线C的方程； (2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 【变式3】（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，是平面上的动点，记直线，的斜率分别为，，且． (1)求动点形成的曲线的方程； (2)点在直线上，且与轴平行，设与交于点，证明：在直线上存在两个定点，，使得为定值． 题型03圆锥曲线中的定直线问题 【典例1】（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的短轴长为，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过点的椭圆的切线为直线，过作的垂线交于，求点的轨迹方程； (3)点的轨迹交轴于，（在左侧）两点，过点作直线交于，两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 【典例2】（2026·江苏·模拟预测）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【典例3】（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【变式1】（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆焦距为4，短轴长为4． (1)求椭圆的方程． (2)若椭圆与轴的交点为A，B（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【变式2】（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 【变式3】（2024·湖南娄底·一模）若抛物线的方程为，焦点为，设是抛物线上两个不同的动点. (1)若，求直线的斜率； (2)设中点为，若直线斜率为，证明在一条定直线上. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 拓展五：圆锥曲线的方程（定值问题） 题型01圆锥曲线中的定点问题 【典例1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点（可以重合） (1)求点的轨迹的方程； (2)过点的两条直线相互垂直，直线与交于两点，直线与交于两点，线段的中点分别为. ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②直线过定点，定点坐标为 【分析】（1）根据动点具有的几何性质可得动点轨迹方程； （2）联立直线方程和抛物线方程后消元后利用韦达定理可求，从而可求四边形面积的解析式，由基本不等式可求面积的最小值； （3）设直线，则联立直线方程后可求的坐标后结合同构可求，故可得直线过定点. 【详解】（1）根据题意，圆心坐标为． 又因为该圆经过点和，所以， 化简得，所以点的轨迹的方程为． （2）①因为直线的斜率一定存在且不为0， 故设，． 联立方程消x得， 则． 所以 ， 同理， 所以， 当且仅当时，四边形的面积最小，最小值为32． ②易知当直线斜率不存在时，直线关于x轴对称， 此时①中，得直线； 当直线PQ斜率存在时，设直线， 联立方程，得， 又，得， 同理可得， 所以，是方程的两根， 所以，即，则，所以直线过定点． 综上，直线过定点． 【典例2】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点，求的面积的最大值； (3)C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据离心律和椭圆系数求得； （2）设而不求，联立直线与椭圆联立，用伟达定理求出得到三角形面积；第三小问，设直线为横截距式，设与轴交点为，联立求解。 【详解】（1）设C的半焦距为．由题意可得解得 所以C的方程为． （2）由（1）可知，． 可设l：，，， 由消去x得， 则，． 所以． ， 当且仅当，即时“=”成立， 即的面积的最大值为2． （3）设l：．由消去x得， 所以，，． 因为，，所以由可得， 所以， 即， 化简整理得，解得或． 当时，直线l：经过点D，不符合题意； 当时，直线l：经过点，也满足，符合题意． 综上所述，当时，直线l过定点． 【典例3】（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，直线为的一条渐近线． (1)求的方程； (2)若过左焦点的直线与交于两点，证明：以为直径的圆经过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据实轴和渐近线方程即可求解，， （2）联立直线与曲线的方程得到韦达定理，根据圆的方程以及圆的对称性，即可代入化简求解. 【详解】（1）由题意得，即. 因为的渐近线方程为,所以，进而， 故的方程为：. （2）方法一：双曲线的左焦点为， 设方程为，， 设为直径的圆上不同于的任意一点为，由,可得圆的方程为，即 由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点，令，可得 ， 而， ， 对恒成立，， 以为直径的圆经过定点； 方法二：设方程为， 由对称性知以为直径的圆必过轴上的定点. 设以为直径的圆过， ， 而 ， ， ，即对恒成立， ，即以为直径的圆经过定点. 【点睛】直线与椭圆、双曲线的位置，一般要用到根与系数的关系；有关直线与圆锥曲线的弦长问题，要注意直线是否有斜率.对于解析几何简化运算的常见方法： （1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算； （2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算； （3）巧用定义，简化运算. 【变式1】（25-26高二下·上海闵行·期末）已知椭圆 ： ，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点， ，若椭圆 上存在一点 ，满足，求 的值； (3)若直线 与 交于 、 两点，且 为直角，求证：直线 恒过定点． 【答案】(1)； (2)； (3)设，， 当直线斜率不存在时，设直线方程为 ，则，， 由 为直角，可得 ， 也即 ，解得或 （舍去）． 当斜率存在时，设直线 方程为 ，联立， 整理得 ，可得 且 为直角，可得 ， 所以 ，即 ， 整理得 ， 将式代入上式得： ， 化简得 整理得 ，可得 或 ， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，不符合题意，舍去， 当 时，直线方程为，此时直线过定点，符合题意． 综上，直线 恒过定点． 【分析】（1）结合椭圆方程列方程，解方程求得 的值，由此求得椭圆的离心率； （2）设出点 ，则可利用坐标表示出两向量，从而用 表示点 坐标，再将该点坐标代入方程计算即可得； （3）设，，根据题意得到 ，分为斜率不存在和斜率存在两种情况分别讨论，求出直线的方程判断过定点即可. 【详解】（1）由已知 ，则 ，又，. 得 ， ， 故椭圆的离心率为； （2）由椭圆的标准方程为 ， 则，设，则，， 由，则，解得， 则有 ，解得 ，又 ，故； （3）略 【变式2】已知，分别是双曲线：（，）的左､右焦点，点为双曲线上的点，且的面积为. (1)求双曲线的标准方程. (2)设原点到直线的距离为，直线交双曲线于，两点，试问：以线段为直径的圆是否经过一个定点？若经过，求出该定点；若不经过，请说明理由. 【答案】(1) (2)以线段为直径的圆经过一个定点，该定点为坐标原点 【分析】（1）由面积和点纵坐标可求出，再将点代入双曲线方程，求出，即可； （2）先通过直线斜率不存在时，发现满足题意的圆过原点，再设直线方程，证明直线斜率存在时该圆过原点即可. 【详解】（1）的面积，∴， 又∵点为双曲线上的点， ∴，解得， ∴双曲线的标准方程为. （2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，不妨取：， 由，解得，， ∴，， ∴，，即以线段为直径的圆过原点. 同理，当直线的方程为时，以线段为直径的圆也过原点. ②当直线的斜率存在时，设：，即， ∵原点到直线的距离，∴， ∵双曲线的渐近线方程为，且直线与双曲线相交于A，B两点， ∴， 由，消去整理得（）， 设，， 则，， ∴， ∵，， ∴ ， ∴，即以线段为直径的圆过原点. 综上所述，以线段为直径的圆经过一个定点，该定点为坐标原点. 【点睛】圆锥曲线中的定点问题，通常通过特殊情况（如本题使用了直线斜率不存在的情况）先确定定点的坐标或位置，再对一般情况进行验证或证明. 【变式3】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 【答案】(1) 设直线，斜率分别为，则为定值． 理由如下：如图， 易知，设，直线， 联立得， ．① ， 因为，所以， 所以点为线段OD的中点， 因为，所以， 故直线， 代入抛物线方程可得：， 则．② 联立①②得，同理可得， 所以， 所以，为定值． (2)证明：由（1）知． ， 因为N，B，D三点共线，所以， 化简得， 所以，即， 所以． 设直线， 由得， ， 解得，所以直线方程为：， 当， 所以直线过定点． 【分析】（1）设直线，斜率分别为，然后根据题意利用韦达定理把表示出来作比值即可； （2）结合（1）设直线，利用已知条件求出设直线即可. 【详解】（1）略 （2）略 题型02圆锥曲线中的定值问题 【典例1】（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． (1)求抛物线的方程； (2)求的面积； (3)过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，定点为 【分析】（1）根据条件，用表示出点坐标，结合可求的值，得到抛物线的方程. （2）结合（1）的结论，写出直线的方程，与抛物线方程联立，可得点坐标，利用求的面积. （3）设直线：，代入抛物线方程，利用韦达定理，表示，，再设，用表示得：，可得时，为定值. 【详解】（1）由题意得 的中点到轴的距离为，      又点在抛物线上， ，又点在第一象限，即， ，,. 抛物线的方程：. （2）由（1）可知：，，， 所以直线的斜率为，则直线的方程为 联立抛物线可得，． 又，，那么     所以的面积. （3）如图： 设，，， 易知直线斜率存在，设直线， 联立，消得：     ， ， 由韦达定理得：，， ， 为使得为定值，则需满足与m无关， 故，即，， 综上，存在定点，使得为定值. 【典例2】（26-27高三上·重庆·开学考试）已知椭圆：上任意一点到它两焦点的距离之和为，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的左焦点作两条互相垂直的直线，，直线与交于、两点，直线与交于、两点，求证：为定值，并求出此定值． 【答案】(1) (2)①当直线，的斜率一个为0，一个不存在时， ， 将代入，得， 又，所以，因此， 此时，． ②当直线，的斜率都存在且不为0时，椭圆的左焦点， 不妨设的方程为， 联立椭圆的方程得， 其中恒成立， 设，，则，， 于是． 由，用代替m的位置可得， 此时，． 综上所述，为定值，且该定值为． 【分析】（1）根据椭圆的定义得，结合离心率求出，再利用算出，即可得解； （2）分两类讨论：一是两直线一条水平一条竖直的特殊情形，直接求焦点弦长计算倒数和；二是两直线斜率均存在，设联立椭圆，用韦达和弦长公式求，利用垂直关系将替换为得到，化简倒数和消去参数证得定值，两种情形结果一致完成证明． 【详解】（1）由题意得，则，，所以， 从而椭圆C的方程为． （2）略 【典例3】（25-26高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的右焦点为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的两条直线分别交的右支于A，B两点和C，D两点，且，证明：直线与直线的斜率之和是定值. 【答案】(1) (2) 由题意可知直线都存在斜率且不为零，且不相等， 设直线的斜率为，方程为，与双曲线方程联立，得 ，不等于0. 所以有， 设， ，解得， 同理， 所以 ， 设直线的斜率为， 同理可得：， 因为， 所以， 因为，所以， 因此直线与直线的斜率之和是定值. 【分析】（1）利用代入法，结合焦点的定义进行求解即可； （2）设直线方程为，联立双曲线方程得到韦达定理式，利用弦长公式得，同理计算出，再计算出其乘积，同理再计算得，最后代入计算即可证明. 根据两点间距离公式，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系进行运算证明即可. 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，且经过点， 所以，因此双曲线的方程为； （2）略 【变式1】（25-26高二下·北京海淀·期中）已知椭圆的离心率，点在上，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当为何值时，为定值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用离心率和椭圆上的点，结合椭圆基本关系求出标准方程； （2）联立直线与椭圆方程，用韦达定理转化目标式，消去参数使表达式为定值． 【详解】（1）依题意知， ，解得， 所以椭圆的方程为； （2） 联立，可得， 由，设． 则， 在上， ， ， 若为定值，则与无关， 故需使，解得，此时． 【变式2】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知动点P与，两点连线的斜率之积是. (1)求动点P的轨迹曲线C的方程； (2)过点的直线，交曲线C于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值，若为定值，求出该定值. 【答案】(1) (2)是，定值为3 【分析】（1）设，根据题意列方程即可求解； （2）设直线：，，，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）设，， 因为动点P与，两点连线的斜率之积是， 所以，整理得， 所以动点P的轨迹曲线C的方程为. （2）易知直线斜率不为0， 设直线：，，， 联立，得， 则且，即且， 而， 则 ，为定值.    【变式3】（25-26高三下·山西太原·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，是平面上的动点，记直线，的斜率分别为，，且． (1)求动点形成的曲线的方程； (2)点在直线上，且与轴平行，设与交于点，证明：在直线上存在两个定点，，使得为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，结合已知条件得出，结合构造方程，结合点与，不重合，求出曲线的方程为； （2）设点，求出直线的方程，求出，求出直线，联立直线与曲线的方程求出，再根据得出椭圆方程，进而求出焦点即为定点，，使得为定值． 【详解】（1）设，则，， ，整理得， 又点与，不重合， 曲线的方程为． （2） 设，则直线：， 令，可得， 则直线：， 联立直线与曲线的方程得， 消去，整理得， ，解得， 由题意可知，， ， 整理得，即点在椭圆上， 椭圆的焦点为， 椭圆的焦点为， 在直线上存在两个定点，，使得为定值． 题型03圆锥曲线中的定直线问题 【典例1】（2026·云南昆明·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，椭圆的短轴长为，的最大值为． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发向点的光线，经过椭圆上的点处的椭圆切线反射，反射光线必然经过椭圆的另一个焦点．设过点的椭圆的切线为直线，过作的垂线交于，求点的轨迹方程； (3)点的轨迹交轴于，（在左侧）两点，过点作直线交于，两点，证明：直线，的交点在一条定直线上． 【答案】(1) (2) (3)由题意，，设，， 由题意与不重合， 设：，联立可得， 由于过圆内定点，所以一定有两个交点，则， 则直线：，直线：， 联立直线，则， 由韦达定理可得，所以 ， 解得，所以直线，的交点在定直线上．     【分析】（1）当位于上下顶点时可取得最大值，从而建立起，，的关系； （2）作关于的对称点，利用题目给定的光学性质可得，，共线，结合椭圆的定义，进而得到，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； （3）设出直线与直线的方程，计算，结合韦达定理即可化简得到其为一定值，从而得证. 【详解】（1）当位于上下顶点时，取得最大值，故， 从而解得，所以椭圆的方程为． （2）作关于的对称点，则为的中点，， 由椭圆的光学性质可得，，共线， 则， 连接，由于，分别为，的中点， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，轨迹方程为． （3）略 【典例2】（2026·江苏·模拟预测）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2) 证明：由题意，直线的斜率存在， 设直线方程为：，，．    联立，消去，得， 由于，同号，所以，， ， 所以， 联立，解得， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线与直线的交点在定直线上． 【分析】（1）根据题中所给数据求解即可； （2）设直线方程为：，，，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理可得，求出点坐标，直线方程，再联立直线和直线方程，求出交点坐标即可得证. 【详解】（1）由题意，，， 所以， 所以C的方程为． （2）略 【典例3】（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)； (3)N在定直线上，直线方程为：. 【分析】（1）由结合抛物线定义可得准线方程，据此可得抛物线方程； （2）设过点F的直线方程为，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得，然后由抛物线定义结合基本不等式可得最小值； （3）设，由导数知识可得点P处的切线方程，据此可得点Q坐标，设，由可得，据此完成判断及得到定直线方程. 【详解】（1）由是C上一点，且，结合抛物线定义， 可得准线方程为：，则焦点为，则； （2）由题可得点F的直线的斜率存在， 设过点F的直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立， 可得，判别式为. 设，由韦达定理，可得，则. 又由抛物线定义可得， 当且仅当，即时取等号； （3）设，， 则在处的切线方程为：. 令，得，设，则. 又注意到，， 则.因， 则，从而，即N在定直线上， 直线方程为：. 【变式1】（25-26高二下·湖北·期中）已知椭圆焦距为4，短轴长为4． (1)求椭圆的方程． (2)若椭圆与轴的交点为A，B（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线上 【分析】（1）根据条件，可得b，c的值，根据的关系，可得的值，即可得答案. （2）将直线l与椭圆联立，根据韦达定理，可得表达式，求出直线AN、BM的方程，联立求解，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）依题意可得，解得，则， 所以椭圆的方程为； （2）点在定直线上，理由如下： 设点， 联立，与直线联立消去，整理得， 由，得 且， 所以， 易知，则， 两式作商得，解得， 故在定直线上． 【变式2】（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：， 显然，由题意得：， 则， 则，故点在定直线上. 【分析】（1）由双曲线的离心率、焦距以及的关系式，建立方程组，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立写出韦达定理，根据三角形面积公式，结合题意可知三角形等底，面积之差等于纵坐标之差，根据整式化简，可得答案；（ii）由（i）所得韦达定理，整理等量关系，设出直线方程求得交点建立方程，化简整理，可得答案. 【详解】（1）由题意：，解得， 所以双曲线的方程为：. （2） （i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得，设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）略 【变式3】（2024·湖南娄底·一模）若抛物线的方程为，焦点为，设是抛物线上两个不同的动点. (1)若，求直线的斜率； (2)设中点为，若直线斜率为，证明在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明： 法一：设， ，即， 代入，得， 由韦达定理，有， 故，在定直线上. 法二：设， 由题意，， 故， 故，在定直线上. 【分析】（1）根据焦半径公式得到，求出，从而求出斜率； （2）法一：，联立抛物线方程，设，得到两根之和，两根之积，得到，求出答案； 法二：设，得到，从而确定，得到，得到答案. 【详解】（1）， ，将代入得，， 所以； （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $