第3章 代数式（举一反三讲义）数学新教材苏科版七年级上册

该初中数学代数式单元复习讲义通过“夯实基础-进阶拔高-创新思辨”三级框架系统构建知识体系，梳理了代数式概念、整式运算、实际应用等核心内容，以34个题型归类呈现知识脉络，突出同类项、去括号、整体代入等重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计与核心素养培养，基础题型如代数式书写规范夯实抽象能力，进阶题型如行程问题列代数式发展模型意识，创新题型如图形规律探索提升推理意识与创新意识。每个题型配例题与变式题，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统资源。

第3章 代数式（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材苏科版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 代数式的概念】 2 【题型2 用字母表示数】 2 【题型3 代数式表示的实际意义】 2 【题型4 代入数值求代数式的值】 3 【题型5 根据题意列简单代数式】 4 【题型6 判断代数式的书写是否规范】 4 【题型7 单项式的相关概念】 4 【题型8 多项式的相关概念】 5 【题型9 整式的相关概念】 5 【题型10 同类项、合并同类项】 6 【题型11 去括号、添括号】 6 【题型12 整式的加减基本计算】 6 【题型13 按某一字母升幂或降幂排列】 7 【进阶拔高】 7 【题型14 用代数式表示图形周长面积】 7 【题型15 用代数式表示行程问题】 8 【题型16 用代数式表示工程问题】 8 【题型17 用代数式表示利润与折扣问题】 9 【题型18 整体代入求代数式的值】 9 【题型19 根据条件列代数式并求值】 10 【题型20 程序流程图与代数式求值】 11 【题型21 化简后整体代入求值】 11 【题型22 去括号与合并同类项综合化简求值】 12 【题型23 整式加减中的错看问题】 12 【题型24 化简后结果与某字母无关】 13 【题型25 化简后结果不含某项】 13 【题型26 整式加减中的大小比较】 14 【创新思辨】 14 【题型27 代数式求值中的分类讨论】 14 【题型28 探索图形规律列代数式求值】 15 【题型29 探索数字规律列代数式求值】 16 【题型30 多项式恒等条件下求未知量】 16 【题型31 探索规律中的整式表示与求值】 17 【题型32 整式加减与周长综合】 17 【题型33 整式加减与整除综合】 19 【题型34 含绝对值的整式化简求值】 20 【夯实基础】 【题型1 代数式的概念】 【例1】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）在中，______不是代数式． 【变式1-2】（26-27七年级上·北京·课后作业）下列是代数式的有：_______．（写序号） （1）；（2）；    （3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）0． 【变式1-3】（25-26六年级下·全国·单元复习）下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②③；④；⑤；⑥a；⑦；⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 【题型2 用字母表示数】 【例2】（25-26七年级上·湖北武汉·开学考试）一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，则这个两位数是_______________ 【变式2-1】（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）任意三个连续自然数，最小的是，那么最大的数表示为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江·开学考试）三个连续的偶数从小到大排列，它们的和是，那么中间的数是_____ 【变式2-3】（25-26七年级上·河南信阳·期末）一个两位数的个位上的数字是1，十位上的数字比个位上的数字大a，则这个两位数是______． 【题型3 代数式表示的实际意义】 【例3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【变式3-1】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）某景区国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的少300人，则代数式“”表示的意义是______． 【变式3-2】写出下列代数式表示的实际意义： (1)若m苹果的售价为a元，则代数式表示的实际意义是 ___________； (2)请你给赋予一个实际意义：___________． 【变式3-3】（25-26七年级上·山东德州·期末）代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．下列赋予实际意义的例子中不正确的是（    ） A．用元购买件单价为元的商品，剩余元 B．周长是的长方形，一边长为，另一边长为 C．数学项目式学习活动中，某班有人参加，老师把女生分为组，每组人，则表示男生人数 D．一辆汽车以每小时公里的速度行驶了小时，那么它行驶的总距离为公里，如果总路程为公里，那么剩余路程为公里 【题型4 代入数值求代数式的值】 【例4】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）当时，代数式的值为（     ） A．1 B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级下·贵州贵阳·中考复习）当时，代数式的值是（     ） A．7 B． C．3 D． 【变式4-2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）若，，则等于（     ）． A． B．0 C．18 D．12 【变式4-3】（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）鞋的尺码与脚的长度（厘米）之间的关系是（b是鞋的码数，a是脚的长度）． （1）妈妈的脚长23.5厘米，她穿鞋的尺码是_____码． （2）爸爸穿40码的鞋，他的脚长是_____厘米． 【题型5 根据题意列简单代数式】 【例5】（25-26八年级下·江苏连云港·期末）某文具店销售一种水彩笔，每支元，小明买了2支，则小明一共花了（） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式5-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）甲数是m，乙数是n，用代数式表示甲乙两数的和的平方是__________． 【变式5-2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上动点从表示的位置出发，每秒 2 个单位向正方向运动，秒后点表示的数为______________． 【变式5-3】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 【题型6 判断代数式的书写是否规范】 【例6】（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025六年级上·上海·专题练习）下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【变式6-2】（24-25七年级上·广东汕头·期中）下列各式 ①：；②：；③：；④：中最符合书写规范的是_______. 【变式6-3】（25-26七年级上·四川乐山·期中）对于式子：①；②；③；④；⑤米．符合代数式书写的是_____（填序号）． 【题型7 单项式的相关概念】 【例7】（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-1】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 【变式7-2】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）写出一个系数是，次数是的单项式，这个单项式可以是________．（写出一个即可） 【变式7-3】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）若是关于x，y的六次单项式，且它的系数是，则___________． 【题型8 多项式的相关概念】 【例8】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 【变式8-2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 【变式8-3】（25-26七年级上·全国·期末）已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【题型9 整式的相关概念】 【例9】（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【变式9-1】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．m不是整式 B．的系数为2，次数为3 C．3是单项式 D．多项式的次数是5 【变式9-2】（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）将下列各式的序号填入相应的大括号中： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧． 单项式：{                                                   …}； 多项式：{                                                   …}； 三次多项式：{                                                   …}； 整式：{                                                   …}． 【变式9-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则___________． 【题型10 同类项、合并同类项】 【例10】（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【变式10-1】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）写出单项式的同类项：______．（写出一个即可） 【变式10-2】（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）如果单项式与 是同类项，那么___． 【变式10-3】（25-26六年级上·山东烟台·阶段检测）若代数式， ，且，则的值_____． 【题型11 去括号、添括号】 【例11】（25-26七年级上·重庆九龙坡·周测）_______ 【变式11-1】（25-26七年级下·云南昆明·期末）若，则代数式的值为__________． 【变式11-2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）（_____）；（_____）． 【变式11-3】（25-26六年级下·山东泰安·期末）若当时，的值为，那么当时，的值为____________． 【题型12 整式的加减基本计算】 【例12】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：； 【变式12-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）求整式与的差． 【变式12-2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）已知，且，求． 【变式12-3】（25-26七年级上·福建福州·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 【题型13 按某一字母升幂或降幂排列】 【例13】（25-26七年级上·四川乐山·期中）将多项式按下列要求进行排列： (1)按a的升幂排列； (2)按b的降幂排列． 【变式13-1】（25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）把多项式按字母a的降幂排列，第2项的次数是______． 【进阶拔高】 【题型14 用代数式表示图形周长面积】 【例14】（24-25七年级上·江西宜春·阶段检测）下列选项中，能用代数式表示的是（    ） A．三角形的周长 B．长方形的周长 C．梯形的面积 D．长方体的体积 【变式14-1】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）正方形的边长是a，那么它的周长是___________． 【变式14-2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图是一张工程设计图纸，用代数式表示图中阴影部分的面积__________． 【变式14-3】（24-25七年级上·福建福州·期中）某村小麦的种植面积是公顷，玉米的种植面积是小麦的3倍，大豆的种植面积比玉米的种植面积少公顷，则大豆的种植面积是（   ） A．公顷 B．公顷 C．公顷 D．公顷 【题型15 用代数式表示行程问题】 【例15】（25-26七年级上·河北廊坊·期中）甲乙两辆汽车同时同地同向出发，甲车的行驶速度是x千米/小时，乙车的行驶速度是y千米/小时（），5小时后两车相距（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【变式15-1】（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）一条河的水流速度是，船在静水中的速度是，则该船在这条河流中逆水行驶的速度为______________． 【变式15-2】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）一辆汽车以千米每小时的速度行驶，从地到地需要小时，若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加千米每小时，那么提速后需要________________小时． 【变式15-3】（25-26七年级上·广东·期中）甲、乙两地相距千米，一辆汽车的行驶速度为千米/小时． (1)用代数式表示这辆汽车从甲地到乙地需行驶多长时间？ (2)若速度增加千米/小时，则需多长时间？速度增加后比原来早到多长时间？分别用代数式表示． 【题型16 用代数式表示工程问题】 【例16】（25-26七年级上·甘肃陇南·期中）一件工程，甲工程队需要x天完成，乙工程队需要y天完成，则两队合作每天完成的工作量为______． 【变式16-1】（25-26七年级上·河北沧州·期末）如果一项工程要求20天完成，那么x天后完成工程量的（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（24-25七年级上·湖北孝感·期中）一项工程，甲单独做需要天，乙单独做需要天，用代数式表示甲、乙合作完成这项工程需要________天． 【变式16-3】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）汛期来临前，滨海区决定实施“海堤加固”工程．某工程队承包了该项目，计划每天加固60米．在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风”袭击滨海区，于是工程队改变计划，每天加固的海堤长度是原计划的1.5倍，这样赶在“台风”来临前完成加固任务．设滨海区要加固的海堤长为a米，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了_________天（用含a的代数式表示）． 【题型17 用代数式表示利润与折扣问题】 【例17】（25-26七年级上·河南南阳·期中）某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了________元（用含a的代数式表示）． 【变式17-1】（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）某公司今年3月份的利润为万元，4月份的利润比3月份增加了6%，5月份的利润比4月份增加了13%，则该公司5月份的利润表示为（   ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【变式17-2】（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）某超市迎中秋举办促销活动，促销的方法是全场打七五折，折后价每满150元可直接减10元．若某顾客购买标价总和为元的商品，则该顾客实际付款（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式17-3】（25-26七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）某商店年前以每个a元进购一批兔子灯笼，在进价的基础上提价进行售卖，春节未卖完，节后打b折出售，则节后的销售价格为___________元．（结果化到最简） 【题型18 整体代入求代数式的值】 【例18】（24-25七年级上·广东茂名·期末）已知，则的值为________． 【变式18-1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）已知，那么代数式的值是 ___________． 【变式18-2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）若，则代数式的值是（     ）． A．11 B．8 C．5 D．2 【变式18-3】（25-26七年级下·广西防城港·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【题型19 根据条件列代数式并求值】 【例19】（25-26七年级上·广西来宾·期中）暑假两名教师带8名学生外出旅游，旅游费教师每人元、学生每人元，因是团体，给予优惠，教师打八折，学生按六五折优惠，共需旅游费多少元？并计算当，时，旅游费的总金额． 【变式19-1】（25-26七年级上·广东清远·期末）七年级学生计划去某科技馆研学，科技馆有两种购票方案： 方案一：每人收费60元； 方案二：固定基础费用500元，然后再每人收费40元． (1)若学生人数为x，请分别用含x的代数式表示方案一和方案二的费用； (2)当学生人数为30时，哪种方案的费用更优惠？ 【变式19-2】（24-25七年级下·甘肃白银·开学考试）某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价180元，运动袜每双定价30元，商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．（客户选择一种方案购买） 方案：买一双运动鞋送一双运动袜； 方案：运动鞋和运动袜都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买运动鞋6双和运动袜双． (1)若按方案购买，需付款___________元，若按方案购买，需付款___________元； (2)当时，通过计算说明该客户选择哪种方案购买更省钱？ 【变式19-3】（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）某中学七年级（1）班3名老师决定带领本班名学生去某革命胜地参观．该革命胜地每张门票的票价为60元，现有A、B两种购票方案可供选择： 方案：教师全价，学生六折； 方案：不分教师与学生，全部六五折优惠． (1)若按方案购票，需付款_____元（用含的代数式表示）； 若按方案购票，需付款_____元（用含的代数式表示）； (2)当学生人数为何值时，选择两种方案的费用相同？ (3)当学生人数时，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠？ 【题型20 程序流程图与代数式求值】 【例20】（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）根据图中的程序，当输入时，输出结果=____． 【变式20-1】（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 【变式20-2】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式20-3】（25-26七年级上·浙江温州·期末）按如图所示程序运算，当输入值时，输出值为___________． 【题型21 化简后整体代入求值】 【例21】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，则_________． 【变式21-1】（25-26七年级上·广东汕头·期末）若，则___________． 【变式21-2】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）当时，代数式的值为 ______． 【变式21-3】（25-26七年级上·山东滨州·期中）若，，则代数式_____． 【题型22 去括号与合并同类项综合化简求值】 【例22】（25-26七年级上·广东茂名·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【变式22-1】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【变式22-2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）先化简，再求值：，其中是最小的正整数，． 【变式22-3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知多项式，． (1)求； (2)如果，，求的值． 【题型23 整式加减中的错看问题】 【例23】（25-26七年级上·四川广元·期中）某同学做一道数学题：“两个多项式，，已知，试求的值”时．他误将看成，结果答案为． (1)试求的正确结果； (2)当时，求的值． 【变式23-1】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）李明在计算多项式A减去时，忘记了将两个多项式用括号括起来，得到的结果是． (1)求多项式A； (2)求这两个多项式相减的正确结果； (3)当时，求（2）中结果的值． 【变式23-2】（25-26七年级上·河北保定·期末）先化简再求值 (1)小强的妈妈给了一道关于两个整式加减运算的题 “（一个二次三项式）”，由于两整式之间运算符号印刷不清，小强按减法计算，结果得到，小强的妈妈看了看小强做的，告诉小强，你只是将印刷不清的运算符号看错了，结果与正确的答案不符，接着小强又算了一次，得到了正确的结果，你知道正确的结果是多少吗？ (2)若（1）中正确结果中的值是方程的根，你能求出（1）中正确结果的代数式的值吗？ 【变式23-3】（25-26七年级上·全国·单元测试）已知多项式A，B，其中，马小虎同学在计算“”时，误算成成了“”，求得的结果为 (1)求多项式A； (2)求出的正确结果； (3)当时，求的值． 【题型24 化简后结果与某字母无关】 【例24】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）已知多项式，若的结果与的取值无关，则____________． 【变式24-1】（25-26七年级上·全国·期中）已知关于x，y的多项式，若该多项式的取值与字母y无关，则_______． 【变式24-2】（25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）【阅读理解】 已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】 已知，． (1)用含m，x的式子表示； (2)若的值与字母m的取值无关，求x的值； 【变式24-3】（25-26七年级上·河北沧州·期中）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【题型25 化简后结果不含某项】 【例25】（25-26七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）代数式，，，其中的结果既不含x的一次项，也不含x的二次项． (1)求m和n的值； (2)若，求的值． 【变式25-1】（25-26七年级上·重庆大渡口·期中）已知多项式化简后不含项．求代数式的值． 【变式25-2】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，（其中，为常数）． (1)计算； (2)若不含三次项，求的值； 【变式25-3】（25-26七年级上·江西上饶·期末）化简代数式时，小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项，则正确的化简结果为______． 【题型26 整式加减中的大小比较】 【例26】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）已知，，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 【变式26-1】（25-26七年级上·陕西·期中）若，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的值有关 【变式26-2】（26-27七年级上·全国·课堂例题）已知，比较M与N的大小关系：M________N．（在横线上填写“>”“<”或“＝”） 【变式26-3】（24-25八年级下·江西上饶·阶段检测）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（2）、题（3）． （1）要比较和的大小，我们可以用得到2．因为2大于零，所以大于零，因此．这种比较大小的方法称为作差法，即我们可以通过作差、变形，利用差与零的大小关系比较两个多项式的大小关系，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 请用上述方法，比较和的大小． （2）比较和的大小，并说明理由． （3）已知，比较与的大小关系． 【创新思辨】 【题型27 代数式求值中的分类讨论】 【例27】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知，，且，则________． 【变式27-1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知，． （1）若x，y异号，则的值是________； （2）若，则的值是________． 【变式27-2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，，且的值是负数，则的值为______． 【变式27-3】（25-26七年级上·四川资阳·期中）已知五个有理数a，b，c，d，e，若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的平方等于16，则的值是________． 【题型28 探索图形规律列代数式求值】 【例28】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第18个图形共有___________枚五角星． 【变式28-1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形中共有__________个○． 【变式28-2】（25-26九年级上·重庆黔江·期末）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有1个圆圈，第②个图中有4个圆圈，第③个图中有9个圆圈，按照这一规律，则第⑤个图中圆圈的个数是（    ） A．20个 B．25个 C．28个 D．36个 【变式28-3】（25-26九年级上·重庆开州·期末）用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有5个“○”，第②个图案有8个“○”，第③个图案有11个“○”，……按此规律，第⑩个图案中“○”个数为（   ） A．26 B．29 C．32 D．35 【题型29 探索数字规律列代数式求值】 【例29】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）观察一组数：，4，，16，，64……，并思考这组数可能按什么规律排列，并按此规律用含有字母n的式子表示第n个数为______． 【变式29-1】（24-25七年级上·广东汕头·期末）观察下列各式，你能发现什么规律？ ①， ②，     ③， …… 将你猜想到的规律用含字母n的式子表示第n等式：_______． 【变式29-2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为________． 【变式29-3】（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，的值是______． 【题型30 多项式恒等条件下求未知量】 【例30】（2025七年级上·四川南充·专题练习）已知，， (1)关于x，y的式子不存在字母x的一次项和二次项，求式子的值； (2)当且时，若恒成立，求m、n的值 【变式30-1】（25-26七年级上·天津河东·期中）已知， (1)求； (2)当时，恒成立，求的值． 【变式30-2】（24-25七年级上·广东梅州·期中）已知，，若无论取何值时，恒成立，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【变式30-3】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，，，为常数，，，若的取值与x无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型31 探索规律中的整式表示与求值】 【例31】（25-26七年级上·山东济宁·期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为________． …… 【变式31-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是___； （2）当时，多项式前200项的和为___． 【变式31-2】（25-26七年级上·江苏南通·期中）按一定规律排列的一列数称为数列．对于一个数列中依次排列的任意相邻的三个数x，y，z，若，则称这个数列为梦想数列．已知数列是梦想数列，且，那么式子的值为_______． 【变式31-3】（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）观察下列算式：，，，，…，发现其中规律并用代数式表示为_________；利用该规律计算_________． 【题型32 整式加减与周长综合】 【例32】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为_________． 【变式32-1】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图1所示，将大正方形分成两个相同的小正方形和三个相同的长方形，将分成的五个图形如图2所示放置在大长方形中．现将小长方形放置于大长方形中，且与五个图形均有重叠．已知图1大正方形周长为24，长方形和长方形的周长分别是56和40，则重叠部分（图2中阴影部分）的周长和为________． 【变式32-2】把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图②、图③两种放法放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为，图③中阴影部分的周长为，则___________. 【变式32-3】（25-26七年级上·广东中山·期中）为了更好地理解整式加减的实际应用，七（1）班龙狮小组进行数学实践活动． 【操作探究】如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中，记阴影部分①、②、③、④的周长分别为，，，， （1）若，，，求长方形的面积； 【深入思考】 （2）若长方形的周长为24，长方形的周长为16，请算出，，的值； 【拓展提升】 （3）若，，求长方形的周长（结果用含m，n的代数式表示） 【题型33 整式加减与整除综合】 【例33】（25-26七年级下·江苏南通·期末）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为，即．显然能被整除，因此若能被整除，那么就能被整除，即能被整除．（1）一定能被质数________整除；（2）已知四位数，其中，，，均不为，且，．若能被整除，则满足条件的四位数的最大值为________． 【变式33-1】（25-26九年级下·重庆·期中）一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为_____．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为_____． 【变式33-2】（24-25九年级上·重庆·期中）一个四位自然数，若它的所有数位上的数字均不相同且均不为，千位数字与百位数字的和等于，十位数字与个位数字的和为偶数，则称这个四位自然数为“双十一数”．如：，∵，，是偶数，∴是“双十一数”． (1)最大的“双十一数”为 _________； (2)若一个“双十一数”被整除，的所有数位上的数字之和为，且的和被整除，则满足条件的M为 _________． 【变式33-3】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）对于任意一个四位自然数，若M满足各个数位上的数字均不为0，且十位数字与个位数字的和等于千位数字与百位数字的差的5倍，则称四位数M为“千寻数”．例如：5346，因为，，，所以5346是“千寻数”．将“千寻数”的千位数字移到个位数字的右边得到一个新数，令，，若能被15整除，且能被7整除，则满足条件的“千寻数”M的最大值与最小值之差为________． 【题型34 含绝对值的整式化简求值】 【例34】（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是________________． 【变式34-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：____0，____0； (2)化简：． 【变式34-2】（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 【变式34-3】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）若、为有理数，规定：，，例：，． (1)若，求的值； (2)直接写出的最小值为______，此时的取值范围为______； (3)若有理数、、满足，且关于的方程有无数解，，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 代数式（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材苏科版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 代数式的概念】 2 【题型2 用字母表示数】 4 【题型3 代数式表示的实际意义】 5 【题型4 代入数值求代数式的值】 7 【题型5 根据题意列简单代数式】 8 【题型6 判断代数式的书写是否规范】 9 【题型7 单项式的相关概念】 12 【题型8 多项式的相关概念】 13 【题型9 整式的相关概念】 14 【题型10 同类项、合并同类项】 16 【题型11 去括号、添括号】 18 【题型12 整式的加减基本计算】 19 【题型13 按某一字母升幂或降幂排列】 20 【进阶拔高】 21 【题型14 用代数式表示图形周长面积】 21 【题型15 用代数式表示行程问题】 23 【题型16 用代数式表示工程问题】 25 【题型17 用代数式表示利润与折扣问题】 26 【题型18 整体代入求代数式的值】 28 【题型19 根据条件列代数式并求值】 29 【题型20 程序流程图与代数式求值】 31 【题型21 化简后整体代入求值】 33 【题型22 去括号与合并同类项综合化简求值】 34 【题型23 整式加减中的错看问题】 36 【题型24 化简后结果与某字母无关】 40 【题型25 化简后结果不含某项】 42 【题型26 整式加减中的大小比较】 44 【创新思辨】 46 【题型27 代数式求值中的分类讨论】 46 【题型28 探索图形规律列代数式求值】 48 【题型29 探索数字规律列代数式求值】 50 【题型30 多项式恒等条件下求未知量】 52 【题型31 探索规律中的整式表示与求值】 56 【题型32 整式加减与周长综合】 58 【题型33 整式加减与整除综合】 63 【题型34 含绝对值的整式化简求值】 69 【夯实基础】 【题型1 代数式的概念】 【例1】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据代数式的定义，先排除含等号、不等号的，再判断剩余式子是否符合要求，统计个数． 【详解】解：①是代数式； ②不是代数式； ③不是代数式； ④是代数式； ⑤是单独的数，是代数式； ⑥是代数式； 综上，符合条件的代数式共4个． 【变式1-1】（25-26六年级上·上海·阶段检测）在中，______不是代数式． 【答案】 【分析】本题考查代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是解题的关键． 代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，不含等号或不等号，含有等号，是方程，因此不是代数式． 【详解】代数式是指用运算符号（如加、减、乘、除、乘方）连接数字和字母的表达式，不能包含关系符号（如等号或不等号）， 选项、、均符合代数式定义，而含有等号，表示方程，不是代数式， 故答案为． 【变式1-2】（26-27七年级上·北京·课后作业）下列是代数式的有：_______．（写序号） （1）；（2）；    （3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）0． 【答案】（1）（2）（3）（6）（8） 【分析】本题考查了代数式的概念：用运算符号把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式，根据此概念判断即可． 【详解】解：；；；； 0是代数式，其它都不是代数式； 即（1）（2）（3）（6）（8）是代数式； 故答案为：（1）（2）（3）（6）（8）． 【变式1-3】（25-26六年级下·全国·单元复习）下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②③；④；⑤；⑥a；⑦；⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的概念，能区分代数式与等式是解题的关键． 先明确代数式的定义，再逐一判断每个式子是否符合定义，统计符合条件的式子数量，从而得出答案． 【详解】解：∵代数式的定义为：用运算符号把数字与字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式，等式不是代数式， ∴①是代数式， ②是代数式， ③是等式，不是代数式， ④是代数式， ⑤是代数式， ⑥是代数式， ⑦是代数式， ⑧是代数式， ∴符合代数式定义的共7个， 故选：C． 【题型2 用字母表示数】 【例2】（25-26七年级上·湖北武汉·开学考试）一个两位数，十位上的数字是5，个位上的数字是a，则这个两位数是_______________ 【答案】/ 【分析】一个两位数，十位上数字是5，表示5个十，即50，个位上的数字是a，所以此数为． 【详解】解：一个两位数，十位上数字是5，个位上的数字是a，此数为． 故答案为：． 【点睛】此题考查用字母表示数，解答关键是明确十位上的数字表示几个十． 【变式2-1】（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）任意三个连续自然数，最小的是，那么最大的数表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用字母表示数，由任意三个连续自然数，最小的是，则最大的数为，从而求解，掌握连续自然数的特征是解题的关键． 【详解】解：由任意三个连续自然数，最小的是，则最大的数为， 故选：． 【变式2-2】（24-25七年级上·浙江·开学考试）三个连续的偶数从小到大排列，它们的和是，那么中间的数是_____ 【答案】 【分析】本题考查了用字母表示数，相邻的两个偶数之间相差，三个连续偶数的和中间偶数，据此解答即可． 【详解】解：三个连续的偶数从小到大排列，它们的和是， 那么中间的数是：， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26七年级上·河南信阳·期末）一个两位数的个位上的数字是1，十位上的数字比个位上的数字大a，则这个两位数是______． 【答案】10a+11 【分析】先表示出十位上的数字，然后再表达出这个两位数的大小 【详解】∵个位数是1，十位数比个位数大a ∴十位数是1+a ∴这个两位数为：10(a+1)+1=10a+11 故答案为：10a+11 【点睛】本题考查用字母表示数字，解题关键是：若十位数字为a，则应表示为10a 【题型3 代数式表示的实际意义】 【例3】（25-26七年级上·福建泉州·期末）元旦期间，某服装店举办“折上再打折”促销活动．若某套衣服原价元，现价元，则下列说法正确的是（    ） A．原价先减50元，再打六折 B．原价先打六折，再减50元 C．原价先减50元，再打四折 D．原价先打四折，再减50元 【答案】B 【详解】解：A、：原价先减50元，再打六折，价格为，与题意不符； B、原价先打六折，再减50元，价格为，与题目给出的现价一致； C、原价先减50元，再打四折，价格为，与题意不符； D、原价先打四折，再减50元，价格为，与题意不符． 【变式3-1】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）某景区国庆假期第一天网络预约游客m人，第二天网络预约的游客人数比第一天的少300人，则代数式“”表示的意义是______． 【答案】第二天网络预约的人数 【分析】根据题意，第二天网络预约的游客人数比第一天少300人，因此第二天人数可表示为，故代数式表示第二天人数． 本题考查了代数式的意义，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：第一天网络预约游客m人，第二天比第一天少300人， 则第二天人数为， 所以代数式“”表示第二天网络预约的人数． 故答案为：第二天网络预约的人数． 【变式3-2】写出下列代数式表示的实际意义： (1)若m苹果的售价为a元，则代数式表示的实际意义是 ___________； (2)请你给赋予一个实际意义：___________． 【答案】(1)n千克苹果的售价 (2)一只小船在水中顺水航行的速度是m，逆水航行的速度是n ， 为水流的速度（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了代数式及代数式所表示的实际意义，理解代数式的意义是解决问题的关键． （1）根据m苹果的售价为a元，得1苹果的售价为元，据此可得出表示的实际意义； （2）设一只小船在水中顺水航行的速度是m ，逆水航行的速度是n，则水流速度=（顺水航行的速度﹣逆水航行的速度）÷2，即水流速度是（顺水航行的速度﹣逆水航行的速度）÷2，据此可得出答案． 【详解】（1）解：（1）∵m苹果的售价为a元， ∴1苹果的售价为元， ∴表示的实际意义是n千克苹果的售价． 故答案为：n千克苹果的售价． （2）解：设一只小船在水中顺水航行的速度是m ，逆水航行的速度是n ，则水流速度=（顺水航行的速度﹣逆水航行的速度）÷2，即水流速度是 ． 故答案为：一只小船在水中顺水航行的速度是m，逆水航行的速度是n， 为水流的速度（答案不唯一）． 【变式3-3】（25-26七年级上·山东德州·期末）代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．下列赋予实际意义的例子中不正确的是（    ） A．用元购买件单价为元的商品，剩余元 B．周长是的长方形，一边长为，另一边长为 C．数学项目式学习活动中，某班有人参加，老师把女生分为组，每组人，则表示男生人数 D．一辆汽车以每小时公里的速度行驶了小时，那么它行驶的总距离为公里，如果总路程为公里，那么剩余路程为公里 【答案】B 【分析】本题考查代数式，利用总价与单价数量关系、长方形周长公式、路程与速度时间关系等分别列出代数式即可．根据题意写出代数式是解题的关键． 【详解】解：A．∵件单价为元的商品总价为元，总钱数为元， ∴剩余钱数为元， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意； B．∵长方形周长公式为， ∴当周长时，长+宽， ∵一边长为， ∴另一边长应为， 故该选项中赋予实际意义的例子不正确，符合题意； C．∵总人数为人，老师把女生分为组，每组人，则女生人数为人， ∴男生人数为人， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意； D．∵总路程为50公里，一辆汽车以每小时公里的速度行驶了小时，则已行驶路程为公里， ∴剩余路程为公里， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意． 故选：B． 【题型4 代入数值求代数式的值】 【例4】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）当时，代数式的值为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，． 【变式4-1】（25-26九年级下·贵州贵阳·中考复习）当时，代数式的值是（     ） A．7 B． C．3 D． 【答案】C 【详解】解：∵ ， ∴ ． 【变式4-2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）若，，则等于（     ）． A． B．0 C．18 D．12 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴． 【变式4-3】（26-27七年级上·广东深圳·开学考试）鞋的尺码与脚的长度（厘米）之间的关系是（b是鞋的码数，a是脚的长度）． （1）妈妈的脚长23.5厘米，她穿鞋的尺码是_____码． （2）爸爸穿40码的鞋，他的脚长是_____厘米． 【答案】 【详解】解：（1）妈妈脚长为厘米，即， 代入得，， 因此妈妈穿鞋的尺码是码； （2）爸爸鞋码为码，即， 代入，得， 解得， 因此爸爸的脚长是厘米． 【题型5 根据题意列简单代数式】 【例5】（25-26八年级下·江苏连云港·期末）某文具店销售一种水彩笔，每支元，小明买了2支，则小明一共花了（） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题利用“总价=单价×数量”的基本数量关系计算总花费，即可得到结果． 【详解】解：∵水彩笔每支单价为元，小明购买数量为2支， ∴总花费为元． 【变式5-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）甲数是m，乙数是n，用代数式表示甲乙两数的和的平方是__________． 【答案】 【分析】根据题意，先求出甲乙两数的和，再对和计算平方，即可列出正确的代数式． 【详解】解：甲乙两数的和为， 则甲乙两数的和的平方为． 【变式5-2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上动点从表示的位置出发，每秒 2 个单位向正方向运动，秒后点表示的数为______________． 【答案】 【分析】解题思路为：先确定点的初始位置，再计算秒内点运动的单位长度，根据向正方向运动的规则，在初始位置的基础上加上运动长度即可得到结果． 【详解】解：由题意得，点的初始位置对应的数为. 点运动速度为每秒个单位，运动时间为秒，根据路程等于速度乘时间，可得秒内点运动的路程为个单位， 因为点向数轴正方向运动，因此秒后点表示的数为初始位置的数加上运动的路程，即． 【变式5-3】（25-26七年级上·湖北荆州·期末）智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升，②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降，分别列出代数式即可得． 【详解】解：①若某日棚内温度变化规律为：每小时上升， 则经过小时后的温度可能表示为； ②若某日棚内温度变化规律为：每小时下降， 则经过小时后的温度可能表示为； 综上，经过小时后的温度可能表示为或． 【题型6 判断代数式的书写是否规范】 【例6】（25-26七年级上·福建漳州·期中）下列各式中，符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的书写规范，根据代数式书写的基本规则对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵ 带分数作系数时需要化为假分数，A选项使用带分数， 因此A不符合书写规范． ∵ 除法运算需要写成分数形式，B选项保留除号， 因此B不符合书写规范． ∵ 数字与字母相乘时，乘号需要省略且数字要写在字母前方，C选项保留乘号， 因此C不符合书写规范． ∵ 符合代数式书写规范，因此D正确． ∴ 答案选D． 【变式6-1】（2025六年级上·上海·专题练习）下列式子是否书写规范呢？若不规范，请将它们的规范写法填在横线处； (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查代数式的书写规范，包括乘号省略、数字与字母的位置、带分数化假分数、除法写成分数等． （1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写，数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面； （2）带分数要写成假分数的形式； （3）1通常省略不写； （4）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写． 【详解】（1）解：不规范，数字应写在字母前面，乘号省略，应写为． 故答案为：． （2）解：不规范，带分数应写成假分数，即． 故答案为：． （3）解：不规范，1应省略不写，应写为或． 故答案为：或． （4）解：不规范，除法应写成分数形式，即． 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级上·广东汕头·期中）下列各式 ①：；②：；③：；④：中最符合书写规范的是_______. 【答案】②， 【分析】代数式的书写要求：在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式；根据代数式的书写要求逐项判断即可得解， 本题考查了代数式，熟练掌握代数式的书写要求是解此题的关键. 【详解】解：①：中的乘号应省略不写，且写在前面， 故①错误，不符合题意； ②：符合书写规范，故②正确，符合题意； ③：应按照分数的写法来写， 故③错误，不符合题意； ④：中带分数要写成假分数的形式， 故④错误，不符合题意； 故答案为：②．. 【变式6-3】（25-26七年级上·四川乐山·期中）对于式子：①；②；③；④；⑤米．符合代数式书写的是_____（填序号）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查代数式的写法；在含有字母的式子中数字与字母相乘时，数字写在字母前；如果出现乘号“×”，通常将乘号写作“⋅”或省略不写；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写；带分数要写成假分数的形式；代数式为和差形式且带有单位时，应加上括号；据上逐一判断即可，解题的关键是掌握代数式的书写要求． 【详解】解：①，书写规范，符合代数式的书写； ②应写成或，原写法不规范，不符合代数式的书写； ③应写成，原写法不规范，不符合代数式的书写； ④，书写规范，符合代数式的书写； ⑤米，应写成米，原写法不规范，不符合代数式的书写； 故答案为：①④． 【题型7 单项式的相关概念】 【例7】（25-26七年级上·上海·期中）在整式，，，，中，单项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查单项式的定义，解题思路为根据单项式定义逐个判断题干中的整式，统计单项式个数即可得到答案，单项式定义为：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，几个单项式的和为多项式． 【详解】解：∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵，是两个单项式的差，属于多项式，不是单项式 ∵是数与字母的乘积，是单项式 ∵是单独的一个字母，是单项式 ∵是单项式和单项式的和，属于多项式，不是单项式 综上，单项式共有个，因此选C． 【变式7-1】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）下列说法正确的是（     ） A．0和a不是单项式 B．的次数是1 C．的系数是 D．的次数是5 【答案】D 【分析】注意单项式的系数含符号，次数为所有字母指数和，单独的数或字母均为单项式． 【详解】解：A．0和a都是单项式，故A错误． B．的次数是，故B错误． C．的系数是，故C错误． D．的次数是，故D正确． 【变式7-2】（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）写出一个系数是，次数是的单项式，这个单项式可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的定义．根据单项式的定义，系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和，因此，系数为、次数为的单项式需满足数字部分为，且字母部分的指数总和为即可． 【详解】解：可构造一个字母的指数为、系数为的单项式，如，其中的指数为，次数为，系数为，也可用多个字母，如，其中的指数为，的指数为，次数和为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7-3】（24-25七年级上·湖南益阳·期中）若是关于x，y的六次单项式，且它的系数是，则___________． 【答案】 【分析】根据单项式的系数与次数的定义，列出关于m和n的方程，求解得到m，n的值，再代入所求代数式计算得到结果． 【详解】解：∵是关于x，y的六次单项式，且它的系数是， ∴，， 解得：，， ∴． 【题型8 多项式的相关概念】 【例8】（25-26七年级上·广东江门·期末）下列代数式中，是多项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与多项式的定义，明确“多项式是几个单项式的和”这一概念，据此区分单项式与多项式． 【详解】解：A：是数与字母的积，属于单项式； B：是两个单项式与的和，属于多项式； C：是数与字母的积，属于单项式； D：是数与字母的积，属于单项式； 故选：B． 【变式8-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）整式是________次________项式． 【答案】 三 三 【分析】根据多项式中单项式的个数为项数，最高次项的次数为多项式的次数分析求解即可． 【详解】解：整式包含三个单项式，分别为，，，其中的次数为，的次数为，的次数为，可得最高次项的次数为，项数为，因此该整式是三次三项式． 【变式8-2】（25-26七年级上·陕西西安·期末）若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数的定义可得，根据多项式的项数的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式有三项且次数是3， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式8-3】（25-26七年级上·全国·期末）已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【答案】 【分析】首先根据多项式是六次三项式确定的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是六次三项式， ∴，且， 即 ，且， 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为． 【题型9 整式的相关概念】 【例9】（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个． 故选：C． 【变式9-1】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．m不是整式 B．的系数为2，次数为3 C．3是单项式 D．多项式的次数是5 【答案】C 【分析】根据整式、单项式、多项式的定义及相关性质，逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：整式包括单项式和多项式，单独的字母m是单项式，属于整式，故A选项错误； 的系数是，次数是，故B选项错误； 单独的一个数是单项式，3是单独的数，是单项式，故C选项正确； ∵多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，的次数是，的次数是2， ∴该多项式的次数是3，故D选项错误． 【变式9-2】（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）将下列各式的序号填入相应的大括号中： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧． 单项式：{                                                   …}； 多项式：{                                                   …}； 三次多项式：{                                                   …}； 整式：{                                                   …}． 【答案】 单项式：{①⑤⑧…}； 多项式：{②③⑦…}； 三次多项式：{⑦…}； 整式：{①②③⑤⑦⑧…}． 【分析】本题考查了单项式、多项式、三次多项式和整式的定义进行判断；单项式是由数字或字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式；多项式是几个单项式的和；三次多项式是多项式中最高次项的次数为3；整式是单项式和多项式的统称，据此求解即可． 【详解】略 【变式9-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知有下列各式：，．其中单项式有个，多项式有个，整式有个，则___________． 【答案】10 【分析】本题考查的是多项式和单项式的概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式，单项式和整式的概念解答即可． 【详解】解：单项式为：，，则， 多项式为：，，，则， 整式为：，，，，，则， 则， 故答案为：. 【题型10 同类项、合并同类项】 【例10】（25-26七年级上·河南郑州·期末）下列各式中，是同类项的是（     ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：与所含字母不同，A错误； 与中相同字母的指数不相同，B错误； 与所含字母均为、，且相同字母指数均为1，C正确； 与中的指数不同，D错误． 【变式10-1】（25-26七年级上·陕西渭南·期末）写出单项式的同类项：______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了同类项的概念，同类项要求所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，与是同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式10-2】（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）如果单项式与 是同类项，那么___． 【答案】 【分析】根据同类项的定义，得到相同字母的指数相等，列方程求出和的值，再计算． 【详解】解：单项式与是同类项， 可得：， 解得：， ． 【变式10-3】（25-26六年级上·山东烟台·阶段检测）若代数式， ，且，则的值_____． 【答案】 【分析】先由题意得到，继而确定与是同类项，再由同类项的定义求出的值，即可求解． 【详解】解：∵， ，且 ∴， ∴， ∴与是同类项， ∴， ∴， ∴． 【题型11 去括号、添括号】 【例11】（25-26七年级上·重庆九龙坡·周测）_______ 【答案】 【分析】先根据去括号法则去掉括号，再合并同类项可得到化简的结果． 【详解】解： ． 【变式11-1】（25-26七年级下·云南昆明·期末）若，则代数式的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【变式11-2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）（_____）；（_____）． 【答案】 【分析】根据等式变形，结合添括号法则求解即可. 【详解】解：对于第一个等式，整理等式左边得 因此第一个括号内应填. 对于第二个等式，先去括号再整理得 因此第二个括号内应填. 【变式11-3】（25-26六年级下·山东泰安·期末）若当时，的值为，那么当时，的值为____________． 【答案】4 【分析】根据题意可得的值，再把代入到得到，据此求解即可． 【详解】解：∵当时，的值为， ∴， ∴， ∴当时， ． 【题型12 整式的加减基本计算】 【例12】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：； 【答案】 【分析】根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式12-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）求整式与的差． 【答案】． 【详解】解： 【变式12-2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）已知，且，求． 【答案】 【分析】根据整式加减的计算方法，即可求解． 【详解】解：由，得， 把代入，得 ． 【变式12-3】（25-26七年级上·福建福州·期中）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）合并同类项，即可求解； （2）先去括号，再合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解：    （2）解：                                      【题型13 按某一字母升幂或降幂排列】 【例13】（25-26七年级上·四川乐山·期中）将多项式按下列要求进行排列： (1)按a的升幂排列； (2)按b的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式的升降幂排列： （1）按a的升幂排列，即按照的指数依次增大，进行排列即可； （2）按b的降幂排列，即按照的指数依次减少，进行排列即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式13-1】（25-26七年级下·北京顺义·期中）以下各组多项式按字母降幂排列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项B：各项的指数依次为，符合降幂排列的要求，正确； 选项C：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误； 选项D：各项的指数依次为，不是从大到小排列，错误． 【变式13-2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）将多项式按的升幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列． 按x的升幂排列，即按照x的指数从小到大排列多项式各项，即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：D． 【变式13-3】（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）把多项式按字母a的降幂排列，第2项的次数是______． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式的降幂排列． 首先将多项式按字母的降幂排列，确定第2项为，然后计算该项的次数，即所有变量的指数之和． 【详解】解：多项式按字母的降幂排列为， 其中第2项是，该项中的指数为2，的指数为1， 因此次数为． 故答案为：3． 【进阶拔高】 【题型14 用代数式表示图形周长面积】 【例14】（24-25七年级上·江西宜春·阶段检测）下列选项中，能用代数式表示的是（    ） A．三角形的周长 B．长方形的周长 C．梯形的面积 D．长方体的体积 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，根据图形列出代数式，即可求解． 【详解】解：A、三角形的周长为，故该选项不符合题意； B. 长方形的周长为，故该选项符合题意； C. 梯形的面积为，故该选项不符合题意； D. 长方体的体积为，故该选项不符合题意； 故选：B 【变式14-1】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）正方形的边长是a，那么它的周长是___________． 【答案】4a 【分析】本题考查了列代数式．根据正方形的周长公式列出代数式即可． 【详解】解：正方形的周长等于边长的4倍，已知边长为a，故周长为． 故答案为：． 【变式14-2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图是一张工程设计图纸，用代数式表示图中阴影部分的面积__________． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，数形结合是解题的关键． 结合图形，根据阴影部分的面积等于正方形的面积与两个长方形的面积和列式即可． 【详解】解：图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 【变式14-3】（24-25七年级上·福建福州·期中）某村小麦的种植面积是公顷，玉米的种植面积是小麦的3倍，大豆的种植面积比玉米的种植面积少公顷，则大豆的种植面积是（   ） A．公顷 B．公顷 C．公顷 D．公顷 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，先求出玉米的种植面积，再用玉米的种植面积减去公顷即可得到答案． 【详解】解：由题意得，玉米的种植面积是公顷， ∵大豆的种植面积比玉米的种植面积少公顷， ∴大豆的种植面积是公顷， 故选：B． 【题型15 用代数式表示行程问题】 【例15】（25-26七年级上·河北廊坊·期中）甲乙两辆汽车同时同地同向出发，甲车的行驶速度是x千米/小时，乙车的行驶速度是y千米/小时（），5小时后两车相距（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】此题考查列代数式，两车同向行驶，甲车速度较快，两车之间的距离差由速度差决定，计算速度差乘以时间即可 【详解】∵ 甲车速度 千米/小时，乙车速度 千米/小时，且 ， ∴ 速度差为 千米/小时， ∴ 5小时后距离差为 千米， 故选A 【变式15-1】（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）一条河的水流速度是，船在静水中的速度是，则该船在这条河流中逆水行驶的速度为______________． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，船在逆水行驶中的速度公式等．根据题意利用逆水速等于船速减水速，继而列代数式即可． 【详解】解：∵一条河的水流速度是，船在静水中的速度是， ∴该船在这条河流中逆水行驶的速度：， 故答案为：． 【变式15-2】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）一辆汽车以千米每小时的速度行驶，从地到地需要小时，若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加千米每小时，那么提速后需要________________小时． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 先根据原速度和时间求出地到地的路程，再根据提速后的速度计算所需时间． 【详解】解：地到地的路程为（千米）， 提速后的速度为千米/小时， 因此提速后所需时间为（小时）． 故答案为： ． 【变式15-3】（25-26七年级上·广东·期中）甲、乙两地相距千米，一辆汽车的行驶速度为千米/小时． (1)用代数式表示这辆汽车从甲地到乙地需行驶多长时间？ (2)若速度增加千米/小时，则需多长时间？速度增加后比原来早到多长时间？分别用代数式表示． 【答案】(1)小时 (2)从甲地到乙地需小时，可早到小时 【分析】（）根据时间路程速度列出代数式即可； （）由题意得现在速度变为千米/小时，进而可表示出现在从甲地到乙地需要的时间，再用提速前的时间减去提速后的时间可表示出早到的时间； 本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，汽车从甲地到乙地需行驶小时； （2）解：由题意得，现在速度变为千米/小时， ∴从甲地到乙地需小时，可早到小时． 【题型16 用代数式表示工程问题】 【例16】（25-26七年级上·甘肃陇南·期中）一件工程，甲工程队需要x天完成，乙工程队需要y天完成，则两队合作每天完成的工作量为______． 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，解题的关键是理解题意；由题意可把这件工程看作单位“1”，然后可得甲工程队的效率为，乙工程队的效率为，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可把这件工程看作单位“1”，所以两队合作每天完成的工作量为； 故答案为． 【变式16-1】（25-26七年级上·河北沧州·期末）如果一项工程要求20天完成，那么x天后完成工程量的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据总工程量为单位1， 工程要求20天完成，得到工作效率，利用工作量等于工作效率乘以工作时间即可． 【详解】解：设总工程量为单位1，则工作效率为， ∵ 工作量＝工作效率×工作时间 ∴x天后完成工程量的， 故选：D 【点睛】本题考查了工程问题，没有具体工作量时，设工作总量为单位1，熟练掌握工作量，工作效率，工作时间三者之间的关系是解题的关键． 【变式16-2】（24-25七年级上·湖北孝感·期中）一项工程，甲单独做需要天，乙单独做需要天，用代数式表示甲、乙合作完成这项工程需要________天． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据工作效率工作总量工作时间，可列出代数式． 【详解】解：依题意，用代数式表示甲、乙合作完成这项工程需要天． 故答案为：． 【变式16-3】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）汛期来临前，滨海区决定实施“海堤加固”工程．某工程队承包了该项目，计划每天加固60米．在施工前，得到气象部门的预报，近期有“台风”袭击滨海区，于是工程队改变计划，每天加固的海堤长度是原计划的1.5倍，这样赶在“台风”来临前完成加固任务．设滨海区要加固的海堤长为a米，则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用了_________天（用含a的代数式表示）． 【答案】 【详解】由已知得： 原计划用的天数为， 实际用的天数为， 则完成整个任务的实际时间比原计划时间少用的天数为． 故答案为． 【题型17 用代数式表示利润与折扣问题】 【例17】（25-26七年级上·河南南阳·期中）某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了________元（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润． 【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为（元）， 则售出a个布老虎增加的利润为． 故答案为：． 【变式17-1】（25-26七年级上·辽宁盘锦·期中）某公司今年3月份的利润为万元，4月份的利润比3月份增加了6%，5月份的利润比4月份增加了13%，则该公司5月份的利润表示为（   ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，正确理解增长率的意义是解决问题的关键． 4月份利润基于3月份增长6%，5月份基于4月份增长13%，因此5月份利润需连续应用增长率乘法． 【详解】解：∵ 4月份利润比3月份增长6%， ∴ 4月份利润为 万元． ∵ 5月份利润比4月份增长13%， ∴ 5月份利润为 万元． 故选：B． 【变式17-2】（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）某超市迎中秋举办促销活动，促销的方法是全场打七五折，折后价每满150元可直接减10元．若某顾客购买标价总和为元的商品，则该顾客实际付款（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查列代数式，分析出打折后还能优惠的钱是解题的关键． 先用字母表示出打折后付的钱数，再根据题意表示出实际付款的代数式即可． 【详解】解：∵购买商品的标价总和：， ∴当为最少200时，折后价：（元）， ∴在折后价再减10元， ∴实际付款：元． 故选：C． 【变式17-3】（25-26七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）某商店年前以每个a元进购一批兔子灯笼，在进价的基础上提价进行售卖，春节未卖完，节后打b折出售，则节后的销售价格为___________元．（结果化到最简） 【答案】 【分析】根据“在商品进价的基础上提价后，打b折出售”列式可求解． 【详解】解：依题意得（元）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，弄清题意，正确列式是解题的关键． 【题型18 整体代入求代数式的值】 【例18】（24-25七年级上·广东茂名·期末）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】由变形得到的整体数值，待求式可变形为，所以将的整体数值代入该变形后的式子即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入得，． 【变式18-1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）已知，那么代数式的值是 ___________． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴． 【变式18-2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）若，则代数式的值是（     ）． A．11 B．8 C．5 D．2 【答案】B 【分析】将代数式变形为含的整体，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式18-3】（25-26七年级下·广西防城港·期末）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于都未知，因此将所求代数式变形为含已知等式的形式，整体代入计算即可． 【详解】 ， 将代入，得 ． 【题型19 根据条件列代数式并求值】 【例19】（25-26七年级上·广西来宾·期中）暑假两名教师带8名学生外出旅游，旅游费教师每人元、学生每人元，因是团体，给予优惠，教师打八折，学生按六五折优惠，共需旅游费多少元？并计算当，时，旅游费的总金额． 【答案】元；（元） 【分析】根据旅游费用等于教师的费用与学生的费用之和列式整理，再将、的值代入计算即可得解． 【详解】旅游费元， 当，时，旅游费用（元）． 【变式19-1】（25-26七年级上·广东清远·期末）七年级学生计划去某科技馆研学，科技馆有两种购票方案： 方案一：每人收费60元； 方案二：固定基础费用500元，然后再每人收费40元． (1)若学生人数为x，请分别用含x的代数式表示方案一和方案二的费用； (2)当学生人数为30时，哪种方案的费用更优惠？ 【答案】(1)方案一的费用为元；方案二的费用为元； (2)方案二更优惠 【分析】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合学生人数为x，以及方案一和方案二的收费方式进行列式，即可作答． （2）分别算出当学生人数为30时，方案一和方案二的费用，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：∵学生人数为x， ∴方案一的费用为元；方案二的费用为元； （2）解：由（1）得方案一的费用为元；方案二的费用为元； 当时，则（元）， （元）， ∵， ∴当学生人数为30时，方案二的费用更优惠． 【变式19-2】（24-25七年级下·甘肃白银·开学考试）某商场销售一款运动鞋和运动袜，运动鞋每双定价180元，运动袜每双定价30元，商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．（客户选择一种方案购买） 方案：买一双运动鞋送一双运动袜； 方案：运动鞋和运动袜都按定价的付款． 现某客户要到该商场购买运动鞋6双和运动袜双． (1)若按方案购买，需付款___________元，若按方案购买，需付款___________元； (2)当时，通过计算说明该客户选择哪种方案购买更省钱？ 【答案】(1) (2)该客户选择方案购买更省钱 【分析】本题考查代数式求值及列代数式，结合已知条件列得正确的代数式是解题的关键． （1）根据题意列得对应的代数式即可； （2）将代入（1）中求得的代数式中比较结果的大小即可． 【详解】（1）解：按方案购买，需付款元， 若按方案购买，需付款元， 故答案为：； （2）解：当时，选择方案需要付款（元）， 选择方案需要付款（元）． ∵， ∴该客户选择方案购买更省钱． 【变式19-3】（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）某中学七年级（1）班3名老师决定带领本班名学生去某革命胜地参观．该革命胜地每张门票的票价为60元，现有A、B两种购票方案可供选择： 方案：教师全价，学生六折； 方案：不分教师与学生，全部六五折优惠． (1)若按方案购票，需付款_____元（用含的代数式表示）； 若按方案购票，需付款_____元（用含的代数式表示）； (2)当学生人数为何值时，选择两种方案的费用相同？ (3)当学生人数时，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠？ 【答案】(1)； (2)当学生人数为21时，选择两种方案的费用相同 (3) 解：当时， 选择方案所需的费用为：（元）， 选择方案所需的费用为：（元）， 因为， 所以选择方案更为优惠． 【分析】本题考查了列代数式及代数式求值，解一元一次方程，理解题意正确列出代数式是解决问题的关键． （1）根据题意，由A，B两种方案进行表示即可； （2）根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案 （3）当时，代入（1）中的两个代数式，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：按方案购票，需付款元； 按方案购票，需付款元 （2）解：由题意得：， 解得：， 当学生人数为21时，选择两种方案的费用相同． （3）略 【题型20 程序流程图与代数式求值】 【例20】（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）根据图中的程序，当输入时，输出结果=____． 【答案】1 【详解】解：输入，且， 应选择进行计算， ． 【变式20-1】（25-26七年级下·重庆·期中）如图是一个运算程序的示意图，若输入的值为，则输出的结果为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】把代入运算程序中，计算可得，根据，那么需再次代入得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴需把再次代入，可得， ∵， ∴输出的结果为． 【变式20-2】（25-26七年级上·福建漳州·期中）在计算机上设置运算程序，输入数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”，下面是一个“数值转换机”，下列输入的数据中，输出的结果为33的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据程序求解即可． 【详解】解：当输入，，，此时， ，两个结果不相等，无法输出，不符合要求； 当输入，，不满足，此时无法计算，无法输出，不符合要求； 当输入，，，此时， ，两个结果相等，可以输出，符合要求； 当输入，，，此时， ，两个结果不相等，无法输出，不符合要求． 【变式20-3】（25-26七年级上·浙江温州·期末）按如图所示程序运算，当输入值时，输出值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，将代入，根据流程图，进行计算，直至结果为偶数，输出即可． 【详解】解：当时，为奇数，继续输入， 当时，为偶数，输出； 故答案为：8 【题型21 化简后整体代入求值】 【例21】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，则_________． 【答案】 【分析】先去括号，再计算整式的加减，然后将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式21-1】（25-26七年级上·广东汕头·期末）若，则___________． 【答案】6 【分析】本题考查整式加减中的化简求值、代数式求值，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再计算整式的加减，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 【变式21-2】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）当时，代数式的值为 ______． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，整式的加减化简求值．解题的关键是注意运算顺序，要注意解题的准确性．把化简为，然后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：11． 【变式21-3】（25-26七年级上·山东滨州·期中）若，，则代数式_____． 【答案】 【分析】本题考查整式化简求值，涉及整式加减运算，熟记合并同类项运算法则是解决问题的关键． 先去括号、再合并同类项，化简代数式，并代入已知条件和代入化简代数式进行计算即可得到答案． 【详解】解： 当和时， 原式 ． 【题型22 去括号与合并同类项综合化简求值】 【例22】（25-26七年级上·广东茂名·期末）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】化简结果为，值为. 【详解】解： ． 当，时， 原式． 【变式22-1】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）先化简，再求值： ，其中x，y满足． 【答案】， 【详解】解： ∵ ∴ ∴      ∴原式． 【变式22-2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）先化简，再求值：，其中是最小的正整数，． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 是最小的正整数， ， ， ， 原式. 【变式22-3】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知多项式，． (1)求； (2)如果，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算以及代入求值，准确地进行运算是解题的关键． （1）根据题意表达，然后去括号化简即可； （2）根据（1）中的结果，代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵，， ∴ ． 【题型23 整式加减中的错看问题】 【例23】（25-26七年级上·四川广元·期中）某同学做一道数学题：“两个多项式，，已知，试求的值”时．他误将看成，结果答案为． (1)试求的正确结果； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据计算得出，再根据整式的加减运算法则计算即可得解； （2）将代入（1）中计算的式子即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴ ， ∴ ； （2）解：当时，的值． 【变式23-1】（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期中）李明在计算多项式A减去时，忘记了将两个多项式用括号括起来，得到的结果是． (1)求多项式A； (2)求这两个多项式相减的正确结果； (3)当时，求（2）中结果的值． 【答案】(1)． (2)正确结果： (3)当时，原式． 【分析】本题主要考查了多项式的加减运算以及代数式求值，熟练掌握多项式加减运算法则是解题的关键． （1）根据错误的计算过程，利用“被减数=差+减数”的关系求出多项式． （2）用求出的多项式减去，按照多项式减法法则计算正确结果． （3）将代入（2）小题的结果，计算出具体数值． 【详解】（1）解：∵李明忘记加括号，计算的是， ∴， ； （2）解：∵，减数为， ∴正确结果为 ； （3）解：当时， 原式 ． 【变式23-2】（25-26七年级上·河北保定·期末）先化简再求值 (1)小强的妈妈给了一道关于两个整式加减运算的题 “（一个二次三项式）”，由于两整式之间运算符号印刷不清，小强按减法计算，结果得到，小强的妈妈看了看小强做的，告诉小强，你只是将印刷不清的运算符号看错了，结果与正确的答案不符，接着小强又算了一次，得到了正确的结果，你知道正确的结果是多少吗？ (2)若（1）中正确结果中的值是方程的根，你能求出（1）中正确结果的代数式的值吗？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设被减式为A，则由题意可得：，从而可得到A的表达式，再进行计算即可； （2）先解方程，得到方程的解为，再代入（1）中化简后的代数式求值即可． 【详解】（1）解：设被减式为A， 则由题意可得：， ∴ ； ∴ ； （2）， 移项得：， 合并得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是整式的加减运算的应用，求解代数式的值，一元一次方程的解法，理解题意，求解正确的被减式是解本题的关键． 【变式23-3】（25-26七年级上·全国·单元测试）已知多项式A，B，其中，马小虎同学在计算“”时，误算成成了“”，求得的结果为 (1)求多项式A； (2)求出的正确结果； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据A+3B=12x2−6x+7可以得出A=12x2−6x+7-3B，将B代入即可求出A； （2）将（1）中求出的A与B代入3A+B即可求解； （3）根据（2）的结果，将代入求值即可． 【详解】（1）∵=，， ∴ 即 （2）∵，， ∴= （3）当时 【点睛】本题考查了整式的加减，注意去括号时确认是否需要变号，合并同类项时，只把系数相加减，字母和字母的指数不变． 【题型24 化简后结果与某字母无关】 【例24】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）已知多项式，若的结果与的取值无关，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键，先计算并合并同类项，根据多项式的值与x和y的取值无关，令项和y项的系数为零，解出a和b的值，再求即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 由题意得：，， 解得，， 所以． 故答案为：． 【变式24-1】（25-26七年级上·全国·期中）已知关于x，y的多项式，若该多项式的取值与字母y无关，则_______． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式去括号合并后由结果与x、y的值无关，确定出a与b的值即可． 【详解】解： ， ∵多项式的取值与字母无关， ∴，， ∴，． 故答案为： 【变式24-2】（25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）【阅读理解】 已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】 已知，． (1)用含m，x的式子表示； (2)若的值与字母m的取值无关，求x的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减－无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于0，由此建立方程求解． （1）把，代入，然后去括号合并同类项即可； （2）合并关于m的同类项，然后令其系数等于0求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴ ； （2）解： ， ∵的值与字母m的取值无关， ∴， ∴． 【变式24-3】（25-26七年级上·河北沧州·期中）【阅读理解】已知，若F的值和x的取值无关，则，．所以当时，和x的取值无关． 【知识应用】已知，． (1)用含m，n，x的式子表示； (2)若的值和x的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）运用合并同类项法则进行计算即可； （2）判断，，求出的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，且的值和的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 【题型25 化简后结果不含某项】 【例25】（25-26七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）代数式，，，其中的结果既不含x的一次项，也不含x的二次项． (1)求m和n的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题、代数式求值． （1）利用整式的加减运算法则可得，根据不含一次项和二次项可得，，进而可求解； （2）先化简，再将代入原式即可求解． 【详解】（1）解： ， 的结果中既不含x的一次项，也不含x的二次项， ，， 解得：，； （2）解： ， 将代入得：原式． 【变式25-1】（25-26七年级上·重庆大渡口·期中）已知多项式化简后不含项．求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，代数式求值，熟练掌握相关运算法则并准确计算是解题的关键．先化简多项式，再根据题意求出的值，最后代入即可求值． 【详解】解： 化简后不含项， ， ， ． 答：代数式的值为． 【变式25-2】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，（其中，为常数）． (1)计算； (2)若不含三次项，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，整式加减中无关型问题． （1）列出算式，然后去括号，合并同类项即可； （2）不含三次项，可得，即可得出结果． 【详解】（1）解： ． （2）∵不含三次项， ∴， ∴． 【变式25-3】（25-26七年级上·江西上饶·期末）化简代数式时，小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项，则正确的化简结果为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减中不含项问题，熟练掌握解题的基本思路是解题的关键．先合并同类项，确定项的系数，根据题意，求得m值，化简即可得到最后的答案． 【详解】解：∵小华将看成了它的相反数，最终他的化简结果不含项， ∴小华的计算过程为：， ∴，解得， ∴正确的化简结果为， 故答案为：． 【题型26 整式加减中的大小比较】 【例26】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）已知，，则M与N的大小关系是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】比较两个代数式的大小，可采用作差法，计算并化简，通过判断差的正负性，即可得到与的大小关系． 【详解】解： 去括号得： 合并同类项得： 对任意实数，都有 ， 即 ． 【变式26-1】（25-26七年级上·陕西·期中）若，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的值有关 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．通过计算与的差值，判断其符号，从而比较和的大小关系． 【详解】解： ，， ， ， ， ，即． 故选：C． 【变式26-2】（26-27七年级上·全国·课堂例题）已知，比较M与N的大小关系：M________N．（在横线上填写“>”“<”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】本题主要考查了整式的加减及作差法比较大小，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．利用作差法比较大小即可得解． 【详解】 即， 故答案为：< 【变式26-3】（24-25八年级下·江西上饶·阶段检测）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（2）、题（3）． （1）要比较和的大小，我们可以用得到2．因为2大于零，所以大于零，因此．这种比较大小的方法称为作差法，即我们可以通过作差、变形，利用差与零的大小关系比较两个多项式的大小关系，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 请用上述方法，比较和的大小． （2）比较和的大小，并说明理由． （3）已知，比较与的大小关系． 【答案】 （1），理由如下， ∵， ∴； （2）当时，；当时，；当时，；理由如下： ∵， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； （3）． 【分析】本题考查了整式的减法． （1）根据，即可解答； （2）根据，根据的取值，即可解答； （3）计算，判断其结果的正负，即可解答． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即． 【创新思辨】 【题型27 代数式求值中的分类讨论】 【例27】（25-26七年级上·湖南湘潭·期末）已知，，且，则________． 【答案】或 【分析】根据绝对值的定义得到，的所有可能取值，结合的条件筛选出符合要求的取值，再计算． 【详解】解：∵ ， ∴ 或 ， ∵ ， ∴ 或 ， ∵ ，当时，，，不满足条件，舍去； 当时，，，两种情况都满足条件， 当，时，， 当，时，， 因此的值为或． 【变式27-1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）已知，． （1）若x，y异号，则的值是________； （2）若，则的值是________． 【答案】 2或8 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的意义，有理数的加法计算和乘法计算： （1）根据绝对值的意义结合x，y异号求出x、y的值，再代值计算即可得到答案； （2）根据绝对值的意义结合求出x、y的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵x，y异号， ∴，，或，， ∴或， 故答案为：； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴或， 故答案为：2或8． 【变式27-2】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知，，且的值是负数，则的值为______． 【答案】1或7 【分析】首先依据绝对值和平方根的定义求得x、y，然后结合条件x+y＜0进行分类计算即可． 【详解】解：∵|x|=3，y2=16， ∴x=±3，y=±4． ∵x+y＜0， ∴x=±3，y=-4． 当x=-3，y=-4时，x-y=-3+4=1； 当x=3，y=-4时，x-y=3+4=7． 故答案为：1或7． 【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，分类讨论是解题的关键． 【变式27-3】（25-26七年级上·四川资阳·期中）已知五个有理数a，b，c，d，e，若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的平方等于16，则的值是________． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，相反数，倒数，有理数的乘方，代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据互为相反数的两个数的和等于可得，互为倒数的两个数的乘积是可得，根据平方的定义可求的值，然后代入代数式进行计算即可求解． 【详解】解： ，互为相反数，，互为倒数， ，， 的平方等于16， 或， 当时，， 当时，， 的值是或． 【题型28 探索图形规律列代数式求值】 【例28】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第18个图形共有___________枚五角星． 【答案】 【分析】根据观察可以发现，每增加1个图形，就增加3个五角星，所以可以得到五角星数量与图形序号的关系：五角星数量图形序号，代入图形序号为18，即可求出第18个图形的五角星数量． 【详解】解：根据观察，可得五角星数量与图形序号的关系：五角星数量图形序号， 所以假设图形序号为，则五角星数量， 当时，五角星数量（枚）． 【变式28-1】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第6个图形中共有__________个○． 【答案】37 【分析】本题考查了图形规律探索，根据图形找到规律即可求得结果． 【详解】解：每个图形是“十字形”结构，包含部分：上方固定个○；左右两边：第个图中，每边有个○，两边共个；下方：第个图中有个○， 因此，第个图形的○总数为：， 当时，总数为：． 故答案为：． 【变式28-2】（25-26九年级上·重庆黔江·期末）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有1个圆圈，第②个图中有4个圆圈，第③个图中有9个圆圈，按照这一规律，则第⑤个图中圆圈的个数是（    ） A．20个 B．25个 C．28个 D．36个 【答案】B 【分析】本题考查图形数字规律的探索，关键是通过观察前三个图形的圆圈数量，总结出数量与图形序号的对应关系．观察第①到第③个图的圆圈数，发现第①个图的圆圈数为，第②个图为，第③个图为，可推导得出第个图的圆圈个数为，据此计算第⑤个图的圆圈数即可． 【详解】解：观察图形可得： 第①个图中圆圈的个数为； 第②个图中圆圈的个数为； 第③个图中圆圈的个数为； …… 由此总结规律：第个图中圆圈的个数为， 则第⑤个图中圆圈的个数为； 故选：B． 【变式28-3】（25-26九年级上·重庆开州·期末）用大小相同的“○”按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有5个“○”，第②个图案有8个“○”，第③个图案有11个“○”，……按此规律，第⑩个图案中“○”个数为（   ） A．26 B．29 C．32 D．35 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形变化规律探究，找到图形的变化规律是解题的关键． 根据前几个图形，发现“○”的个数规律，然后根据规律求解即可． 【详解】解：由图可知：第①个图案用了“○”的个数为， 第②个图案用了“○”的个数为， 第③个图案用了“○”的个数为， 第④个图案用了“○”的个数为， ， 第n个图案用了“○”的个数为， ∴第⑩个图案用了“○”的个数为个， 故选：C． 【题型29 探索数字规律列代数式求值】 【例29】（25-26七年级上·河南驻马店·期中）观察一组数：，4，，16，，64……，并思考这组数可能按什么规律排列，并按此规律用含有字母n的式子表示第n个数为______． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律，熟练找准数字规律是解题的关键． 观察数列的数值部分为2的幂次，符号交替变化，且奇数项为负、偶数项为正，因此第n项可表示为． 【详解】解：根据题意得，第1个数是，第2个数是4，第3个数是，第4个数是16，第5个数是，第6个数是64， 数值部分：2、4、8、16、 32、64，即， 符号部分：奇数项为负，偶数项为正，可用表示， 当n为奇数时，；当n为偶数时，， 因此，第n项为，即． 故答案为：． 【变式29-1】（24-25七年级上·广东汕头·期末）观察下列各式，你能发现什么规律？ ①， ②，     ③， …… 将你猜想到的规律用含字母n的式子表示第n等式：_______． 【答案】（为正整数） 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是根据规律得出第项解答．从数列；；可以知道第一项中，，，第二项中，，，第三项中，，，由此可以知道第项，可以写为． 【详解】解：从；；可以知道： 第一项中，，， 第二项中，，， 第三项中，，， 故第项为：（为正整数）． 故答案为：（为正整数）． 【变式29-2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为________． 【答案】34 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，每个“品”中，上面一层的数加上下面一层左边的数等于下面一层右边的数，下面一层左边的数比上面一层的数小1，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：观察可知，每个“品”中，上面一层的数加上下面一层左边的数等于下面一层右边的数，下面一层左边的数比上面一层的数小1， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式29-3】（25-26八年级上·广西南宁·阶段检测）如图，下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，的值是______． 【答案】 【分析】本题考查找规律，根据已知的三角形中的三个数，找到规律，代值求解即可得到答案，根据题意准确找到规律是解决问题的关键． 【详解】解：根据题中前4个三角形中的三个数的规律，可知如下规律： 当时，， 故答案为：． 【题型30 多项式恒等条件下求未知量】 【例30】（2025七年级上·四川南充·专题练习）已知，， (1)关于x，y的式子不存在字母x的一次项和二次项，求式子的值； (2)当且时，若恒成立，求m、n的值 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题关键． （1）首先化简，然后根据其取值与字母x的取值无关列出m、n的方程，求出m、n的值，再代入求值即可； （2）首先根据恒成立列出m、n的方程，求出m、n的值即可． 【详解】（1）解： ∵关于，的式子不存在字母的一次项和二次项 ∴，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵若恒成立 ∴ ∵且 ∴， ∴，． 【变式30-1】（25-26七年级上·天津河东·期中）已知， (1)求； (2)当时，恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是整式的加减运算，解一元一次方程，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）将，代入进行求解即可； （2）根据当时，恒成立得到求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， 当时，恒成立， ， 解得． 【变式30-2】（24-25七年级上·广东梅州·期中）已知，，若无论取何值时，恒成立，则的值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先把，代入化简，可得，再根据无论取何值时，恒成立，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵无论取何值时，恒成立， ∴， 解得：． 故选：D． 【变式30-3】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，，，为常数，，，若的取值与x无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值，解决本题的关键是求出、．根据题意，求出，且的取值与无关，所以，，即，；，因为是不含的多项式，所以，即；因为，将、、代入到式子中，可得，即，因为式子恒成立，所以，即，将、、、代入求出． 【详解】解：因为，， 所以 ， 因为的取值与无关， 所以，， 得：，； ； 因为是不含的多项式， 所以， 即， 因为， 即， ， 因为该式子恒成立， 所以， 即， ． 故选：A． 【题型31 探索规律中的整式表示与求值】 【例31】（25-26七年级上·山东济宁·期中）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出的值为________． …… 【答案】 【分析】由图形可得规律为“品”字型上方的数为，规律为m的指数依次增大，系数为2n-1，下方第一格的数为，规律为m的指数依次增大，系数为2的n次方，下方第二格的数为上方的数加上下方第一格的数，由此问题可求解． 【详解】解：由图形可得：“品”字型上方的数为，规律为m的指数依次增大，系数为2n-1，下方第一格的数为，规律为m的指数依次增大，系数为2的n次方，下方第二格的数为上方的数加上下方第一格的数， ∴， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查图形规律及合并同类项，解题的关键是根据图形中所给数据得到规律． 【变式31-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期末）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是___； （2）当时，多项式前200项的和为___． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）由原多项式，观察其x的指数由一次到二次……次数逐渐增大，次数为连续的自然数，系数的绝对值为连续的奇数，在奇次项为正数，偶次项为负数，从而得到结果； （2）当时，得到，共200个数相加，相邻两个数之和为，共分为100组，从而得到结果． 【详解】解：（1）∵多项式 ∴经观察可知：x的指数由一次到二次……次数逐渐增大，次数为连续的自然数， 系数为1，，5，……系数的绝对值为连续的奇数，在奇次项为正数，偶次项为负数， ∴多项式的第5项是， 故答案为：； （2）∵当时，多项式的前200项和为， ∴ ． 故答案为：． 【变式31-2】（25-26七年级上·江苏南通·期中）按一定规律排列的一列数称为数列．对于一个数列中依次排列的任意相邻的三个数x，y，z，若，则称这个数列为梦想数列．已知数列是梦想数列，且，那么式子的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查数字变化的规律，根据题中给的“梦想数列”的定义，结合整体思想即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为数列是梦想数列， 所以， ， 得， 即 又因为， 所以， 即． 故答案为：． 【变式31-3】（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）观察下列算式：，，，，…，发现其中规律并用代数式表示为_________；利用该规律计算_________． 【答案】 （n为非负整数） 【详解】解：∵， ， ， ， ∴，（n为非负整数） ∴． 【题型32 整式加减与周长综合】 【例32】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，把图1中周长为8的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A，B，C，D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为13的长方形中，则正方形A的周长与阴影部分的周长之比为_________． 【答案】/ 【分析】设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y，则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为，E号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为，求得，即可得出正方形A的周长，由图2求得，根据图2中长方形的周长为13求得，没有覆盖的阴影部分的周长为，计算即可得到答案． 【详解】解：设D号正方形的边长为x，C号正方形的边长为y， 则A号正方形的边长为，B号正方形的边长为， E号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为8，可得，， 解得：， ∴正方形A的周长为； 如图， ， ∵图2中长方形的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴没有覆盖的阴影部分的周长为：， ∴正方形A的周长与阴影部分的周长之比为． 故答案为：． 【点睛】此题考查整式加减的应用，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 【变式32-1】（25-26七年级上·浙江湖州·期末）如图1所示，将大正方形分成两个相同的小正方形和三个相同的长方形，将分成的五个图形如图2所示放置在大长方形中．现将小长方形放置于大长方形中，且与五个图形均有重叠．已知图1大正方形周长为24，长方形和长方形的周长分别是56和40，则重叠部分（图2中阴影部分）的周长和为________． 【答案】 【分析】本题考查整式加减的应用，根据图1的周长为24，得到大正方形的边长为6，可求出小正方形的边长3，进而得到小长方形的长为3，宽为2，如图，设，根据长方形的周长是56，求出，求出，，进而求出，可得阴影部分的周长为，代入数据计算即可得出结果． 【详解】解：如图， ∵图1的周长为24， ∴大正方形的边长为， ∴小正方形的边长， ∴小长方形的长为，宽为， 设， ∵长方形的周长是56， ∴， ∴，， ∴， ∴阴影部分的周长为， ， ∵长方形的周长是40， ∴， ∴，即重叠部分（图2中阴影部分）的周长和为． 故答案为：． 【变式32-2】把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图②、图③两种放法放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部分的周长为，图③中阴影部分的周长为，则___________. 【答案】2m-2n. 【分析】此题要先设小长方形的长为acm，宽为bcm，再结合图形得出2b+a=m，分别表示图形②的阴影周长和图形③的阴影周长，作差后即可求出答案. 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 由图可知2b+a=m， ∴②阴影部分的周长为：=2（m+n）， ∴③阴影部分的周长为：=2m+2（n-a）+2（n-2b）=2m+4n-2(2b+a)= 2m+4n-2m=4n, ∴C2-C3=2（m+n）-4n=2m-2n. 故答案为2m-2n. 【点睛】此题主要考查整式加减的运用，做此类题要善于观察，在第②个图形中利用割补法进行计算，很容易计算得出结果． 【变式32-3】（25-26七年级上·广东中山·期中）为了更好地理解整式加减的实际应用，七（1）班龙狮小组进行数学实践活动． 【操作探究】如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中，记阴影部分①、②、③、④的周长分别为，，，， （1）若，，，求长方形的面积； 【深入思考】 （2）若长方形的周长为24，长方形的周长为16，请算出，，的值； 【拓展提升】 （3）若，，求长方形的周长（结果用含m，n的代数式表示） 【答案】（1）长方形的面积为48   （2） ，，   （3） 【分析】本题考查列代数式，整式的加减，属于中档题． （1）先表示长方形长和宽，代入数值计算面积； （2）通过周长公式列方程，相减得的值，再代入求各部分周长； （3）用、表示、，通过代数变形得出长方形 的周长为． 【详解】解：（1）长方形的长为：，长方形的宽为：， 故长方形的面积为：， ，，代入得，面积为：， 长方形的面积为48； （2）长方形的周长为24， 即，①， 同理，长方形的周长为16， 即，②， ②①得， 如图，， ， ， ，，； （3）由（2）可知：，，， 长方形的周长为， ，， 即③，④， 用③④得，． 故长方形的周长用，表示为． 【题型33 整式加减与整除综合】 【例33】（25-26七年级下·江苏南通·期末）若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，则通常记这个两位数为，即．显然能被整除，因此若能被整除，那么就能被整除，即能被整除．（1）一定能被质数________整除；（2）已知四位数，其中，，，均不为，且，．若能被整除，则满足条件的四位数的最大值为________． 【答案】 【分析】（1）根据两位数的表示方法展开求和，分解因式后即可判断对应的质数． （2）根据能被整除的数的特征，要得到最大的四位数，优先让高位数字尽可能大，再依次验证确定低位数字即可． 【详解】解：（1） 根据题意，得： 是质数，因此一定能被质数整除． （2） 四位数， 能被整除， 若能被整除，则能被整除． 已知，均不为，要使最大，需尽可能大， 取最大值，此时． 已知，均不为，要使数更大，需尽可能大， 当时，，，，不能被整除，不符合； 当时，，，，不能被整除，不符合； 当时，，，，不能被整除，不符合； 当时，，，，能被整除，符合要求． 满足条件的四位数． 【变式33-1】（25-26九年级下·重庆·期中）一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为_____．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为_____． 【答案】 7807 9507 【分析】本题主要考查了列代数式、整除等知识点．根据定义得出最大的“压轴数”与最小的“压轴数”，计算即可；根据定义计算出和，然后根据能被7整除且能被13整除，即可求解． 【详解】解：要想使“压轴数”最大，则千位是最大的一位数， 又∵各个数位上的数字均不为零，个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴千位不能为9，即千位最大是8，最小是1， ∴最大的“压轴数”是8919，最小的“压轴数”是1112， 则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为； ，， ∴， ∵个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴，， ∴， ∴， ∵能被7整除且能被13整除， ∴能被7整除，能被13整除， ∵ ∴， ∴， ∴能被7整除， ∵， 当，时，能被7整除，此时； 当，时，能被7整除，此时； 其余取值均不符合， ∴满足条件的值的和为； 故答案为：7807，9507． 【变式33-2】（24-25九年级上·重庆·期中）一个四位自然数，若它的所有数位上的数字均不相同且均不为，千位数字与百位数字的和等于，十位数字与个位数字的和为偶数，则称这个四位自然数为“双十一数”．如：，∵，，是偶数，∴是“双十一数”． (1)最大的“双十一数”为 _________； (2)若一个“双十一数”被整除，的所有数位上的数字之和为，且的和被整除，则满足条件的M为 _________． 【答案】 【分析】（1）根据题目定义即可； （2）先根据“双十一数”M被7整除，M+F(M)的和被9整除，列出代数式．将代数式进行因数分解，从而找到M各数位上数字的代数关系．接下来，条件类题目不能直接确定答案时，需要分类讨论或分别代入验算，最终确定结果． 【详解】解：（1）要想这个数最大，则千位最大，且千位数字与百位数字的和等于， 所以千位数为9，则百位数为2， 十位也需要尽可能的大，因为各数位数字不相等， 所以十位为8，个位为6， 所以这个“双十一数”为9286， 故答案为：9286； （2）设四位数的千位数是，百位数是，十位数是，个位数是．、、、为大于小于等于的自然数，且． ，为自然数，， 的和被整除， 为自然数，， 为自然数，， 为自然数，， 、均能被整除， 也能被整除， 即n为自然数，n≠0)， 由“双十一数”M的定义知： ． 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，不能被整除，舍去； 当时，，可以被整除， ． ， ，或，． “双十一数”被整除， 为自然数，， 即为自然数，， 为自然数，， 、、均能被整除， 也能被整除． 为自然数，， 当，时，为自然数，， ，， 双十一数，不符合题意，舍去； 当，时，为自然数，， ①，不符合题意，舍去)； ②，，“双十一数”． 故答案为：． 【点睛】这道题属于综合型题目，考查有理数概念、代数式的计算，通过因式分解、分类讨论、代入法等方法求得结果，需要学会熟练运用多种方法来求解． 【变式33-3】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）对于任意一个四位自然数，若M满足各个数位上的数字均不为0，且十位数字与个位数字的和等于千位数字与百位数字的差的5倍，则称四位数M为“千寻数”．例如：5346，因为，，，所以5346是“千寻数”．将“千寻数”的千位数字移到个位数字的右边得到一个新数，令，，若能被15整除，且能被7整除，则满足条件的“千寻数”M的最大值与最小值之差为________． 【答案】 【分析】此题考查了新定义，整式的加减运算，根据定义得到，，，求出，根据能被15整除得到能被3整除，则最大为9，b最大是6，最小为4，b最小是1，再求出 ，得到，分别求出M的最大值与最小值，即可得到答案． 【详解】解；∵是“千寻数” ∴，， “千寻数”的千位数字移到个位数字的右边得到一个新数， ∴， ∴ ∴ ∵能被15整除， ∴能被3整除， 则最大为9，b最大是6，最小为4，b最小是1， ∴ 当时，， ∵能被7整除， ∴c最大为9， ∵ ∴此时， ∴M最大值为， 当时，， ∵能被7整除， ∴能被7整除， ∴， ∵ ∴此时， ∴M最小值为， ∵， 即满足条件的“千寻数”M的最大值与最小值之差为， 故答案为： 【题型34 含绝对值的整式化简求值】 【例34】（25-26七年级下·辽宁盘锦·开学考试）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简的结果是________________． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：，， ， . 【变式34-1】（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示： (1)用“”或“”填空：____0，____0； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据有理数a、b在数轴上的位置，结合有理数的加法法则可得答案； （2）根据（1）中结论和绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴得：，，则； （2）解：∵，， ∴ ． 【变式34-2】（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 【答案】（1）1；；（2）或2；（3）或0 【分析】本题考查化简绝对值、有理数的乘法法则， （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）根据有理数的乘法法则得a、b同号，即，或，，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可； （3）根据有理数的乘法法则得a、b、c全为负数或两正一负，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）当时，，当时，， 故答案为：1，； （2）∵两个有理数a，b的值满足， ∴a、b同号，即，或，， ∴当，时，， 当，时，， 故答案为：2或； （3）， ∴a、b、c全为负数或两正一负． ①当a、b、c全为负数时， ， ∴； ②当a、b、c为两正一负时，若， ， 若，， 若，， 综上所述，原式的值为或0． 【变式34-3】（25-26七年级上·湖北武汉·期末）若、为有理数，规定：，，例：，． (1)若，求的值； (2)直接写出的最小值为______，此时的取值范围为______； (3)若有理数、、满足，且关于的方程有无数解，，求的值． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了列代数式，绝对值非负性，方程的解，化简绝对值，根据题意求出，，，满足的关系化简绝对值是解题的关键． （）根据题意列出等式，由绝对值的非负性求出，的值，再求代数式的值； （）由题意列出代数式，根据数轴上两点间的距离公式及绝对值的意义求出最小值； （）由关于的方程有无数解，整理方程，得出，又，故有，代入得到，所以，进而化简绝对值求代数式的值． 【详解】（1）解：由，得：， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由绝对值的几何意义，的最小值为，此时， ∴的最小值为，此时， 故答案为：，； （3）解：整理方程，得：， 方程有无数组解， ∴， ∵， ∴， 把，代入，得，且， ∴， ∴ ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $