专题06 圆（3年汇编）（内蒙古专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 专题06圆：内蒙古近5年中考真题与1年模拟汇编，覆盖圆的基本性质、切线、计算及综合应用，适配中考复习 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|3-4分/题|垂径定理、圆周角、正多边形与圆|呼和浩特/包头高频考点，角度和弦长计算为主| |填空题|3-4分/题|扇形面积、圆锥相关计算|结合实际背景（圆形拱门），割补法求阴影面积| |解答题|7-10分/题|切线判定与性质、圆与相似/三角函数综合|梯度设问（证切线+线段计算），辅助线“连半径证垂直”，全区各地市高频考查|

可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 5年真题1年模拟 中考品题透析园 内蒙古考情(2024 考点分类 命题规律 2026) 选择、填空高频考 圆的基本性质 查，分值3-4分：也 以角度、弦长计算为主：垂径定理搭配勾股定 (垂径定理、圆 常作为圆解答题第1 理：圆周角定理、圆内接四边形对角互补是核 周角、圆心角、 小问，呼和浩特、包 心考点，侧重基础概念运用 圆内接四边形) 头、赤峰连续多年考 查 必考解答大题，分值 两类题型：证明切线、利用切线性质计算；常 切线的判定与性 7-10分，内蒙古各地 结合等腰三角形、全等，后续搭配线段求解； 质 市几乎每年考查，属 辅助线：连半径证垂直 于圆板块核心重难点 弧长、扇形面 多为选择、填空题， 结合实际背景命题；阴影面积多用割补法；掌 1/10 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 分值3分，兴安盟、 积、圆锥相关计 通辽、呼伦贝尔高频 握扇形与圆锥底面周长转化，公式直接套用， 算 考查，少数放在大题 难度偏低 最后一问 以填空、选择题为 考查正多边形中心角、边长、半径的计算：把 主，分值3分，隔年 正多边形与圆 正多边形拆分为等腰三角形，结合三角函数求 考查，包头、呼市均 解，题型固定 出现过 圆压轴解答题，分值 圆综合（圆+ 第1问常证切线：第2、3问融合相似、三角 8-10分，全区各地市 相似、锐角三角 函数求线段：辅助线常作直径构造直角三角 高频考查，多为多小 函数) 形；梯度设问，由易到难，不考偏题怪题 问梯度设问 五年真题分类园 考点01圆的基本性质 1.(2024赤峰中考真题)如图，AD是⊙0的直径，AB是⊙0的弦，半径0C1AB,连接CD,交OB于 点E,∠B0C=42°，则∠OED的度数是() 2/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.61° B.63° C.650 D.67 2.(2024呼市中考真题)如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙O,AD和EF相交于点M, 则∠AMF的度数为() A.26° B.27° C.28 D.30 3.(2024通辽中考真题)如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段 CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=lm,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为() C A D B A.1.25m B.1.3m c.1.4m D.1.45m 4.(2024包头·中考真题)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作 ⊙0的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若∠A0B=140°，LBCP=35°，则∠ADC的度数为 D 3/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.(2024呼市中考真题)如图是平行四边形纸片ABCD,BC=36cm,∠A=110,∠BDC=50°，点M为 BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N,则∠NMC=】 度；将扇形MCN 纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为」 cm」 D B M 6.(2024通辽：中考真题)如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底 面半径为5cm,母线长为l2cm的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 一cm(结果用含π的 式子表示). 7.(2024内蒙古·中考真题)已知△ABC是⊙O的内接三角形，半径OB与AC边相交于点D. 图1 图2 (1)如图1，连接OA,若∠OAC=15°，∠ACB=40°，求∠ADB的度数： (2)如图2，点E是线段AC延长线上一点，连接BE ①若∠CDB=∠OBC,求证：∠ACB=2∠CAB: ②在①的条件下，若BE=BA,试判断线段OB与线段BE的位置关系，并说明理由， 8.(2024包头中考真题)如图，AB是⊙0的直径，BC,BD是⊙0的两条弦，点C与点D在AB的两侧， 上一点(OE>BE E是O ,连接 C,CE∠BOC=2LBCE ,且 D D 图1 图2 4/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()如图1，若BE=1CE=V5 ⊙0 求的半径： (2)如图2，若BD=2OE,求证：BD∥OC.(请用两种证法解答) 考点02与圆有关的位置关系 1.(2025内蒙古中考真题)如图，AB是⊙0的直径，半径OC1AB,垂足为O,OC=2,P是BA延长线 上一点，连接CP,交⊙O于点D,连接AD,∠OCP=60°.过点P作⊙0的切线，切点为E,交CO的延 长线于点F. Q)求D 的长； (2)求∠DAB的度数： 3)求cos∠OFP的值. 2.(2024呼伦贝尔兴安盟中考真题)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙0交BC于点D,DE上AC,垂 足为E. OO的两条弦FB,FD相交于点F,∠DAE=∠BFD」 B 0 D (I)求证：DE是⊙O的切线： 2)若2C=30,CD=2V5 求扇形OBD。 的面积. 3.(2024赤峰中考真题)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,⊙0经过B,C两点，与斜边AB交 于点E,连接CO并延长交AB于点M,交⊙O于点D,过点E作EF∥CD,交AC于点F. 5/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (I)求证：EF是⊙O的切线： ②)若BM=4N2,tan∠BCD= ,求oM的长. 4.(2024呼市中考真题)如图，△ACD内接于⊙O,直径AB交CD于点G,过点D作射线DF,使得 ∠ADF=∠ACD,延长DC交过点B的切线于点E,连接BC. A B D (1)求证：DF是⊙O的切线： ②若cD-8cG,BE=3CE=3 3 ①求DE的长； ②求⊙0的半径， 5.(2024通辽中考真题)如图，△ABC中，∠ACB=90°，点0为4C边上一点，以点0为圆心，OC为 半径作圆与AB相切于点D,连接CD. (1)求证：∠ABC=2∠ACD: (②)若AC=8,BC=6,求⊙0的半径. 考点03与圆有关的计算 1.(2024包头中考真题)如图，在扇形AOB中，∠A0B=80°，半径0A=3,C是AB上一点，连接OC, D是OC上-点，且OD=DC,连接BD.若BD1OC,则MC的长为《) AC 6/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.6 B.3 e.月 D.下 2.(2024呼伦贝尔兴安盟·中考真题)为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路.如 图、B与D是公路夸道的外、内边线，它们有共同的圆心0，所对的圆心角都是2，点A,C,0在同 一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是米.（π取3.14，计算结果 精确到0.1) B D 一年模拟练测园 1.(2026呼和浩特·二模)如图，点A,B,C在⊙O上，∠A=40°，则∠BOC的度数是() A.20° B.40° C.60° D.80° 2.(2026呼和浩特.一模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分别以点B、C为圆心、 BC的长为半径画弧，与BA、CA的延长线分别交于点D、E.若BC=4,则图中阴影部分的面积为 () D 7/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2π-4 B.4π-4 C.8π-8 D.4π-8 3.(2026通辽一模)如图，在边长为4的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作弧 BD,剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 D 4.(2026包头一模)如图，AB是⊙O的切线，E为切点，以O为顶点作∠COD,交⊙O于点C,交 AB于点D,连接CE,交OD于点F. ①)∠OCF与∠CED有什么数量关系，请说明理由： ②)若O0的半径为2，∠C0D=90°，cosC=2 ,求OD的长. 5.(2026锡林郭勒一模)如图所示，在平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，且AC⊥AB,对角线 AC=2V3,以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A,交BC边于点P,交AC边于点Q,连接DP. D (1)求证：PD与⊙A相切： (2)求阴影部分的面积. 6.(2026呼和浩特·二模)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BD和过点C的切线互相垂直， 垂足为D,且BD与⊙O交于点E 8/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B (1)求证：BC平分∠ABD: (2)若AB=4,∠ABC=30° ①求BE的长； ②求DE的长 7.(2026通辽一模)如图，⊙O是△ADC的外接圆，AB为⊙O的直径，DE‖AC,连接OD,OC, OC的延长线交DE于点B,OD交AC于点R,若∠ACD=号∠COD. 2 B (1)求证：DE是⊙O的切线： ②)若tan∠ACD=3 AD=6. ①求⊙O的半径； ②求CE的长. 8.(2026呼和浩特·一模)如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC 相切于点D D (1)求证：AD平分∠BAC: 9/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若BE=2,BD=4,求⊙O的半径. 3)在(2)的基础上，求tan∠ADC的值？ 9.(2026赤峰一模)如图，在△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相 切于点D, 0 C I)求证：AD平分∠BAC: 2)若AD=2/3,AE=4,求图中阴影部分的面积. 10.(2026巴彦淖尔一模)如图：已知BD是⊙O的直径，A、C是⊙O上的点，过C作直线CF与BD的 延长线交于点F,过点B作BE⊥CF于点E,连接AC,∠ACE=∠ADC. 图1 图2 (1)求证：直线CF是⊙O的切线. 包如润：若tm∠CBE=行BD-4,水EC及阴影都分而积 10110函学科网 考点01圆的基本性质 1.B 2.B 3.B 4.105° 5.402 6.60π 7.【答案】(1)∠ADB=95°： (2)①证明：连接OC, B .BC=BC, .∠BOC=2∠CAB. .OB=OC. .∠OBC=∠OCB, :∠CDB=∠OBC, ∴∠CDB=∠OCB, ∠CBD=∠OBC, ∴.△CBD一△OBC, ∴.∠BCD=∠BOC, .∠BCD=2∠CAB, 即∠ACB=2∠CAB: ②OB⊥BE,理由如下： .BE=BA, ∴.∠E=∠A, 设∠E=∠A=X, www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 1/22 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∴.∠ACB=2X, ∴.∠BOC=2∠A=2X,∠CBE=∠ACB-∠E=X, .OB=OC, ∠0BC=∠0CB180°-∠B0G=90-x, .∠OBE=∠OBC+∠CBE=90°-X+X=90°， ∴OB⊥BE 【知识点】圆周角定理、三角形的外角的定义及性质、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质 和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】(1)利用圆周角定理和三角形的外角性质求解即可： (2)①连接OC,利用圆周角定理结合等边对等角，得到∠CDB=∠OCB,再证明△CBD~一△OBC, 可推出∠BCD=∠BOC,即可得到∠ACB=2∠CAB; ②设∠E=∠A=x,求得∠OBE=∠OBC+∠CBE=90°-x+X=90°，即可得到OB⊥BE. 【详解】(1)解：，∠ACB=40°， .∠AOB=2∠ACB=80°， ,∠0AC=15° .∠ADB=∠OAC+∠AOB=95: (2)①略 ②略 8. 【详解】(1)解：.OC=OB 208c=∠0cB=080-∠B0c). .∠BOC=2∠BCE, ∠06C=080-2∠BCE)=90-∠BCE,即∠OBC+∠BCE=90e, ∴.∠OEC=90°， ..OC2=0E2+CE2, :0c2=(0c-1+(5, 解得OC=3, 即⊙0的半径为3： (2)证明：法一：过O作OF⊥BD于F, B D .BD=20E 2/22 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∴.OE=BF, 又OC=OB,∠OEC=∠BF0=90°， RtACEOS≌RtAOFB(HL) .∠COE=∠OBF .BD∥OC: 法二：连接AD, D ,AB是直径， .∠ADB=90° :.AD=VAB-BD2=V(20C}2-(20E)}=2VOC2-0E2=2CE OC CE OE 1 AB AD BD 2 .△CEO∽△ADB」 .∠COE=∠ABD .BD∥OC 考点02与圆有关的位置关系 1.(2025内蒙古中考真题)如图，AB是⊙0的直径，半径OC1AB,垂足为O,OC=2,P是BA延长线 上一点，连接CP,交⊙0于点D,连接AD,∠OCP=60°，过点P作⊙0的切线，切点为E,交CO的延 长线于点F, a)求CD的长： (2)求∠DAB的度数： 3)求cos∠OFP的值. 【详解】(1)解：如图，连接OD, 3/22 函学科网 B 在⊙0中，OC=0D, 又：∠0CP=60°， .△OCD是等边三角形， .∠C0D=60° 0C=2, _60m×2_2π ·CD的长=180 3 (2)解：0C⊥AB, ∴.∠POF=∠AOC=90°. .∠AOD=∠AOC-∠COD=30° .在⊙0中，OA=OD :∠D1B=乙4D0_180°-，400=75片 (3)解：如图，连接OE, B E :∠A0C=90°，∠0CP=60°， .∠CP0=30°， .P0=V3C0=2√3 ,OE是⊙O的切线， .∠0EF=90°，OE=OC=2, .∠OFP+∠FOE=90°. ,∠POF=∠AOC=90° .∠POE+∠FOE=90°， ∴.∠OFP=∠POE ,cos∠OFP=cos∠POE=OE-2=V3 P0253. 2. 【详解】(1)证明：连接OD, ww zxxk.com 让教与学更高效 4/22 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 D F C .OD=OA. .∠ODA=∠OAD, 又∠DAB=∠BFD,∠DAE=∠BFD, .∠ODA=∠DAE DE L AC. .∠ADE+∠DAE=90° .∠ADE+∠ODA=90°，即OD1DE, 又OD是OO的半径： .DE是OO的切线： (2)解：·∠C=30°，CD=25DE14C DECD-5 ∠CDE=60°， 又OD⊥DE. .∠BD0=180°-∠ODE-∠CDE=30°， .OB=OD .∠OBD=∠ODB=30° ∴∠A0D=60°，∠B0D=120° 又OD=OA, :.△AOD是等边三角形， .AD=OD,∠ODA=60°， .∠ADE=30°， AD= DE 3 =2 在Rt△ADE中， cos∠ADE cos.30° 120m.224π .扇形OBD的面积为3603. 3. 【详解】(1)证明：连接OE,延长EO,交O0于点P,连接PD,BD,如图， 5/22 可学科网 .1B=BC,∠ACB=90, .△ABC是等腰直角三角形， ∠ABC=45°， .CD是⊙O的直径， ∠CBD=90°， ∠DBE=∠CBD-∠ABC=90°-45°=45°， ∠EPD=∠DBE=45° ∠DOE=2∠DPE=2×45°=90°， EF∥CD, .∠FEO=∠DOE=90°，即OE⊥EF, .OE是⊙O的半径， .EF是⊙O的切线： 1 (2)解：：∠DBC=900,tan∠BCD= DB 1 .BC2’ BC=AC, DB 1 ·AC2’ :∠DMB=∠CMA,∠A=∠DBM, .△DBM∽aACM、 BM DM DB 1 ·AM CM AC2' .BM=4V2 AM=2BM=82 www zxxk.com 让教与学更高效 6/22 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 :B=AM+BM=82+4W2=12N2 在等腰直角三角形ABC中，AC2+BC2=AB2, :AC2+AC2=AB2=122, 解得，AC=12, .AC=BC=12, DB=1BC=6, 在Rt△BDC中， CD=VBC2+DB2=V122+62=6√5， :C0=D0=35 DM 1 又CM2, CM=2DM, 2DM+DM-CD-65, :.DM=2V5 :.OM=0D-DM=3W5-25=5 4 【详解】(1)证明：连接OD、BD,则∠ACD=∠ABD, .∠ADF=∠ACD ∴.∠ABD=∠ADF, :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， .∠ABD+∠BAD=90° ∴.∠ABF+∠BAD=90°， .OA=OD. .∠OAD=∠ODA, .∠ABF+∠ODA=90°， 即∠ODF=90°， .OD⊥DF, 又.OD为⊙0的半径， :.DF是⊙O的切线： 7/22 函学科网 CE B G D (2)解：①：BE是⊙O的切线， ∴.AB⊥BE, .∠ABE=90° ∴.∠ABC+LCBE=90° ,AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90° .∠ABC+∠BAC=90°， ∴∠CBE=∠BAC, .∠BAC=∠BDC, .∠CBE=∠BDC, 即∠CBE=∠BDE, 又∠E=∠E, ∴△CBEABDE, CE BE ·BEDE .BE=3CE=3. .'CE=1, 13 .3DE' DE=9: ②DE=9,CE=1. .CD=DE-CE=9-1=8, CD-3CG 3 CG-CD=3 ..DG=CD-CG=8-3=5,GE=CG+CE .∠GBE=90° BG=VGE2-BE2-3= .∠BAC=∠BDC,∠AGC=∠DGB, .△AGC△DGB, AG CG ·DGBG, AG 3 即5√7’ www zxxk.com 让教与学更高效 3+1=4. 8/22 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 :4Gs56 7, :B=AG+BG=157+V7=2万 7, 117 .⊙0的半径为7. 【详解】(1)证明：如图，连接OD, B D ,AB为切线， .OD⊥AB, ∴.∠0DA=90°」 .∠A+∠AOD=90°， ,∠ACB=90° ∴.∠ABC+∠A=90° .∠AOD=∠ABC, .∠AOD=2∠ACD .∠ABC=2∠ACD (2)解：在Rt△ABC中，AB=VBC+AC=V6+8=10」 .∠OCB=90°=∠ODB, 在Rt△ODB和Rt△OCB中，OD=OC,OB=OB, ,RtaODBS≌RtAOCB(HL) .BD=BC=6. .AD=AB-BD=4, 设⊙0的半径为r,则OD=OC=r,OA=8-r, 在RtaA0D中，r2+4=(8-. 解得r=3, .⊙0半径的长为3 考点03与圆有关的计算 1.B 2.28.7 9/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一年模拟练测园 1.D 2.D 3.23 3 4. 【答案】1) 解：∠OCF+∠CED=90°，理由如下： 如图，连接OE .OC=OE, ∴.∠OCF=ㄥOEF, AB是⊙O的切线，E为切点， .∴.∠OED=90°，即∠OEF+CED=90°， .∴.∠OCF+∠CED=90°： A E 2)0D= 2 【知识点】用勾股定理解三角形、三角函数综合、切线的性质定理 【分析】(1)连接OE,由OC=OE得到∠OCF=∠OEF,根据切线的性质得到 ∠OEF+∠CED=90°，即可求解； (2)由题意可推出，∠CF0+∠OCF=90°， 0C=25 得到CF=V5,根据勾股定理求出OF=1, CF 5 证明∠EFD=∠CED得到DE=DF,设DE=DF=X,则OD=1+X,根据勾股定理列方程求出X,即可 求解， 【详解】(1)略 (2)解：：∠C0D=90°，cosC=25 5 10/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CF0+∠OCF=90°， 0C_25 CF5,即 _2V5 CF 5' .CF=5, ∴.0F=VCF2-0C=5-2=1 .·∠OEF+∠CED=90°，∠OCF=∠OEF,∠CFO+∠OCF=90°， ∴.∠CFO=∠CED, .:∠CFO=∠EFD, ∴.∠EFD=∠CED, .'DE=DF, 设DE=DF=X,则OD=OF+DF=1+X, 由勾股定理得0E2+DE'=0D2:即22+X=x+1, 静子 35 .∴.OD=1+X=1+ 2-2 5. 【答案】(1)见解析 2)3- 3 【分析】(1)连接AP,根据平行四边形的性质得AD=BC,ADBC,进而说明△APD≌△BAC, 可得∠DPA=∠CAB,再说明∠DPA=90°，则答案可证； (2)根据特殊角的三角函数值求出AB,再证明△ABP是等边三角形可得∠CAP=30°，接下来说明P为 1 BC的中点，然后求出SAACP= S△ABC,最后根据S网影=SAACP-S励得出答案. 【详解】(1)证明：连接AP. D ,四边形ABCD是平行四边形， 11/22 函学科网 WWW .AD=BC,AD‖BC. .∠DAP=∠APB, .AP=AB. ∴.∠APB=∠ABC, .∠DAP=∠ABC, .△APD≌△BACSAS, .∠DPA=∠CAB, .AC⊥AB, .∠BAC=90°， .∠DPA=90, .AP是⊙A的半径， .PD与⊙A相切： (2)解：.∠BAD=120°，AD‖BC, ∠ABC=180°-120°=60°， ,在Rt△BAC中，∠ACB=90°-60°=30°， :AB=ACan30°=25×3=2. 3 .AB=AP=2,∠ABC=60°， △ABP是等边三角形， .∠PAB=60°， .∠CAP=30, .∠ACB=∠CAP=30°， ..AP=PC, .AP=PC=BP, .P为BC的中点. :5度方ABAC=2×23=283, r=1x23=3. 30元×AB=30n×2=卫 :S扇形0360 360 31 1 zxxk.com 让教与学更高效 2/22 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 Sm影=SAACP-S扇标3- 6. 【答案】(1)证明见解析 202:②DE=1 3 【分析】(1)连接OC,根据BD和过点C的切线互相垂直，得到∠OCD=∠CDB=90°，则OC‖DB, 推出∠OCB=∠CBD,由OC=OB,得到∠OCB=∠OBC,则∠OBC=∠CBD,即BC平分 ∠ABD: (2)①连接BE,由∠ABC=30°，得到∠OCB=∠OBC=∠CBD=30°，即可证明△BOE是等边三 角形，得到∠BOE=60°，再根据弧长公式计算即可： ②连接CE,先证明四边形OBEC是菱形，得到CE=BE=OB=OC=2,∠ECD=30°，即可得到 DE-CE-L. 【详解】(1)解：连接OC, D B ,BD和过点C的切线互相垂直， .∠OCD=∠CDB=90°， ∴.OC‖DB .∠OCB=∠CBD, OC=OB .∠OCB=∠OBC, ∴.∠OBC=∠CBD. ∴BC平分∠ABD; (2)解：①连接OE, 13/22 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C B ,∠ABC=30°， .∠OCB=∠OBC=∠CBD=30°， ∴.∠OBE=∠OBC+∠CBD=60°， .OE=OB. “.△BOE是等边三角形， .∠BOE=60°， .AB=4, .半径OC=OB=2, 60° :.BE的长为360 ×2πx2=2 , ②连接CE, :△BOE是等边三角形， ..BE=OB=2=OC, .OC DB. .四边形OBEC是菱形， ∴.CE=BE=OB=OC=2,∠CEB=180°-∠OBE=120°， .∠ECD=30°， :.DE=-CE=1. 7. 【答案】(1)见解析 2)000的半径为5：②CE=90 7 【分析】(1)证明OD⊥AC,得到OD⊥DE,即可证明DE是⊙O的切线； 14/22 西学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (2)①根据正切函数的定义求得AD-3 得到BD=8,再利用勾股定理即可求解； BD 4' ②设DF=3X,CF=4X,由勾股定理求得x= 再利用平行线分线段成比例即可求解， 6 【详解】(1)证明：，CD=CD, ACD克∠cOD, :∠ACD∠CoD, ∠ACD=∠CAD, ..AD=CD. ∴.OD⊥AC, DE‖AC, OD⊥DE, .OD是⊙O的半径， .DE是⊙O的切线： (2)解：①AB为⊙O的直径， .∠ADB=90°， .AD=AD, .∠B=∠ACD, tanB=tan∠ACD=3 即D3 BD 4 .AD=6, BD=8, AB=R62+82=10 ⊙O的半径为5； ②，∠ACD=∠CAD, ..AD=CD=6, :OD L AC,tan∠ACD=3 1 -子 15/22 可学科网 www zxxk.com 设DF=3X,CF=4X, 六CD=VCF2+DF2=5x=61 解得x6 DF=18 CF=24 OF=OD-DF=5-18=7 55 .DE‖AC,即DE‖CF, 1 8 即 =5 18 CE 5 90 .CE= 7 8. 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3)2 【分析】(1)连接OD,根据切线的性质得OD⊥BC,即可说明OD‖AC, 边对等角得∠1=∠3，进而得出∠1=∠2，则此题可解： (2)设。0的半径为，可得0D=r,OB=2+r再根据勾股定理得(r+2P 案； (3)由(2)得D0=E0=3,AE=6,再说明△B0D-△BAC,可得B B 求出AC-2告BC=程.接r来求出CD-号 最后根据正切定义得出答案。 【详解】(1)证明：连接OD, BC是⊙O的切线， .OD⊥BC .AC⊥BC, 16/22 让教与学更高效 可得∠2=∠3，再根据等 r2+42, 求出解即可得出答 Ac8记 DO BD 然后代入数值 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ..OD AC, ∠2=∠3」 OA=OD, .∠1=∠3， .∠1=∠2， .AD平分∠BAC: (2)解：设⊙O的半径为r,则OD=r,OB=2+r, 在Rt△BOD中，OB=BD+OD2, 即r+22=r2+42 解得r=3, 所以⊙O的半径为3： (3)解：由(2)得DO=EO=3,AE=6」 .OD‖AC, △BOD-△BAC, BO=DO_BD AB AC BC' 即2+33= 4 2+6 AC BC' 解得AC= 5,BC=32 :CD=BC-BD=32-4=12 5 24 在Rt△ACD中，tan∠ADC=AC= =2. CD 12 9. 17/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】1) 证明：连接OD,则OA=OD, ∴.∠DAO=∠ODA. .BC是⊙O的切线， ∴.OD⊥BC .∠C=90°，即AC⊥BC, ∴.OD‖AC ∴.∠CAD=∠ODA, ∴.∠DAO=∠CAD .∴.AD平分∠BAC: y 0. D C e阳 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、切线的性质定理、求弓形面积 【分析】(I)连接OD,由等腰三角形的性质得∠DAO=∠ODA,证明OD‖AC得∠CAD=∠ODA, 进而可证AD平分∠BAC: (2)连接DE,由AE为直径得∠ADE=90°，然后由勾股定理求得DE的长，利用锐角三角函数的知识 求出∠DAE=30°，然后由S阴影=S扇形AO8△AOD求得答案. 【详解】(1)略 (2)解：连接ED, .AE D 为直径， .∴.∠ADE=∠C=90°， .DE2=AE2-AD2=4, .'DE=2. 18/22 可学科网 www.zxxk.com 在Rt△ADE中，：sin∠DAE=DE=1」 AE2’ ∴.∠DAE=30, .∠AOD=120°， =×AD-DE=x×2R3x2=R3, ·SA0D-7D△ADE-22C 22 120元×224 .S扇形0D360 π， 3 4 ∴.S阴影=S扇形A0S△A0D 3n-3 【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线的定义， 形的面积，正确作出辅助线是解答本题的关键. 10. 【答案】(1)证明：连接OC,如图， .AB=AB ∴.∠ADB=∠ACB, ∠ACE=∠ADC, ∴.∠ACE-∠ACB=∠ADC-∠ADB, ∴.∠BCE=∠BDC, ,∵BD是⊙O的直径， ∴.∠BCD=90°， .OD=OC, ∴.∠BDC=∠OCD, ∴.∠OCD+∠BCO=90°， .∴.∠BCE+∠BCO=90°， ∴.∠ECO=∠BCE+∠BCO=90°， 19/22 让教与学更高效 等腰三角形的性质，解直角三角形以及扇 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∴.OC⊥EF, 又.点C在⊙0上， ∴直线CF是⊙O的切线： ②EC=3,Sw-专-3 【知识点】解直角三角形的相关计算、求其他不规则图形的面积、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证 明某直线是圆的切线 【分析】(1)连接CO,根据圆周角定理可知∠ADE=∠ACE,根据∠ADC=∠ACE可得 ∠BDC=∠BCE,根据直径所对的圆周角是直角可知∠OCD+∠BCO=90°，等量代换可证 ∠ECO=∠BCE+∠BCO=90°，所以可知OC⊥EF,根据切线的定义可证直线CF是⊙O的切线： (2)设CE=X,则BE=3x,利用勾股定理可得BC=2x,由(1)可知∠BCE=∠BDC,可得： BC3,从而可得：DC=23x ∠CBE=∠DBC,可知tan∠DBC=DC=1 3 根据勾股定理可得 2x+23x=4解方程可得x=5可知CE=5:BC=2万：DC=2根据扇形的面积公式和 3 三角形的面积公式可知5g=S复05△0c专-3。 4 【详解】(1)略 (2)解：连接OC,过点O作OM⊥BC于点M,如图， .'tan∠CBE= CE 1 BE 3 设CE=x,则BE=V3x, 又BE⊥CE, ∴.∠BEC=90°， 在Rt△BCE中，∠BEC=90°， 20122 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 BC=CE+BE=x+3x=2x 由(1)可知∠BCE=∠BDC,且∠BEC=∠BCD=90°， .∠CBE=∠DBC, tan∠DBC=tan∠CBE=DC=1 BC=5' .DC-BC=2x-23x 353 在Rt△BCD中，BD=BC2+DC2, .BD=4, 2x2+ 23x=4 3 x=3, ∴.CE=V3,BC=2x=2V3, ∴.DC 23=2 3 .BD=4, ∴.OD=OC=2, ∴.△ODC是等边三角形， ∴.∠BDC=∠OCD=∠DOC=60°， ∴.∠B0C=180°-∠D0C=180°-60°=120°， ∴.∠DBC=90°-∠BDC=90°-60°=30°， 元120×元x0C2=号n×2=号 ∴.S扇形80360 3 3 .OB=OC=2,且∠DBC=30°， ∴.△OBC是等腰三角形， ∴.BM=CM=3 在Rt△BOM中，OM=OB2-BM2, 即oM=OB-BM=2-R3=1' ·5ac=0MBc=号x1×283=3. 21/22 学科网 ∴.S阴%=S扇形鄂05△0BC= 4 4π-V3. www.zxxk.com 让教与学更高效 22122可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06圆 5年真题1年模拟 中考品题透析园 内蒙古考情(2024 考点分类 命题规律 2026) 选择、填空高频考 圆的基本性质 查，分值3-4分：也 以角度、弦长计算为主：垂径定理搭配勾股定 (垂径定理、圆 常作为圆解答题第1 理：圆周角定理、圆内接四边形对角互补是核 周角、圆心角、 小问，呼和浩特、包 心考点，侧重基础概念运用 圆内接四边形) 头、赤峰连续多年考 查 必考解答大题，分值 两类题型：证明切线、利用切线性质计算；常 切线的判定与性 7-10分，内蒙古各地 结合等腰三角形、全等，后续搭配线段求解； 质 市几乎每年考查，属 辅助线：连半径证垂直 于圆板块核心重难点 弧长、扇形面 多为选择、填空题， 结合实际背景命题；阴影面积多用割补法；掌 1/37 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 分值3分，兴安盟、 积、圆锥相关计 通辽、呼伦贝尔高频 握扇形与圆锥底面周长转化，公式直接套用， 算 考查，少数放在大题 难度偏低 最后一问 以填空、选择题为 考查正多边形中心角、边长、半径的计算：把 主，分值3分，隔年 正多边形与圆 正多边形拆分为等腰三角形，结合三角函数求 考查，包头、呼市均 解，题型固定 出现过 圆压轴解答题，分值 圆综合（圆+ 第1问常证切线：第2、3问融合相似、三角 8-10分，全区各地市 相似、锐角三角 函数求线段：辅助线常作直径构造直角三角 高频考查，多为多小 函数) 形；梯度设问，由易到难，不考偏题怪题 问梯度设问 五年真题分类园 考点01圆的基本性质 1.(2024赤峰中考真题)如图，AD是⊙0的直径，AB是⊙0的弦，半径0C1AB,连接CD,交OB于 点E,∠B0C=42°，则∠OED的度数是() 2/37 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.61° B.63° C.65 D.67° 【答案】B 【详解】解：∵半径OC⊥AB, IC-BC :.∠AOC=∠B0C=42°，∠A0B=84°， ·AC=AC 2D=40c=21。 .∠OED=∠AOB-∠D=63°， 故选：B。 2.(2024呼市中考真题)如图，正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于⊙0，AD和EF相交于点M, 则∠AMF的度数为() E A.26° B.27° C.28° D.30° 【答案】B 【详解】解：连接OC、OE、OD,设CD与EF相交于点N, :正四边形ABCD和正五边形CEFGH内接于OO, .∠C0D=360°÷4=90°，∠C0E=360°÷5=72°， ∴.∠D0E=∠C0D-∠C0E=90°-72°=18°， ∠DCE=)∠D0E=×18=9 2 2 3/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠CEF=5-2x180 =108°， 5 ∠CNE=180°-108°-9°=63°， :.∠DNM=∠CNE=63°， ,∠ADC=90°， .∠DMN=90°-63°=27°， .∠AMF=∠DMN=27°， 故选：B. M E B 3.(2024通辽中考真题)如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段 CD经过拱门所在圆的圆心，若AB=lm,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为() B A.1.25m B.1.3m c.1.4m D.1.45m 【答案】B 【详解】解：如图，连接OA, C A D B ,D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB=lm, 4/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CD⊥AB,AD=BD=0.5. 设拱门所在圆的半径为”， .0A=OC=r,而CD=2.5m, .0D=2.5-r, =05+25-, 解得：r=13, ∴.拱门所在圆的半径为1.3m; 故选B 4.(2024包头中考真题)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作 ⊙0的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若∠AOB=140°，∠BCP=35°，则∠ADC的度数为 O 【答案】105°/105度 【详解】解：连接OC, D :OA=OB=OC,∠AOB=140°， :∠01B=∠0BA=80-∠408)-20°，∠0CB=∠08C :CP是切线， .∠OCP=90°，即∠OCB+∠BCP=90°， ,∠BCP=35°， ∠OBC=∠OCB=55°， ∴.∠ABC=∠AB0+∠OBC=75°， ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 5/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ADC=180°-∠ABC=105° 故答案为：105 5.(2024呼市中考真题)如图是平行四边形纸片ABCD,BC=36cm,∠A=110,∠BDC=50°，点M为 BC的中点，若以M为圆心，MC为半径画弧交对角线BD于点N,则∠NMC=一 度；将扇形MCW 纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 cm 4 D M 【答案】 402 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形，∠A=110°， .∠BCD=∠A=110°， .∠BDC=50° .∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=20° 由国的性质可知，MB=N=MC=8C=18cm, .∠BNM=∠CBD=20° ∴.∠NMC=∠BNM+∠CBD=40°， 40x元×18=4π(cm), “扇形MCN的弧长为180 π÷2π=2(cm) ∴圆锥的底面圆半径为 故答案为：40；2 6.(2024通辽·中考真题)如图，为便于研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底 面半径为5cm,母线长为l2cm的圆雉的侧面，那么这个扇形纸片的面积是 cm2(结果用含π的 式子表示)· 【答案】60m 【详解】解：，底面半径为5cm, 6/37 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴圆锥底面圆的周长为2π×5=10π(cm), 即扇形纸片的弧长为l0πcm, ,母线长为l2cm, 圆锥的侧面积2×12x10r=60x(cm). 故答案为：60π 7.(2024内蒙古·中考真题)已知△ABC是⊙O的内接三角形，半径OB与AC边相交于点D, E B 图1 图2 I)如图1，连接OA,若∠OAC=15°，∠ACB=40°，求∠ADB的度数： (2)如图2，点E是线段AC延长线上一点，连接BE. ①若∠CDB=∠OBC,求证：∠ACB=2∠CAB: ②在①的条件下，若BE=BA,试判断线段OB与线段BE的位置关系，并说明理由 【答案】I)∠ADB=95°： (2)①证明：连接OC, .BC=BC. .∠BOC=2∠CAB, .OB=OC. .∠OBC=∠OCB, ,∠CDB=∠OBC, ∴.∠CDB=∠OCB, .∠CBD=∠OBC, 7/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △CBD~△OBC, .∠BCD=∠BOC, ∴.∠BCD=2∠CAB, 即∠ACB=2∠CAB； ②OB⊥BE,理由如下： .BE=BA, ∴∠E=∠A, 设∠E=∠A=x, .∠ACB=2X, ∴.∠BOC=2∠A=2x,∠CBE=∠ACB-∠E=X, OB=OC, A∠0BC=∠0CB=)180°-∠B0C=90°-3 .∠OBE=∠OBC+∠CBE=90°-x+x=90°， .OB⊥BE 【知识点】圆周角定理、三角形的外角的定义及性质、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质 和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】(1)利用圆周角定理和三角形的外角性质求解即可： (2)①连接OC,利用圆周角定理结合等边对等角，得到∠CDB=∠OCB,再证明△CBD一△OBC, 可推出∠BCD=∠BOC,即可得到∠ACB=2∠CAB: ②设∠E=∠A=x,求得∠OBE=∠OBC+∠CBE=90°-x+x=90°，即可得到OB⊥BE. 【详解】(1)解：，∠ACB=40°， .∠AOB=2∠ACB=80°， :∠OAC=15, .∠ADB=∠OAC+∠AOB=95°： (2)①略 ②略 8.(2024包头中考真题)如图，AB是⊙0的直径，BC,BD是⊙0的两条弦，点C与点D在AB的两侧， E是OB上-点0E>B6),连接O OC,CE∠BOC=2∠BCE ，且 8/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 0 图1 图2 I)如图1，若BE=1,CE=V5 ⊙0 ,求 的半径： (②)如图2，若BD=2OE,求证：BD∥OC.(请用两种证法解答) 【详解】(1)解：，OC=OB, <0ac=∠0cB=080P-∠B0c). .∠BOC=2∠BCE, &∠0C-080-2∠BcE)=90-∠BcE,即∠OBC+∠BCE=90 ∴∠0EC=90°， .OC2=0E2+CE2, 0c2=(0c-1+(5j, 解得OC=3, 即⊙0的半径为3 (2)证明：法一：过O作OF⊥BD于F, B D .BF-BD ·BD=2OE ∴.OE=BF, 又OC=OB,∠OEC=∠BFO=90° 9137 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 RtACEO≌RtAOFB(HL) .∠COE=∠OBF, .BD∥OC: 法二：连接AD, D :AB是直径， ∠ADB=90°， :4D=VAB-BD=V(20C-(20E}-20c2-0E=2CE OC_CE_OE_1 ·ABAD BD2' ∴.△CEO∽△ADB. .∠COE=∠ABD .BD∥OC. 考点02与圆有关的位置关系 1.(2025内蒙古中考真题)如图，AB是⊙0的直径，半径OC1AB,垂足为O,OC=2,P是BA延长线 上一点，连接CP,交⊙0于点D,连接AD,∠OCP=60°.过点P作⊙0的切线，切点为E,交CO的延 长线于点F a)求D的长： (2)求∠DAB的度数； 10137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)求cos∠OFP的值. 【详解】(1)解：如图，连接OD, C D B E 在⊙0中，OC=OD, 又：∠0CP=60°， ∴△OCD是等边三角形， .∠C0D=60°， 0C=2, 60元×22π CD的长= 1803 (2)解：：OC⊥AB, ∴.∠P0F=∠A0C=90° .∠AOD=∠AOC-∠COD=30°， :在⊙0中，OA=OD, A∠DAB=∠4D0=180-∠AOD=750 (3)解：如图，连接OE, D B :∠AOC=90°，∠0CP=60°. ∴.∠CP0=30°， :P0=5C0=2W5 11/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :OE是⊙0的切线， .∠OEF=90°，OE=OC=2, .∠0FP+∠FOE=90°， :∠POF=∠AOC=90°， .∠POE+∠FOE=90°， .∠OFP=∠POE, cos∠OFP=cos∠POE=OE2=3 P0253. 2.(2024呼伦贝尔兴安盟中考真题)如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙0交BC于点D,DE⊥AC,垂 足为E,OO的两条弦FB,FD相交于点F,∠DAE=∠BFD A E (I)求证：DE是⊙O的切线： ∠C=30°，CD=23 (2)若 ，求扇形 OBD 的面积 【详解】(1)证明：连接OD, 小 D OD=OA, .∠ODA=∠OAD. 又∠DAB=∠BFD,∠DAE=∠BFD, .∠ODA=∠DAE, 12/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE⊥AC, .∠ADE+∠DAE=90°， .∠ADE+∠ODA=90°，即OD L DE, 又OD是⊙O的半径： .DE是OO的切线： (2)解：∠C=30°，CD=25DE14C :DE=ICD-3 ∠CDE=60 又OD I DE, .∠BD0=180°-∠ODE-∠CDE=30°， .OB=OD :.∠OBD=∠ODB=30°， ∴.∠A0D=60°，∠B0D=120° 又OD=OA, .△AOD是等边三角形， .AD=OD,∠ODA=60°， .∠ADE=30°， DE 3 AD=- =2 在Rt△ADE中， cos∠ADE cos.30° 120m·224π “.扇形OBD的面积为360 3 3.(2024赤峰中考真题)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,⊙0经过B,C两点，与斜边AB交 于点E,连接CO并延长交AB于点M,交⊙O于点D,过点E作EF∥CD,交AC于点F. A (1)求证：EF是OO的切线： 13137 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②)若BM=4N2,an∠BCD=2,求OM的长. 【详解】(1)证明：连接OE,延长EO,交O0于点P,连接PD,BD,如图， D M AB=BC,∠ACB=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∠ABC=45, ,CD是OO的直径， ∠CBD=90°， ∠DBE=∠CBD-∠ABC=90°-45°=45°， ∠EPD=∠DBE=45, ∠DOE=2∠DPE=2×45°=90°， EF∥CD, “∠FE0=∠DOE=90°，即OE⊥EF, .OE是⊙0的半径， ,.EF是⊙O的切线： ②)解：“∠DBC=90,an∠BCD 2 DB 1 .BC2' BC=AC, 14137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DB 1 .AC2: :∠DMB=∠CMA,∠A=∠DBM, .△DBM∽aACM, BM DM DB 1 ÷AM"CM=AC2, ..BM=4V2 AM=2BM=82 :1B=4M+BM=82+42=12N5 在等腰直角三角形ABC中，AC2+BC2=AB2, :4C2+4C2=AB=(22, 解得，AC=12, ..AC=BC=12, .DB=BC=6, 在RtBDC中，CD=VBC2+DB=Vi2+6=6√5， :C0=D0=3W5 DM 1 又CM=2, CM=2DM, 2DM+DM =CD=6V5, .DM=2V5 :OM=0D-DM=35-25=5 15/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2024呼市中考真题)如图，△ACD内接于⊙0，直径AB交CD于点G,过点D作射线DF,使得 ∠ADF=∠ACD,延长DC交过点B的切线于点E,连接BC. A B G D (I)求证：DF是⊙O的切线： ②若CD=8CG,B6=3CE=3 3 ①求DE的长： ②求⊙0的半径. 【详解】(I)证明：连接OD、BD,则∠ACD=∠ABD, :∠ADF=∠ACD, ∴∠ABD=∠ADF, ,AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， .∠ABD+∠BAD=90°， .∠ABF+∠BAD=90°， .OA=OD .∠OAD=∠ODA, ∴.∠ABF+∠ODA=90°， 即∠ODF=90°. .OD⊥DF, 又，OD为⊙0的半径， .DF是OO的切线： 16137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE B G. D (2)解：①：BE是O0的切线， .AB⊥BE, .∠ABE=90°， .∠ABC+∠CBE=90°， ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90° .∠ABC+∠BAC=90°. .∠CBE=∠BAC, :∠BAC=∠BDC. .∠CBE=∠BDC, 即∠CBE=∠BDE, 又∠E=∠E, ∴ACBEABDE, CE BE ·BEDE' ,BE=3CE=3, ∴.CE=1, 13 .3DE' .DE=9: ②：DE=9,CE=1, .CD=DE-CE=9-1=8, CD-SCG 3 :.CG-3CD=3 8 17137 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DG=CD-CG=8-3=5,GE=CG+CE=3+1=4, .∠GBE=90°， BG=GE2-BE23= .∠BAC=∠BDC,∠AGC=∠DGB, ∴.△AGCr△DGB, AG CG DG BG' AG 3 即5万， 4G=15 7, :1B=AG+BG=15V +7=225 7 7, 11万 .⊙0的半径为7， 5.(2024通辽·中考真题)如图，△ABC中，∠ACB=90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，OC为 半径作圆与AB相切于点D,连接CD. (I)求证：∠ABC=2∠ACD: (2)若AC=8,BC=6,求⊙0的半径， 【详解】(1)证明：如图，连接OD, C D ,AB为切线， .OD⊥AB 18/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠0DA=90°， :∠A+∠A0D=90°， :∠ACB=90°， ∴.∠ABC+∠A=90° .∠AOD=∠ABC, .∠AOD=2∠ACD, ∴.∠ABC=2∠ACD (2)解：在Rt△4BC中，4B=VBC+AC=6+8=10 :∠OCB=90°=∠ODB 在Rt△ODB和Rt△OCB中，OD=OC,OB=OB, Rt△ODB≌RtAOCB(HL) .'BD=BC=6. ∴.AD=AB-BD=4, 设⊙0的半径为r,则OD=OC=r,OA=8-r, 在RA0D中，产+4=8-r. 解得r=3, :⊙0半径的长为3 考点03与圆有关的计算 1.(2024包头·中考真题)如图，在扇形AOB中，∠AOB=80°，半径OA=3,C是AB上一点，连接OC, D是OC上-点，且OD=DC,连接BD.若BD1OC,则4C的长为《) D A.6 B.3 C. D.下 19137 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】B 【详解】解：连接BC, D B··OD=DCBD⊥OC ..OB=BC ∴.△OBC是等腰三角形， .OB=OC, ..OB=OC=BC, △OBC是等边三角形， .∠B0C=60°， ∠AOB=80° .∠AOC=∠AOB-∠BOC=20°， OA=3, 4C=20x3m-元 1803, 故选：B 2.(2024呼伦贝尔兴安盟中考真题)为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路。如 图、B与D是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心0，所对的圆心角都是2°，点4，C,O在同 一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是_米.（π取3.14，计算结果 精确到0.1) 、B 729 【答案】28.7 72π·OA 72π·OC 【详解】解：根据题意，得8= 180 lo= 180 ,公路弯道外侧边线比内侧边线多36米， 72π·0A72π.0C .180 =36 180 20/37 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 72x-(0A-0C）=36,即 2m·4C=36 180 180 90.90 解得AC= ≈28.7 π3.14 故答案为：28.7. 一 年模拟练测园 1.(2026呼和浩特·二模)如图，点A,B,C在⊙O上，∠A=40°，则∠BOC的度数是() B A.20° B.40° C.60° D.80° 【答案】D 【详解】解：.'∠A是BC所对的圆周角，∠BOC是BC所对的圆心角， ∴.∠B0C=2∠A=2×40°=80°. 2.(2026呼和浩特.一模)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,分别以点B、C为圆心、 BC的长为半径画弧，与BA、CA的延长线分别交于点D、E.若BC=4,则图中阴影部分的面积为 E D A.2T-4 B.4π-4 C.8T-8 D.4π-8 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得 ∠ABC:∠ACB=45,AB=AC=2BC=22,进而5s-2S形解答即可求解 掌握以上知识点是解题的关键。 21137 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：：∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB=45°， .BC=4, ..AB=AC=- 2BC=22, 六S阴E=2S扇形BCD-S△ABC=2 45m×4-1×2/2×22 9 =4π-8 360 故选：D 3.(2026通辽·一模)如图，在边长为4的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作弧 BD,剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 D 【答案】 23 3 【分析】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，根据正六边形的性质求出阴影部分扇形的圆心角度数，再 根据直角三角形的边角关系求出半径，由弧长的计算方法进行计算即可， 【详解】解：如图，过点A作AM⊥BF,垂足为M,则BM=FM, A ,六边形ABCDEF是正六边形， ÷∠BAF=∠E=6-2X180°=1209，AB=AF=EF=DE=4, 6 ∠ABF=∠AFB=∠DFE=-180,120°-30， 2 .∠BFD=120°-30°-30°=60°， 在Rt△ABM中，AB=4,∠ABM=30°， 22137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BM=5AB=25. 2 ∴BF=2BM=43, 设这个圆锥的底面半径为，由题意可得， 2r=60m×43 180 解得r=23 3 故答案为： 23 3 4.(2026包头一模)如图，AB是⊙O的切线，E为切点，以O为顶点作∠COD,交⊙O于点C,交 AB于点D,连接CE,交OD于点F. D B 四∠OCF与∠CED有什么数量关系，请说明理由： ②若O0的半径为2，∠C0D=90°，c0sC=25 求OD的长 【答案】①) 解：∠OCF+∠CED=90°，理由如下： 如图，连接OE .OC=OE, ∴.OCF=∠OEF .AB是⊙O的切线，E为切点， ∴.∠OED=90°，即∠OEF+∠CED=90°， ∴.∠OCF+∠CED=90°： 23137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A E D 2)0D= 【知识点】用勾股定理解三角形、三角函数综合、切线的性质定理 【分析】(1)连接OE,由OC=OE得到∠OCF=∠OEF,根据切线的性质得到 ∠OEF+∠CED=90°，即可求解： (2)由题意可推出，∠CF0+∠0CF=90°， 0C_2V5 CE 5 得到CF=V5,根据勾股定理求出OF=1, 证明∠EFD=∠CED得到DE=DF,设DE=DF=x,则OD=1+X,根据勾股定理列方程求出X,即可 求解。 【详解】(1)略 (2)解：：∠C0D=90,c05C=25 .∠CFO+∠OCF=90°， CFg,即3=26 0C-2V5 CF 5 ∴.CF=V5, ∴.0F=CF2-0C2=5-2-1 .:∠OEF+∠CED=90°，∠OCF=∠OEF,∠CFO+∠OCF=90°， .∠CFO=∠CED, .∠CFO=∠EFD, ∴.∠EFD=∠CED, ∴.DE=DF, 设DE=DF=X,则OD=OF+DF=1+X, 由勾股定理得0E2+DE2=0D2,即2+X=x+12, 解得x=3 24137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0D=1+x=1+3-5 22 5.(2026锡林郭勒一模)如图所示，在平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，且AC⊥AB,对角线 AC=2V3,以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A,交BC边于点P,交AC边于点Q,连接DP, D (1)求证：PD与⊙A相切： (2)求阴影部分的面积. 【答案】Q)见解析 2)/3-乃 3 【分析】(1)连接AP,根据平行四边形的性质得AD=BC,AD‖BC,进而说明△APD≌△BAC, 可得∠DPA=∠CAB,再说明∠DPA=90°，则答案可证： (2)根据特殊角的三角函数值求出AB,再证明△ABP是等边三角形可得∠CAP=30°，接下来说明P为 BC的中点，然后求出SAACP-2 SAADC,最后根据S例影=S△ACPS扇整Po得出答案。 【详解】(1)证明：连接AP. B P ,四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD‖BC ∠DAP=∠APB, .AP=AB, 、∠APB=∠ABC, ∴.∠DAP=∠ABC, ∴△APD≌△BACSAS, 25137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠DPA=∠CAB, .AC⊥AB, .∠BAC=90°， ∠DPA=90°， .AP是⊙A的半径， .PD与⊙A相切： (2)解：，∠BAD=120°，AD‖BC, .∠ABC=180°-120°=60°， ∴.在Rt△BAC中，∠ACB=90°-60°=30°， 六AB=ACan30°=235×5=2. 3 .AB=AP=2,∠ABC=60°， “.△ABP是等边三角形， .∠PAB=60, ∴.∠CAP=30°， .·∠ACB=∠CAP=30°， ∴AP=PC, .AP=PC=BP, P为BC的中点 5 ABAC-×2x23=25. 1 SaAr25ac2×25=3. 1 2 :S扇形APQ 30π×AB230元×2_ 360 360 3 5s=58an5sw23-号 6.(2026呼和浩特二模)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BD和过点C的切线互相垂直， 垂足为D,且BD与⊙O交于点E. 26137 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B (1)求证：BC平分∠ABD: (2)若AB=4,∠ABC=30° ①求BE的长； ②求DE的长。 【答案】1)证明见解析 e02:②DE=1 3 【分析】(1)连接OC,根据BD和过点C的切线互相垂直，得到∠OCD=∠CDB=90°，则OC‖DB, 推出∠OCB=∠CBD,由OC=OB,得到∠OCB=∠OBC,则∠OBC=∠CBD,即BC平分 ∠ABD: (2)①连接BE,由∠ABC=30°，得到∠OCB=∠OBC=∠CBD=30°，即可证明△BOE是等边三 角形，得到∠BOE=60°，再根据弧长公式计算即可； ②连接CE,先证明四边形OBEC是菱形，得到CE=BE=OB=OC=2,∠ECD=30°，即可得到 DE-CE-1. 【详解】(1)解：连接OC, D B ,BD和过点C的切线互相垂直， .∠OCD=∠CDB=90°， 27137 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .OC‖DB, .∠OCB=∠CBD, .OC=OB. ∠OCB=∠OBC, ∴∠OBC=∠CBD, ∴.BC平分∠ABD: (2)解：①连接OE, D E ,∠ABC=30, .∠OCB=∠OBC=∠CBD=30°， ∴.∠OBE=∠OBC+∠CBD=60°， .OE=OB, ∴△BOE是等边三角形， ∠BOE=60°， .AB=4, ∴半径OC=OB=2, 60° ÷.BE的长为360 ×2π×2 3n: ②连接CE ,△BOE是等边三角形， ∴.BE=OB=2=OC, OC‖DB, ∴四边形OBEC是菱形， ∴.CE=BE=OB=OC=2,∠CEB=180°-∠OBE=120°， .∠ECD=30°， 28137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.DE=1CE=1. 2 7.(2026通辽一模)如图，⊙O是△ADC的外接圆，AB为⊙O的直径，DE‖AC,连接OD,OC, OC的延长线交DE于点Z,OD交AC于点R,若∠ACD=号∠COD. I)求证：DE是⊙O的切线： ②)若an∠ACD=,AD=6 ①求⊙O的半径； ②求CE的长. 【答案】1)见解析 (2)①⊙O的半径为5：②CE= 90 1 【分析】(1)证明OD⊥AC,得到OD⊥DE,即可证明DE是⊙O的切线： ②@限提正切屉数的定义求得册是得到BD=9,再利用匀段定理即可求解， DF=3x,CF=4x,由勾股定理求得x=;,再利用平行线分线段成比例即可求 【详解】(1)证明：，CD=CD, ∠CAD=1 ∠COD, :∠ACD=∠COD, ∴.∠ACD=∠CAD, ..AD=CD. .OD⊥AC, .DE‖AC, ∴OD⊥DE, 29137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :OD是⊙O的半径， .DE是⊙O的切线： (2)解：①，AB为⊙O的直径， ∠ADB=90, .AD=AD. ∠B=∠ACD, tanB=tan∠ACD=3 即AD=3 BD 4' .AD=6, BD=8, AB=/62+82=10 ∴⊙0的半径为5： ②，∠ACD=∠CAD ∴.AD=CD=6, :OD1AC,tan∠ACD=3 是 设DF=3x,CF=4X, CD-CE2+DF2=5x=6 解特×号 CF=24 ..DF=18 1 OF=0D-DF=5-18=Z 5 DE‖AC,即DE‖CF, _OC CE 即 18 CE 5 30/37 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CE=90 8. (2026呼和浩特一模)如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC 相切于点D. I)求证：AD平分∠BAC: (2)若BE=2,BD=4,求⊙O的半径. 3)在(2)的基础上，求tan∠ADC的值？ 【答案】(1)证明见解析 2)3 3)2 【分析】(1)连接OD,根据切线的性质得OD⊥BC,即可说明OD‖AC,可得∠2=∠3，再根据等 边对等角得∠1=∠3，进而得出∠1=∠2，则此题可解； (2)设00的半径为，可得0D=r,0B=2+r再根据勾股定理得(r+2?=r2+4, 求出解即可得出答 案 E)由Q)得DO=E0=3.AE=6,再说明ABOD一△BAC,可有%--2然后代入数面 求出AC=关BC三号接下来求出CD三号，最后很据正切定义得出管案 【详解】(1)证明：连接OD, ,BC是⊙O的切线， .OD⊥BC ,AC⊥BC, .OD‖AC, ∴.∠2=∠3 0A=OD 31137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠1=∠3， ∴∠1=∠2， ∴.AD平分∠BAC: 3 B (2)解：设⊙O的半径为r,则OD=r,OB=2+r, 在Rt△BOD中，OB2=BD+OD, 即(r+22=r2+42 解得r=3, 所以⊙O的半径为3： (3)解：由(2)得DO=E0=3,AE=6. OD‖AC, .△BOD-△BAC :.BO=DO_BD AB AC BC 即2+3-3、4 2+6 AC BC' 解得AC=2 ,BC=32 :CD=BC-BD=2-4=号 24 在Rt△ACD中，tan∠ADC=AC 5=2. CD 12 5 9.(2026赤峰一模)如图，在△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相 切于点D. 32137 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：AD平分∠BAC: 2)若AD=23,AE=4,求图中阴影部分的面积. 【答案】) 证明：连接OD,则OA=OD, ∴.∠DAO=∠ODA. ,BC是⊙O的切线， .∴.OD⊥BC, .'∠C=90°，即AC⊥BC, ∴.OD‖AC ∴.∠CAD=∠ODA, ∴.∠DAO=∠CAD .∴.AD平分∠BAC: ® 3n-3 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、切线的性质定理、求弓形面积 【分析】(1)连接OD,由等腰三角形的性质得∠DAO=∠ODA,证明ODAC得∠CAD=∠ODA, 进而可证AD平分∠BAC: (2)连接DE,由AE为直径得∠ADE=90°，然后由勾股定理求得DE的长，利用锐角三角函数的知识 求出∠DAE=30°，然后由S阴影=S扇形AoD-S△AoD求得答案. 【详解】(1)略 (2)解：连接ED, 33137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE D 为直径， .∠ADE=∠C=90°， .DE2=AE2-AD2=4, ∴.DE=2 在Rt△ADE中，sin∠DAE=DE=1 AE 2' ∴.∠DAE=30°， ∴.∠AOD=120°， SAD0号AD·DE=号×x293x2=3 22 120π×22 .S扇形AOD 360 3 5m题=S原原0DS6A00号-3 4 【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线的定义，等腰三角形的性质，解直角三角形以及扇 形的面积，正确作出辅助线是解答本题的关键 10.(2026巴彦淖尔一模)如图：已知BD是⊙O的直径，A、C是⊙O上的点，过C作直线CF与BD的 延长线交于点F,过点B作BE⊥CF于点E,连接AC,∠ACE=∠ADC. C 图1 图2 (1)求证：直线CF是⊙O的切线 (②)如图：若tan∠CBE= 丽，BD=4,求EC及阴影部分面积 1 【答案】(1)证明：连接OC,如图， 34137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∵AB=AB ∴.∠ADB=∠ACB, .∠ACE=∠ADC, ∴.∠ACE-∠ACB=∠ADC-∠ADB, ∴.∠BCE=∠BDC, BD是⊙O的直径， ∴.∠BCD=90°， OD=OC. ∴∠BDC=∠OCD, .∴.∠OCD+∠BCO=90°， .∴.∠BCE+∠BCO=90°， ∴.∠ECO=∠BCE+∠BCO=90°， ∴.OC⊥EF, 又.点C在⊙O上， 直线CF是⊙O的切线： 2EC=3,S 3n-3 【知识点】解直角三角形的相关计算、求其他不规则图形的面积、半圆（直径）所对的圆周角是直角、证 明某直线是圆的切线 【分析】(1)连接CO,根据圆周角定理可知∠ADE=∠ACE,根据∠ADC=∠ACE可得 ∠BDC=∠BCE,根据直径所对的圆周角是直角可知∠OCD+∠BCO=90°，等量代换可证 ∠ECO=∠BCE+∠BCO=90°，所以可知OC⊥EF,根据切线的定义可证直线CF是⊙O的切线： (2)设CE=X,则BE=V3x,利用勾股定理可得BC=2x,由(1)可知∠BCE=∠BDC,可得： ∠C6E-∠DBC.可ta∠D8C-瓷3，从而可得：DC-25x 根据勾股定理可得 3 35137 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12x2+ 23x2 42,解方程可得x=3:可知CE=3:BC=23:DC=2根据扇形的面积公式和 3 三角形的面积公式可知S分=S分原aoc一S。0度号T-3 4 【详解】(1)略 (2)解：连接OC,过点O作OM⊥BC于点M,如图， :'tan∠CBE=CE=1 BE 3' 设CE=X,则BE=V3x, 又BE⊥CE, ∴.∠BEC=90°， 在Rt△BCE中，∠BEC=90°， ..BC=CE2+BE=Vx2+3xP=2x 由(I)可知∠BCE=∠BDC,且∠BEC=∠BCD=90°， ∴.∠CBE=∠DBC, .tan∠DBC=tan∠CBE=DC=1 BC丽 :.DC= BC 2x 23x 9333 在Rt△BCD中，BD=BC2+DC2, .BD=4, .2x+ 23x=4 3 .x=3, ∴.CE=V3,BC=2x=2V3 36137 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Dc-25=2, 3 BD=4, ∴.OD=OC=2, ∴.△ODC是等边三角形， ∴.∠BDC=∠OCD=∠DOC=60°， ∴.∠B0C=180°-∠D0C=180°-60°=120°， ∴.∠DBC=90°-∠BDC=90°-60°=30°， =120×π×0C2=n×2=4, ∴.S扇形0c-360 3 3 .OB=OC=2,且∠DBC=30°， ∴.△OBC是等腰三角形， ∴.BM=CM=3, 在Rt△BOM中，OM2=OB-BM2, 即oM=OB-BMm=2-R3=1 5aox=0MBC=×1×283=R3, Sg=55c-5专-啊 37/37