24.1 一元二次方程 课件 2026--2027学年冀教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程，涵盖概念、一般形式、根及实际应用。通过雕像设计、矩形铁皮制作方盒等现实问题导入，引导学生从一元一次方程过渡，发现新方程特点，搭建知识学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过对比归纳发展推理意识，结合实例强化模型意识。如典例精析判断方程类型，练一练确定系数，课堂小结结构化梳理。助力学生提升问题解决能力，为教师提供清晰教学路径和丰富实例。

24.1 一元二次方程 第二十四章 一元二次方程 侵权必究 名校课堂 学习目标 1.掌握一元二次方程的概念并能判断方程是否为一元二次方程 2.能根据一元二次方程的一般形式，找出方程的各项系数. 3.理解并灵活运用一元二次方程概念，根据实际问题列方程. 高阶目标： 低阶目标： 侵权必究 名校课堂 新课导入 要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 【思考】上述所列的方程与我们以前学习的方程一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系？ A B C 2m 设雕像下部高x m，依题意得方程 x2=2(2-x) 整理，得 x2+2x-4=0 侵权必究 名校课堂 3 问题1：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形? 一元二次方程的概念 100cm 50cm 3600cm2 讲授新课 1 低阶目标：1.掌握一元二次方程的概念并能判断方程是否为一元二次方程 侵权必究 名校课堂 【分析】 设切去的正方形的边长为x cm,则盒底的长为(100-2x)cm ,宽为 (50-2x)cm. 根据方盒的底面积为3600cm2,得 整理，得 (100-2x)(50-2x)=3600 x2-75x+350=0 x 100cm 50cm 3600cm2 低阶目标：1.掌握一元二次方程的概念并能判断方程是否为一元二次方程 侵权必究 名校课堂 问题2： 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 【分析】设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部比赛 场. 可列方程 整理，得 x2-x=56 低阶目标：1.掌握一元二次方程的概念并能判断方程是否为一元二次方程 侵权必究 名校课堂 【思考】x2-75x+350=0和x2-x-56=0这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 区别 特点 （1）这两个方程的两边都是整式； （2）都只含一个未知数x； （3）它们的未知数的最高次数都是 2 次的. 未知数最高次数为2 低阶目标：1.掌握一元二次方程的概念并能判断方程是否为一元二次方程 侵权必究 名校课堂 像上述两个方程这样的只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数为2(二次)的整式方程，叫作一元二次方程（必须满足三个特征）. 一元二次方程的概念 低阶目标：1.掌握一元二次方程的概念并能判断方程是否为一元二次方程 侵权必究 名校课堂 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成x2-3x+2=0 少了限制条件a≠0 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 典例精析 例1 低阶目标：1.掌握一元二次方程的概念并能判断方程是否为一元二次方程 侵权必究 名校课堂 下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋ ＝2；③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0； ⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二次方程的有(　　) A．1个　　B. 2个　　C．3个　　D．4个 导引： ①含有两个未知数； ②不是整式方程； ④未知数的最高次数不是2 ⑤整理后未知数的最高次数不是2 ③符合一元二次方程的“三要素” 练一练 A 低阶目标：1.掌握一元二次方程的概念并能判断方程是否为一元二次方程 侵权必究 名校课堂 a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 例2 低阶目标：1.掌握一元二次方程的概念并能判断方程是否为一元二次方程 侵权必究 名校课堂 方程(2a-4)x2－2bx+a=0. （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解：（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程 练一练 低阶目标：1.掌握一元二次方程的概念并能判断方程是否为一元二次方程 侵权必究 名校课堂 一元二次方程的一般形式 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 二次项系数 一次项系数 常数项 二次项 一次项 低阶目标：2.能根据一元二次方程的一般形式，找出方程的各项系数. 侵权必究 名校课堂 将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10. 注意：系数和项均包含前面的符号. 例3 低阶目标：2.能根据一元二次方程的一般形式，找出方程的各项系数. 侵权必究 名校课堂 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是(　　) A．1，－3，10 B．1，7，－10 C．1，－5，12 D．1，3，2 A 练一练 低阶目标：2.能根据一元二次方程的一般形式，找出方程的各项系数. 侵权必究 名校课堂 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 低阶目标：2.能根据一元二次方程的一般形式，找出方程的各项系数. 侵权必究 名校课堂 16 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作根）. 下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 解： 3和-2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 侵权必究 名校课堂 17 已知a是方程 x2+3x－1=0 的一个实数根, 求 2a2+6a+2026的值. 解：由题意得 方法总结：已知解求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 例4 侵权必究 名校课堂 2.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9 1.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则m的值为_______． 练一练 侵权必究 名校课堂 列一元二次方程 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？ 32 20 x 2 例5 （1）若设小路的宽是xm，那么横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2. 32x （2）由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？ 整理以上方程可得： 2×20x 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570 2x2 x2-36x＋35=0 高阶目标：3.理解并灵活运用一元二次方程概念，根据实际问题列方程. 侵权必究 名校课堂 今年某市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地它的宽为60 m，若将宽增加到与长相等(长不变)，使扩大后的绿地为正方形，则扩大后的绿地面积比原来加1 600 m2.设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是( ) A．x(x－60)＝1 600　　　　　B．x(x＋60)＝1 600 C．60(x＋60)＝1 600 D．60(x－60)＝1 600 A 练一练 高阶目标：3.理解并灵活运用一元二次方程概念，根据实际问题列方程. 侵权必究 名校课堂 课堂小结 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 使方程左右两边相等的未知数的值. 一元二次方程 概念 一般形式 根 侵权必究 名校课堂 22 当堂练习 1. 下列哪些是一元二次方程？ 3x+2=5x-2 x2=0 (x+3)(2x-4)=x2 3y2=(3y+1)(y-2) x2=x3+x2-1 3x2=5x-1 低阶目标：1. 侵权必究 名校课堂 2.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 　　　时，是一元二次方程．当k 　　　时，是一元一次方程． ≠±1 ＝－1 低阶目标：2. 侵权必究 名校课堂 4.（1）如图,有一块矩形铁皮,长19cm,宽15cm．在它的四个角分别切去一个正方形,然后将四周突出的部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是81 cm2 ,那么铁皮各角应切去多大的正方形？列出方程，并化为一般式. 解：设需要剪去的小正方形边长为x cm,则纸盒底面的长方形的长为(19 -2x)cm ,宽为(15 - 2x)cm. 依题意得： (19 - 2x) (15 - 2x) = 81. x2 - 17x + 51 = 0 (一般式). x cm x cm 高阶目标：3. 侵权必究 名校课堂 (2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程. 解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x 整理，得 根据题意有， 高阶目标：3. 侵权必究 名校课堂 $