高二数学上学期第一次月考02（苏教版，范围：选择性必修第一册第1章～第2章，举一反三）

**基本信息** 苏教版高二数学月考卷聚焦选择性必修第一册直线与圆内容，整合多地区期末真题，通过基础巩固（如单选1-3）、能力提升（多选11阿波罗尼斯圆）、创新应用（解答19面积最值与定点证明）的梯度设计，培养数学抽象、几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线斜率、圆的方程|基础概念辨析，如第3题圆的一般方程化标准方程| |多选|3/18|直线与圆位置关系|多维度探究，如第11题结合阿波罗尼斯圆考查轨迹与切线| |填空|3/15|直线垂直、距离问题|情境化应用，如第14题圆上点到直线距离的参数求解| |解答|5/77|对称、公共弦、面积最值|综合能力考查，如第19题结合几何直观与逻辑推理求四边形面积最大值及定点证明|

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷02 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线.若 ，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】根据直线一般式的平行关系列式求解即可. 【解答过程】因为已知直线，且 ， 所以，解得， 当时，的方程为，即，此时满足 . 故选：B. 2．（5分）（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，结合图象应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【解答过程】直线倾斜角为，当时，其斜率，函数的图象如图， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角，则， 所以． 故选：C. 3．（5分）（25-26高二上·浙江宁波·期末）若圆的一般方程为，则圆的圆心和半径分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【解题思路】将圆的一般方程化为标准方程求解即可. 【解答过程】将圆的一般方程，化为标准方程得到， 所以圆的圆心为，半径为. 故选：A. 4．（5分）（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】联立方程可得经过的点，由垂直可得直线的斜率，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可． 【解答过程】直线经过两条直线和的交点， 由， 可得交点为， 直线与直线垂直， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即． 故选:B． 5．（5分）（25-26高二上·广东·期末）若圆与圆有且仅有三条公切线，m的值为（     ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】B 【解题思路】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解. 【解答过程】圆的圆心，半径， 圆化简得，则，即， 则圆的圆心为，半径， 又圆与圆有且仅有三条公切线，故两圆外切， 则，即，解得. 故选：B. 6．（5分）（25-26高二上·海南·期末）一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设 ，根据题意，易判断点 在轴的同一侧，所以 ，则点 关于 轴的对称点为 ，根据对称及两点间的距离公式可求得的值，从而求得反射光线所在直线的方程. 【解答过程】设 ，根据题意，点在轴的同一侧， 所以 ，点关于轴的对称点为 . 因为光线经过的路程为 10，如图，即 ，解得 .    反射光线所在的直线即直线 ，由 ， 得直线 的斜率为， 所以其方程为，即 . 故选：D. 7．（5分）（25-26高二上·广东韶关·期末）若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合题意对条件合理转化，并作出符合题意的图形，再利用直线和半圆的位置关系求解参数范围即可. 【解答过程】由题意得，直线可化为， 可得直线过定点，将曲线化为， 则曲线表示以原点为圆心，半径为2，且位于轴上方的半圆， 如图所示，当直线过点时， 直线与曲线有两个不同的交点，此时， 当直线过点且与半圆相切于点时， 若直线与曲线只有一个交点，由，解得，即， 若曲线与直线有两个交点，结合图形可得， 则实数的取值范围是. 故选：D. 8．（5分）（25-26高二上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解题思路】结合题设条件将所求式理解为直线上的点到轴的距离与到的距离之和．通过点关于直线对称，由三点共线时可得其最小值. 【解答过程】如图： 作点关于直线的对称点，则． 设，则有，解得，所以． 已知点，则， 而，所以点到轴的距离为， 所以可理解为直线上的点到轴的距离与到的距离之和． 过作轴，由图知 ，当且仅当，，三点共线时，和有最小值． 因直线与轴交于点，此时轴，且， 由图知，当点移动到点时，取得最小值为4． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·河北沧州·期末）已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【解题思路】对于A，由题意得，若直线过定点，则有，，即可求得直线所过的定点，对于B，由题意得的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，对于C，由可得两直线斜率之积为，对于D，由可得两直线斜率相等. 【解答过程】对于A，由题意得，即， 若直线过定点，则有，解得，定点为，故A正确； 对于B，直线的斜率为，对于任意的，直线的斜率都存在，故B正确； 对于C，因为，所以有，解得或，故C错误； 对于D，因为，所以，解得，故D错误. 故选：AB. 10．（6分）（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知圆，圆则（    ） A．当时，圆与内含 B．圆关于直线对称的圆的方程为 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．若圆与相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】BD 【解题思路】过圆心距判断两圆位置关系分析A；利用点的对称变换求圆的对称方程分析B；根据公切线条数对应的位置关系求解分析C；结合圆的弦长性质与直线过圆心条件求，验证相交关系分析D. 【解答过程】由题意得：圆，所以圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 对于A，当时，，所以圆与圆外离，故A错误； 对于B，圆心关于直线的对称点为，半径保持不变，所以对称的圆的方程为，故B正确； 对于C，若圆与圆恰有三条公切线，所以圆与圆外切，所以，解得，故C错误； 对于D，由圆，圆， 两方程相减得公共弦所在直线方程为， 当公共弦长最大时，公共弦为圆的直径（长度为2）， 所以直线过圆心，所以，解得， 所以，所以， 所以两圆相交，公共弦存在，故公共弦长的最大值为2，故D正确. 故选：BD. 11．（6分）（25-26高二上·云南昆明·期中）阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（    ） A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 【答案】AD 【解题思路】设，由点满足，求得曲线的轨迹方程为，结合圆的性质，直线与圆的位置关系和圆的切线长公式，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，设，因为，且点满足， 可得，即， 可得， 整理得，即曲线的方程为，所以A正确； 对于B，由曲线的方程为，可得其圆心，半径为， 设过点的直线的斜率为，则其直线方程为，即， 若直线与圆有公共点，则满足圆心到直线的距离小于等于半径，即， 可得，解得，即直线的斜率范围是，所以B错误； 对于C，由圆心到直线的距离为， 则曲线上的点到直线的最小距离为，所以C不正确； 对于D，由圆心到点的距离为， 根据圆的切线长公式，可得切线长为，所以D正确. 故选：AD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·上海·期末）若直线：与直线：互相垂直，则___________． 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用两条直线互相垂直列式求解. 【解答过程】由直线：与直线：互相垂直，得， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，，直线．若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】首先求出直线恒过定点，表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围. 【解答过程】因为直线，所以 令，解得，故直线恒过点，直线的斜率为,    则， 依题意直线与线段有公共点，由图可知或，即 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·广东江门·期末）已知圆：，直线：，，圆上恰有3个点到直线的距离为，则直线的方程为___________. 【答案】或 【解题思路】根据两直线垂直设直线的方程为，由题意得圆心到直线的距离，解得或，即得答案. 【解答过程】因直线：，，则直线的方程可设为， 由圆：可知圆心为，半径为. 要使圆上恰有3个点到直线的距离为， 需使圆心到直线的距离， 解得或，故直线的方程为或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·贵州贵阳·期中）求下列直线的方程. (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设出平行直线的方程，代入点来求得正确答案. （2）通过中点和斜率求得线段的垂直平分线的方程. 【解答过程】（1）设过点且与直线平行的直线方程为， 将代入，解得， 所以过点且与直线平行的直线方程为. （2）线段的中点为，斜率为， 则线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 即. 16．（15分）（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知圆（，）过原点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长. 【答案】(1) (2)相交， 【解题思路】（1）利用圆过原点，以及直线与圆相切，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆的方程； （2）利用圆与圆的位置关系可判断出圆与圆相交，将两圆方程作差，可得出相交弦方程，再利用勾股定理可求出相交弦所在直线截圆所得弦长即可. 【解答过程】（1）圆过原点，，① 圆与直线相切，，② ①②联立，解得，，圆的方程为. （2）圆，圆心，半径. ， 圆与圆相交. 圆的方程与圆的方程相减，得公共弦所在直线方程为， 圆的圆心到公共弦所在直线的距离， 公共弦的长为. 17．（15分）（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线（为任意实数），直线． (1)若，求直线关于直线的对称的直线方程； (2)求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）在时，先联立直线与的方程，求得交点，在直线上取点，求出该点关于直线的对称点坐标，利用点斜式求出直线的方程即可； （2）先由直线的方程推出其经过定点，对于直线外的一点，可知当时，点到直线的距离最大，利用两点间距离公式计算即得. 【解答过程】（1）当时，， 由，解得：，即直线与直线的交点为, 在直线上取点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 依题意，所求直线经过两点和， 故其方程为，即. （2）将直线的方程整理成， 因，则由，可得，即直线经过定点, 则点到直线的最大距离为，此时， . 18．（17分）（25-26高二上·福建泉州·期中）已知直线 . (1)证明：直线恒过定点，并求该点坐标. (2)若直线与轴的交点的横坐标与其在轴上的截距相等，求的值； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析， (2)或 (3)的最小值为16，此时直线的方程为 【解题思路】（1）将直线方程化为的形式，从而确定定点； （2）先分别求出直线与轴交点的横坐标和在轴上的截距，再根据二者相等列方程求解的值； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，最后根据面积取最小值时的值确定直线l的方程． 【解答过程】（1）直线l的方程可化为， 所以直线l恒过定点. （2）当时，直线的方程为，与轴无交点，不符合题意； 当时，直线的方程为， 令，则， 令，则， 由题意得，即， 即，解得或，经检验，均成立. 所以的值为或. （3）由题意可知，由（2）知，， 故， 当且仅当，即时，取等号， 故的最小值为16，此时直线的方程为. 19．（17分）（25-26高二上·河北·阶段检测）平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的非负半轴上，直线与圆相切. (1)求圆的方程； (2)设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点，设、是圆与轴的两个交点（在的上方）. ①求四边形面积的最大值； ②证明：直线与的交点在定直线上. 【答案】(1)； (2)①； ②证明见解析 【解题思路】（1）设圆心，使其到直线的距离等于半径，即可得解； （2）设出直线，与圆联立，可得， ①由图可知，，再结合韦达定理，利用换元法与函数单调性，即可求得面积的最大值； ②写出直线与的方程，联立消去得，再结合非对称韦达定理的应用，即可求出定直线. 【解答过程】（1）设圆心为，，则圆的方程为， 圆心到直线的距离，解得或（舍去）， 所以圆的方程为. （2）由（1）可知，，设的方程为，，， 联立，消去并整理得， 则，， ①四边形的面积 ， 令，则，所以， 易知函数在单调递增，所以当（即时），取到最小值，此时面积取到最大值，故. ②证明：直线的方程为，直线的方程为， 消去得：， 由韦达定理可知，将此式代入上式得，， 即，解得， 即直线与的交点在定直线上. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷02 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第一册第1章~第2章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线.若 ，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．3 2．（5分）（25-26高二上·四川南充·期中）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高二上·浙江宁波·期末）若圆的一般方程为，则圆的圆心和半径分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 4．（5分）（25-26高二上·安徽滁州·阶段检测）直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，则的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·广东·期末）若圆与圆有且仅有三条公切线，m的值为（     ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 6．（5分）（25-26高二上·海南·期末）一条光线从轴上的点发出，经轴反射，反射光线经过点 ，若该过程中光线从点到点经过的路程为 10，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·广东韶关·期末）若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，记平面内一动点（），若点在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·河北沧州·期末）已知直线，直线，下列结论正确的是（    ） A．直线恒过点 B．对于任意的，直线的斜率都存在 C．若，则 D．若，则 10．（6分）（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知圆，圆则（    ） A．当时，圆与内含 B．圆关于直线对称的圆的方程为 C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．若圆与相交，则公共弦长的最大值为2 11．（6分）（25-26高二上·云南昆明·期中）阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（    ） A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·上海·期末）若直线：与直线：互相垂直，则___________． 13．（5分）（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知点，，直线．若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是___________． 14．（5分）（25-26高二上·广东江门·期末）已知圆：，直线：，，圆上恰有3个点到直线的距离为，则直线的方程为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·贵州贵阳·期中）求下列直线的方程. (1)过点且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程. 16．（15分）（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知圆（，）过原点，且与直线相切. (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆是否相交，若相交，请求出公共弦的长. 17．（15分）（25-26高二上·江苏常州·阶段检测）已知直线（为任意实数），直线． (1)若，求直线关于直线的对称的直线方程； (2)求点到直线的距离的最大值． 18．（17分）（25-26高二上·福建泉州·期中）已知直线 . (1)证明：直线恒过定点，并求该点坐标. (2)若直线与轴的交点的横坐标与其在轴上的截距相等，求的值； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为，求的最小值及此时直线的方程. 19．（17分）（25-26高二上·河北·阶段检测）平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的非负半轴上，直线与圆相切. (1)求圆的方程； (2)设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点，设、是圆与轴的两个交点（在的上方）. ①求四边形面积的最大值； ②证明：直线与的交点在定直线上. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $