1.4.2.2用空间向量研究夹角问题课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦用空间向量研究异面直线所成角、直线与平面所成角及平面与平面夹角问题，通过复习空间距离公式，对比几何方法难度，自然引出向量方法，构建距离与夹角的知识学习支架。 其亮点在于以“思考”驱动探究，结合例7基底法与坐标法对比、例8面面角求解等实例，通过“化为向量问题—向量运算—回到图形问题”步骤总结，培养直观想象与数学运算核心素养。学生能掌握向量解决几何问题的框架，教师可借助清晰结构与典型例题提升教学效率。

讲课人： 日期： 1.4.2.2用空间向量研究夹角问题 学习目标 学习目标 核心素养 1.掌握空间向量方法解决异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角问题. 直观想象 2.能描述用向量方法解决夹角问题的过程，体会向量方法在研究几何夹角问题中的作用. 数学运算 复习回顾 1.空间两点之间的距离 2. 点到直线的距离 3. 点到平面的距离 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量. 下面我们用向量方法研究直线与直线所成角、直线与平面所成角及平面与平面所成角. 求夹角问题 几何方法 难度大、要求高 用空间向量解决夹角问题 本节内容 探索新知 思考：两条直线（异面直线）的夹角 θ 与它们方向向量的夹角有什么关系？ 两条直线（异面直线）所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角. 角的范围差异： 两条直线所成角：[0°，90°] 异面直线所成角：(0°，90°] 两向量夹角：[0°，180°] 两条直线（异面直线）的夹角 θ 的余弦值等于它们方向向量的夹角余弦值的绝对值 探索新知 例7 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M, N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. 1.化为向量问题 A C D B M N 2.进行向量运算 3.回到图形问题 探索新知 例7 如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形) ABCD中，M, N分别为BC, AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. 2.坐标法 取中点，过作⊥平面， 以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，，，M（，，0） D（0，，0），A（，0），N（） ∙= =（） 探索新知 思考：如何将例题求解异面直线AM 与CN 夹角问题的方法应用到一般情况呢？ 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得. 也就是说，若异面直线l1, l2所成的角为θ，其方向向量分别是 则 探索新知 1、 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1= 2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　) D 探索新知 思考：如何用向量方法求直线l 与平面 BCD 所成的角？ 设直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量 ，平面α的法向量为 ，则: 探索新知 1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为(　　) C 探索新知 如图，平面 α 与平面 β 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面 α 与平面 β 的夹角． 两个平面的夹角与二面角的平面角有什么区别？ 区别：二面角的范围是 [0，π]，而两个平面的夹角的范围是 ． 思考：图中有几个二面角？两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系？ 探索新知 思考：如何用向量方法求平面 α 与平面 β 所成的角？ 设平面α, β的法向量分别是 和 ，则平面α与平面β的夹角即为向量 和 的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则 典例分析 例8如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，， ．求平面与平面夹角的余弦值. 探索新知 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 ①转化为求平面，的法向量，的夹角 ③平面与平面夹角的余弦值 思考：你能用自己的语言总结一下求空间向量求平面与平面的夹角的步骤与方法吗？ 课堂小结 1、直线与直线所成的角 2、直线与平面所成的角 3、平面与平面的夹角 课堂检测 C 课堂检测 C 课堂检测 3.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值. (P38练习3) x y z O A C B A1 C1 B1 课堂检测 3.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，求平面AA1B与平面A1BC1夹角的余弦值. (P38练习3) x y z O A C B A1 C1 B1 课后作业 课本第38页课后习题（15分钟） 分层作业基础练（20分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： A.　　　　　 B. C. D. A. B. C. D. 2.已知在空间直角坐标系(O为原点)中，点关于x轴的对称点为点B，则z轴与平面OAB所成的线面角为( ) A. B. C. D. 解析：因为点关于x轴的对称点为，所以，.设平面OAB的法向量为，则即取，得，，所以是平面OAB的一个法向量.又z轴的一个方向向量.设z轴与平面OAB所成的线面角为，则，所以.故选C. $