第1章 图形的相似（举一反三讲义）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学《图形的相似》单元复习讲义通过题型分类框架系统梳理知识体系，从夯实基础的比例性质、相似判定，到进阶拔高的实际应用、综合计算，再到创新思辨的动点问题、跨知识综合，清晰呈现重难点分布和内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，例题搭配变式题，如“利用相似求不可直接测量的距离”培养应用意识，“动点问题中相似存在性判断”发展推理能力，帮助基础薄弱学生掌握方法，优秀学生深入探究，为教师实施精准分层教学提供支持。

第1章 图形的相似（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材湘教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 比例的性质】 1 【题型2 比例线段】 3 【题型3 黄金分割】 5 【题型4 由平行线分线段成比例判断比例式】 8 【题型5 相似图形】 10 【题型6 利用两角相等判定相似】 13 【题型7 利用三边对应成比例判定相似】 16 【题型8 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】 18 【题型9 利用平行判定相似】 21 【题型10 利用相似三角形性质求解】 23 【题型11 位似及其作图】 26 【进阶拔高】 30 【题型12 利用相似三角形求不可直接测量的距离】 30 【题型13 平行线截三角形中的比例计算】 35 【题型14 相似三角形与角平分线综合】 38 【题型15 利用相似求图形中的线段长度】 45 【题型16 相似三角形与面积关系综合】 54 【题型17 利用相似判定证明线段成比例】 62 【创新思辨】 72 【题型18 动点问题中相似三角形的存在性判断】 72 【题型19 多次相似嵌套求线段比值】 81 【题型20 相似三角形与坐标系综合求点坐标】 88 【题型21 相似三角形与格点综合应用】 97 【题型22 折叠与旋转中的相似关系探究】 102 【题型23 相似三角形与函数图象综合建模】 111 【夯实基础】 【题型1 比例的性质】 【例1】（2025·江苏无锡·模拟预测）如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据比例基本性质，内项之积等于外项之积，计算判断即可； 【详解】解：A．由，得，成立，符合要求； B．由，得，不是，不成立，不符合要求； C． 由，得，不是，不成立，不符合要求；     D． 由，得，不是，不成立，不符合要求； 【变式1-1】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）若，则________． 【答案】 【分析】设比例系数，用表示和，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 【变式1-2】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，则__________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，将，，分别用，，表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵，且，，作为分母不为， ∴，，， 将其代入所求分式得： ． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则k的值为_________． 【答案】1或 【分析】先由题意得m，n，p都不为0，则，故，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵， ∴m，n，p都不为0， ∴， 三个式子相加得， 则， 当时， 解得， 当时，则， ∴， 综上所述，k的值为1或． 【题型2 比例线段】 【例2】（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）如果线段a，b的长分别是3和12，线段c是线段a，b的比例中项，那么线段c的长为（     ） A．4 B．±4 C．6 D．±6 【答案】C 【分析】根据比例中项的定义得到，代入数值计算后，结合线段长度为正数的性质，即可得到正确结果． 【详解】解：∵线段是线段的比例中项，，， ∴， 解得， ∵线段长度为正数， ∴． 【变式2-1】（25-26九年级下·河南郑州·期末）已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段的定义，若按顺序为成比例线段，则满足，代入已知线段长度即可求解． 【详解】解：是成比例线段， ， 将，，代入得， 交叉相乘得， 解得． 【变式2-2】（24-25六年级下·上海·期中）在3、4、12中添加一个数x，使得这四个数成比例，则x的值不能为（　　） A．1 B．9 C．16 D．25 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，四个数成比例时两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算x的所有可能值，即可得到x不可能的值． 【详解】解：四个数成比例符合比例基本性质，两内项积等于两外项积，分三种情况计算x： 情况1：若3和4为外项，则，解得，对应选项A，因此A不符合题意； 情况2：若3和12为外项，则，解得，对应选项B，因此B不符合题意； 情况3：若4和12为外项，则，解得，对应选项C，因此C不符合题意； ∴x的值不能为25，只有D符合要求． 【变式2-3】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查知识点比例的性质、比例中项的定义、成比例线段的性质等相关知识点．解题关键在于利用设法将等比形式转化为用表示、、，再结合已知条件求出的值，进而得到、、的值；根据比例中项和成比例线段的性质列出方程求解． （1）设，用分别表示出、、，代入，求出的值，从而得到、、的值． （2）根据比例中项的定义得到，将（1）中求得的、的值代入，求出的值，注意线段长度不能为负． （3）根据成比例线段的性质得到，将、、的值代入，求出的值． 【详解】（1）解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， 把，代入可得： ， ∵线段长度不能为负， ∴； （3）解：∵四条线段、、、为成比例线段， ∴， 把，，代入可得： ， 解得． 【题型3 黄金分割】 【例3】（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图（1）是古希腊时期的帕特农神庙，如果把图（1）中用虚线表示的矩形画成图（2）中的矩形，以矩形的宽为边在其内部作正方形，那么我们可以发现，，点是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方形的性质将转化为，结合题目给出的比例关系建立方程求解．首先设的长为，由正方形性质得，代入得到关于的一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的解即可得到的长度． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴，即， 根据题意，， 整理得：， ∴， 此时都是原分式方程的解． ∵，而，不符合题意，舍去， ∴，即． 【变式3-1】（25-26九年级上·山西晋中·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，然后计算即可解答． 【详解】解：由题意知，，即， 解得：． 故选C． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）五角星是我们生活中常见的一种图形，如图，，为线段的黄金分割点，如果，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义及线段的和差计算，熟练掌握黄金分割点的比例关系并结合线段和差进行推导是解题的关键．利用黄金分割点的定义，先求出线段和的长度，再结合线段的和差关系推导出的长度． 【详解】解：∵，为线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（2026·甘肃平凉·二模）黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，点就是线段的黄金分割点： 【分析】本题考查线段中点以及正方形的尺规作图方法． 【详解】设，则， ， ， ， 所以点就是线段的黄金分割点 【题型4 由平行线分线段成比例判断比例式】 【例4】（2025九年级·全国·专题练习）有下列各组图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个等边三角形；④两副三角板中的含30°角的直角三角形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是_______（填序号）． 【答案】③④ 【分析】利用相似三角形的判定逐一判断后即可得到答案． 【详解】解：①两个等腰三角形，无法确定形状是否相同，不符合相似三角形的定义，故不符合题意； ②两个直角三角形，无法确定形状是否相同，不符合相似三角形的定义，故不符合题意； ③两个等边三角形的三个内角都等于，满足有两个角对应相等的两个三角形相似的判定定理，故一定相似；故符合题意； ④两副三角板中的含角的直角三角形的三个内角分别为，满足有两个角对应相等的两个三角形相似的判定定理，故一定相似，故符合题意； ⑤各有一个内角是的两个等腰三角形，可能一个是底角为，另一个是顶角为，则这两个等腰三角形不一定相似，故不符合题意； 其中一定相似的是③④， 故答案为：③④． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，注意掌握举反例的解题方法是解此题的关键． 【变式4-1】（25-26九年级上·山西朔州·期末）观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同． 对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意． D、两个图形形状相同，相似，符合题意． 故选：D． 【变式4-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 【答案】甲和丙 【分析】本题主要考查相似图形的判断，特别是矩形的相似条件． 根据题干信息，分别计算每个矩形长与宽的比值，若比值相等，则矩形相似． 【详解】解：由题图可知，甲、乙、丙都是矩形， 每个内角都为． 甲和乙不相似． 甲和丙相似． 乙和丙不相似 故答案为：甲和丙． 【变式4-3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，________与________相似． 【答案】 【分析】根据图形的形状与中间直线的位置判断即可. 【详解】根据题意将（1）顺时针旋转90°与（4）重合，所以（1）与（4）相似. 【点睛】本题考查了相似的知识点，解题的关键是根据图形的形状与中间直线的位置判断. 【题型5 相似图形】 【例5】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行可判定，因此． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，，它们依次交直线于点A、E、B和点C、F、D，下列结果中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由平行线分线段成比例可得，，，即可求解． 【详解】解：∵， ，，， 故选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 【变式5-2】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线，直线分别交，于点A，B，C，直线分别交于点D，E，F，直线与相交于点G．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，证明，，利用相似三角形对应边成比例可判断A、B、D；根据平行线分线段成比例定理即可判断C． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故A结论错误，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故B结论正确，符合题意，D结论错误，不符合题意； ∵， ∴，故C结论错误，不符合题意； 故选：B． 【变式5-3】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，已知线段、、，求线段，使，下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用图形得比例线段，再与已知式作对比，可以得出结论． 【详解】解：A、由图可得，即，所以图形能画出，故此选项符合题意； B、由图可得，即且是所求线段，所以图形不能画出，故此选项不符合题意； C、由图可得，即且是所求线段，所以图形不能画出，故此选项不符合题意； D、由图可得，即且是所求线段，所以图形不能画出，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 【题型6 利用两角相等判定相似】 【例6】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质以及相似三角形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．由角平分线的定义和平行线性质以及已知条件，得到，，再判定相似的三角形即可． 【详解】解：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴一共有4对相似三角形， 故选：A． 【变式6-1】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 【答案】（或） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．等腰三角形的性质，由于两个三角板全等且为等腰直角三角形，图中存在多个角和角，通过角度关系可判断，． 【详解】解：和是两个全等的等腰直角三角板， ， ， ， 同理可得， 故答案为：（或） 【变式6-2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 【答案】 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得的关键． 由，证明，可证得． 【详解】略 【变式6-3】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由（1）可知：， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）根据同角的余角相等即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，结合（1）中的结论，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【题型7 利用三边对应成比例判定相似】 【例7】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 【变式7-1】（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可． 【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意； B.∵，∴选项不符合题意； C.∵，∴选项符合题意； D.∵，∴选项不符合题意； 故选：C． 【变式7-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，与的顶点均在网格的格点处，则与_______相似（填“一定”“不一定”或“一定不”） 【答案】一定 【分析】本题考查相似三角形的判定，先利用网格计算三角形的边长，再通过对应边的比例关系判断是否相似，核心是掌握“三边对应成比例，两三角形相似”的判定定理． 【详解】解：设网格的边长为， 在中，， 由勾股定理得： ， ， ． 在中，易得： ， ， ， ， ， ， 计算对应边的比例： ， ， ， 所以， 所以． 故答案为：一定． 【变式7-3】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，，且，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想． 【答案】 证明：． 由勾股定理， ， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，先根据勾股定理求出，得出，根据三条边对应成比例的两个三角形相似，得出． 【详解】略 【题型8 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】 【例8】（25-26九年级上·全国·课后作业）能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键. 【详解】解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，错误，不符合题意； 选项B：有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意； 选项C：对应边成比例，但是角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意 选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意 故选：B ． 【变式8-1】（25-26八年级下·江苏·阶段检测）如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有____________． 【答案】甲和丙 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的常用判定方法． 根据“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴甲和丙一定相似， 故答案为：甲和丙． 【变式8-2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 【答案】54或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 已知，只需要夹边成比例即可得到与相似，再分类讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴与相似时，或 ∴或 ∴或， 故答案为：54或． 【变式8-3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点在内，点在外，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵且， ∴， ∴， ∴， 即； (2)证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据两边对应成比例及其夹角相等判定，再利用相似三角形的性质即可证明； （2）由得到，则有，再根据两边对应成比例及其夹角相等即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 【题型9 利用平行判定相似】 【例9】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，相交于点，，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形面积公式的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键；先根据相似三角形的判定和性质求出对应边的比例关系，再利用三角形面积公式求出比值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故，， 故， 即， ∴． 故选：A． 【变式9-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点D，E分别在边，上，且，，，则的值是 ______ ． 【答案】 【分析】证明，由相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵,, ∴, ∵， ∴,, ∴， ∴, ． 【变式9-2】（25-26九年级上·北京·课前预习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且 ， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 【详解】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 【变式9-3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，，与交于点E，，连接． (1)若，求； (2)若的面积为m，求的面积．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)10； (2)． 【分析】此题重点考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，证明，得成比例线段，进而可以求得； （2）由，得，，则，，即可求得． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 的长为10． （2），的面积为m， ， ，， ， ， ， 的面积是． 【题型10 利用相似三角形性质求解】 【例10】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 【答案】 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出两个三角形的相似比，即可得到周长之比． 【详解】解：，与的面积之比为， 与的相似比为， 相似三角形的周长比等于相似比， 与的周长之比为． 【变式10-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形中的性质，相似三角形的对应边成比例．先根据平行四边形的性质得到，，然后根据相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 解得， 故答案为：B． 【变式10-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，、都是的垂线，，，，P是上的一点，连接、，若，则与的相似比为______． 【答案】/ 【分析】先根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出，再求出解即可得出答案． 【详解】∵， ∴， 即， ∴， 解得或（舍去）， ∴和的相似比为． 【变式10-3】（25-26九年级上·广西桂林·期末）如图，在纸片中，，，，现将纸片沿翻折，使点落在上的点处，若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理和相似三角形的性质，勾股定理求出的长，相似三角形的性质，推出，进而得到，根据折叠得到，进而推出，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型11 位似及其作图】 【例11】（2026·山东潍坊·三模）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比是 【变式11-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为__________. 【答案】 【分析】根据位似变换的性质得，则，然后写出点坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，M是位似中心， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行． 【变式11-2】（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点、、分别与点A、B、C对应，且点在第一象限； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______． 【答案】(1) 即为所求： (2) 【分析】本题考查了画位似图形，位似图形的性质． （1）根据要求作图即可； （2）根据位似图形面积比等于相似比的平方作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵与的相似比为， ∴与的面积比为． 故答案为：． 【变式11-3】（2026·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为、，则________． 【答案】(1)如图， 即为所求， (2) 【分析】（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）根据位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的得到． ，相似比为，即周长比为． 【进阶拔高】 【题型12 利用相似三角形求不可直接测量的距离】 【例12】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，得， 则， 则； ，，， ， 解得； （2），， ， ∵反射角等于入射角， ， ， ，                                         ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 【变式12-1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【答案】(1)证明：由题可知，， (2) 【分析】（1）根据题意，利用“两个角对应相等的两个三角形相似”，即可求证； （2）根据相似三角形的性质，可得，代入即可求解． 【详解】（1）证明略 （2）解：由题可知，，，， ， ，即， ， 答：河宽为． 【变式12-2】（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 【变式12-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）河南博物院是中国地区历史文化的重要平台，馆藏丰富，展览多样，致力于传播中国文明的辉煌成就．某综合与实践小组开展测量博物馆的高度，记录如下． 活动主题 测量博物馆的高度 实物图及测量示意图 测量说明 如图，博物馆与地面垂直（），为了测量博物馆的高度，小亮和小明在地面上的点处放置了一根垂直于地面的杆子，小明站在处小亮在点和点之间找到一个合适的位置，并在处放置了一个平面镜，此时小明恰好在平面镜内看到点和点的像重合，即点在同一直线上 测量数据 ，，米，米，米，米 备注 点，，，在同一条直线上 根据以上信息，解答下列问题： (1)求证：． (2)求博物馆的高度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； (2)博物馆的高度为米． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握好判定定理是关键． （1）由两角相等判定； （2）先通过证明，得出，从而计算出，，最后根据求出． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得米． 答：博物馆的高度为米． 【题型13 平行线截三角形中的比例计算】 【例13】（25-26九年级上·上海·期中）如图，点，都在格点上（网格小正方形的边长为1），点是线段与网格线的交点，则的长为__________. 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，以及平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例，是解题的关键． 如图，利用勾股定理求出的长，再利用平行线分线段成比例，进行求解即可． 【详解】解：如图：， ∴， 在中，， 则：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式13-1】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，若，，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据，可得，代入数值求出的长，再根据计算即可． 【详解】， ， ，，， ， ， ． 【变式13-2】（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据平行线分线段成比例定理得出，解分式方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴线段的长为． 【变式13-3】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，点D，E分别为，边上的点，连接并延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)20． 【分析】（1）过点A作交BC于点M，根据平行线分线段成比例得到，，根据可知； （2）根据得到，由（1）得，根据得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：过点A作交BC于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴． 【题型14 相似三角形与角平分线综合】 【例14】（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，已知和，边、交于点，平分，平分，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 证明：∵平分， ∴， 由（1）已证：， ∴， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，则，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据相似三角形的性质可得，则可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式14-1】（2025·湖南长沙·二模）【知识技能】 （）如图，在中，平分，，求证：． 【场景迁移】 （）如图，四边形为平行四边形，平分交于，延长交于，若，求的值． 【答案】 （）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （） 【分析】（）由角平分线的定义和平行线的性质可得，进而即可求证； （）由角平分线的定义和平行线的性质可得，由相似三角形的判定和性质可得，即得，，进而可得，再代入计算即可求解． 【详解】（）略 （）∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，等腰三角形的 判定和性质，平行线的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式14-2】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，平分，B，C分别在射线上，连接，有，平分交于点D，点E在线段上，且，延长交于点F，连接 ． (1)求证：； (2)当时，求的度数； (3)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：平分， 设， ， . 平分交于点D， ， . ， ， ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1），根据角平分线的定义设，可得，再根据角平分线的定义得，然后根据等边对等角及三角形外角的性质得，最后根据等角对等边得，即可得出答案； （2），由可知，，进而得出，再由等边对等角得，然后根据三角形内角和定理求出，可得答案； （3），结合根据“边角边”证明 ，可得再根据，可得，然后说明 ，可求出，进而求出，接下来证明 ，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】（1）略 （2）解：由可知：，， . ，， ， ， 在中，， ， 解得：， ； （3）解：由可知：，， ， 在和中， ， ， . ， ， . 又， ， ， ， ， . ，， ， 又， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形内角和定理，，角平分线定义等，灵活选择判定定理是解题的关键． 【变式14-3】（24-25九年级上·河北唐山·期末）【发现问题】某学习小组发现：三角形一个角的平分线截第三边形成的两条线段的比等于这个三角形中对应的两边之比． 如图1，在中，平分，则． 【猜想验证】下面是“发现问题”的不完整的证明过程． 证明：如图2，过点作，交的延长线于点，……请按照上面的证明思路，补全证明过程； 【拓展应用】如图3，已知中，，，平分，则_____． 【答案】【猜想验证】： ，， ， ， 平分， ， ， ， ， ； 【拓展应用】：． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 猜想验证：过点作，交的延长线于点，先证明，根据相似三角形对应线段成比例，可得，由 平分可得，进而得到，由，即可证明； 拓展应用：根据勾股定理可得出线段，由猜想验证可得，进而求得，由，即可得解． 【详解】解：猜想验证： 略 拓展应用：在中，，， ， 平分， ， ， 即， 解得，， ， ， ， 故答案为：． 【题型15 利用相似求图形中的线段长度】 【例15】（2025·四川绵阳·三模）在中，，D是边上一动点（不与B、C重合），P为延长线上一点，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点E在延长线上，连接． ①求长度； ②若，求长度； (2)如图2，当E在延长线上时，延长至G，与交于点G，且，连接，求的长度． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①过点A作，垂足为H，过点D作，垂足为点M，求解，，，设，则，，，由旋转可得：，，证明，再进一步建立方程求解即可；②由①得，则，可得，证明，可得，设，则，，再进一步求解即可； （2）如图，过点A作，垂足为H，过作于，过点D作，垂足为点M，过点P作，垂足为点N，结合（1）可得：四边形为矩形，可得，，设，则，求解，可得，证明，，证明，可得，设，则，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：①过点A作，垂足为H，过点D作，垂足为点M， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， 由旋转可得：，， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴； ②由①得，则， ∴， ∵， ∴，而，， ∴，又， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，经检验，符合题意； ∴. （2）解：如图，过点A作，垂足为H，过作于， 过点D作，垂足为点M，过点P作，垂足为点N， 结合（1）可得：四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴ 解得， ∴， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，角平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 【变式15-1】（25-26九年级上·四川成都·期中）在四边形中，对角线，交于点，，垂直平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积为，，． 求线段的长度； 若，求线段的长度． 【答案】(1) 证明：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； (2) ； ． 【分析】（）根据证明，进而利用菱形的判定解答即可； （）利用菱形的性质得出，进而利用菱形的面积和勾股定理解答即可； 利用勾股定理得出，进而利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：过作于， ∵由（）可知四边形是菱形， ∴， ∵四边形是面积为，， ∴， ∴， ∴， ∴； 由可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了菱形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式15-2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，矩形的顶点，分别在边，上，在边上，，． (1)若，求的长度； (2)连接，若，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． （1）由题意易得，再根据矩形的性质可得，，，进而得到，证明，推出，设，则，再证明，推出，求出，进而求出，在中，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）同理（1）可得，设，则，证明，推出，求出，进而求出，再证明，推出，求出，在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵矩形中，，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵矩形中，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴； （2）解：同理（1）可得， 设，则， ∵矩形中，，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴． 【变式15-3】（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）【问题背景】如图（1），点E为正方形边的中点，连接交于点M，试求的值； 【问题探究】如图（2），正方形的边长为4，E、F分别为的中点，连接交于点N，试求的长度； 【问题拓展】如图（3），在【问题探究】的条件下，连接交于点O，连接，试求的长度． 【答案】【问题背景】；【问题探究】；【问题拓展】 【分析】本题主要考查正方形的性质和相似三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）证明得，再都同即可； （2）延长AD、BF交于点H，可得，证明可得结论； （3）分别证明，可得结论． 【详解】问题背景 解：∵为正方形 ∵E为中点 问题探究 解：延长交于点H，可得 ∵为正方形 问题拓展 解：由可得 由得 即：， ，即 【题型16 相似三角形与面积关系综合】 【例16】（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积． 【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积．    以下是小明求解的值的部分过程： 解：在正方形中， ， ． ∵点E是边的中点， ． ， ． ． 求解过程缺失 请你补全缺失的求解过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________． 【答案】 在正方形中， ， ， ∵点E是边的中点， ． ， ， ， ∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，根据题意求得的值，从而得到和的面积比，利用正方形的性质求出的面积，进而求出的面积． 【详解】略 【变式16-1】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，点D、E分别在边、上，且，已知的面积是2，的面积是32． (1)求的面积： (2)连接，与交于点O，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练利用相关性质是解题的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质可得，即可求得的面积； （2）证明，设的面积为，利用相似三角形的性质列方程，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， （负值舍去）， ， ； （2）解：， ， ， 根据（1）中可得， ， ， ． 【变式16-2】（2024·江苏徐州·二模）[阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是 ． [探究思考]如图2，已知，，分别是三边的三等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由． [发现结论]如图3，已知，E，分别是三边的等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是 ． 【答案】阅读理解：；探究思考：是定值，定值为；发现结论： 【分析】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 阅读理解：由中位线可得，进而证明，，同理可证，，即可求解； 探究思考：取中点G，中点H，中点I，连接，，，先证，推出，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得，同理推出，，即可求解； 发现结论：取G、H、I分别是三边的n等分点，且，先证，推出，根据等高三角形面积比等于底边长度之比，可得，同理可得，，即可求解． 【详解】解：阅读理解： 是的中位线， ， 又 ， ， ，即， 同理可证，， ， ， 故答案为：； 探究思考: 如图，取中点G，中点H，中点I，连接，，， ， ，，， ， 又 ， ， ，即， ， ， 同理可证，， ， 综上可知，与的面积比是定值，定值为； 发现结论： 如图，取G、H、I分别是三边的n等分点，且， ， ，，， ，， ， ，即， ， ， 同理可证，， ， ， 故答案为：． 【变式16-3】（2023·浙江杭州·三模）正方形的边长为1，连接，过点C作的平行线，与相交于点F，过点D作．    (1)求的面积； (2)当时，求的长； (3)若的面积记为，△DFH的面积记为，的面积记为，的面积记为，，请用的代数式表示的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，得和等底等高，即可得出结果； （2）过点作于点，过点作于点，先证明四边形是矩形，得，再根据等腰直角三角形的性质与含直角三角形的性质，证明即可得出结果； （3）先证明，得，再根据得，再根据相似三角形的性质，得到，即可得出结果． 【详解】（1）解: 在正方形中，， ， 和等底等高， ， 的面积为； （2）解：过点作于点，过点作于点，    ， ， ，即， 故四边形是矩形， ， 在正方形中，， 是等腰直角三角形， ，， 当时，， 在中，， ； （3）解：由（2）中结论， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由（1）中结论， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，含直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，本题的关键是根据相似三角形的性质，运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题． 【题型17 利用相似判定证明线段成比例】 【例17】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，在正方形中，点为边上一动点，交于点，过点作交于点，点为的中点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)若，求证：． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 在四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 证明：过点作，的延长线交于，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【分析】（）连接，证明和全等，得，，在四边形中，由，得，再根据得，则，进而得，由此即可得出结论； （）根据，得，进而得，，则，由此得，则，即，然后再根据即可得出结论； （）过点作，的延长线交于，则四边形为矩形，进而得，根据，得，则，证明得，再证明得，则，即，由此得，据此即可得出结论． 【详解】（1）略 （2） 略 （3）略 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，同角的补角相等，矩形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 【变式17-1】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知在四边形中，是对角线，，是的中点．连接，交于点，过作的平行线，分别交、的延长线于点、点；连接并延长，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若， ①求证：； ②连接，若，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴； (2) 证明：①∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由（1）可知：，即， ∴， ∴； ②由可知：点D、C、B三点在以点A为圆心，半径为的圆上，如图， ∴， 由①可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则有， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、圆的基本性质及圆周角定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、圆的基本性质及圆周角定理是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）①由题意易得，，则有，由（1）可知，进而问题可求证；②由题意易得点D、C、B三点在以点A为圆心，半径为的圆上，则有，然后可得，则有，进而可设，则有，则有，所以有，最后问题可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式17-2】（25-26九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在梯形中，，和相交于点O，，且过点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）先证明可得，从而可得：，再利用 证明 从而可得答案； （2）先证明 可得 可得 再结合 可得答案． 【详解】（1）略． （2）略． 【变式17-3】（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，四边形是平行四边形，点E是的中点，连接，将沿翻折至，点B的对应点F落在内，射线交于G，与射线相交于P，延长交于Q． (1)求证：； (2)若，平分． ①求证：； ②若，，求证：． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴，即， ∵点E是中点， ∴， 由翻折得， ∴， 又∵，（公共角）， ∴． (2) ①证明：连接， ∵， ∴， 由翻折可得， ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∴， 设，则， 在中， ∴， ∴， 由（1）知， 则，又（公共角）， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴． ②证明：过Q作于H， 由①可知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，则， 由①知， ∴， ∴， ∵点E是中点， ∴，， ∴， 由①知， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴两边同除以，得． 【分析】本题考查翻折的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定； （1）由翻折可得，结合已知条件可得，，（公共角）即可证明结论； （2）①连接，由翻折的性质和已知条件，平分，可求出，再证明，得出，再结合已知条件可得，代入即可得出结论；②过Q作于H，先证明，，再证明，得出，代入即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②略 【创新思辨】 【题型18 动点问题中相似三角形的存在性判断】 【例18】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据矩形的性质，求出的长，根据题意求出，推出，再根据相似的判定推出或，运用相似的性质求解即可； （2）过点作，，垂足分别为，，结合矩形的性质分别证明、，再运用相似的性质结合（1）中，，求出，，最后根据代入求解即可； （3）过点作，，垂足分别为，，根据矩形的性质，证明四边形为矩形，运用矩形的性质结合题意，推出，再结合（1）、（2）已求线段的值，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， ，， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理得，， ∵由题意可得，， ∴， ∵以，，为顶点的三角形与相似， 又∵， ∴或， ∴或 ∴或， 解方程，得， 解方程，得，（舍去）， 综合上述，当以，，为顶点的三角形与相似时，的值为或； （2）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， ∵矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴， ∵， ∴，则， 整理得， 解得，（舍去）， ∴时，四边形的面积等于； （3）解：如图，过点作，，垂足分别为，， 由（1）得，， 由（2）得，， ∵矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵，则， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得． 【变式18-1】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，，，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） (1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围： (2)当是直角三角形时，求的值； (3)当与相似时，直接写出的值． 【答案】(1) ， (2)或 (3)或 【分析】（1）因为点P的速度是每秒，从A出发沿运动，所以的长可直接用速度乘时间表示；因为，根据可表示出的长；所以先算出P、Q运动的最长时间，即可确定t的取值范围． （2）因为是直角三角形，且，所以分两种情况讨论：和；同时要注意t的取值范围，对解进行筛选． （3）因为与相似，且是公共角，所以分两种情况：和；根据对应边成比例，代入含t的代数式建立方程；结合t的取值范围，求解方程得到t的值． 【详解】（1）：点P速度为，点到达点用时， ∴ ， ：点Q速度为，从B走到A总用时，， ∴； （2）， ∵， ∴直角只能是或，分情况讨论： ①当时， ， ∴． 当时，得 ，解得， 符合题意． 当时，，则，解得：，不符合题意． ②当时， ， ∴． 当时，代入得，解得，超出，舍去； 当时，，代入得，解得，符合题意． 综上，的值为或． （3）两个三角形有公共角，仅需夹的两边成比例，分两种对应情况： 当（即）时： 当时，代入，得 ，解得，符合题意． 当时，代入，得 ，解得，不符合题意，舍去． 当（即）时： 当时，代入得，解得，不符合题意，舍去． 当时，，代入得，解得，符合题意． 综上，的值为或． 【变式18-2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知、两点的坐标分别为和，动点从点开始在线段上以每秒2个长度单位的速度向原点运动、动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴），并且分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒． (1)求时，的面积； (2)直线、点在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于160（平方单位）．若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，与相似． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)秒或秒 【分析】（1）根据题意得到，求出，根据轴，是中点，得到是的中位线，求出，即可得到答案； （2）根据题意得到，，求出，联立得到面积，没有实数根，即可得到答案． （3）分和两种情况，利用相似三角形对应线段成比例进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴）， 时，，， ∴， 轴， ∴， ∴， 是的中位线， ， ； （2）解：动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴）， ， 轴， ， ， ， ， 整理得， ， 故方程没有实数根， 故不存在使得的面积等于160（平方单位）； （3）解：动点从点开始在线段上以每秒2个长度单位的速度向原点运动、动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴）， ， 当时，，即， 解得秒； 当时，，即， 解得秒； 综上所述，当秒或秒时，与相似． 【变式18-3】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在矩形中，，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)求出S和t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：当为秒或秒，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似，理由： 如图： ， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上所述，当为或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似． 【分析】本题考查相似三角形综合应用，矩形的性质，二次函数的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合矩形的性质以及动点运动的方向和速度，进行分类讨论，即分两种情况：①当在上，即时，；②当在上时，由解得，故此时，； （2）由，知以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或，当时，，得，当时，，得． 【详解】（1）解：∵点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，在矩形中，，， ∴，，， ①当在上，即时，如图： ，，， ，，， ； ②当在上时，由解得， 追上所用时间是， 此时， 如图： ，， ， ， 综上所述，； （2）略 【题型19 多次相似嵌套求线段比值】 【例19】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 【答案】(1) 证明： ， ，， ，， ，， ，， ． (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，平行线的性质，掌握重心的性质是解题关键． （1）利用平行线得到两组相似三角形，通过中间比建立比例关系，从而证明； （2）由重心性质得到线段比，再结合平行线得到的相似三角形，推出． 【详解】（1）略 （2）解：点为的重心， ， ， ， ， ， ， ． 答：． 【变式19-1】（25-26九年级上·上海嘉定·期中）如图，四边形中，对角线，交于点，若，则下列结论中正确的有 个（    ） ①                ②与的周长比为 ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．解题关键是通过角的关系判定三角形相似，再利用相似三角形的性质（对应边成比例、周长比等于相似比、面积比与相似比的关系）分析各结论．易错点在于对相似三角形对应角、对应边的判断，以及对三角形角和边的关系的过度推导（如结论③中错误认为角相等）． 对于结论①，由和，判定，根据相似三角形对应边成比例，可得，故①正确． 对于结论②，相似三角形的周长比等于相似比，与的相似比为（或），因此周长比为，故②正确． 对于结论③，由变形得，结合，判定，得，但与无必然相等关系，故③错误． 对于结论④，利用“同高三角形面积比等于底的比”，结合相似三角形的比例关系，可推出，故④正确． 【详解】已知，且， ． ， 因此结论①正确． 与的周长比等于相似比，即（或）． 因此结论②正确． 由，可变形为， 又，所以，则． 但与不一定相等， 因此结论③错误． 设的面积为，的面积为，的面积为，的面积为． 因为与同高，所以； 因为与同高，所以，即， ． 因此结论④正确． 综上，结论①、②、④正确，共3个． 故选：C． 【变式19-2】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，D为边的四等分点（即），，F为中点，若的面积为1，则四边形的面积为（    ）． A．10 B． C．4 D．12 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据得到和，根据相似三角形的性质得到，由于D为边的四等分点，可证得，根据三角形的面积公式证得，再次利用相似三角形的性质得到，据此进行计算四边形的面积即可． 【详解】解：连接， 、 ，即 、 、 ． 故选：B． 【变式19-3】（25-26九年级上·四川成都·期中）在等边中，点D是的中点，点E为上一点，将线段绕点D逆时针方向旋转得线段， (1)如图1，当与交于点G时，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于点H，当时，求； (3)若，当点E在线段上运动时，能否成为直角三角形，若能，请求出此时的值，若不能，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵点D是的中点，故， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) (3)或 【分析】（1）证明得到，即可求解； （2）证明，得到，而且，得到，，进而求解； （3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别通过画图确定图形的关系，进而求解． 【详解】（1）略 （2）解：当时，设，则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，而， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴； （3））解：能，理由： ①如图3，当为直角时， 由（1）知，， ∴， 在中， ， ∴； ②当为直角时，如图4，    过点D作， 由（1）知，， ∵，， ∴， ∴， 由①得：， 在中， ； ③当为直角时，如图5， 过点D作，    由（1）知， ∵， ∴， ∴， 即，这与为直角矛盾， 故该情况不存在， 综上，或． 【点睛】本题相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形． 【题型20 相似三角形与坐标系综合求点坐标】 【例20】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图坐标系中，O(0，0)，A(3，3)，B(6，0)，将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝，则AC：AD的值是_______． 【答案】 【分析】根据题意，求得，继而根据折叠的性质和等边三角形的性质可得，，进而证明，进而可得，设，则 ，根据比例式即可求得的值． 【详解】O(0，0)，A(3，3)，B(6，0)， 是等边三角形 将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处， OE＝ 设， 则 即① ② ①－②得， 即． 故答案为：2：3 【点睛】本题考查了折叠问题，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，证明是等边三角形是解题的关键． 【变式20-1】（25-26八年级下·广东湛江·期中）如图，在直角平面坐标系中，已知，点C在y轴的正半轴上，且． (1)求点C的坐标． (2)过点作于点E，连接． ①当D在线段上时，是否存在点D使得是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，则说明理由． ②当D在点B的右侧时，设交直线于点F，若，请直接写出m的值． 【答案】(1)； (2)①4或或6， ② 【分析】（1）根据求出，结合勾股定理即可求解； （2）①分类讨论（i）若，（ii）若，（iii）若即可求解；②过E作于M，过F作于N，可推出，再证 ，设，则，证，最后证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵． ∴， 在中， = ， ∴； （2）解：在线段上存在点D，使得是等腰三角形，理由如下： ①∵， ∴， （i）若，则， ∴， ∴， ∴， ∴，此时； （ii）若， 在和中 ， ∴ ∴， 而 =， ∴ ， ∴ ，此时 ， （iii）若，过E作于H，如图： ∴ ， ∴， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令得， ∴ ∴， 在中，， ∴， 解得， 综上所述，满足条件的m的值为4或或6， ②过E作于M，过F作于N，如图： ∵， ∴， 而 ， ∴ ， ∵， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴ ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， 而， ∴， ∴ ，即 ①， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入得②， 由①②解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的存在性问题、一次函数的解析式求解等知识点．综合性较强，需要学生具备较强的逻辑推理能力． 【变式20-2】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）在平面直角坐标系中，矩形的一边在x轴上，、、，点P是边上的一个动点，连接，过点P作交直线于点E，的最大值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标表示，相似三角形的判定与性质及二次函数的最值问题．利用矩形的性质和已知条件先设点P的坐标，过点A作轴交点F，再表示出的长度，证明，利用相似三角形的性质得出，表示出相关线段的关系式，最后得到，将的表达式转化为二次函数的顶点式，此时二次函数开口向下有最大值，即可求出． 【详解】解：如图，过点A作轴交点F， 由题意知，设点P的坐标为，则， ∵四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， 当时，取得最大值． 故答案为：． 【变式20-3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于A、两点，且点的坐标为，连接，与轴相交于点，点在轴上，如果和相似，则点的坐标为_____．      【答案】或 【分析】先由一次函数的性质得；勾股定理得，，再设直线的解析式为，运用待定系数法解出直线的解析式为，证明，再进行分类讨论，依据两边成比例列式计算，即可作答． 【详解】解：∵直线与轴、轴相交于、两点， ∴当时，则； 当时，则； ∴； ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； ∵连接，与轴相交于点， ∴当时，则； ∴， ∴，， 当点在轴正半轴上时， ∴设， ∵， ∴， ∴当时，如图：    ∴， ∴ ， 解得 ， ∴， 当时， ∴， 则， ∴； 当点在轴负半轴上时， ，，而， ∴， ∴，不相似； 综上：点的坐标为或， 故答案为：故答案为：或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，相似三角形的判定与性质，一次函数的解析式与图象性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【题型21 相似三角形与格点综合应用】 【例21】（2026·辽宁葫芦岛·二模）如图，的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P，Q均在格点上．连接交于点M，连接，则的长是________． 【答案】/ 【分析】由网格特征得，证，推出，即，利用勾股定理求得，验证，在中计算得． 【详解】解：由图可得，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 【变式21-1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）在如图网格中，每个小正方形的边长都是1，点在格点上，将绕点（图中未画出）顺时针旋转一定角度后得到，点，，均在格点上，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，设与相交于，连接、、，根据旋转的性质并结合网格特征可证明，得出，则点在的垂直平分线上，由网格特征知：点在、的垂直平分线上，则点为旋转中心，证明，根据相似三角形的性质可求出，最后在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：设与相交于，连接、、， ∵旋转， ∴， ∴，， 由网格特征知：， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上， 由网格特征知：点在、的垂直平分线上， ∴点为旋转中心，即和O重合， 由网格特征知：， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式21-2】（2026·湖北·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫作格点，点 都是格点．连接交于点，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交网格线于点K，连接，则，根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：延长交网格线于点K，连接，则， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴的面积是． 【变式21-3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，，，是格点，直接写出 ． (2)在图1中，，，是格点，先在上画点，使于点；再画点，使，两点关于直线对称； (3)在图2中，，是格点，在格线上，画出点，使． 【答案】(1)； (2) 如图，点和点即为所求， (3) 即为所求作的图形， 【分析】（1）取格点、，利用相似三角形的判定及性质可得解； （2）取格点、、、、，连接、，、，交于，延长交于，由得，结合直角三角形的性质及判定可得，从而得，根据勾股定理及平行四边形的判定及平行线的判定可得四边形是平行四边形，，、、三点共线，从而得，利用平行线分线段成比例及线段垂直平分线的定义可得垂直平分，从而和关于对称． （3）取格点，连接交的垂直平分线于，连接，根据垂直平分线的性质得，得，又得进而得，结合，根据三角形的中位线性质可得． 【详解】（1）解：取格点、， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查勾股定理、格点图形中垂直与对称的构造、平行四边形的判定及性质，相似三角形的判定及性质、三角形的中位线性质，，熟练利用网格特点，结合几何定理（勾股定理、垂直性质、对称性质、平行判定）是解题的关键． 【题型22 折叠与旋转中的相似关系探究】 【例22】（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，中，，D、E分别在边上， ，，将绕点C旋转，旋转后点D、E对应的点分别为，．当点落在线段上时，连接，此时的长为__________． 【答案】 【分析】作，设交于 ，推导出，得到 ，可证明出，得到，求出，，推导出，，，根据勾股定理，求出，即可求出． 【详解】解：如图，作于 ，设交于 ． 由旋转，得,， ， ， ， ， ， ∴,, ， ∴, , ∴, ∴, ∴ 在中， ，， ， ，, ∵， ， ， ∵,,, ∴, ∴, ∴, ， ∴. 【变式22-1】（2026·江苏无锡·三模）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于______． 【答案】 【分析】根据折叠可得是正方形，，可求出三角形的三边为，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，三边占比为，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长． 【详解】解：过点作，垂足为， 由折叠得：是正方形，， ， ∴， 在中，， ∴， 在中，设，则， 由勾股定理得，， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【变式22-2】（2026·江西景德镇·二模）马超同学在复习图形的变换时，对翻折问题展开如下探究： (1)如图1，点为矩形边上一点，将矩形沿着翻折，使点落在边上的点处，折痕为，若，，则________； (2)如图2，将矩形沿着翻折，使点恰好落在的延长线上的点处，若，，则________，________； (3)形如图1的折叠后，将四边形再次翻折，使点与点重合，折痕为． ①如图3，若点与点重合，试探究线段与的数量关系； ②如图4，若，，当点在边上时（不与点重合），请直接写出，之间应满足的数量关系． 【答案】(1)2 (2)，1 (3)①；② 【分析】（1）由折叠的性质得，利用勾股定理求出，然后根据即可求解； （2）由矩形的性质得，，，，由折叠的性质得，可得，求出即可求解； （3）①同（2）可求，，由折叠的性质得，，，求出，可得，然后利用勾股定理可得结论； ②设，证明得，求出，结合折叠的性质得，证明得，求出，根据得，结合可得． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，． 由折叠的性质得，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴． 由折叠的性质得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①同（2）可求，， 由折叠的性质得，，， ∴． ∵， ∴ ∴， ∵， ∴； ②，理由： 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，， ∴． 同理可证，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵，即 ∴． 【变式22-3】（2026·辽宁锦州·三模）数学活动课上，同学们将一个矩形用对角线分成两个全等的三角形纸片，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知矩形中，，． (1)如图1，纸片绕点旋转，当点的对应点在射线上时，求证：． (2)如图2，在纸片绕点旋转过程中，当与矩形对角线重合时，与交于点，连接并延长交于点，过点作，垂足为点，求的长． (3)如图3，在纸片绕点旋转过程中，当点的对应点在矩形对角线上时，与交于点，延长交于点，求的面积． 【答案】(1)证明：如图1，四边形是矩形， ，， ， ， 由旋转得，， （） (2)的长为 (3)的面积为 【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可知，，利用即可证明； （2）证明，根据相似三角形的性质可以求出，利用勾股定理即可求出，证明，利用相似三角形的性质求出，利用即可求出结果； （3）连接，延长交于点，根据矩形的性质和旋转的性质可得，根据内错角相等，两直线平行，可证，根据平行线的性质可知，根据等角的余角相等可证，可证，根据全等三角形的性质可证点、、共线，设，则，利用勾股定理列方程求出，证明，利用相似三角形的性质求出，证明，利用相似三角形的性质求出，利用三角形的面积公式求出的面积． 【详解】（1）略； （2）解：如下图所示， 由旋转知，，， 则， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为； （3）解：如下图所示，连接，延长交于点， 四边形是矩形， ，，， ， ， 由旋转得，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 点、、共线， ，， ， ， 设，则， 在中，， ，， ， ， ，， ， ，即， ， 过点作，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， 的面积为． 【题型23 相似三角形与函数图象综合建模】 【例23】（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）在平面直角坐标系中，如果一点的坐标满足我们称这个点叫一阶升幂点，显然这样一阶升幂点有无数个；同样的满足我们称这个点叫二阶升幂点，也有无数个；满足我们称这个点叫三阶升幂点，……依此类推满足我们称这个点叫阶升幂点（其中为正整数）． (1)请判断下列点中①②③④其中属于三阶升幂点有____________．（填序号） (2)若一次函数图象上有且只有唯一的一个二阶升幂点，请求出一次函数的表达式． (3)如图，一次函数的图象与轴、轴交点为点和点，若在一次函数的图象上有两个阶升幂点，分别为点A、点，另外在轴上存在点，面积等于20，设点A、点的横坐标分别为，， ①请求出的值． ②请求出的值． 【答案】(1)①②④ (2)或 (3)①；②1 【分析】本题主要考查了新定义、坐标与图形、一次函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）直接根据三阶升幂点的定义逐个判断即可； （2）由题意可得一元二次方程，然后再根据题意结合根的判别式即可解答； （3）如图：作的边上的高，即，由坐标与图形以及勾股定理可得、、，再证明可得，再根据等面积法可得；再根据题意以及根与系数的关系可得；再根据两点间距离公式可得、整理得到，解得：或（不合题意，舍弃）；进而得到，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：由，则①是三阶升幂点； 由，则②是三阶升幂点； 由，则③不是三阶升幂点； 由，则④是三阶升幂点． 故答案为：①②④． （2）解：∵二阶升幂点坐标满足，且在图象上， ∴，整理得． ∵图象上有且只有唯一的一个二阶升幂点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即，解得：． ∴一次函数表达式为或． （3）解：如图：作的边上的高，即， ∵一次函数的图象与轴、轴交点为点和点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∴ ∴，即，解得：， ∵面积等于20， ∴，即，解得：， ∵在一次函数的图象上有两个阶升幂点，分别为点A、点， ∴，整理得：， 设点A、点的坐标分别为，， ∴， ∴ ， ∴， ∴，整理得：，解得：或（不合题意，舍弃）， ∴． ， 综上，①；②． 【变式23-1】（2026九年级下·贵州毕节·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与y轴交于点，与轴交于点，点是内任意一点，且，则的最小值为____． 【答案】 【分析】根据一次函数解析式求出点和点的坐标，得到和的长度，在上取点使得，构造，从而得到，将求的最小值转化为求的最小值，根据两点之间线段最短，当，，三点共线时和最小，最小值为线段的长，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：在上取一点，使得，连接，，如图所示： 把代入可得：， ∴， ∴， 把代入可得：， 解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 在中，． 【变式23-2】（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于两点，过该函数图象上一点作轴于D，点E是线段上一动点，连接，若以为顶点的三角形与相似，则点E的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，一次函数图象和一次函数图象上点的坐标特征．设，先利用一次函数解析式确定，，利用勾股定理计算出，由于，则，根据相似三角形的判定方法，当时，，利用相似比求出，利用两点间的距离公式得到，解方程得到此时E点坐标；当时，，同样方法求此时E点坐标． 【详解】解：设， 对于，当时，，解得， ∴， 当时，，则， ∴， ∵，轴， ∴，， ∵， ∴， ∴当时，， 即， 解得， ∴， 解得（舍去），， 此时E点坐标为； 当时，， 即， 解得， ∴， 解得（舍去），， 此时E点坐标为， 综上所述，E点坐标为或． 故选：C． 【变式23-3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数交y轴于点B，一次函数与一次函数交于点A，将线段沿着方向平移得到线段，连接，点，过点D作直线轴． (1)求点A的坐标． (2)证明：四边形是矩形． (3)以点O为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点A，B，C旋转后的对应点分别为，直线、直线分别与直线l相交于点P，Q．记旋转角为α． ①如图2，当矩形的顶点落在直线l上时，求点P的坐标． ②在四边形旋转过程中，当时，若，点P的坐标为_____（请直接写出答案）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①（；②或 【分析】（1）联立两个一次函数解析式构建方程组，解方程组即可得到点A的坐标； （2）先求出点B的坐标，利用两点间距离公式即可求出线段的长，再根据一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形，再根据勾股定理的逆定理证明即可证明结论； （3）①先证明得到，，设，则，然后在中，利用勾股定理求解即可；②分两种情况：如图3﹣1中，当点Q在线段上时，延长交直线于点T，证明可得；再证明可得，设，则，在中运用勾股定理求得x即可解答；当时，同法可得．再证可得，由，可得， 设，则， 运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：解方程组，得， ∴点A的坐标是． 故答案是 （2）解：把代入，得， ∴点B的坐标是． ∴． 如图1，∵线段沿着方向平移得到线段， ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴平行四边形是矩形． （3）解： ①如图2， ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 设，则， 在中，， ∴． ∴． ∴点P的坐标是． ②如图3﹣1中，当点Q在线段上时，延长交直线于点T． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图3﹣2中，当时，同法可得． ∴， 由，可得， 设，则， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题属于函数与几何动点问题的综合题，主要考查了一次函数的交点问题、两点间距离公式，矩形的判定和性质、平移的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识、根据题意画出正确的图形并作出辅助线是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 图形的相似（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材湘教版】 题型归纳 【夯实基础】 1 【题型1 比例的性质】 1 【题型2 比例线段】 2 【题型3 黄金分割】 2 【题型4 由平行线分线段成比例判断比例式】 3 【题型5 相似图形】 4 【题型6 利用两角相等判定相似】 5 【题型7 利用三边对应成比例判定相似】 6 【题型8 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】 7 【题型9 利用平行判定相似】 8 【题型10 利用相似三角形性质求解】 9 【题型11 位似及其作图】 10 【进阶拔高】 11 【题型12 利用相似三角形求不可直接测量的距离】 11 【题型13 平行线截三角形中的比例计算】 13 【题型14 相似三角形与角平分线综合】 14 【题型15 利用相似求图形中的线段长度】 16 【题型16 相似三角形与面积关系综合】 18 【题型17 利用相似判定证明线段成比例】 20 【创新思辨】 21 【题型18 动点问题中相似三角形的存在性判断】 21 【题型19 多次相似嵌套求线段比值】 23 【题型20 相似三角形与坐标系综合求点坐标】 24 【题型21 相似三角形与格点综合应用】 26 【题型22 折叠与旋转中的相似关系探究】 27 【题型23 相似三角形与函数图象综合建模】 28 【夯实基础】 【题型1 比例的性质】 【例1】（2025·江苏无锡·模拟预测）如果，那么下列比例式中成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·江西景德镇·期末）若，则________． 【变式1-2】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，则__________． 【变式1-3】（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段检测）已知，则k的值为_________． 【题型2 比例线段】 【例2】（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）如果线段a，b的长分别是3和12，线段c是线段a，b的比例中项，那么线段c的长为（     ） A．4 B．±4 C．6 D．±6 【变式2-1】（25-26九年级下·河南郑州·期末）已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 【变式2-2】（24-25六年级下·上海·期中）在3、4、12中添加一个数x，使得这四个数成比例，则x的值不能为（　　） A．1 B．9 C．16 D．25 【变式2-3】（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【题型3 黄金分割】 【例3】（25-26九年级上·河南郑州·期中）如图（1）是古希腊时期的帕特农神庙，如果把图（1）中用虚线表示的矩形画成图（2）中的矩形，以矩形的宽为边在其内部作正方形，那么我们可以发现，，点是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·山西晋中·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点，若，则长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）五角星是我们生活中常见的一种图形，如图，，为线段的黄金分割点，如果，则线段的长为__________． 【变式3-2】（2026·甘肃平凉·二模）黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 【题型4 由平行线分线段成比例判断比例式】 【例4】（2025九年级·全国·专题练习）有下列各组图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个等边三角形；④两副三角板中的含30°角的直角三角形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是_______（填序号）． 【变式4-1】（25-26九年级上·山西朔州·期末）观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ）． A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 【变式4-3】（25-26九年级上·全国·期末）如图，________与________相似． 【题型5 相似图形】 【例5】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，，它们依次交直线于点A、E、B和点C、F、D，下列结果中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线，直线分别交，于点A，B，C，直线分别交于点D，E，F，直线与相交于点G．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，已知线段、、，求线段，使，下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型6 利用两角相等判定相似】 【例6】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作的平行线交于点E．若，则图中的相似三角形共有（   ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【变式6-1】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）将两个全等的等腰直角三角板，按如图所示的位置摆放，请写出一个与相似而不全等的三角形__________．（填写一个即可） 【变式6-2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 【变式6-3】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点D，M在边上，与交于点E，作交于点N． (1)求证：； (2)求证：． 【题型7 利用三边对应成比例判定相似】 【例7】（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【变式7-1】（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，与的顶点均在网格的格点处，则与_______相似（填“一定”“不一定”或“一定不”） 【变式7-3】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）已知：如图，，且，请认真研究图形与所给条件，然后找出一对相似的三角形，并证明你的猜想． 【题型8 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似】 【例8】（25-26九年级上·全国·课后作业）能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【变式8-1】（25-26八年级下·江苏·阶段检测）如图，不等长的两条对角线相交于点O，若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有____________． 【变式8-2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，，相交于点，且，，，当_____时，与相似． 【变式8-3】（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点在内，点在外，且．求证： (1)； (2)． 【题型9 利用平行判定相似】 【例9】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，相交于点，，则＝（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，点D，E分别在边，上，且，，，则的值是 ______ ． 【变式9-2】（25-26九年级上·北京·课前预习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且 ， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【变式9-3】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，，与交于点E，，连接． (1)若，求； (2)若的面积为m，求的面积．（用含m的代数式表示） 【题型10 利用相似三角形性质求解】 【例10】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 【变式10-1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，平行四边形中，，，点E，F分别在，上，若，，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【变式10-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，、都是的垂线，，，，P是上的一点，连接、，若，则与的相似比为______． 【变式10-3】（25-26九年级上·广西桂林·期末）如图，在纸片中，，，，现将纸片沿翻折，使点落在上的点处，若，则_____． 【题型11 位似及其作图】 【例11】（2026·山东潍坊·三模）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知矩形与矩形是位似图形，M是位似中心，若点B的坐标为，点E的坐标为，则图中点M的坐标为__________. 【变式11-2】（25-26九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在图中画出的位似图形，使与的相似比为，点、、分别与点A、B、C对应，且点在第一象限； (2)在（1）的条件下，与的面积比为______． 【变式11-3】（2026·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； (2)设与的周长分别为、，则________． 【进阶拔高】 【题型12 利用相似三角形求不可直接测量的距离】 【例12】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，图中点A，B，C，D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 【变式12-1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得． (1)求证：． (2)求河宽的长． 【变式12-2】（25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【变式12-3】（25-26九年级上·河南周口·期末）河南博物院是中国地区历史文化的重要平台，馆藏丰富，展览多样，致力于传播中国文明的辉煌成就．某综合与实践小组开展测量博物馆的高度，记录如下． 活动主题 测量博物馆的高度 实物图及测量示意图 测量说明 如图，博物馆与地面垂直（），为了测量博物馆的高度，小亮和小明在地面上的点处放置了一根垂直于地面的杆子，小明站在处小亮在点和点之间找到一个合适的位置，并在处放置了一个平面镜，此时小明恰好在平面镜内看到点和点的像重合，即点在同一直线上 测量数据 ，，米，米，米，米 备注 点，，，在同一条直线上 根据以上信息，解答下列问题： (1)求证：． (2)求博物馆的高度． 【题型13 平行线截三角形中的比例计算】 【例13】（25-26九年级上·上海·期中）如图，点，都在格点上（网格小正方形的边长为1），点是线段与网格线的交点，则的长为__________. 【变式13-1】（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，若，，，则的值为________． 【变式13-2】（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【变式13-3】（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，点D，E分别为，边上的点，连接并延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型14 相似三角形与角平分线综合】 【例14】（25-26九年级上·安徽池州·期末）如图，已知和，边、交于点，平分，平分，且． (1)求证：； (2)求证：． 【变式14-1】（2025·湖南长沙·二模）【知识技能】 （）如图，在中，平分，，求证：． 【场景迁移】 （）如图，四边形为平行四边形，平分交于，延长交于，若，求的值． 【变式14-2】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，平分，B，C分别在射线上，连接，有，平分交于点D，点E在线段上，且，延长交于点F，连接 ． (1)求证：； (2)当时，求的度数； (3)若，，求的长． 【变式14-3】（24-25九年级上·河北唐山·期末）【发现问题】某学习小组发现：三角形一个角的平分线截第三边形成的两条线段的比等于这个三角形中对应的两边之比． 如图1，在中，平分，则． 【猜想验证】下面是“发现问题”的不完整的证明过程． 证明：如图2，过点作，交的延长线于点，……请按照上面的证明思路，补全证明过程； 【拓展应用】如图3，已知中，，，平分，则_____． 【题型15 利用相似求图形中的线段长度】 【例15】（2025·四川绵阳·三模）在中，，D是边上一动点（不与B、C重合），P为延长线上一点，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当点E在延长线上，连接． ①求长度； ②若，求长度； (2)如图2，当E在延长线上时，延长至G，与交于点G，且，连接，求的长度． 【变式15-1】（25-26九年级上·四川成都·期中）在四边形中，对角线，交于点，，垂直平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形的面积为，，． 求线段的长度； 若，求线段的长度． 【变式15-2】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，矩形的顶点，分别在边，上，在边上，，． (1)若，求的长度； (2)连接，若，求的长度． 【变式15-3】（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）【问题背景】如图（1），点E为正方形边的中点，连接交于点M，试求的值； 【问题探究】如图（2），正方形的边长为4，E、F分别为的中点，连接交于点N，试求的长度； 【问题拓展】如图（3），在【问题探究】的条件下，连接交于点O，连接，试求的长度． 【题型16 相似三角形与面积关系综合】 【例16】（2025·吉林长春·二模）【问题原型】如图①，四边形是正方形，．点E是边的中点，点F是边上一点，且．连结，且交于点G，求的面积． 【问题探究】如图②，小明首先延长，且相交于点M．易知且，求得的值，从而得到和的面积比，进而求出的面积．    以下是小明求解的值的部分过程： 解：在正方形中， ， ． ∵点E是边的中点， ． ， ． ． 求解过程缺失 请你补全缺失的求解过程． 【问题解决】请结合上述探究过程，直接写出的面积是_____________． 【变式16-1】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，点D、E分别在边、上，且，已知的面积是2，的面积是32． (1)求的面积： (2)连接，与交于点O，求的面积． 【变式16-2】（2024·江苏徐州·二模）[阅读理解]如图1，在学习三角形的中位线时，我们发现三角形的三条中位线在三角形内部构成一个新的三角形，则其面积与原三角形面积的比是 ． [探究思考]如图2，已知，，分别是三边的三等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是定值吗？如果是，请求出该数值；如果不是，请说明理由． [发现结论]如图3，已知，E，分别是三边的等分点，且，依次连接、、，则与的面积比是 ． 【变式16-3】（2023·浙江杭州·三模）正方形的边长为1，连接，过点C作的平行线，与相交于点F，过点D作．    (1)求的面积； (2)当时，求的长； (3)若的面积记为，△DFH的面积记为，的面积记为，的面积记为，，请用的代数式表示的值． 【题型17 利用相似判定证明线段成比例】 【例17】（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图，在正方形中，点为边上一动点，交于点，过点作交于点，点为的中点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)若，求证：． 【变式17-1】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知在四边形中，是对角线，，是的中点．连接，交于点，过作的平行线，分别交、的延长线于点、点；连接并延长，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若， ①求证：； ②连接，若，求证：． 【变式17-2】（25-26九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在梯形中，，和相交于点O，，且过点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式17-3】（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，四边形是平行四边形，点E是的中点，连接，将沿翻折至，点B的对应点F落在内，射线交于G，与射线相交于P，延长交于Q． (1)求证：； (2)若，平分． ①求证：； ②若，，求证：． 【创新思辨】 【题型18 动点问题中相似三角形的存在性判断】 【例18】（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿方向匀速运动，点从点出发，沿方向匀速运动，两点同时出发，速度均为，设运动时间为（）． (1)当以，，为顶点的三角形与相似时，求的值； (2)当取何值时，四边形的面积等于？ (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式18-1】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，，，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） (1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围： (2)当是直角三角形时，求的值； (3)当与相似时，直接写出的值． 【变式18-2】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知、两点的坐标分别为和，动点从点开始在线段上以每秒2个长度单位的速度向原点运动、动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴），并且分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒． (1)求时，的面积； (2)直线、点在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于160（平方单位）．若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，与相似． 【变式18-3】（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，在矩形中，，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E、G的速度均为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为． (1)求出S和t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由． 【题型19 多次相似嵌套求线段比值】 【例19】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点是上一点，作交于点，点是上的一点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若点为的重心，求与的比． 【变式19-1】（25-26九年级上·上海嘉定·期中）如图，四边形中，对角线，交于点，若，则下列结论中正确的有 个（    ） ①                ②与的周长比为 ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式19-2】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在中，D为边的四等分点（即），，F为中点，若的面积为1，则四边形的面积为（    ）． A．10 B． C．4 D．12 【变式19-3】（25-26九年级上·四川成都·期中）在等边中，点D是的中点，点E为上一点，将线段绕点D逆时针方向旋转得线段， (1)如图1，当与交于点G时，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，连接交于点H，当时，求； (3)若，当点E在线段上运动时，能否成为直角三角形，若能，请求出此时的值，若不能，请说明理由． 【题型20 相似三角形与坐标系综合求点坐标】 【例20】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图坐标系中，O(0，0)，A(3，3)，B(6，0)，将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝，则AC：AD的值是_______． 【变式20-1】（25-26八年级下·广东湛江·期中）如图，在直角平面坐标系中，已知，点C在y轴的正半轴上，且． (1)求点C的坐标． (2)过点作于点E，连接． ①当D在线段上时，是否存在点D使得是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，则说明理由． ②当D在点B的右侧时，设交直线于点F，若，请直接写出m的值． 【变式20-2】（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）在平面直角坐标系中，矩形的一边在x轴上，、、，点P是边上的一个动点，连接，过点P作交直线于点E，的最大值为__________． 【变式20-3】（24-25九年级上·河南郑州·期中）已知，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于A、两点，且点的坐标为，连接，与轴相交于点，点在轴上，如果和相似，则点的坐标为_____．      【题型21 相似三角形与格点综合应用】 【例21】（2026·辽宁葫芦岛·二模）如图，的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P，Q均在格点上．连接交于点M，连接，则的长是________． 【变式21-1】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）在如图网格中，每个小正方形的边长都是1，点在格点上，将绕点（图中未画出）顺时针旋转一定角度后得到，点，，均在格点上，则的长为___________． 【变式21-2】（2026·湖北·二模）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫作格点，点 都是格点．连接交于点，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式21-3】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，，，是格点，直接写出 ． (2)在图1中，，，是格点，先在上画点，使于点；再画点，使，两点关于直线对称； (3)在图2中，，是格点，在格线上，画出点，使． 【题型22 折叠与旋转中的相似关系探究】 【例22】（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）如图，中，，D、E分别在边上， ，，将绕点C旋转，旋转后点D、E对应的点分别为，．当点落在线段上时，连接，此时的长为__________． 【变式22-1】（2026·江苏无锡·三模）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于______． 【变式22-2】（2026·江西景德镇·二模）马超同学在复习图形的变换时，对翻折问题展开如下探究： (1)如图1，点为矩形边上一点，将矩形沿着翻折，使点落在边上的点处，折痕为，若，，则________； (2)如图2，将矩形沿着翻折，使点恰好落在的延长线上的点处，若，，则________，________； (3)形如图1的折叠后，将四边形再次翻折，使点与点重合，折痕为． ①如图3，若点与点重合，试探究线段与的数量关系； ②如图4，若，，当点在边上时（不与点重合），请直接写出，之间应满足的数量关系． 【变式22-3】（2026·辽宁锦州·三模）数学活动课上，同学们将一个矩形用对角线分成两个全等的三角形纸片，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知矩形中，，． (1)如图1，纸片绕点旋转，当点的对应点在射线上时，求证：． (2)如图2，在纸片绕点旋转过程中，当与矩形对角线重合时，与交于点，连接并延长交于点，过点作，垂足为点，求的长． (3)如图3，在纸片绕点旋转过程中，当点的对应点在矩形对角线上时，与交于点，延长交于点，求的面积． 【题型23 相似三角形与函数图象综合建模】 【例23】（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）在平面直角坐标系中，如果一点的坐标满足我们称这个点叫一阶升幂点，显然这样一阶升幂点有无数个；同样的满足我们称这个点叫二阶升幂点，也有无数个；满足我们称这个点叫三阶升幂点，……依此类推满足我们称这个点叫阶升幂点（其中为正整数）． (1)请判断下列点中①②③④其中属于三阶升幂点有____________．（填序号） (2)若一次函数图象上有且只有唯一的一个二阶升幂点，请求出一次函数的表达式． (3)如图，一次函数的图象与轴、轴交点为点和点，若在一次函数的图象上有两个阶升幂点，分别为点A、点，另外在轴上存在点，面积等于20，设点A、点的横坐标分别为，， ①请求出的值． ②请求出的值． 【变式23-1】（2026九年级下·贵州毕节·学业考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与y轴交于点，与轴交于点，点是内任意一点，且，则的最小值为____． 【变式23-2】（25-26九年级上·广东河源·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于两点，过该函数图象上一点作轴于D，点E是线段上一动点，连接，若以为顶点的三角形与相似，则点E的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式23-3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数交y轴于点B，一次函数与一次函数交于点A，将线段沿着方向平移得到线段，连接，点，过点D作直线轴． (1)求点A的坐标． (2)证明：四边形是矩形． (3)以点O为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点A，B，C旋转后的对应点分别为，直线、直线分别与直线l相交于点P，Q．记旋转角为α． ①如图2，当矩形的顶点落在直线l上时，求点P的坐标． ②在四边形旋转过程中，当时，若，点P的坐标为_____（请直接写出答案）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $