拆解各类网红函数，回归函数本质（全国通用）2027年高考数学一轮复习

**基本信息** 以“归一化”为核心方法，系统拆解网红函数本质，构建从现象到本源的函数认知体系，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对勾函数|含4道选择、1道填空、1道解答|飘带/双刀函数归一为对勾函数，提炼“一心两线一拐点”简图画法|从网红函数俗称到对勾函数定义、图像及性质的逻辑链条，结合单调性、奇偶性应用| |绝对值型分段函数|含2道选择、2道填空|V型/Z型函数归一为绝对值分段函数，区分单/双绝对值图像特征|从单绝对值V型到双绝对值U型/Z型的图像演变，建立分段函数性质分析框架| |高斯函数|含3道选择、2道填空|取整函数归一为特殊分段函数，归纳阶梯函数性质|从取整定义到小数部分恒等式，构建定义域、值域及单调性的分析路径| |狄利克雷函数|含2道选择、2道填空|特殊分段函数本质，提炼有界性、奇偶性等核心性质|从离散点列图像特征到函数性质的逻辑推理，强化抽象函数认知|

解题大招：拆解各类网红函数，回归函数本质 ——基本初等函数之外的衍生函数归类梳理 高中函数的核心是课本中的基本初等函数。在教辅资料与短视频中，不少衍生函数被赋予飘带、双刀、V型、Z型等五花八门的俗称。很多同学只记住花哨外号，却忽略函数本身的数学本质。掌握以下解题大招，拨开别名迷雾，看透函数本源，快速破解相关题型。 解题大招一：所谓“飘带函数、双刀函数”，本质归一为对勾函数。 解题大招二：所谓“V型函数、Z型函数”，本质归一为绝对值型分段函数。 解题大招三：所谓“高斯函数（取整函数）”，本质归一为特殊分段函数。 解题大招四：所谓“狄利克雷函数”，本质归一为特殊分段函数。 解题大招一知识点归纳： 对勾函数 1.定义：形如的函数，其图象类似于两个勾，故称之为对勾函数. 2.图象及性质 解析式 (、) 图象 以为例 定义域 值域 单调性 单调递增区间 ，， 单调递减区间 ， 　 当、时， 在单调递增 当、时， 在 单调递减； 　 奇偶性 奇函数 最值 最值当且仅当，即时取最大、最小值 对称中心 （0,0） 渐近线 简图画法 一心两线一拐点 （两线指渐近线， 分为上勾和下勾，最低点及最高点） 一心一线一单调 （两特值定单调） 以下两种情况同上归纳如下： 也叫对勾函数，耐克函数. 也叫双刀函数,飘带函数, 解题大招二知识点归纳：V型函数、Z型函数 1.单绝对值图象：形如 的函数图象类似于符号“V”， 故称之为 “ ”形函数,其中 为常数,且 . 最简单的就是 其图象如下图所示： 性质：其图象的对称轴方程为 ,顶点坐标为 , 的图象开口方向向上, 的图象开口方向向下, 并且其图象左、右两支的斜率分别为 . 举例1：观察函数的图象并写出函数的一些性质： 【解析】因为，函数的值域为. “V型” 性质： 零 点:-3 对称轴： 直线，且函数的最小值为 单调性： 值 域: 2.双绝对值图象：”U”(平底锅)或三折线型 ① （） ”U”(平底锅) ② （） “三折线型’或“Z型” 性质：的图象关于直线对称，且函数的最小值为； 的图象关于点对称，且函数的值域为． 举例2 求函数的值域 “三折线型’或“Z型” 先画图再得函数的值域为：. 解题大招三：所谓“高斯函数（取整函数）”，本质归一为特殊分段函数。 1.定义 ：记 表示不超过实数 的最大整数,即找小于或等于这个数里面最大的那个，例如: , ,函数 被称为高斯函数, 又称取整函数.本质时分段阶梯函数，如果用分段函数表示解析式，则有无穷段；常见表示 ， 表示不超过实数 的最大整数. 2.性质 （1）定义域: ；值域: ；（2）不具有单调性、奇偶性、周期性.(3)重要恒等式x+{x},{x}时小数部分，0≤{x}<1. 解题大招四：所谓“狄利克雷函数”，本质归一为特殊分段函数。 1． 定义 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个奇怪的函数：其中为实数集，为有理数集．这个函数因此命名为狄利克雷函数. 2．图象特征 (1)图象由两条离散点列构成： y=1:在x轴所有有理数位置画孤立空心、实心点； y=0：在x轴所有无理数位置画孤立点； (2)无连续曲线、画不出连续线条，任意区间内两种点稠密交错，肉眼无法精确手绘完整图象. 3．基本性质 (1)有界性：，有界函数； (2)奇偶性：偶函数，； (3)周期性：任意正有理数都是周期，无最小正周期；无理数不是周期； (4)连续性： 在处处不连续. 【练习】 1．（单选题)的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【解析】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立.故选：C 2.（单选题)形如的函数一般称为飘带函数．若飘带函数的图象经过两点和．则以下四个判断中①是定义域上的偶函数；②在内单调递减；③有最小值；④，正确的有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】D 【分析】应用待定系数法求函数解析式和定义域，再由奇偶性的定义判断，根据解析式判断区间单调性，进而确定最值情况，最后代入自变量求函数值判断各项正误. 【解析】由题意得，解得，则且， 因为，所以是奇函数，①错． 因为均在内单调递减，所以在内单调递减，没有最小值，②对③错， 由得，，④对. 故选：D 3．（单选题)德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】． 故选：D． 4．（单选题)设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例：，.已知函数，则函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 可知在定义域内单调递减，且， 且，则，，可得， 若，则，可知，， 则，可得； 若，则； 若，则，可知，， 则，可得； 综上所述：函数的值域是. 故选：C. 5．（单选题)函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得：，， 则 ， 可得， 又因为为递增数列，且， 所以. 故选：A. 6.（多选题）已知函数，下面有关结论正确的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 【答案】ABD 【解析】对于A中，函数有意义，则满足， 所以函数定义域为，所以A正确； 对于B中，当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以； 当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以函数的值域为，所以B正确； 对于C中，函数在上单调递减，所以C不正确； 对于D中，函数定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 函数的图象关于原点对称，所以D正确. 故选：ABD. 7．（多选题）下列命题中的真命题有（   ） A．最小值为2 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 8．（填空题）已知函数，，则的值域为 ． 【答案】 【解析】由题意得，． 令，则，则可化为． ∵函数，在上均为增函数， ∴在上为增函数， ∵时，，时，， ∴的值域为． 9．（多选题）德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下面描述正确的有（    ） A．为偶函数 B． C． D．不等式在区间上恒成立 【答案】ABD 【解析】对于A，当时，，则；当时，， 则，即，，因此为偶函数，A正确； 对于B，当时，，当时，，B正确； 对于C，取，，C错误； 对于D，当时，，不等式， 对且，恒成立；当时，，不等式， ，对且，恒成立，D正确. 故选：ABD 10．（填空题）对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的有_________ ①     ②当时， ③          ④不等式的解集为 【答案】①②④ 【解析】，故①正确； 时，所以时，，故②正确； 当时，此时，故③错误； 令则化为，解得，所以， 当时，，当时，，所以， 所以不等式的解集为，故④正确. 故答案为：①②④ 11．（填空题）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得_______. 【答案】1 【解析】由题意， 故答案为：1. 12．（填空题）若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为________. 【答案】 【分析】令，代入不等式进行化简，消除，再令，进行化简，利用基本不等式进行求解即可. 【解析】因为，，令，所以， 则，所以， 由对任意实数，成立，所以求的最大值， 因为，则，令， 所以，上下同除以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以， 所以实数的最小值为.故答案为：. 13.（填空题）已知函数 ,若方程 恰有四个互异实数根,则实数 的取值范围为_____. 【答案】 或 或 【解析】 ,则问题等价于 与 有两个交点. 易知 是顶点为 、开口向上的 形函数,且顶点 在直线 上运动. 使两函数有两个交点, 有如下三种情形: 图1 图2 图3 (1) 当 的左支 与 的左支相切时 (如图 1), ,变形为 ,由 解得 ; (2) 当 的左支 与 的右支相切时 (如图 2), ,变形为 ,由 解得 ; (3) 当 的顶点 在 的右支上时 (如图 3), ,解得 (舍去),或 . 综上: 或 或 . 14．（填空题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则标为高斯函数.例如，已知函数，则的值域为__________. 【答案】 【解析】由高斯函数的定义可得： 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 当时，，且每段函数都是单调递减的，每段的左端点的函数值都为1； 当时，，且每段函数都是单调递增的，每段的左端点的函数值都为1. 绘制的图象，如图所示，    由图可知，的值域为. 15．（解答题）若函数的定义域为，满足对任意，，有，则称为型函数；若函数的定义域为，满足对任意，恒成立，且对任意，，有，则称为对数型函数． （1）当函数时，判断是否为型函数，并说明理由． （2）当函数时，证明：是对数型函数． （3）若函数是型函数，且满足对任意，有，问是否为对数型函数？若是，加以证明；若不是，请说明理由． 【答案】（1）不是型函数，详见解析（2）证明见解析（3）是对数型函数，证明见解析 【解析】（1）由题，函数， 则 当，同号时，此时， 此时不满足，所以不是型函数． （2）因为恒成立， 要证对任意，，， 即证对任意，，， 即证对任意，，． 因为， 所以是对数型函数 （3）函数是对数型函数．证明如下： 因为是型函数，所以对任意，，有， 又由对任意，有，所以， 所以，所以， 所以， 所以是对数型函数． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招：拆解各类网红函数，回归函数本质 ——基本初等函数之外的衍生函数归类梳理 高中函数的核心是课本中的基本初等函数。在教辅资料与短视频中，不少衍生函数被赋予飘带、双刀、V型、Z型等五花八门的俗称。很多同学只记住花哨外号，却忽略函数本身的数学本质。掌握以下解题大招，拨开别名迷雾，看透函数本源，快速破解相关题型。 解题大招一：所谓“飘带函数、双刀函数”，本质归一为对勾函数。 解题大招二：所谓“V型函数、Z型函数”，本质归一为绝对值型分段函数。 解题大招三：所谓“高斯函数（取整函数）”，本质归一为特殊分段函数。 解题大招四：所谓“狄利克雷函数”，本质归一为特殊分段函数。 解题大招一知识点归纳： 对勾函数 1.定义：形如的函数，其图象类似于两个勾，故称之为对勾函数. 2.图象及性质 解析式 (、) 图象 以为例 定义域 值域 单调性 单调递增区间 ，， 单调递减区间 ， 　 当、时， 在单调递增 当、时， 在 单调递减； 　 奇偶性 奇函数 最值 最值当且仅当，即时取最大、最小值 对称中心 （0,0） 渐近线 简图画法 一心两线一拐点 （两线指渐近线， 分为上勾和下勾，最低点及最高点） 一心一线一单调 （两特值定单调） 以下两种情况同上归纳如下： 也叫对勾函数，耐克函数. 也叫双刀函数,飘带函数, 解题大招二知识点归纳：V型函数、Z型函数 1.单绝对值图象：形如 的函数图象类似于符号“V”， 故称之为 “ ”形函数,其中 为常数,且 . 最简单的就是 其图象如下图所示： 性质：其图象的对称轴方程为 ,顶点坐标为 , 的图象开口方向向上, 的图象开口方向向下, 并且其图象左、右两支的斜率分别为 . 举例1：观察函数的图象并写出函数的一些性质： 【解析】因为，函数的值域为. “V型” 性质： 零 点:-3 对称轴： 直线，且函数的最小值为 单调性： 值 域: 2.双绝对值图象：”U”(平底锅)或三折线型 ① （） ”U”(平底锅) ② （） “三折线型’或“Z型” 性质：的图象关于直线对称，且函数的最小值为； 的图象关于点对称，且函数的值域为． 举例2 求函数的值域 “三折线型’或“Z型” 先画图再得函数的值域为：. 解题大招三：所谓“高斯函数（取整函数）”，本质归一为特殊分段函数。 1.定义 ：记 表示不超过实数 的最大整数,即找小于或等于这个数里面最大的那个，例如: , ,函数 被称为高斯函数, 又称取整函数.本质时分段阶梯函数，如果用分段函数表示解析式，则有无穷段；常见表示 ， 表示不超过实数 的最大整数. 2.性质 （1）定义域: ；值域: ；（2）不具有单调性、奇偶性、周期性.(3)重要恒等式x+{x},{x}时小数部分，0≤{x}<1. 解题大招四：所谓“狄利克雷函数”，本质归一为特殊分段函数。 1． 定义 德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个奇怪的函数：其中为实数集，为有理数集．这个函数因此命名为狄利克雷函数. 2．图象特征 (1)图象由两条离散点列构成： y=1:在x轴所有有理数位置画孤立空心、实心点； y=0：在x轴所有无理数位置画孤立点； (2)无连续曲线、画不出连续线条，任意区间内两种点稠密交错，肉眼无法精确手绘完整图象. 3．基本性质 (1)有界性：，有界函数； (2)奇偶性：偶函数，； (3)周期性：任意正有理数都是周期，无最小正周期；无理数不是周期； (4)连续性： 在处处不连续. 【练习】 1．（单选题)的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【解析】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立.故选：C 2.（单选题)形如的函数一般称为飘带函数．若飘带函数的图象经过两点和．则以下四个判断中①是定义域上的偶函数；②在内单调递减；③有最小值；④，正确的有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】D 【分析】应用待定系数法求函数解析式和定义域，再由奇偶性的定义判断，根据解析式判断区间单调性，进而确定最值情况，最后代入自变量求函数值判断各项正误. 【解析】由题意得，解得，则且， 因为，所以是奇函数，①错． 因为均在内单调递减，所以在内单调递减，没有最小值，②对③错， 由得，，④对. 故选：D 3．（单选题)德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】． 故选：D． 4．（单选题)设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例：，.已知函数，则函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 可知在定义域内单调递减，且， 且，则，，可得， 若，则，可知，， 则，可得； 若，则； 若，则，可知，， 则，可得； 综上所述：函数的值域是. 故选：C. 5．（单选题)函数的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函数，也是两条优美的双曲线.在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得：，， 则 ， 可得， 又因为为递增数列，且， 所以. 故选：A. 6.（多选题）已知函数，下面有关结论正确的有（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在上单调递减 D．图象关于原点对称 【答案】ABD 【解析】对于A中，函数有意义，则满足， 所以函数定义域为，所以A正确； 对于B中，当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以； 当时，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以， 所以函数的值域为，所以B正确； 对于C中，函数在上单调递减，所以C不正确； 对于D中，函数定义域为，关于原点对称， 且满足，所以函数为奇函数， 函数的图象关于原点对称，所以D正确. 故选：ABD. 7．（多选题）下列命题中的真命题有（   ） A．最小值为2 B．的最小值是2 C．当时，的最大值是5 D．当时，的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式结合对勾函数的性质一一判定选项即可. 【详解】对A：，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故A正确； 对B：， 令，则，令， 又在上单调递增，故， 故的最小值为，也即的最小值为，故B错误； 对C：，当且仅当，即时取得等号； 故当时，的最大值是，故C正确； 对D：当时，，当且仅当，即时取得等号，故，即的最大值是，故D正确. 故选：ACD. 8．（填空题）已知函数，，则的值域为 ． 【答案】 【解析】由题意得，． 令，则，则可化为． ∵函数，在上均为增函数， ∴在上为增函数， ∵时，，时，， ∴的值域为． 9．（多选题）德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下面描述正确的有（    ） A．为偶函数 B． C． D．不等式在区间上恒成立 【答案】ABD 【解析】对于A，当时，，则；当时，， 则，即，，因此为偶函数，A正确； 对于B，当时，，当时，，B正确； 对于C，取，，C错误； 对于D，当时，，不等式， 对且，恒成立；当时，，不等式， ，对且，恒成立，D正确. 故选：ABD 10．（填空题）对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，令下列说法正确的有_________ ①     ②当时， ③          ④不等式的解集为 【答案】①②④ 【解析】，故①正确； 时，所以时，，故②正确； 当时，此时，故③错误； 令则化为，解得，所以， 当时，，当时，，所以， 所以不等式的解集为，故④正确. 故答案为：①②④ 11．（填空题）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”，“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义，根据“狄利克雷函数”求得_______. 【答案】1 【解析】由题意， 故答案为：1. 12．（填空题）若对任意实数，，不等式恒成立，则实数的最小值为________. 【答案】 【分析】令，代入不等式进行化简，消除，再令，进行化简，利用基本不等式进行求解即可. 【解析】因为，，令，所以， 则，所以， 由对任意实数，成立，所以求的最大值， 因为，则，令， 所以，上下同除以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以， 所以实数的最小值为.故答案为：. 13.（填空题）已知函数 ,若方程 恰有四个互异实数根,则实数 的取值范围为_____. 【答案】 或 或 【解析】 ,则问题等价于 与 有两个交点. 易知 是顶点为 、开口向上的 形函数,且顶点 在直线 上运动. 使两函数有两个交点, 有如下三种情形: 图1 图2 图3 (1) 当 的左支 与 的左支相切时 (如图 1), ,变形为 ,由 解得 ; (2) 当 的左支 与 的右支相切时 (如图 2), ,变形为 ,由 解得 ; (3) 当 的顶点 在 的右支上时 (如图 3), ,解得 (舍去),或 . 综上: 或 或 . 14．（填空题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则标为高斯函数.例如，已知函数，则的值域为__________. 【答案】 【解析】由高斯函数的定义可得： 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 当时，，且每段函数都是单调递减的，每段的左端点的函数值都为1； 当时，，且每段函数都是单调递增的，每段的左端点的函数值都为1. 绘制的图象，如图所示，    由图可知，的值域为. 15．（解答题）若函数的定义域为，满足对任意，，有，则称为型函数；若函数的定义域为，满足对任意，恒成立，且对任意，，有，则称为对数型函数． （1）当函数时，判断是否为型函数，并说明理由． （2）当函数时，证明：是对数型函数． （3）若函数是型函数，且满足对任意，有，问是否为对数型函数？若是，加以证明；若不是，请说明理由． 【答案】（1）不是型函数，详见解析（2）证明见解析（3）是对数型函数，证明见解析 【解析】（1）由题，函数， 则 当，同号时，此时， 此时不满足，所以不是型函数． （2）因为恒成立， 要证对任意，，， 即证对任意，，， 即证对任意，，． 因为， 所以是对数型函数 （3）函数是对数型函数．证明如下： 因为是型函数，所以对任意，，有， 又由对任意，有，所以， 所以，所以， 所以， 所以是对数型函数． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $