29.2.2圆心角（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 围绕圆心角主题，按概念辨析、关系应用、证明推理、圆弧计算分层，梯度合理，覆盖从基础到综合的巩固路径，适配新授课教学，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|圆心角概念及基本运算|以图形辨析题为主，如判断圆心角、简单弦长计算，夯实概念理解| |提升层|弧、弦、圆心角关系应用|结合实际情境，如量角器、司南模型，强化知识迁移能力| |综合层|逻辑推理与证明|通过证明题（如证弦相等、四边形为正方形），发展推理意识与逻辑思维|

29.2.2圆心角（原卷版） 目 录 类型一、圆心角概念辨析和运算 1 类型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 6 类型三、利用弧、弦、圆心角的关系求证 11 类型四、求圆弧的度数 14 类型一、圆心角概念辨析和运算 1．如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 3．如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 4．图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 6．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 7．如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 9．下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 10．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 11．图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   13．下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 14．如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 15．如图，在中，，，则______． 16．在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为______度． 17．小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 18．把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 19．如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是________． 20．在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 21．已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为____________． 22．如图，是的外接圆，，，则的直径为__________． 23．已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则=_______．    24．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 25．如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 类型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 26．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 27．如图，圆内接的外角的平分线与圆交于点D，，垂足为P，，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 29．如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 30．如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 31．如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 32．如图，是的半径，分别以点A、点O为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接是上不与点重合的点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 33．如图，在中，直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 34．如图，为的直径，点C，D在上，点为劣弧的中点，连接，，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 35．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 36．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 37．如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 38．如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，下列不能判断四边形是菱形的是（    ） A．点是的中点， B．， C．， D．，点是的中点 39．如图所示，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 40．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点P是直径上一个动点，的半径为1，则的最小值为________． 41．如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 42．如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 43．如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角和为，，则的面积为_____． 44．如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 45．如图，是半圆的直径，点C、D是半圆上的两点，，且，则的度数为_____°． 46．如图，内接于，，若，，则的半径是______． 47．问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． (1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． (2)拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． 48．如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 49．如图，是直径，，．求的大小． 50．如图，在中，，连接并延长，与过点的切线相交于点．已知，求和的度数． 类型三、利用弧、弦、圆心角的关系求证 51．如图，在中，，．求证：． 52．如图所示，的两条弦，互相垂直且相交于点P，，，垂足分别为E，F，．求证：四边形是正方形． 53．如图，的弦与半径，相交于点，，，求证：． 54．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 55．如图，圆中两条弦相交于点E，且．求证：． 56．如图，是的直径，点在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图形中，连接，求证：． 57．如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 58．如图，是的直径，点C在上，D为的中点，过点D作的切线，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若的半径为3，，求的长． 59．如图，射线交一圆于点，射线交该圆于点，且． (1)求证： (2)利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法）求证：平分 60．如图，点在以为直径的半上，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，，求证：四边形是菱形． 类型四、求圆弧的度数 61．如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 62．如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 63．如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 64．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 65．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 66．如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 67．已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 68．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 69．如图，由圆盘和挂绳，组成挂饰，，分别与相切于点，．若，则的度数为_____． 70．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为______°． 71．如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________． 72．如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为_______． 73．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是__________． 74．弦把分成，连接、，过的中点A作，交于B，求的度数． 75．如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 76．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 77．如图，在中，以为直径的交于点D．若，，求劣弧的长．（结果保留） 78．已知：如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交，于点D，E． (1)求证：． (2)若，求弧的度数及长度． 1．如图，是的直径，点C、D、E、F在上，且点C、D和点E、F分别是半圆的三等分点，点P、Q在上，连接，若的半径为3，则图中阴影部分图形的面积和为（    ） A． B． C． D． 2．将半径为的如图折叠，折痕长为，为折叠后的中点，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 3．如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，内两弦、交于点，平分，下列结论中：①；②；③；正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． 7．如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______． 8．“莱洛三角形”是机械学家莱洛发现的一种曲边三角形，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．如图，等边的边长为6，那么此“莱洛三角形”的周长是____________． 9．如图，矩形中，，以点为圆心，长为半径的圆弧与以为直径的半圆相交于点，若的度数为，则直径长为______． 10．如图，是半圆的直径，是半圆弧的中点，和均内接于半圆，分别连结、交于点、．若是的中点，给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 11．某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了、、三点的位置，．已知点在劣弧上，且 (1)尺规作图：请在上确定点的位置，并连接、； (2)已知，求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 12．阅读与思考 下面是小函同学设计的一种“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．请认真阅读材料内容，并完成相应的任务． 过直线外一点作已知直线的平行线已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线，使得．          作法：如图2，①在直线上取一点，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，交直线于点和点； ②连接，以点为圆心，的长为半径在直线上方画弧交于点； ③作直线，则直线为所求． 证明：如图2，连接， 在中，由作图可知， ∴（依据）， ∴， ∵， …… 任务： (1)材料中的依据是指______________________________________． (2)补全阅读材料中的证明过程． (3)请使用不同于材料中的作法，利用直尺和圆规在图3中作直线，使．（保留作图痕迹，不写作法） 1．已知点 ， 在 上，，点在上，点在以 ， 为端点的优弧上． (1)如图①，当为的中点时，若，求和的大小； (2)如图②，当时，过点作的切线，且，与相交于点，若 的半径为 ，求和的长． 2．阅读与思考 阅读材料，并完成相应的任务． 利用尺规作正五边形1．作． 2．作直径． 3．过点C作的垂线交于点． 4．取的中点． 5．以点为圆心，以为半径作弧交于点． 6．以点为圆心，以为半径作弧交于点． 7．在上依次截取等于的弦，就可以作出圆内接正五边形． 任务： (1)在阅读该材料的过程中，君君发现点是线段的黄金分割点，请你说明理由； (2)如图，君君利用材料中的方法作出了的内接正五边形，并作出其五条对角线，得到一个五角星．他发现这五条对角线所围成的五边形仍然是一个正五边形． ①的度数为___________； ②求证：． (3)君君发现该正五边形对角线的交点分别是其所在对角线的黄金分割点． ①若正五边形的边长为2，则五角星的边的长为___________； ②由题中条件，可得的值为___________． 3．【教材再现】 工人师傅常用角尺平分一个任意角．如图，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合．过角尺顶点C的射线便是的平分线． 【模型建立】 (1)如图1，从平分做法中抽象出几何图形．，．求证：． 【模型应用】 (2)如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 (3)如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.2圆心角（解析版） 目 录 类型一、圆心角概念辨析和运算 1 类型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 14 类型三、利用弧、弦、圆心角的关系求证 34 类型四、求圆弧的度数 44 类型一、圆心角概念辨析和运算 1．如图，下列各角是圆心角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是圆心角，不符合题意； B、不是圆心角，不符合题意； C、是圆心角，符合题意； D、不是圆心角，不符合题意． 2．如图，在半径为4的中，圆心角，则弦的长为（     ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据，的半径为4，可得，是直角三角形，再根据勾股定理即可计算出弦的长． 【详解】解：∵ ，的半径为4， ∴，是直角三角形， ∴， ∴弦的长为． 3．如图，手机在处理任务时，常以圆形进度条显示任务完成的百分比．当任务完成时，线段的长度记为，当时，甲认为对应线段的长度满足，乙认为满足，则下列说法正确的是（     ） A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【分析】根据圆的性质，分析弦长随进度的变化规律，分和两种情况讨论即可判断甲、乙观点的正误 ． 【详解】解：设圆的半径为，线段为圆的一条弦， 当时，进度越大，圆心角越大，弦长越长， 此时若，则，甲的观点在此范围内成立； 当时，进度越大，弦所对的劣弧圆心角越小，弦长越短， 此时若，则，乙的观点在此范围内成立； 例如取，此时，但，甲、乙的观点均不成立； 则甲、乙的结果合在一起也不正确． 4．图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 5．如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 6．一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 7．如图所示，为的弦，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的半径相等（等腰三角形的判定）是解题的关键． 先根据圆的半径相等得出等腰三角形，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算的度数． 【详解】解：∵、是的半径， ∴， ∴（等腰三角形两底角相等）， ∵在中，， ∴， 故选：． 8．如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．下图中的是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角. 根据圆心角的概念判断即可. 【详解】解：A、顶点C不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点C在圆心，符合圆心角的概念，符合题意； C、顶点C在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点C在圆外，不符合圆心角的概念，不符合题意； 故选：B ． 10．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 11．图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．为的直径，其延长线与弦的延长线交于点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边对等角，熟练掌握圆的基本概念是解题的关键．利用等边对等角得到，由得到，利用三角形的外角的性质得到，结合即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ，即． 故选：B． 12．下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．根据圆周角和圆心角的定义解答即可． 【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； B．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意； C．图中图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意； D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意； 故选：B． 13．下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选：B． 14．如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角． 【详解】解：图D中是圆心角． 故选：D． 15．如图，在中，，，则______． 【答案】 【分析】利用同圆中相等的弧对应的圆心角相等的性质，直接建立两个已知角的等量关系求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ， 即． 16．在半径为2的中，弦的长为2，则弦所对的圆心角的度数为______度． 【答案】60 【分析】画出图形，连接、，可证得是等边三角形，由此得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 17．小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了周角的定义，等分图形的角度计算方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题目中明确青铜太阳轮的正面图形是将圆五等分，因此要求的角就是把周角平均分成份后每份的角度，即可得出的度数为． 【详解】解：由题意得正面图形是将圆五等分， ． 故答案为：． 18．把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 【答案】/144度 【分析】该题考查了圆心角，解一元一次方程，扇形面积比等于圆心角比，设比例系数为，根据圆心角和为列方程求解． 【详解】解：∵各个扇形面积的比为， 设四个扇形的圆心角分别为，，，， 则， 解得：， 最大圆心角为． 故答案为：． 19．如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由，可得，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 即弦所对的圆心角的度数是， 故答案为：． 20．在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 21．已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为____________． 【答案】/60度 【分析】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质， 连接、，证明为等边三角形得到即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 22．如图，是的外接圆，，，则的直径为__________． 【答案】 【分析】连接，，依据是等腰直角三角形，即可得到，进而得出的直径为． 【详解】如图，连接 ， ， 是等腰直角三角形， 又， ∴， ∴的直径为， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 23．已知，有一量角器如图摆放，中心O在边上，为刻度线，为刻度线，角的另一边与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为，，则=_______．    【答案】 【分析】利用点C，D对应的刻度分别为，，求出，，再根据求出，利用外角的性质得到，从而得解． 【详解】解：如图，连接，，    根据题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边对等角，三角形外角的定义与性质，圆心角等知识，根据刻度找出相应的圆心角并计算其他角度是解题的关键． 24．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 解：； ∵，，， ∴ (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 25．如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到． 【详解】解：连接，如图， ∵弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵弦， ∴． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 类型二、利用弧、弦、圆心角的关系求解 26．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 27．如图，圆内接的外角的平分线与圆交于点D，，垂足为P，，垂足为H，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】通过角平分线性质定理证明，即可判断①；然后连接，证明，即可判断②③． 【详解】解：∵平分，， ∴ ∵ ∴ ∴，故①正确； 连接， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴，故②、③正确； 现有条件不足以判断④，故④错误， ∴正确的有3个． 28．如图，点A、B、C、D在上，，点B是的中点，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据弧，弦，圆心角的关系，易得，再根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 点B是的中点， ， ， ， ， ． 29．如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 30．如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先作于，作于，利用“等弦对等弦心距”得出 ，进而判定 平分 并求出 的度数，随后在四边形 中利用内角和算出 ，最后通过证明 实现角度转化，从而求得 的度数． 【详解】如图，作于，作于， 平分 在与中 31．如图，四边形内接于，连接，已知，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆内接四边形对角互补结合已知角度关系求出的度数，再根据等弧对等弦判定为等腰三角形，最后计算得到的度数． 【详解】∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 32．如图，是的半径，分别以点A、点O为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接是上不与点重合的点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，证明为等边三角形，可得，根据弧、圆心角的关系求出，再由圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接， 作图知垂直平分， ∴，弧弧， 为等边三角形， ， 弧弧， ， ． 33．如图，在中，直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，三角形的内角和定理．试题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用和利用弧、弦、圆心角的关系求解．根据垂径定理得到，再根据圆周角定理，利用弧与圆心角的关系和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 34．如图，为的直径，点C，D在上，点为劣弧的中点，连接，，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理求出，再根据“同弧（等弧）所对的圆心角相等”得出，然后根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 35．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先得到，然后求出的度数，再由圆周角定理求出，最后根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设圆锥的底面圆的半径为，则， 解得． 36．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 37．如图，为的直径，点C，D是上位于异侧的两点，分别连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴． 38．如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，下列不能判断四边形是菱形的是（    ） A．点是的中点， B．， C．， D．，点是的中点 【答案】D 【分析】A选项由已知可证明和是等边三角形，则，即可得出结论；B选项先由两组对边平行得四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；C选项可证明四边形的对角线互相垂直平分，即可得出结论；D选项两个条件得出的结论是一样的，不能证明四边形是菱形． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴和是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， 故A选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 故B选项不符合题意； C、∵，， ∴， 又∵， ∴垂直平分， 又∵，， ∴垂直平分， ∴四边形是菱形， 故C选项不符合题意； D、∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 两个条件得到的结论是一样的，不能证明四边形是菱形， 故D选项符合题意． 39．如图所示，是的直径，点，在上，，与交于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，根据可得，根据邻补角互补、“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”以及已知条件可得，最后根据三角形外角的定义和性质求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 40．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点是的中点，点P是直径上一个动点，的半径为1，则的最小值为________． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，，则，，求出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，交于点，连接，，， 点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ，． 点是的中点， ， ． 又， ． 当点，，在一条直线上时，此时最小，为的值，即最小值是． 41．如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 42．如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，，求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵点是劣弧中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 43．如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角和为，，则的面积为_____． 【答案】12 【分析】延长交于点，连接，可得，那么，故，然后结合勾股定理以及完全平方公式求解即可． 【详解】解：延长交于点，连接， 则是直径，， ∴， ∴ 由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 44．如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【答案】 80 【详解】解：， . ， ． 45．如图，是半圆的直径，点C、D是半圆上的两点，，且，则的度数为_____°． 【答案】20 【分析】先求得，根据四边形是半圆的内接四边形，可以求得 ，根据直角三角形的两个锐角互余求解即可． 【详解】解：，， ， ， 由四边形是半圆的内接四边形， ， 是半圆的直径， ， ； 46．如图，内接于，，若，，则的半径是______． 【答案】 【分析】过点作交于点，交于点，连接，，由垂径定理可得的长，，结合已知可得，从而可得的长，在中，由勾股定理可得的长，设的半径为，在中，由勾股定理列方程求解即可得解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，连接，， ，， ， ， ， ， 在中，， 设的半径为，则， ， 在中，， ， 解得， 即的半径为． 47．问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周． (1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据：____________________________________________________________． (2)拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． 【答案】(1)①作的任意直径，如图： ②过点作的垂线，与相交于，两点，四等分圆周如图所示： 依据：，得到的圆心角，在中，相等的圆心角所对的弧相等，所以得到四段相等的圆弧，故点，，，将四等分． (2)圆周八等分如图所示： 【分析】（1）①过点O作的任意直径；②过点作的垂线，与相交于，两点，此时，得到的圆心角， 根据相等的圆心角所对的弧相等，即可证明四等分． （2）根据（1）的解题思路，相等的圆心角所对的弧相等，所以只需要分别作第一问中四个圆心角的角平分线，形成八个相等的圆心角，得到八段相等的圆弧，即可使圆八等分．具体作法：分别以点B，D为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点M，连接，交于点F，同理，分别以点A，D为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点N，连接，交于点H，再分别以点B，C为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点Q，连接，交于点G，最后分别以点A，C为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点P，连接，交于点E，此时，八个圆心角大小相等，得到八段相等的圆弧，即完成八等分． 【详解】（1）略． （2）略． 48．如图，中，，是边上一点，以为半径作，分别与，交于，两点，与相切于点，连接，． (1)求证：； (2)试用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； (2)， 证明：如图，连接，过点作于点， ∴ 由（1）可得 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴，即 【分析】（1）根据切线的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，则，根据得出，等量代换可得，即可得出； （2）连接，过点作于点，证明得出，进而证明，得出，根据线段的和差关系，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 49．如图，是直径，，．求的大小． 【答案】 【分析】根据等弧所对的圆心角相等可得，再根据平角的定义求解即可． 【详解】解：，， ， 是直径， ． 50．如图，在中，，连接并延长，与过点的切线相交于点．已知，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得，证明是等边三角形，可得，如图，连接，根据切线的性质得，根据圆内接三角形的性质、全等三角形的性质及等边对等角得，，根据，最后由可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 如图，连接，， ∵与相切于点， ∴， 由题意知：内接于， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型三、利用弧、弦、圆心角的关系求证 51．如图，在中，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴． 【分析】根据弧、弦、圆心角之间的数量关系证明是等边三角形，再结合等边三角形性质即可证明． 【详解】略 52．如图所示，的两条弦，互相垂直且相交于点P，，，垂足分别为E，F，．求证：四边形是正方形． 【答案】证明：连接，如图 ，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， ，，垂足分别为，， ，， ， ，，， ， 四边形是正方形． 【分析】先由垂直条件证明四边形为矩形，再利用等弧对等弦及已知得出，再结合垂径定理以及勾股定理得到弦心距，最后根据“一组邻边相等的矩形是正方形”得证． 【详解】略 53．如图，的弦与半径，相交于点，，，求证：． 【答案】证明：过点作，交于点，交于点，如图， ∴，． ， ． 又， ， ∴． ． ， ． 【分析】过点作，交于点，交于点，由垂径定理得到，，然后由三线合一得到，推出，进而证明即可． 【详解】略 54．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． (2)10 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 55．如图，圆中两条弦相交于点E，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴． ∵， ∴ ∴． 【分析】根据已知求得，可得，再通过证明即可得． 【详解】略 56．如图，是的直径，点在上． (1)请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作图形中，连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】1）作交于点，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出，进而得出，即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 57．如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：是的直径，于点， ， 是的中点， ， ，即， ； (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，由是的中点即可得，进而得，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）略； （2） 解：如图，连接， 由（1）可知， 设的半径为，则， ， ， 于点， ， 在中，，即， 解得， 的半径为． 58．如图，是的直径，点C在上，D为的中点，过点D作的切线，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)若的半径为3，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，交于点F， 是的切线， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）连接，交于点F，求出，，即可判断； （2）过点D作于点H，求出，，，最后求出，由为的中点即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：过点D作于点H， ∵在中，，， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ． 59．如图，射线交一圆于点，射线交该圆于点，且． (1)求证： (2)利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点（保留作图痕迹，不写作法）求证：平分 【答案】(1)证明：如图，作，于Q，连接，，， ∵， ∴， ， ∴， ， ， ， ， ． ， ， ，即； (2)解：作图如下： 证明：， ， ， 是的垂直平分线， ， ． 平分． 【分析】（1）作，于Q，连接，，，证，由，得后得证； （2）按照要求作出图形，根据得，由得得证． 【详解】（1）略 （2）略 60．如图，点在以为直径的半上，且． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】(1) 解：如图，作垂直平分线交于点，则即为所求； (2) 证明：如图，连接，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】（）作垂直平分线交于点，则即为所求； （）连接，，证明是等边三角形，则有，由作图可知，所以，故有，从而可证是等边三角形，得，然后通过菱形的判定方法即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 类型四、求圆弧的度数 61．如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理．连接、，如图，根据垂径定理得到，，再证明为等边三角形得到，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到的度数为，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：C． 62．如图，是半圆的直径，点在半圆上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理(直径所对的圆周角为直角，圆周角的度数等于所对弧度数的一半)，关键是利用直径的性质和圆周角与弧的度数关系求解． 【详解】解：如图，连接． ∵是半圆的直径， ∴． ∵， 在中，． ∴的度数为； 故选：C． 63．如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是（　　） A．48度 B．64度 C．96度 D．132度 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，正确应用圆周角定理及推论是解题的关键． 第24秒时，射线旋转的角度是，利用同弧所对的圆心角与圆周角的关系求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴A，B，C在以点O为圆心，为直径的圆上， ∴点E，A，B，C共圆， ∵射线从处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转， ∴， ∴． ∴点E在量角器上对应的读数是：． 故选：C． 64．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 65．如图，已知为的直径，点C为圆上的一点，且所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的，则所对的圆心角度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 由为的直径，得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵所对的圆心角度数是所对的圆心角度数的， ∴， ∴． ∴所对的圆心角度数为． 故选：C． 66．如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，作辅助线是解答本题的关键． 作D关于的对称点E，连接，则，然后再根据的度数为知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，即可解答． 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接，则, ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 67．已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了考查了圆的有关性质，等腰三角形的有关性质，平行线的性质，根据题意画图分情况分析即可，熟练掌握知识点的应是解题的关键． 【详解】如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 综上可知：的度数是或， 故选：． 68．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（    ）    A．30° B．25° C．20° D．10° 【答案】C 【分析】如图，连接OB，OD，AC，先求解，再求解，从而可得，再利用周角的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴的度数20°． 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键． 69．如图，由圆盘和挂绳，组成挂饰，，分别与相切于点，．若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】连接、，根据切线的性质可得，结合，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ，分别切于点，， ， ， ，即的度数为． 70．如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为______°． 【答案】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质（对角互补）与圆周角定理（圆周角与所对弧度数的关系）．解题关键是通过内接四边形性质找到关联的圆周角，再利用圆周角定理建立弧度数与圆周角的数量关系，从而求出弧的度数． 【详解】解：连接、，如图： 四边形是的内接四边形，， ， 的度数为． 故答案为：． 71．如图，的弦的延长线相交于点P，， 则的度数为________． 【答案】70 【分析】本题主要考查了圆周角定理和三角形的外角定理，熟练掌握圆周角定理和三角形的外角定理是解题的关键． 连接，由圆周角定理和三角形的外角定理得到，即可求解，再由即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴的度数为， 故答案为：． 72．如图，与正八边形相切于点A，E，则的度数为_______． 【答案】 【分析】本题考查了弧的度数，切线的性质，正多边形的性质，多边形的内角和；连接、，由切线的性质及正多边形的性质得，，由多边形的内角和即可求解；掌握切线的性质，正多边形的性质，会求弧的度数是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 与正八边形相切于点A，E， ， ， ∵六边形的内角和为， ， ， 的度数为， 故答案为：． 73．如图，    是的直径，弦，若，则的度数是__________． 【答案】/30度 【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数． 【详解】 连接， ， ． ， ， ， ∴的度数是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键． 74．弦把分成，连接、，过的中点A作，交于B，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，垂直平分线的性质，借助辅助线构造等边三角形是解题关键． 连接、、，延长交于点C，利用弦把分成1:3，可计算出，由于，所以，由于点A为的中点，可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可判断为等边三角形，则，根据，可求的度数． 【详解】解：如图，连接、、， ∵弦把分成， ∴， ∵， ∴， ∵点A为的中点， ∴点C为的中点， 即垂直平分， ∴， 而， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 答：的度数为． 75．如图，中，，以为半径的与相交于点D． (1)若，求的度数 (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查计算圆心角度数，三角形内角和定理，等腰三角形性质，勾股定理等． （1）根据题意连接，再利用内角和定理计算出，继而求出本题答案； （2）作，根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，利用等积法求出，再利用勾股定理即可计算出本题答案． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴． 76．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）过点C作于点H，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ， ∵， ， ∴， ， ∴的度数为； （2）解：过点C作于点H，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 77．如图，在中，以为直径的交于点D．若，，求劣弧的长．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、弧长的计算以及等腰三角形的判定与性质． 连接，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角 的度数，然后利用弧长公式进行解答． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴的长=． 78．已知：如图，在中，，以腰为直径作半圆O，分别交，于点D，E． (1)求证：． (2)若，求弧的度数及长度． 【答案】(1) 证明：连接，如下图： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， (2)， 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用等腰三角形的三线合一性质，即可证明； （2）连接，利用圆周角定理可得 ，，即可得到弧的度数，再根据弧长公式计算出弧长即可． 【详解】（1）解：略． （2）连接，，如下图： ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴圆弧所对的圆心角的度数为． ∵的半径为 ∴圆弧的长度为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、计算圆心角和弧长．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 1．如图，是的直径，点C、D、E、F在上，且点C、D和点E、F分别是半圆的三等分点，点P、Q在上，连接，若的半径为3，则图中阴影部分图形的面积和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同圆中弧、弦和圆心角的关系，求扇形面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式． 连接，根据三等分点得出相等的弧和弦，得出阴影部分图形的面积和等于扇形的面积，然后利用扇形面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点C、D和点E、F分别是半圆的三等分点， ∴，，； 又∵， ∴阴影部分图形的面积和等于扇形的面积， ∴， 故选：B． 2．将半径为的如图折叠，折痕长为，为折叠后的中点，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．延长交于点D，交于点E，连接、、、，根据圆心角、弧、弦、的关系由得到，可以判断是的垂直平分线，则，再利用勾股定理求出，所以，然后利用点C和点D关于对称得出，最后计算即可得出答案． 【详解】解：延长交于点D，交于点E，连接、、、，如图， ∵C为折叠后的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，, ∴， ∵沿折叠得到，， ∴点C和点D关于对称， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，在中，若，则下列判断错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系． 【详解】解：∵， ，，故A正确； ∴，故C正确； ，，故D正确； ∵和无法确定相等， 无法判断， 故选：B． 4．如图，在中，以为圆心，为半径画分别交，于点，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解决问题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质得出，由可得，则，根据三角形外角的性质得，然后根据三角形内角和定理计算出的度数，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 5．如图，内两弦、交于点，平分，下列结论中：①；②；③；正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理、弧、弦、圆心角的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 过点作于点，于点，证，得、，由弦心距相等得，故①正确；由弧、弦、圆心角的关系可得，由等式性质得，故②正确；由垂径定理及等式性质得，故③正确；据此即可得解． 【详解】解：过点作于点，于点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，； ∴；故①正确． ∵， ∴， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵； ∴， 即，故③正确； 故选：D 6．如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． 【答案】/75度 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理证明，则由圆周角定理得到，再由点A、B、C是三等分点，得到，即可利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ． ∵半径长， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 连接， ∵点A、B、C是三等分点， ∴, ∴， ∴． 7．如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为，观景位与之间的直线距离为，则这座圆形观景台的半径是______． 【答案】 【分析】过作于点，延长交于点，连接，，，则有，，，从而可得，则，然后通过勾股定理求出，设为，则，通过勾股定理得，再求出的值即可． 【详解】解：如图，过作于点，延长交于点，连接，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设为，则， ∵， ∴， ∴， ∴这座圆形观景台的半径是． 8．“莱洛三角形”是机械学家莱洛发现的一种曲边三角形，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．如图，等边的边长为6，那么此“莱洛三角形”的周长是____________． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、等边三角形的性质，弧与圆心角的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 这个“莱洛三角形”的周长就是三条圆心角为，半径为6的圆弧的和，然后代入弧长公式计算即可． 【详解】解：∵等边， ∴， ∴的长相等， ∴此“莱洛三角形”的周长是 故答案为：． 9．如图，矩形中，，以点为圆心，长为半径的圆弧与以为直径的半圆相交于点，若的度数为，则直径长为______． 【答案】 【分析】如图，连接．证明是等边三角形，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∵的度数为， ∴， ∴； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定等知识，解题的关键是证明是等边三角形． 10．如图，是半圆的直径，是半圆弧的中点，和均内接于半圆，分别连结、交于点、．若是的中点，给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【分析】①根据点是弧的中点得，由此可对结论①进行判断；②证明，由此可对结论②进行判断；③连接，根据点是的中点，得，由此可对结论③进行判断；④连接，根据是半圆弧的中点，得垂直平分，所以，由此可对结论④进行判断． 【详解】解：①∵点是的中点， ， ∴，故①正确； ②∵是半圆的直径， ， ， 是半圆弧的中点， ， ， ， ， ， ，故②正确； ③如图，连接， ∵点是的中点，是半圆弧的中点， ∴， ∵， ， ∴，故③错误； ④如图，连接， ∵是半圆弧的中点， ∴垂直平分， ∴， 在中，根据勾股定理：， ∴，故④正确； 综上所述：正确结论的序号有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，勾股定理等知识点，熟练掌握圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系是解决问题的关键． 11．某校有一块圆形劳动教育实践基地，现在其内部规划一个四边形区域植鲜花．如图，数学兴趣小组已经确立了、、三点的位置，．已知点在劣弧上，且 (1)尺规作图：请在上确定点的位置，并连接、； (2)已知，求鲜花种植区域四边形的面积（请用含的式子表达） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意作，即可求解； （2）过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， 由（1）可得， ∵ ∴， 在，中， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴四边形的面积 12．阅读与思考 下面是小函同学设计的一种“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．请认真阅读材料内容，并完成相应的任务． 过直线外一点作已知直线的平行线已知：如图1，直线及直线外一点． 求作：直线，使得．          作法：如图2，①在直线上取一点，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，交直线于点和点； ②连接，以点为圆心，的长为半径在直线上方画弧交于点； ③作直线，则直线为所求． 证明：如图2，连接， 在中，由作图可知， ∴（依据）， ∴， ∵， …… 任务： (1)材料中的依据是指______________________________________． (2)补全阅读材料中的证明过程． (3)请使用不同于材料中的作法，利用直尺和圆规在图3中作直线，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）与为圆的弦，则根据“在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等”可得． （2）根据等边对等角可得，再由三角形内角和可得，由此可得，再由“内错角相等，两直线平行”即可证明平行． （3）如图，在直线上取一点，作射线，以点为圆心，任意线段的长为半径画弧，交直线于点，交于点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，作直线， 则直线即为所求． 【详解】（1）解：依据是：在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等． （2）证明：如图2，连接， 在中，由作图可知， ∴（在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：作图如下： 1．已知点 ， 在 上，，点在上，点在以 ， 为端点的优弧上． (1)如图①，当为的中点时，若，求和的大小； (2)如图②，当时，过点作的切线，且，与相交于点，若 的半径为 ，求和的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）连接，根据题意可得，则可得到，由圆周角定理可得；根据等腰三角形的性质和三角形内角定理可求出的度数，进而可求出的度数； （2）连接，由切线的性质得到，则由平行线的性质可得；由勾股定理可求出；求出，则由圆周角定理得到；可证明，则，解直角三角形求出的长即可． 【详解】（1）解：如图①所示，连接， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图②所示，连接， ∵与相切， ∴，即， ∵， ∴， ∴； ∵ 的半径为， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 2．阅读与思考 阅读材料，并完成相应的任务． 利用尺规作正五边形1．作． 2．作直径． 3．过点C作的垂线交于点． 4．取的中点． 5．以点为圆心，以为半径作弧交于点． 6．以点为圆心，以为半径作弧交于点． 7．在上依次截取等于的弦，就可以作出圆内接正五边形． 任务： (1)在阅读该材料的过程中，君君发现点是线段的黄金分割点，请你说明理由； (2)如图，君君利用材料中的方法作出了的内接正五边形，并作出其五条对角线，得到一个五角星．他发现这五条对角线所围成的五边形仍然是一个正五边形． ①的度数为___________； ②求证：． (3)君君发现该正五边形对角线的交点分别是其所在对角线的黄金分割点． ①若正五边形的边长为2，则五角星的边的长为___________； ②由题中条件，可得的值为___________． 【答案】(1)解：设的半径为r，则． 在中，， ， ， ，即点E是线段的黄金分割点； (2)①； ②证明：， ， ， ， ， ； (3)①；② 【分析】（1）设的半径为r，则，勾股定理求出，进而求出，再求出，结合黄金分割点的定义即可说明； （2）①先求出正五边形的内角，利用弧、弦、圆心角的关系即可求解；②利用弧、弦、圆心角的关系可求，进而得到，，即可证明结论； （3）①同（2）②可得，，根据点G为的黄金分割点，，可得，即可求解；②过点作于点，由（2）②知，可得，由①知，同理，得，求出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵五边形的每个内角为， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴； ②略 （3）解：①同（2）②可得，， ∵点G为的黄金分割点，， ，即， ； ②过点作于点， 由（2）②知， ∴， 由①知， 同理，得， ， ． 3．【教材再现】 工人师傅常用角尺平分一个任意角．如图，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合．过角尺顶点C的射线便是的平分线． 【模型建立】 (1)如图1，从平分做法中抽象出几何图形．，．求证：． 【模型应用】 (2)如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 (3)如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明，即可求证； （2）选择②为条件，①为结论：在取点，使，连接，证明，可得，，即可解答；选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，即可解答； （3）连接，取的中点F，连接，证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：在和中， ，，， ， ； （2）解：选择②为条件，①为结论： 如图，在取点，使，连接， 平分， ， 在和中， ，，， ， ，， ，， =， =， ∠C=∠， ； 选择①为条件，②为结论： 如图，在取点N，使，连接， 平分， ， 在△和中， ，，， ， ，， ， ， ∠=∠C， =， =， ， ； （3）证明：如图，连接，取的中点F，连接， 平分， ， ，， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $