6.2.2 线段的比较与运算 导学案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦线段的比较与运算，涵盖线段作法（测量法、尺规作图）、比较（度量法、叠合法）、基本事实、两点间距离、和差运算及中点与等分点等核心知识点。通过问题探究导入，如比较同学身高类比线段比较，搭建从生活实例到数学抽象的学习支架，衔接线段概念，为后续几何学习奠基。 以问题驱动学习，融合直观想象、数学运算、数学抽象等核心素养，设置实例运用、变式训练（含动点问题）及达标检测，分层巩固知识。引导学生用数学眼光观察、思维推理、语言表达，提升解决实际问题能力，助力自主学习与教师教学评估。

姓名: 学科: 日期: 6.2.2线段的比较与运算 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年9月10日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经理问题探究，能利用刻度尺或圆规求作一个线段等于已知线段，能从数与形两个角度比较线段的大小.（直观想象•重点） 2. 经历问题探究，理解与掌握线段的基本事实与两点间的距离，并能运用其解决相关的实际问题.（直观想象、数据分析•重点） 3. 经历问题探究，深刻掌握线段的和差运算，并能运用其解决相关的实际问题.（数学运算•重难点） 4. 认识与理解线段中点与等分点的概念，会用数学语言阐述这些概念，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象•重难点） 【学习过程】 1、 线段的作法与比较 （1） 作一条线段等于已知线段 1. 问题探究 如何作一条线段等于已知线段？ 探究： （1） 方法一：测量法 画一条线段等于已知线段，可以先用刻度尺量出线段的长度，再画一条等于这个长度的线段.如下图所示： （2）方法二：尺规作图法 画一条线段等于已知线段，可以先用直尺画直线，再用圆规在直线上截取,如下图所示： 2.尺规作图的概念 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 例如，图6.2-9就是“作一条线段等于已知线段”的尺规作图. （2） 线段的比较 1. 问题1 如何比较两名同学的身高？ 探究： （1）方法一：目测法 通过目测观察可估计左边同学身高较高，右边同学身高较矮. 【注】目测有时不一定准确. （2）方法二：度量法(从“数”的角度进行比较) 用刻度尺（卷尺）分别量出两名同学的身高，将所得的数值进行比较.如下图所示： 通过度量可知，左边同学身高为,右边同学身高为, ∵ ∴左边同学身高较高. （3）方法三：叠合法(从“形”的角度进行比较) 让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观察两人头顶，直接比出高矮.如下图所示： 由叠合法可知：左边同学身高较高. 2. 问题2 怎样比较两条线段的长短？类比比较身高的方法，你能得到什么启发？ 探究： （1）方法一：目测法 通过目测观察可估计线段小于线段，记作：. 【注】目测有时不一定准确. （2）方法二：度量法(从“数”的角度进行比较) 用刻度尺分别量出两条线段的长度，将所得的数值进行比较.如下图所示： 通过度量可知，,, ∵ ∴线段. （3）方法三：叠合法(从“形”的角度进行比较) 将其中一条线段移到另一条线段上，并且使它们的一个端点重合.如下图所示： 在图6.2-11中，点与点重合， ∵点落在点之间，由叠合法可知 ∴线段. 3.思考 想一想，什么情况下线段大于线段，线段等于线段呢？ 探究： （1） 如下图所示，点与点重合， ∵点落在线段外，由叠合法可知 ∴线段. （2） 如下图所示，点与点重合， ∵点与点重合，由叠合法可知 ∴线段. 4.线段的大小比较方法小结 像上面问题探究这样， 比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较（度量法），或者利用尺规作图把其中的一条线段移到另一条线段上作比较（叠合法）. （3） 实例运用 例1【课本166页练习题第1题】估计下列图中线段与的大小关系，再用刻度尺或圆规检验. 解法提示：利用度量法或叠合法可得（1）；（2）；（3）. 二、线段的基本事实与两点间的距离 （一）问题探究 如图6.2-12，从地到地有四条道路，除它们外能否再修一条从地到地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路. 探究：除已知道路外，从地到地有最短道路，如下图所示 上图中，线段为从地到地的最短道路. （二）线段的基本事实 由上问题探究可以得到一个关于线段的基本事实： 两点的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短. （三）两点间的距离 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离（distance）. 如下图所示， ∵线段, ∴点与点之间的距离为. （4） 实例运用 例2 【课本167页练习题第6题改编】 如图（1)，把原来弯曲的河道改直，有利于船只更快的运输货物； 如图（2），公园里修建了曲折迁回的桥，与修一座直的桥相比，修建弯曲的桥有利于游人观赏湖面风景. 这些生活实例运用的数学道理是 . （5） 变式训练 【变式】如图，甲、乙两个圆柱体，底面半径分别为，高均为． (1)请分别画出它们的侧面展开图并标注各边长； (2)请用代数式表示两个圆柱体的侧面的面积之和______________； (3)如果一只蚂蚁从点A沿甲圆柱体侧面爬行两圈到达点，另一只蚂蚁从点沿乙圆柱体侧面爬行一圈到达点，均沿最短路线爬行，请猜想：它们的路线长是否相等？请在（1）问所画的侧面展开图基础上，用虚线画出最短路线． 【答案】(1) 下图所示实线部分为此工件的侧面展开图： (2) (3) 它们爬行的路线长相等，图中虚线即为最短路线长 【难度】0.65 【知识点】 圆柱的侧面积、 圆柱的展开图、最短路径问题、两点之间线段最短 【分析】此题主要考查了圆柱侧面展开图，熟练掌握展开图长宽画法，圆周长公式，矩形面积公式，平面展开图中两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． （1）按甲乙两圆柱体等高，乙周长是甲周长的2倍画图； （2）按计算； （3）一只蚂蚁爬行的最短路程为圆柱展开图中的的连线，另一只蚂蚁爬行的最短路程为圆柱展开图中的的连线，根据两个矩形全等，对角线相等可得两只蚂蚁爬行的最短路程相等． 【详解】（1）略 （2）； 故答案为：； （3）略 三、线段的运算 （一）问题引入 怎样通过尺规作图得到线段和线段的和、差关系? （二）线段的运算 利用尺规作图，如下所示： 1.线段的和运算 如图6.2-13（1）所示，在直线上作线段，再在的延长线上作线段，线段就是与的和，记作 2.线段的差运算 如图6.2-13（2）所示，设线段，如果在线段上作线段，那么线段就是与的差，记作 （6） 实例运用 例3 如图6.2-14，已知线段，作一条线段，使它等于. 解：在直线上作线段，再在线段的延长线上作线段，则线段.在线段上作线段，则线段 如下图所示 （7） 变式训练 【变式1】点A、B、C在同一直线上，，，则等于（     ）． A．2 B．8 C．2或8 D．无法确定 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】线段的和与差 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在线段上时，如图， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ； 综上所述，等于2或8． 【变式2】如图，、、三点在同一条直线上，则关于线段、、有下列等式成立： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】线段的和与差 【分析】观察图形确定线段间的关系即可． 【详解】解：观察图形可知：（1）； （2）； （3）． 【变式3】（动点问题）如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①； ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． (2)或 【难度】0.52 【知识点】两点间的距离、线段的和与差 【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ② 略 （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 4、 线段的中点与等分点 （1） 线段的中点 如图（1)，点把线段分成相等的两条线段与，点叫作线段的中点（或二等分点）. 【注】线段的中点可以用数学语言阐述为 ∵点为线段的中点 ∴或 （2） 线段的等分点 1. 三等分点 如图（2），点与点把线段分成相等的三条线段与，点与点叫作线段的三等分点. 2.四等分点 如图（3），点、点与点把线段分成相等的四条线段，点、点与点叫作线段的四等分点. （3） 实例运用 例4．如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】根据点M，N分别是，的中点得到，，从而推出得到结果． 【详解】解：M，N分别是，的中点， ，， ， ，， ． （4） 变式训练 【变式1】线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________． 【答案】3或9/9或3 【难度】0.7 【知识点】线段之间的数量关系、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】点D在直线上，需分两种情况讨论，分别根据线段的和差关系计算的长度. 【详解】解：∵ ，， ∴ ∵ 点是的中点， ∴ . ①当点在线段上时，. ②当点在的延长线上时，. 因此的长为或. 【变式2】完成下列小题 (1)如图所示，点D、E分别为线段的中点，若，求线段的长度． (2)若点C在线段的延长线上，点D、E分别为线段的中点，，画出图形并求的长度． 【答案】(1)15 (2)画出图形如图所示： ， 【难度】0.65 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】（1）根据图象得出，即，进而求出即可； （2）根据已知画出图形，进而利用求出即可． 【详解】（1）解：∵点D、E分别为线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点D、E分别为线段的中点， ∴， ∵， ∴． 5、 达标检测 1．如图所示的数轴，O为原点，且点O，C，B分别为线段中点，若A点表示的数为，则点D表示的数为（     ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用数轴上的点表示有理数、线段中点的有关计算 【分析】根据线段中点的性质分别求出的长，再根据，即可表示出点D表示的数． 【详解】解： O为原点，A点表示的数为， ， 点O为线段中点， ，即B点表示的数为6， 点C为线段中点， ，即C点表示的数为3， 点B为线段中点， ， ， 则点D表示的数为9． 2．如图，，是线段上的两点，是线段的中点，若，，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】根据线段中点的定义求出的长，再根据线段的和差关系计算即可． 【详解】解：是线段的中点，， ， ∵， ． 3．如图1，已知线段，O是中点． (1)用圆规作图（不写作法，但要保留作图痕迹） ①在图2中的线段上作； ②在图2中的直线上作． (2)若，，则 ①__________；（请把结果填在横线上） ②直接写出的长． 【答案】(1)解：①；② (2)①1；②或 【难度】0.7 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】（1）①以点C为圆心，线段的长为半径画弧，交线段于点E，则为所求；②根据O是中点可得，以点E为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，，则，为所求； （2）①根据线段的和差即可求解，②分当点F在线段上时和当点F在线段的延长线上时两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）①略；②略； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴当点F在线段上时，如图中点，， 当点F在线段的延长线上时，如图中点，， 综上，的长为或． 4．如图，平面内有四个点、、、，根据下列语句使用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作直线，射线，线段； (2)若将、看作河两侧的两个村庄，现要在河上修建一个抽水站，使它到、两个村庄的距离的和最小，请画出点的位置． (3)在射线上截取，比较线段和线段的长短，并说明理由． 【答案】(1)直线，射线，线段如图所示； (2)点即为所求作的点； (3) ； 理由：，点在线段上， ， ． 【难度】0.68 【知识点】作线段(尺规作图)、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 5．操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 【答案】(1) 如图，连接，则为蚂蚁爬行的最短路线；理由为：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． (2) 如图，即为所求最短路线． 或 或或 【难度】0.65 【知识点】最短路径问题、两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，画线段，解题的关键熟练掌握线段的性质． （1）连接即可；根据两点之间线段最短进行解答即可； （2）将正方体前面的面和右侧面展开，连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 6．如图，线段，点把线段分成三部分，其中，是的中点． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】线段之间的数量关系、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】（1）利用线段的比例关系可分别求得线段的长，从而求得线段的长； （2）根据中点的性质可以求得线段的长，从而求得线段的长． 【详解】（1）解： ， 设，，， ， ， ， ，，， ． （2）解： 是的中点， ， ． 7．如图，平面上有A，B，C，D四个点，根据下列语句画图． (1)画射线相交于点F． (2)连接，并将其反向延长． (3)连接，并延长到点P，使得． (4)取一点Q，使点Q到A，B，C，D四点的距离之和最小． 【答案】(1)如图，射线相交于点F，点F即为所求； (2)如图，连接，并将其反向延长，即为所求； (3)如图，连接，，并延长到点P，使得，即； (4)如图，连接，交点为点Q，点Q即为所求． 【难度】0.7 【知识点】作线段(尺规作图)、画出直线、射线、线段、线段的和与差、两点之间线段最短 【分析】（1）根据射线的定义即可画射线相交于点F； （2）根据线段的定义即可连接，并将其反向延长； （3）连接，，并延长到点P，使得，即； （4）根据线段的性质连接，交点为点Q． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 8．如图，是线段上一点，线段，，是的中点，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】（1）先求出，由E是的中点求出，再利用线段的和差求解即可； （2）先求出，根据线段中点定义求出，再利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ，是的中点， ． （2）解：由（1）知：， ， ， 是的中点， ， ， ． 9．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）． (1)若；当点 C、D运动了，此时 ， ．（直接填空） (2)若，点C、D运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 （直接填空）． 【答案】(1)，； (2)存在，； (3)或 【难度】0.65 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、与线段有关的动点问题、线段的和与差 【分析】（1）利用路程速度时间，求出，，即可得解； （2）设运动时间为，则，，进而表示出，，列方程求解即可； （3）设运动时间为，则，，结合，求出，，再判断出点在点的右侧，分两种情况讨论：①当点在上时；②当点在的延长线上时，利用线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：当点 C、D运动了，，， ，， ， ； （2）解：存在， 设运动时间为，则，， ，， ，， ， ， 解得：， 即点C、D运动时存在，运动时间为； （3）解：设运动时间为，则，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，即， 点在点的右侧， 分两种情况讨论： ①当点在上时，，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，， ， ， ； 综上可知，或． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 6.2.2线段的比较与运算 导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年9月10日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经理问题探究，能利用刻度尺或圆规求作一个线段等于已知线段，能从数与形两个角度比较线段的大小.（直观想象•重点） 2. 经历问题探究，理解与掌握线段的基本事实与两点间的距离，并能运用其解决相关的实际问题.（直观想象、数据分析•重点） 3. 经历问题探究，深刻掌握线段的和差运算，并能运用其解决相关的实际问题.（数学运算•重难点） 4. 认识与理解线段中点与等分点的概念，会用数学语言阐述这些概念，并能运用其解决相关的实际问题.（数学抽象•重难点） 【学习过程】 1、 线段的作法与比较 （1） 作一条线段等于已知线段 1. 问题探究 如何作一条线段等于已知线段？ 探究： （1） 方法一：测量法 画一条线段等于已知线段，可以先用刻度尺量出线段的长度，再画一条等于这个长度的线段.如下图所示： （2）方法二：尺规作图法 画一条线段等于已知线段，可以先用直尺画直线，再用圆规在直线上截取,如下图所示： 2.尺规作图的概念 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 例如，图6.2-9就是“作一条线段等于已知线段”的尺规作图. （2） 线段的比较 1. 问题1 如何比较两名同学的身高？ 探究： （1）方法一：目测法 通过目测观察可估计 同学身高较高， 同学身高较矮. 【注】目测有时不一定 . （2）方法二：度量法(从“数”的角度进行比较) 用刻度尺（卷尺）分别量出两名同学的身高，将所得的数值进行比较.如下图所示： 通过度量可知，左边同学身高为,右边同学身高为, ∵ ∴ 同学身高较高. （3）方法三：叠合法(从“形”的角度进行比较) 让两个同学站在 上，脚底平齐，观察两人头顶，直接比出高矮.如下图所示： 由叠合法可知： 同学身高较高. 2. 问题2 怎样比较两条线段的长短？类比比较身高的方法，你能得到什么启发？ 探究： （1）方法一：目测法 通过目测观察可估计线段 线段，记作： . 【注】目测有时不一定 . （2）方法二：度量法(从“数”的角度进行比较) 用刻度尺分别量出两条线段的长度，将所得的数值进行比较.如下图所示： 通过度量可知，,, ∵ ∴线段 . （3）方法三：叠合法(从“形”的角度进行比较) 将其中一条线段移到另一条线段上，并且使它们的一个端点重合.如下图所示： 在图6.2-11中，点与点重合， ∵点落在点 ，由叠合法可知 ∴线段 . 3.思考 想一想，什么情况下线段大于线段，线段等于线段呢？ 探究： （1） 如下图所示，点与点重合， ∵点落在线段 ，由叠合法可知 ∴线段 . （2） 如下图所示，点与点重合， ∵点与点 ，由叠合法可知 ∴线段. 4.线段的大小比较方法小结 像上面问题探究这样， 比较两条线段的长短，可用 分别测量出它们的长度来比较（ 法），或者利用 把其中的一条线段移到另一条线段上作比较（ 法）. （3） 实例运用 例1【课本166页练习题第1题】估计下列图中线段与的大小关系，再用刻度尺或圆规检验. 二、线段的基本事实与两点间的距离 （一）问题探究 如图6.2-12，从地到地有四条道路，除它们外能否再修一条从地到地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短道路. 探究：除已知道路外，从地到地有最短道路，如上图所示 上图中，线段 为从地到地的最短道路. （二）线段的基本事实 由上问题探究可以得到一个关于线段的基本事实： 两点的所有连线中， 最短. 简单说成： . （三）两点间的距离 连接两点的线段的 ，叫作这两点间的 （distance）. 如下图所示， ∵线段, ∴点与点之间的距离为. （4） 实例运用 例2 【课本167页练习题第6题改编】 如图（1)，把原来弯曲的河道改直，有利于船只更快的运输货物； 如图（2），公园里修建了曲折迁回的桥，与修一座直的桥相比，修建弯曲的桥有利于游人观赏湖面风景. 这些生活实例运用的数学道理是 . （5） 变式训练 【变式】如图，甲、乙两个圆柱体，底面半径分别为，高均为． (1)请分别画出它们的侧面展开图并标注各边长； (2)请用代数式表示两个圆柱体的侧面的面积之和______________； (3)如果一只蚂蚁从点A沿甲圆柱体侧面爬行两圈到达点，另一只蚂蚁从点沿乙圆柱体侧面爬行一圈到达点，均沿最短路线爬行，请猜想：它们的路线长是否相等？请在（1）问所画的侧面展开图基础上，用虚线画出最短路线． 三、线段的运算 （一）问题引入 怎样通过尺规作图得到线段和线段的和、差关系? （二）线段的运算 利用尺规作图，如下所示： 1.线段的和运算 如图6.2-13（1）所示，在直线上作线段，再在的延长线上作线段，线段 就是与的 ，记作 2.线段的差运算 如图6.2-13（2）所示，设线段，如果在线段上作线段，那么线段 就是与的 ，记作 （6） 实例运用 例3 如图6.2-14，已知线段，作一条线段，使它等于. （7） 变式训练 【变式1】点A、B、C在同一直线上，，，则等于（     ）． A．2 B．8 C．2或8 D．无法确定 【变式2】如图，、、三点在同一条直线上，则关于线段、、有下列等式成立： （1）________； （2）________； （3）________． 【变式3】（动点问题）如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2) 如果时，，试探索的长度． 4、 线段的中点与等分点 （1） 线段的中点 如图（1)，点把线段分成 的 条线段 与 ，点叫作线段的 （或 ）. 【注】线段的中点可以用数学语言阐述为 ∵点为线段的 ∴ （2） 线段的等分点 1. 三等分点 如图（2），点与点把线段分成 的 条线段 ，点与点叫作线段的 . 2.四等分点 如图（3），点、点与点把线段分成 的 条线段 ，点、点与点叫作线段的 . （3） 实例运用 例4．如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 （4） 变式训练 【变式1】线段，点是的中点，点在直线上，若，则的长为________． 【变式2】完成下列小题 (1)如图所示，点D、E分别为线段的中点，若，求线段的长度． (2)若点C在线段的延长线上，点D、E分别为线段的中点，，画出图形并求的长度． 5、 达标检测 1．如图所示的数轴，O为原点，且点O，C，B分别为线段中点，若A点表示的数为，则点D表示的数为（     ） A．9 B．6 C．3 D．1 2．如图，，是线段上的两点，是线段的中点，若，，则线段的长度是（     ） A． B． C． D． 3．如图1，已知线段，O是中点． (1)用圆规作图（不写作法，但要保留作图痕迹） ①在图2中的线段上作； ②在图2中的直线上作． (2)若，，则 ①__________；（请把结果填在横线上） ②直接写出的长． 4．如图，平面内有四个点、、、，根据下列语句使用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)作直线，射线，线段； (2)若将、看作河两侧的两个村庄，现要在河上修建一个抽水站，使它到、两个村庄的距离的和最小，请画出点的位置． (3)在射线上截取，比较线段和线段的长短，并说明理由． 5．操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 6．如图，线段，点把线段分成三部分，其中，是的中点． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 7． 如图，平面上有A，B，C，D四个点，根据下列语句画图． (1)画射线相交于点F． (2)连接，并将其反向延长． (3)连接，并延长到点P，使得． (4)取一点Q，使点Q到A，B，C，D四点的距离之和最小． 8．如图，是线段上一点，线段，，是的中点，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 9．（动点问题）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）． (1)若；当点 C、D运动了，此时 ， ．（直接填空） (2)若，点C、D运动时是否存在？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由． (3)若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 （直接填空）． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $