第三章 图形的相似 单元卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学“图形的相似”单元复习卷，以相似判定、性质、位似为核心，融合生活情境（T恤设计、小孔成像）与跨学科应用（镜面反射测高），适配单元知识巩固与核心素养（几何直观、推理能力、模型意识）培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似图形判定（等边三角形）、黄金比应用|选项设置区分易混概念，如矩形与等边三角形相似性| |填空题|6/18|相似性质计算（影长）、位似坐标规律|结合阳光下影子测量，体现数学眼光观察现实| |解答题|8/72|位似作图、角平分线定理证明、镜面反射测高|分层设计，从基础证明（19题）到综合应用（23题二次相似），强化推理与模型意识|

第三章 图形的相似（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列图形一定相似的是（   ） A．两个平行四边形 B．两个矩形 C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形 2、如图，，若，则的长是（    ） A．1.5 B．6 C．9 D．12 3、小赵和妹妹为家人制作亲子恤，主要的图案是在一个矩形基础上设计的，每件恤上的矩形都是相似的，妹妹恤上矩形的面积为，妈妈恤上矩形的长是妹妹恤上矩形长的倍，则妈妈恤上矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 4、如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5、如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 6、如图，点在△ABC的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 7、如图，正方形网格图中的△ABC与位似，则位似中心是（   ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 8、神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（     ） A． B．2a C． D．4a-1 9、如图，用一个卡尺（ ，）测量气缸的内孔直径，量得的长为，则内孔直径的长为（   ） A． B． C． D． 10、小赵在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（   ） A．蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B． C．蜡烛火焰长 D．线段中点与线段中点的连线不一定经过点O 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、若，则的值为 ． 12、如图，若，，，，则长为 ． 13、如图，同一时刻在阳光照射下，树的影子，小赵的影子，已知小赵的身高，则树高 ． 14、如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 15、在△ABC中，，，点D在边上，且，点E在上，当 时，以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似． 16、如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，△ABC的顶点的坐标为．以点为位似中心作与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，在网格图中，已知△ABC和点． (1)以点M为位似中心，在y轴右侧画出，使它与△ABC位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 18、如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且，，，，求EF和FC的长． 19、已知：在△ABC中，为的平分线．求证：．    20、如图，矩形中，为上一点，于点．    (1)证明； (2)若，，，求的长． 21、据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．物体的高为，实像的高为，物体与实像的距离为，点，，在一条直线上，，，均与垂直，求小孔到的距离． 22、某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在的延长线上取点E、F，使得，经测量，米，米，且点F到河岸的距离为90米．已知于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽．    23、【数学眼光】 某学校比邻园区海关大楼，该学校九年级学生小赵在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小赵选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小赵发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小赵进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小赵测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小赵在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 24、在△ABC中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $第三章图形的相似（解析版) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列图形一定相似的是() A.两个平行四边形 B.两个矩形 C.两个等腰三角形 D.两个等边三角形 【答案】D 【详解】解：A、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错 误； B、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； C、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个等边三角形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确， 2、如图，AD∥BE∥CF,若AB=4,BC=8,DE=3,则DF的长是() E A.1.5 B.6 C.9 D.12 【答案】C 【详解】解：AD‖BEI CF AB DE ..BC EF .AB=4 BC=8 DE=3 43 ..8 EF ∴.EF=6 ∴.DF=DE+EF=3+6=9 3、小赵和妹妹为家人制作亲子T恤，主要的图案是在一个矩形基础上设计的，每件T恤上的矩形都 是相似的，妹妹T恤上矩形的面积为50©m,妈妈T恤上矩形的长是妹妹T恤上矩形长的2倍，则妈 妈T恤上矩形的面积为() 我金 超的 宝 超 A.50 B.100 C.150 D.200 【答案】D 【详解】解：由已知，每件T恤上的矩形都是相似的，妈妈T恤上矩形的长是妹妹T恤上矩形长的2 倍， 妈妈T恤上矩形与妹妹T恤上矩形的相似比为2：1， 妈妈T恤上矩形与妹妹T恤上矩形的面积比为4：1， 妹妹T恤上矩形的面积为50cm2, .妈妈T恤上矩形的面积为50×4=200cm2, 4、如图，在△ABC中，AC和BC上分别有一，点E和，点H,过，点E和，点H分别作BC和AC的平行线 交于点D,DE交AB于点G,DH交AB于，点F,则下列结论错误的是() A D G E F B H C DF DG AG AE CE CH FG DF A.AE GE B.BG DH C.AE BH D.AB AC 2 【答案】C 【详解】解：A选项：DH∥AC, ·∠D=∠AEG .·∠DGF=∠EGA ∴，△AEG~△FDG DF DG AEGE· “A选项正确，不符合题意 B选项：DE∥BC, :4G4B BG EC :DH∥ACDE∥BC DECH 四边形 为平行四边形， .DH=EC」 e胎 B选项正确，不特合题意， C选项：DE∥BC,DH∥AC .CE CH AE BH C选项不正确，特合题意。 D选项：DE∥BC,DH∥AC, ∴∠B=∠DGF∠A=∠DFG ADGF∽ACBA .FG AB FD AC .FGDr AB AC “D选项正确，不符合题意， —3 5、如图，选项中的阴影三角形与△ABC相似的为() 【答案】B 【详解】解：设小正方形的边长为1，则有：AB=V10,BC=2,AC=V2, A选项中，三边长依次为1，V5,2V2,所以 1-25 222,所以不相似； 125 B选项中，三边长依次为1,2,5，所以22=10， 所以这两个三角形相似； 92 C选项中，三边长依次为2,5,3，所以 2,所以不相似； V2,2 D选项中，三边长依次为2,5,3，所以之店，所以不相似： 6、如图，，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP一△ACB,添加一个条件，不正确的是() P AB AC A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.BPCB D.AB2=AP.AC 【答案】C 【详解】解：A、当∠ABP=∠C且∠A=∠A,故△ABP∽aACB,此选项正确，但不符合题意； B、当∠APB=∠ABC且∠A=∠A,故△ABP△ACB,此选项正确，但不符合题意； AB AC C、当BPCB时，无法得到△ABP一△ACB,此选项错误，但符合题意； AB AC D、当AB=APAC,即APAB,且∠A=∠A,故△ABPOAACB,此选项正确，但不符合题意， 7、如图，正方形网格图中的△ABC与△AB'C位似，则位似中心是() —4 P B ● R A A.点R B.点P C.点Q D.点O 【答案】D 【详解】解：如图所示，位似中心是点0 C B A 8、神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相 邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比.若上一圈螺纹的直径为α，则相邻下一圈螺纹的直径约为( ) 5-1 5+1 A.2a B.2a C. 2 a D.4a-1 【答案】C 【详解】解：设相邻下一圈螺纹的直径为×， aV5-1 根据题意得：x2 a 2 -5 CO DD 2 9、如图，月一个卡尺(AD=BC，BCAD7)测量气缸的内孔直径AB,量得CD的长为8cm ,则内孔直径AB的长为() B 16 16 A.7cm B.5cm C.28cm D.20cm 【答案】D CO DD 2 【详解】解：，BCAD7、AD=BC ∴.0C=OD 0C_0D_2 :.OA=OB且OBOA5 又：∠COD=∠BOA, .△CODABOA, CD OD 2 .AB OA 5, 4B =>CD=20cm 10、小赵在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若OB=30cm,OB'=20cm,蜡烛火焰倒立 像AB'=6cm,则下列说法中，错误的是（) A B A.蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像AB'可以看成是位似图形 B.△ABO△AB'O 6 C.蜡烛火焰AB长9cm D.线段AB中点与线段A'B中点的连线不一定经过点O 【答案】D 【详解】解：由题意可得：OB⊥AB，OB⊥AB, .∠ABO=∠AB'O=90° .:∠AOB=∠AOB, .△ABO△AB'O,故B正确； AB OB .ABOB，枚蜡烛火焰AB和蜡烛火焰倒立像B可以看成是位似图形，故A正确； AB 30 .620 .AB=9cm,即蜡烛火焰AB长9cm,故C正确； 线段AB中点与线段AB中，点的连线一定经过，点O,故D错误， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 a 3 a+b 11、若b5,则b的值为 【答案】5 a 3 【详解】：b5, 设a=3k,b=5k a+b_3k+5k_8k_8 .b 5k5k 5 8 故答案为：5 12、如图，若∥1,1，AB=6,BC=4,DF=5,则EF长为 7 B 【答案】2 【详解】4∥1， AB DE .CB EF AB=6,BC=4,DF=5, 6_5-EF ..4 EF 解得EF=2. 故答案为：2 13、如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子BC=3m,小赵的影子B'C'=1.5m,已知小赵的身 高A'B'=1.7m,则树高AB= B 3 B1.5C 【答案】3.4m x1.7 【详解】解：设树高是x米，则31.5， 解得：x=3.4m 故答案为：3.4m 14、如图，点A(0,-2),B(L,0),将线段AB平移得到线段DC,若∠ABC=90°，BC=2AB,则，点D —8 的坐标是一 y B 【答案】(4,4) 【详解】如图，过D作DEIy轴于，点E,则∠AED=90°， y个 -1 D 由平移性质可知：AB=CD,AB∥CD .四边形ABCD是平行四边形， ∠ABC=90°， .四边形ABCD是矩形， .∠BAD=90°、BC=AD=2AB .∠OAB+∠EAD=90° .:∠OAB+∠OBA=90°， .∠OBA=∠EAD ∠AOB=∠DEA=90°， .△DABAEDA OA AB OB .ED DA EA ·A(0,-2)、B(1,0) OA=2,0B=1,AB=5, 2V51 .ED DA EA, 设EA=a,则ED=2a,DA=V5a. .V5a=2W5,解得：a=2, .EA=2,ED=4, ..OE=OA+EA=4. 点D在第四象限， D(4,4), 故答案为：(4-4) 15、在△ABC中，AB=9,BC=7,点D在边AB上，且BD=2,点E在BC上，当BE=时， 以B,D,E为顶，点的三角形与△ABC相似， D B 1418 【答案】9或7 【详解】解：如图， A D :∠B=∠B BD BE BD BE ·∴要使B,D,E为三点组成的三角形与△ABC相似，则需满足ABBC或BCAB —10 ·AB=9,BC=7,BD=2, 2_BE 2-BE 97或79， BE=1418 解得： 9或7； 1418 故答案为9或7， 6。力男，在子面在东生系中，点的华标6 △ABC的顶，点A的坐标为(4,3).以，点P为位 似中心作△4BC与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以，点P为位似中心作 △4aG与△4BG位根，相板比为2，且与△ABC位子点P同侧按照以上规徐作国，点的坐 A 标为· 3 0123456 【答案】 【学1解：依志，42P=26-4+目--5 .A,P=2AP=10,4,P=2A,P=20 黄走线P的解折式为=红+b收=0，代入6引，4到 =6k+b 2 .3=4k+b 4 解得：b=6 -11 ..J=_ +6 3 4m,3m 设 m+6 a-+ 60 解得：m=-10,m=22(舍去) 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分，22-24，每题10分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、如图，在网格图中，已知△ABC和，点M(,0): (1)以，点M为位似中心，在y轴右侧画出△A'B'C,使它与△ABC位似，且位似比为2； (2)写出△A'B'C各顶，点的坐标. OM:B 【答案】(1)见详解 2)4(3,4),B'(5,0),C'(7,2) 【详解】(I)解：如图，延长MA到A使AA=MA,则，点A为A的对应点，同样方法作出B,C的对 应点B'、C,依次连接A,B,C,△AB'C'即为所求作； 12 ..OM (2)解：由图可得：A(3,4,B'(5,0),C(7,2) BD 3 18、如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的，点，且DE∥AC,AE∥DF,AD2 BF=36 ,求EF和FC的长， B F D E 【答案】EF=24;CF=64 【详解】解：：AE∥DF, BD BF 36-3 “ADEF,即EF2 ∴.EF=24 .BE=BF+EF=36+24=60 DE∥AC, BD BE 603 ADCE,即CE2, ∴.CE=40 ∴.CF=CE+EF=64 AB BD 19、已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线.求证：ACCD —13 B C D 【答案】见详解 【详解】证明：如图，过C点做AB的平行线与AD的延长线交于点E, B D AB∥CE ∴，∠ABD=∠ECD∠BAD=∠DEC ∴.△ABD一△ECD .ABBD EC CD 又：AD为∠BAC的角平分线， ∴.∠BAD=∠DEC=∠EAC ∴，AC=EC AB BD ..AC CD 20、如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F. D B E C 14 (1)证明△ABEm△DFA: (2)若AB=3,AD=6,AE=5,求AF的长. 【答案】(1)见详解(2)AF=4.8 【详解】(I)解：四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,∠B=90° .∠AEB=∠DAE, :DF⊥AE, .∠AFD=∠B=90°， ∴.△ABE∽△DFA (2)解：.AB=3,AE=5 ∴.BE=VAE2-AB2=4, .:△ABE∽△DFA AF DA AF 6 BEAE,即：45 .AF=4.8 21、据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光 的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实 像CD(,点A,B的对应点分别是C,D),物体AB的高为6cm,实像CD的高为3Cm,物体AB与 实像CD的距离BC为9cm,点B,E,C在一条直线上，AB,OE,CD均与BC垂直，求小孔O到 AB 的距离E -1D 【答案】小孔O到AB的距离BE为6cm —15 【详解】解：由题意知，AB=6cm,CD=3cm,BC=9cm, AB,CD均与BC垂直， .:AB∥CD .∠OAB=∠OCD. 又.∠AOB=∠COD .∴AAOBACOD OBAB=2 .OD CD OB 2 .BD3, OE⊥BC, .OEI CD .△BOEABDC BE OB 2 BC-BD3, 又：BC=9cm, BE=2 BC=6cm 3 ∴.小孔O到AB的距离BE为6Cm. 22、某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽 1B.如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸远定一个目标作为点4，再在河岸的这一边选 出，点C和，点D,分别在AC、AD的延长线上取，点E、F,使得EF∥CD，经测量，CD=80米， EF=140 米，且点下到河岸C”的距高为90米.已知 AB⊥CD 于点B，请你根据提供的数据，帮助 他们计算河宽AB. —16— E 【答案】宽AB为120米 【详解】解：如图所示，过F作FG⊥CD于G,则FG=90, :EF∥CD, .∠ACD=∠E,∠ADC=∠AFE, △ACD∽△AEF, AD CD 4 ∴.AFEF7 AD 4 .FD3 .AB⊥CD,FG⊥CD .∠ABD=∠FGD=90°， .·∠ADB=∠FDG .△ABD∽△FGD AB AD AB 4 FGFD,即90=3， 解得AB=120 .河宽AB为120米. 17 E 23、【数学眼光】 某学校比邻园区海关大楼，该学校九年级学生小赵在学习过“相似”的内容后，也想要利用相 似的知识得海关大楼的高度，如图1所示.小赵选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反 射特点来构造相似，如图2所示， A 7Bmmmmmmm73n97 图1 图2 【问题提出】 问题一：现测量得到BC=a,CE=b,DE=C,问：海关大楼高AB高为多少？（用a,b, C表示) 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小赵发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到 达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小赵送一步完善 了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他 长度来表示，即构造二次相似，将测量距离送进行转化，如图4所示 18 楼 BTC D 地 平面镜 面BC D 无法进入内部 镜1 镜2 图3 图4 问题二：小赵测量得到EG=16.8m,DF=1.6m,GN=1.8m,DE=1.45m,请你求出海关大 楼AB的高度. 【数学语言】 问题三：小赵在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为8lm,请你尝试着分 析出现这样误差的原因是什么？ AB=ac 【答案】问题一： b;问题二：AB=76.8；问题三：见详解 【详解】解：问题一：由反射特，点可知∠ACB=∠DCE, 又∠ABC=∠DEC=90° ∴.△ABC∽△DEC AB BC ··DEEC ..BC=a,CE=b,DE=c AB a 即：cb AB=ac 问题二： 由反射特点可知∠AEB=∠FED,∠AGB=∠MGN, .'∠ABC=∠FDE=∠MNG=90° .△AEB∽△FED,△AGB∽△MGN, 19 AB EB AB GB .FD ED.MN GN ..FD=MN, EB GB .ED GN .EG=16.8m,DF=1.6m,GN=1.8m,DE=1.45m. EB EB+16.8 .1.45 1.8,解得EB=69.6, AB69.6 .1.61.45 解得AB=76.8; 问题三：(I)理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到∠AEB=∠FED和 ∠AGB=∠MGN ，实际操作中有误差； (2)实际中测量两，点之间的距离也存在误差· 24、在△ABC中，D,E分别为AB,AC上一点，BE,CD交于，点F. A D E D D F B 图① 图② 图① (I)设△ABE的面积为S,△ACD的面积为S,且S=S,. ①如图①，连接DE,若∠A=90°，求证：DE∥BC; EF ②如图②，若∠FBC=45°，∠FCB=30°，求DF的值. (2)如图③，若∠A=90°，CE=kMB,BD=kME,DC=2BE，直接写出k的值. √2 【答案】(1)①见详解；②2 (2)k=V3 20 【详解】(1)解：①∠A=90°， 55CAD 2 S=S2 AE AD AB·AE=ACAD,即ACAB. 又∠A=∠A, ∴△ADE一△ABC ∴.∠AED=∠ACB ∴.DE∥BC 如图②，连接DE,作BM⊥AC于点M,作CN⊥AB于点N,过，点F作FH⊥BC于，点H. A M D E N 口 B H 24题答图① S1=S2 :AE、Cw AD BM 1 1 SAAwc -7AB-CN= AC.BM 又 :4C、Cw AB BM AE4C AD AB 又：∠A=∠A, -21 .△ADE一△ABC .DE∥BC EF DF BF CF EFBF DF CF 设FH=BH=x,则BF=2x,CF=2FH=2x ..EF-BF DF CF 2. (2)如答图(2)，过，点B作BP∥EC,且BP=EC,连接DP,CP, E D/E P 24题答图② 则四边形BPCE为平行四边形. CE=kAB BP_CE=k AB AB .·BD=kAE BD =k AE BP BD AB AE 又'∠DBP=∠A=90° ABPD一△ABE .EB AE 1 DP BD k，∠ABE=∠BPD -22 .∠ABE+∠PBF=90° ∴，∠BPD+∠PBF=90° ∠EFP=90° 即 :BE∥PC .∠DPC=180°-∠EFP=90° EB PC 1 DCDC 2 PC=a DC=2a “设 则在RtADPC中，PD=VDC2-PC2=V5a. EB_CP 1 DP DP k, a 1 3a k ..k=3 -23