2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第3课时：二次不等式与函数、方程的关系、二次不等式恒成立问题） 同步练习题- 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版必修第一册2.3第3课时同步练，以“例题引领-基础夯实”分层设计，通过二次不等式解集分析、恒成立问题的进阶训练，培养数学抽象能力与逻辑推理，落实“概念-运算-应用”巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|二次不等式与函数方程关系、恒成立问题|含参数综合题（如例1求k,m值、例2恒成立探索），培养数学思维的严谨性| |基础夯实|解集与方程根关系、参数取值范围、简单恒成立|单选（解集与根关系判断）、填空（恒成立参数范围）、解答题（不等式求解与参数讨论），夯实概念理解与运算能力|

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第3课时：二次不等式与函数、方程的关系、二次不等式恒成立问题） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由的解集为，得到的根为或，利用根与系数的关系求解即可； （2）由不等式的解集为，按照和两种情况讨论求解.当时，由不等式的解集为， 得到，计算得解. 【详解】（1）的解集为， 的根为或，且， ，， （2）不等式的解集为， 当时，不等式转化为，满足题意； 当时，不等式的解集为， ，解得， 综上可知实数k的取值范围为. 【例2】已知. (1)如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由如下： 若对任意，恒成立，则满足题意的函数的图象如图所示，    由图象可知，此时应该满足，则， 不等式组无解， 不存在实数满足：对任意，恒成立. 【分析】（1）由二次函数对应方程的可求得结果； （2）根据二次函数图象分析可构造不等式组，由不等式组无解可确定不存在满足条件的. 【详解】（1）由题意知：只有当二次函数与直角坐标系中的轴无交点时，才能满足题意； 其相应方程此时应满足，解得：， 实数的取值范围为. （2）略 【基础夯实】 一、单选题 1．已知关于x的一元二次不等式的解集为，且一元二次方程的两根为和，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先确定一元二次不等式的解集，得到，再利用对应系数相等得到，，最后结合韦达定理得到，进而求出的值即可. 【详解】令，解得或， 而二次函数的二次项系数为正数， 因此不等式的解集为，可得，， 由韦达定理得，解得， 综上可得，故B正确. 故选：B. 2．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】由已知不等式的解集，求出，再得出新不等式，求解即可. 【详解】依题意，是方程的两个实根，且， 于是，且，解得. 不等式化为，解得， 故解集为. 故选：A 3．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 4．若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【答案】D 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 5．若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，借助韦达定理列出不等式求解即得. 【详解】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 6．已知不等式的解集为或，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据方程的根与不等式的解集之间的关系求解即可. 【详解】易知是方程的根， 即，所以, 当时，不等式为，即,其解集为或. 故实数的值为1. 7．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】由关于的不等式有解， 得，解得， 所以实数的最大值为2． 8．关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析不等式恒成立需满足的条件，再计算求解． 【详解】不等式对恒成立，需满足对应函数开口向上，且判别式小于零： 开口向上，满足条件； ，解得， 的取值范围是，故A正确． 故选：A． 二、多选题 9．关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A．且 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】由一元二次方程根与系数的关系逐项判断可得. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，则， 对于A，所以且，故A正确； 对于B，不等式， 又，可得，所以或，故B错误； 对于C，， 故C错误； 对于D，不等式，故D正确； 故选：AD. 10．若“，”是假命题，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】由题意得“，”是真命题，列不等式可得，进而可求解. 【详解】依题意得，“，”是真命题， 所以，解得， 所以AD不符合题意，BC符合题意. 故选：BC 11．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 【答案】ACD 【分析】直接根据开口方向与判别式解不等式即可. 【详解】依题意可得且，解得， 所以ACD符合题意. 故选：ACD 三、填空题 12．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____ 【答案】 【分析】利用二次函数的性质即可求解. 【详解】记，则在上恒成立 故且，解得， 故答案为： 13．若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先由不等式的解集可得，进而可将所求不等式化为，从而可得不等式解集. 【详解】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. 14．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则 ，解得， 综上可得. 四、解答题 15．已知关于的不等式的解集是． (1)解不等式； (2)为何值时，的解集为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三个二次关系待定系数计算参数，再解一元二次不等式即可； （2）利用二次函数的图象与性质计算判别式即可. 【详解】（1）由题意知3和2是方程的两根， ，解得， 不等式 即为，解得． 所求不等式的解集为． （2）由上可知，即为， 即， 若此不等式的解集为， 则 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第3课时：二次不等式与函数、方程的关系、二次不等式恒成立问题） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高一数学人教A版必修第一册 【例题精练】 【例1】已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 【例2】已知. (1)如果对一切，恒成立，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知关于x的一元二次不等式的解集为，且一元二次方程的两根为和，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 2．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 3．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 4．若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 5．若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知不等式的解集为或，则实数的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．若关于的不等式有解，则实数的最大值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 8．关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A．且 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 10．若“，”是假命题，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 11．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 三、填空题 12．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为_____ 13．若不等式解集为，则不等式的解集为______． 14．若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 四、解答题 15．已知关于的不等式的解集是． (1)解不等式； (2)为何值时，的解集为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $