专题05 四边形（3年汇编）（内蒙古专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦四边形专题，汇编2024-2026年内蒙古中考真题及模拟题，覆盖多边形至正方形全考点，突出折叠（如2025统考平行四边形折叠大题）、旋转（如2024呼市正方形旋转探究）等高频命题载体，适配中考分层复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|3-4分/题|多边形内角和（2024赤峰正多边形题）、菱形判定（2024通辽题）|结合考情，高频考点如中点四边形、直角三角形斜边中线性质| |解答题|7-10分/题|平行四边形折叠（2025统考两问探究）、正方形旋转（2024呼市手拉手模型）|梯度设问，第一问证明第二问计算，融合全等、勾股定理，区分度高|

学科网 考点01多边形 1.B 考点02菱形 1.【详解】(1)解：①S8 ∴.E为AD的中点， ∴AE=DE, F是边BC的中点， .BF=CF, :AE=CF, 在ABCD中，AD‖BC .∠EAH=∠FCH, 又，∠AHE=∠CHF, :.AAHE≌aCHF(AAS), .AH=CH, .H是AC的中点： ②AE=BF,AE∥BF .四边形ABFE为平行四边形， .AB∥EF, .△AGB∽AHGE, www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05四边形 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 =SDCE 1/23 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 AB AG EH GH, ,△AHE≌aCHF, ..EH=FH, AB_AG=2 EH GH ∴.AG=2GH」 oH-号-c ∴.AG:GH:HC=2:1:3. (2)解：线段AM与线段AW之间的数量关系为：AM=3AW,理由如下： 连接BD交CW于点F,如下图： M A E D --- 由题意，BE的延长线与CD的延长线相交于点M,连接AM,CE的延长线与AM相交于点N, :AE=DE,∠AEB=∠DEM 又AB∥CD, .AB∥CM, .∠ABE=∠DME ∴.△AEB≌△DEM(AAS) .AB=DM, ∴四边形ABDM为平行四边形， ∴.AM=BD,AB=MD AB=CD. .DM=CD, 2/23 西学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 :D为CM的中点， DF∥MN, CD CF 1 “CMCN2, .F为CN的中点， DF为△CMN的中位线， DF-A .AE=DE,∠AEN=∠DEF,∠NAE=∠FDE .△AEN≌aDEF(ASA) .DF AN, :.DF=AN=-MN 2 ..MN =2AN, .AM AN+MN =3AN, .AM =3AN. 2.【详解】(1)解：①由翻折得AD=DP,∠DAB=∠DPB, ,四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,∠DAB=∠BCD. .DP=BC,∠DPB=∠BCD, 又.∠DMP=∠BMC, .△DPM≌△BCM, .PM=CM: ②由△DPM≌△BCM, .DM=BM, 如图，过点M作MN⊥BD于点N,过点B作BH⊥CD于点H, 3/23 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 H DN=BN=1BD=5 2 2」 ..BD=BC=5,CD=6, DW -CH-CD-3 :o∠CDB-H-3N BD 5 DMDM, .DM=25 6, MN=DM2-DN:=10 3 Sm-BDxM5x 125 21 ×33: (2)解：过点C作CP⊥BD于点P,连接AG交BD于点T,过点B作BH⊥CD于点H, F D B C 由翻折的性质得AG⊥BD, DH=CH=-CD=3 同(2)可得 2 ..BH=BD2-DH2=4. 1 二CD·BH=BD.CP 2 即6×4=5·CP CP=24 得 5, 4/23 品学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 BP=BC2-CP2 平行四边形ABCD中，AD=BC,AD∥CB, .∠ADT=∠CBP 又.∠ATD=∠CPB=90°， .△ADT≌△CBP, DT=BP 718 DP=BD-BP=5- 55, .AG⊥BD,CP⊥BD. .GT∥CP, .△DGTm△DCP, DG DT ..DC DP 7 DG 5 6=8 即 5, 解得： DG-3 考点03菱形 1.D 2.2V 3.V85 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,即AF∥BE, :.∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA, O为BF的中点， 5/23 函学科网 .BO=FO, .△AOF≌△EOB, .BE=FA, :AF∥BE, .四边形ABEF是平行四边形， 又AB=AF, ∴.四边形ABEF是菱形： (2)解：AD=BC,AF=BE, DF=CE=1, :平行四边形ABCD的周长为22， .菱形ABEF的周长为：22-2=20， .AB=20÷4=5, ,四边形ABEF是菱形， ∠BAE=1∠BAD=1x1200=60, 2 2 又AB=AE, ∴.△ABE是等边三角形， AE=AB=5 考点04矩形 1.C 2.A 3.46 5 www zxxk .com 让教与学更高效 6/23 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 考点04正方形 1.A 15v2 2.4 3.【详解】(1)证明：，AB平分∠CAE, .∠CAB=∠BAF, :AB∥DF, ∴.∠EFD=∠BAF, .∠CAB=∠EFD, 在△ACB和△FED中， [∠ACB=∠FED AC=FE ∠CAB=∠EFD :.△ACB≌aFED(ASA) .AB=FD, 由，AB∥DF, ∴.四边形ABDF是平行四边形. (2)四边形BGED是正方形. 过点B作BG⊥AE于点G, ∠BGE=∠DEG=90°， ,四边形ABDF是平行四边形. :.BD∥AE,BD=AF, .∠GBD+∠BGE=18O°，∠DEG+∠EDB=180°， ∴.∠GBD=90°，∠EDB=90°， 由(1)△ACB≌AFED, ..CB=ED, .CB=AF, .'ED=AF, 7123 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .BD ED .四边形BGED是正方形. C B D G E 4【详解】解：BE=DF;BE⊥DF;理由如下： 如图，，四边形ABCD是正方形， AB=BC=CD=AD=2,∠BAD=90°， :△AEF是等腰直角三角形，AE=1, ∴.AE=AF=1,∠EAF=90°， D B ∴.∠BAE=∠DAF, .△BAE≌△DAF, .BE=DF,∠ABE=∠ADF, .∠AMB=∠DMG. .∠BGD=∠BAM=90°， .BE⊥DF; (2)如图，，四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90°， 8/23 可学科网 ,点O是BD的中点， ..OA=OB=OD BE⊥DF, .LBGD=90°， 点O是BD的中点， ..OG=OB=OD. ∴.OA=OD=OG； (3)如图，.∠BGD=90°，OB=OG=OD G在以O为圆心，OD为半径的⊙0上， 过F作FN⊥AD于N, 当∠BAE=a=60°时， ∴.∠DAF=a=60°，∠AFN=30°， AF=AE=1, 2 .DW=2-1=3 22.DF=VFN2+DN2=3 w.zxxk.com 让教与学更高效 9/23 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .AF2+DF2=1+3=4=AD2, .∠AFD=90°， .∠ADF=30°， ∴.∠AOG=2∠ADF=60°， 而∠EAF=∠EGF=90°，AE=AF=1, .四边形AEGF是正方形， ∴.当旋转角a从0°变化到60°时，G在AG上运动， AB=2,OA=OB,AO⊥BD, 0A=2x5-V5 2 60元×√2V2元 点G经过路线的长度为1803 一年模拟练测园 1.B 2.B 3.D 4.5V2-5 5.210 6.【答案】(1)见解析 e 3 e唱 【分析】(1)利用HL证明△BFG≌△BCG HL即可： C=X,则BH=BF+FH=6+X,根据勾股定理得出8+X=6+x,求H 出答案： 10/23 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)延长BH,AD交于点Q,设FH=HC=x,根据勾股定理求出x,证明△BFG一△BCH,设 AE=EF=m,则DE=8-m,然后对应边成比例即可求出结果， 【详解】(1)证明：，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BF,∠BFE=∠A=90°，∠BFG=90°=∠C, .∴.AB=BC=BF, 在Rt△BFG和Rt△BCG中， BG=BG BF=BC 故△BFG≌△BCG HL: (2)解：，四边形ABCD为矩形， .∠C=∠A=90°，CD=AB=6,BC=AD=8, 根据翻折可得：AB=BF=6,∠BFE=∠A=90°， 设FH=HC=X,则BH=BF+FH=6+X, 在Rt△BCH中，BC2+CH=BH2, .82+x2=(6+x2 解得：X子 .DH=DC-HC= 3 (3)解：如图，延长BH,AD交于点Q, E G 图② 根据解折2》可得：∠BFG=180°-90°=90°，CH-子B1=6+子5 33 .∠BFG=∠BCH=90°， ,∠HBC=∠FBG, ∴.△BCH一△BFG, 11/23 品学科网 www.zxxk.com ·BF=BG-FG BC BH HC' .6_BGFG ·825 7, 3 3 BG=2 ,FG=7 Γ4 :在矩形ABCD中，AD‖BC, D ∴.△EFQ~△GFB G 图② 器器 、8. 3 DQ 11 DQ= 8 7 设AE=EF=m, 则DE=8-m, :.EQ=DE+DQ=8-m+88=14-m, 77 .△EFQ一△GFB, ..EQ-EF BG FG 144 ,-m m 25 4 4 m=9 1 12/23 让教与学更高效 △DHQ~△CHB 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 :AE的长为2 9 7.【答案】(1)证明见解析 (Q)0BH=2HF,证明见解析，②EF=2G 【分析】(1)由旋转可得AC=AC,∠CAC=90°，∠ACB=∠ACD=90°，则 ∠ACB=∠ACH=∠CAC=90°，即可证明四边形ACHC是正方形. (2)①由四边形ACHC是正方形得到AC=AC=CH=CH=2,∠CHC=90°，再根据 tan∠B=AC=HE21 BC-BH-4-2 ,得到BH=2HF: ②过E作EN⊥AD于N,过D作DM⊥AB于M,先求出BD=3,AF=BF=AD=5,再根据 tan∠B=DM-1 B-号求出DM-6.AM-85,得am上EAw-器-2-异核EN-3a 则AN=4a,AE=5a,由∠ADE=45°，得到EN=DN=3a,根据AD=AN+DN列方程求出， 0=号5。A5=50=号5，最后根据EF=AF-AE求解即可， 【详解】(1)证明：，将△ACD绕点A顺时针旋转90得到△ACD, .AC=AC,∠CAC=90°，∠ACB=∠ACD=90°， .∠ACB=∠ACH=∠CAC=90°， .四边形ACHC是矩形， .AC=AC, .四边形ACHC是正方形. (2)解：①BH=2HF,证明如下： .AC=2,四边形ACHC是正方形. ∴.AC=AC=CH=CH=2,∠CHC=90°， BC=4, ∴tan∠B=AC=HE=2_1 BC BH 4 2 ..BH=2HF: ②过E作EN⊥AD于N,过D作DM⊥AB于M, 13/23 函学科网 www.zxxk.com D .BC=4,CD=1, BD=BC-CD=3'AB=AC2+BC2=25'AD=AC2+CD ∴HBH=1,BF=BP+FF=5, ..AF=AB-BF=5, tan∠B=DM-1 BM 2' .BM=2 DM, .BM2+DM2=BD2, 2DM2+DM2=32' 解得DM=音5（负值含去）. :.BM=2DM-65.AM-AB-BM=45. 5 tan∠EAW=EN-DM_3 AN AM 4' 设EN=3a则AN=4a'AE=AN2+EN=5a 由旋转可得AD=AD,∠DAD=90°， .∠ADE=45°， ∴.∠NDE=∠NED=45°， ∴.EN=DN=3a, .AD=AN +DN. :V5=4a+3a, 14/23 .乙=乙-b=HD-O8=Ha.S6= 举皇重奈与裤平 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 解得a=号85， :AE=5a=55, EF-Ar-AF-Y5-5V5-2Y5. 8. 【答案】(1)四边形BEFE是正方形，理由详见解析；(2)CF=FE,证明详见解析；(3)3V17 【分析】(1)由旋转可知：∠E=∠AEB=90°，∠EBE=90°，再说明∠FEB=90°可得四边形 BEFE是矩形，再结合BE=BE即可证明： (2)过点D作DH⊥AE,垂足为H,先根据等腰三角形的性质得到AH=AE,再证△AEB≈ADHA 可得AH=BE,再结合BE=BE、CE=AE即可解答： (3)过E作EG⊥AD,先说明∠1=∠2，再设EFX、则BE=FE'=EF=BE'X、CE'=AE=3+x,再在 Rt△AEB中运用勾股定理求得x,进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和 EG的长，最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可. 【详解】解：(1)四边形BEFE是正方形 理由：由旋转可知：∠E=∠AEB=90°，∠EBE=90°，BE=BE 又.'∠AEB+∠FEB=180°，∠AEB=90° .∴.∠FEB=90° .四边形BEFE是矩形. .BE=BE. 四边形BEFE是正方形： (2)CF=FE. 证明：如图，过点D作DH⊥AE,垂足为H, 15/23 函学科网 D 3 E 1 H B 则∠DHA=90°，∠1+∠3=90° .DA=DE AH=号A5 .四边形ABCD是正方形， ∴.AB=DA,∠DAB=90°. ∴.∠1+∠2=90 .∠2=∠3 .∠AEB=∠DHA=90°， ∴.△AEB≈△DHA ∴.AH=BE .BE=E F ∴.AH=EF .CE=AE, .FE-TCE ∴.CF=FE; (3)如图：过E作EG⊥AD www.zxxk.com 让教与学更高效 E 16/23 函学科网 www.zxxk.com D 力 、E G 2 E B ∴.GE/IAB .∠1=∠2 设EFX,则BE-FE'=EF=BE'X,CE'=AE-3+x 在Rt△AEB中，BE-X,AE-x+3,AB=15 ∴AB2=BE2+AE2,即152x2+(x+3)2,解得x=-12（舍)，x=9 ∴.BE=9,AE=12 AB15亏co∠1-=AE=12、4 ∴sim∠1=BE=9_3 AB155 2-AG-AG=3 022-GE_GE_4 AE125 AE125 ∴.AG=7.2,GE=9.6 .∴.DG=15-7.2=7.8 DE/7.82+9.62=153=3/171 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形 题的关键. 9. 【答案】(1) 解：四边形ABFE为菱形，理由如下： 证明：四边形ABCD是平行四边形， AD‖BC, .∠DAF=∠AFB,∠AEB=∠EBC, .BE平分∠ABC,AF平分∠BAD, ∴.∠ABE=∠EBC,∠BAF=∠DAF, 17/23 让教与学更高效 等知识，综合应用所学知识是解答本 函学科网 ∴.∠BAF=∠AFB,∠ABE=∠AEB, .'.AB=BF,AB=AE, ..AE=BF, 又AE‖BF, .四边形ABFE为平行四边形， 又，AB=AE ∴.四边形ABFE为菱形： (2)①证明：连接BO, H ,四边形ABCD是平行四边形， AB‖CD, .∠H=∠HCD, .CH平分∠BCD, .∠BCH=∠HCD. .∠H=∠BCH, .'BH=BC. .BE平分∠ABC, .GH=CG,BG⊥CH, “.∠BGH=∠BGC=90°， 由旋转的性质，得∠N=∠BGH=90° .∠BGC=∠N=90°，MN=CG, 又.BO=BO .Rt△BOG≌Rt△BON HL, ..OG=ON, ..MN-ON=CG-OG,OM=OC: www.zxxk.com 让教与学更高效 MN=HG,BN=BG, 18/23 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 810 ②OB的长为 3或V73 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算、利用平行四边形 的性质求解 【分析】(1)先证明四边形ABFE为平行四边形，再证明四边形ABFE为菱形即可； (2)①先证明Rt△BOG≌Rt△BON HL,推出OG=ON,即可证明OM=OC: ②分两种情况讨论，当∠CNM=90°和∠NCM=90°时，利用解直角三角形的知识求解即可. 【详解】(1)略 (2)①略 ②解：AD‖BC, .∠AEB=∠GBC, rtan∠AEB=3 :∠BGC=90, tan∠GBC=CC=3 BG 4 ∴.设CG=3X,BG=4x, BC-CG2+BG2=5x .BC=10, .5x=10, 解得X=2, .CG=6,BG=8, 由旋转的性质得MN=6,BN=8, 如图，当点N在线段BC上时，∠CNM=90°， H E N C 即△CMN是以CN为直角边的直角三角形， ∴.CN=10-8=2, 19/23 西学科网 www.zxxk.com ,tan∠GCB= BG_8_4 CG 6 3 ON4 "CN3' O-CN- 31 B=VBN2+0N2=82+ 2 8 810: 3 如图，当点N在线段CB下方时，∠NCM=90°， H B 即△CMN是以CN为直角边的直角三角形， 由①可知OM=OC, .∠OMC=∠OCM, .∠OMC+∠ONC=90°，∠OCN+∠OCM=90°， .∠OCN=∠ONC, ..ON=OC, ..ON=OC=OM=-MN=3, ∴.0G=6-0C=3, 六0B=VBG2+0G=V82+32-V73 综上，OB的长 8D或73 BF,DG,延长BF交DG于点H,连接CH.请写出BH、CH 【答案】1) ①全等，原因如下： 20123 让教与学更高效 DH之间的数量关系，并说明理由. 可学科网 www.zxxk.com 在菱形ABCD中，BC=DC,∠BCD=120°： 在菱形EFCG中，FC=GC,∠FCG=120°： ∴.∠DCG+∠FCD=120°=∠BCF+∠FCD, 则∠DCG=∠BCF, 在△BCF和△DCG中， BC=DC ∠DCG=∠BCF, FC=GC ∴.△BCF≌△DCG SAS: ②BG=3CG+DG,理由如下： 过点C作CH⊥FG,如图所示： B 在菱形EFCG中，FC=GC,∠FCG=120°，则∠HFC=∠ 在Rt△FHC中，CH=FC,FH=3CH,则FH=飞rC ∴.FG=V3CG, 由①知△BCF≌△DCGSAS,则DG=BF, ∴.BG=BF+FG=DG+3CG: (2) BH=V3CH+DH,理由如下： 在BF上取点I,使BI=HD,连接CI,如图所示： A 由(1)①知△BCF≌△DCG SAS,则∠CBI=∠CDH, 在△BCI和△DCH中， 21/23 让教与学更高效 HGG-30.FH-GH-FG. =3 CG, 2 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 BC=DC ∠CBI=∠CDH, BI=HD .△BCI≌△DCH SAS, .CI=CH,∠BCI=∠DCH, 由(1)①知∠DCG=∠BCF,则∠FCI=∠HCG, .'∠FCG=∠FCD+∠DCH+∠HCG=120, .∴.∠HCI=∠FCD+∠DCH+∠FCI=∠FCD+∠DCH+∠HCG=120°， 过点C作CJ⊥HI,如图所示： 在△HCI中，CI=CH,∠HCI=120°，则∠JIC=∠JHC=30°，Ⅱ=JH=H, 在Rt△IC中，CJ=C1,I=R5C,则I=3I-距cH, .'HI=3CH, ∴.BH=BI+IH=DH+V3CH 【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质证明、三角形内角和定理的应用、全等的性质和 SAS综合(SAS) 【分析】(1)①由菱形性质得到相关边、角相等关系，再由三角形全等的判定定理说明即可；②过点C作 CH⊥FG,在△FCG中得到FG=V3CG,再由全等得出DG=BF,数形结合即可表示出 BG、CG、DG之间的数量关系： (2)在BF上取点I,使BI=HD,连接CI,构造出△BCI≌△DCH SAS,得到相应边与角的相等关 系，进而求出∠HCI=120°，同(1)②中求证线段之间关系的方法即可得出BH、CH、DH之间的数 量关系 【详解】(1)①略 ②略 (2)略 22123 函学科网 EZ EZ U山0)'YXXZ·MMM 让教与学更高效西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05四边形 5年真题1年模拟 中考品题透析园 内蒙古考情(2024 考点分类 命题规律 2026) 以选择、填空小题为 多边形（内角 主，分值3分：赤峰 考查多边形内外角和公式：正多边形角度计 和、外角和、正 考过正多边形纸片角 算：中点四边形高频，依托三角形中位线，根 多边形) 度题：模拟题常考中 据原四边形对角线判断新四边形形状。 点四边形。 选择、填空、解答均 平行四边形（性 有考查：解答题7-9 考对边、对角、对角线性质与判定；折叠变换 质、判定、折 分，包头、2025内蒙 是高频载体；多小问梯度设问，第一问证明， 叠) 古统考考过纸片折叠 第二问求线段、面积；常结合中位线。 探究大题。 菱形（性质、判 选择填空3-4分， 考对边、对角、对角线性质与判定；折叠变换 定、计算) 也出解答小问；通辽 是高频载体；多小问梯度设问，第一问证明， 1/11 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考判定选择题，包 头、统考考线段长度 第二问求线段、面积；常结合中位线。 填空。 客观题+解答，分值 3-8分：2026统考 矩形（性质、判 对角线相等且互相平分：直角三角形斜边中线 定、折叠、尺规 结合尺规作图考线段 性质高频；折叠问题抓全等、对应边相等：会 作图) 计算：折叠是热门题 结合等面积法求垂线段长度。 型。 选择填空、压轴解答 题，分值3-10分： 正方形（性质判 集合菱形+矩形全部性质：常和旋转、翻折结 定、旋转、综合 呼市、通辽频繁考综 合；多探究类大题，分层设问；融合全等、相 探究) 合探究，手拉手、旋 似、勾股定理，区分度高。 转模型多。 五年真题分类园 考点01多边形 1.(2024赤峰中考真题)如图，是正n边形纸片的一部分，其中l,m是正n边形两条边的一部分，若 1,m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是() 2/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.5 B.6 C.8 D.10 考点02平行四边形 1.(2024包头·中考真题)如图，在口ABCD中，∠ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE,CE,且 S.ABE =SDCE M E D G H 图1 图2 (I)如图1，若F是边BC的中点，连接EF,对角线AC分别与BE,EF相交于点G,H ①求证：H是AC的中点； ②求AG:GH:HC: (2)如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M,连接AM,CE的延长线与AM相交于点N.试探究线 段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论， 2.(2025内蒙古·中考真题)如图，ABCD是一个平行四边形纸片，BD是一条对角线，BD=BC=5, CD=6 F 、 B 图1 图2 (I)如图1，将平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A的对应点落在点P处，PB交CD于点M. 3/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①试猜想PM与CM的数量关系，并说明理由； ②求△BDM的面积： (②)如图2，点E,F分别在平行四边形纸片ABCD的AB,AD边上，连接EF,且EF∥BD,将平行四边 形纸片ABCD沿EF折叠，使点A的对应点G落在CD边上，求DG的长. 考点03菱形 1.(2024通辽中考真题)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条件不能证明口ABCD是菱形 的是() A A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD C.OA2+OD2=AD2 D.AD2+0A2=OD2 2.(2024包头·中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6,AC是一条对角线，E是AC 上一点，过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接DE.若CE=AF,则DE的长为 A B 3(2025内蒙古中考真厦)如图，在菱形1BCD中，4B=45 对角线BD的长为I6,E是D的中点， F是BD上一点，连接EF.若BF=3,则EF的长为 A E 4.(2024呼伦贝尔兴安盟中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF,连接 BF,点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E,连接EF 4/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C (I)求证：四边形ABEF是菱形： 2)若平行四边形ABCD的周长为22，CE=L,∠BAD=120°，求AE的长. 考点04矩形 1.(2025内蒙古中考真题)如图，ABCD是一个矩形草坪，对角线AC,BD相交于点O,H是BC边的 中点，连接OH,且OH=20m,AD=30m,则该草坪的面积为() D ⊙ A.2400m2 B.1800m2 C.1200m2 D.600m2 2.(2024包头·中考真题)如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两点，且BE=EF=FC,连接 G DE,AF,DE上AF相交于点，连接.若6二4BC=6 n sin/GBF ,则 的值为() D E V10 310 1 A.10 B.10 C.3 3.(2026内蒙古中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,AC是它的一条对角线，以点B为 圆心，BA长为半径画弧，交AC于点E(异于点A),分别以点A和点E为圆心，大于AE长为半径，在 直线AC的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点M,连接BM,与AC交于点N,则BN的长为 5/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 考点05正方形 1.(2024呼伦贝尔兴安盟中考真题)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.E 是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长 是() D E 4.2V2 B.2+V2 C.4-25 D 2.(2024呼市·中考真题)如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰△ABF,AB=AF,AE平 分∠DAF交DC于点G,交BF的延长线于点E,连接DE.若BF=2,则DG= E D B 3.(2024呼市中考真题)如图，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE,AB平分∠CAE,AB∥DF. B E (I)求证：四边形ABDF是平行四边形： 6/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)过点B作BG⊥AE于点G,若CB=AF,请直接写出四边形BGED的形状. 4.(2024通辽中考真题)数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF利一个正方形纸板ABCD如 图1摆放，若AE=1,AB=2.将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转 (0°≤a≤90） 角，观察图形的变化， 完成探究活动. 609 图1 图2 图3 图4 【初步探究】 如图2，连接BE,DF并延长，延长线相交于点G,BG交AD于点M. 问题1 BE和DF的数量关系是 位置关系是 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题. 问题2 如图3，连接BD,点O是BD的中点，连接OA,OG.求证OA=OD=OG, 【尝试应用】 问题3 如图4，请直接写出当旋转角0从0°变化到60°时，点G经过路线的长度. 年模拟练测园 1.(2026包头一模)公园里有一个对角线互相垂直的四边形景观水池，工作人员打算在水池四边的中点 位置安装景观灯，并将这些灯用灯带连接起来，形成一个新的四边形灯带造型，四边形灯带造型的形状一 定是() A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 2.(2026巴彦淖尔一模)如图，社区要改造一个菱形广场，业主委员会要求绿化面积不低于总面积的 20%,承建商给出如下设计方案（阴影部分为绿化区域），请你用所学知识判断绿化面积在广场总面积中的 占比是() 7/11 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 R c A. D. 10 3.(2026锡林郭勒一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.若点E,F分别为AD, AO的中点，连接EF,EF=4,AF=3,则四边形ABCD的周长为() 4 E A.4V7 B.24 c.8V7 D.40 4.(2026包头一模)如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接BE,CE.若∠ECB=45°， ∠CED=2∠ABE,AB=5,则AE的长为 D B C 5. (2026呼和浩特·二模)如图，在矩形ABCD中，AD=2,AB=5,点O为边AB上一点，且AO=1, 点E在边CD上.将矩形ABCD沿OE折叠，若线段OC恰好经过点D,则线段OE的长是 C B 0 B 6.（2026锡林郭勒一模)结合图形，解答下列各题： 8/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D H 图① 图② (I)发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长 EF交CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG. (2)探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8,AB=6.将△AEB沿BE翻折到 △BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H,且FH=CH,求DH的长： (3)在(2)的条件下求AE的长. 7.(2026呼和浩特·二模)已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，将△ACD绕点A 顺时针旋转90°得到△ACD.连接DD,交AB于点E.延长DC,分别交AB,CB于点F,H. C D H D (1)求证：四边形ACHC是正方形， (2)若AC=2,BC=4,CD=1, ①猜想BH与HF的数量关系，并证明： ②求EF的长度 8.（2026通辽一模)综合与实践 问题情境： 如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将RAABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到 △CBE(点A的对应点为点C),延长AE交CE于点F,连接DE. 猜想证明： 9/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图① 图② (1)试判断四边形BEFE的形状，并说明理由； (2)如图②，若DA=DE,请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明 解决问题： (3)如图①，若AB=15,CF=3,请直接写出DE的长. 9.(2026赤峰·一模)综合与探究 【问题情境】在口ABCD中，AB<AD,BE平分∠ABC交AD于点E. H H B 图1 图2 备用图 (I)【猜想证明】如图1，AF平分∠BAD交BC于点F,连接EF,判断四边形ABFE的形状并证明. (2)【深入探究】CH平分∠BCD交BA的延长线于点H,交BE于点G.将△BHG绕点B顺时针旋转 a0°<a<180得到△BMN,点H,G的对应点分别为M,N,直线CG与直线MN相交于点O. ①以图2为例，求证：OM=OC; ②若BC=10,an∠AEB=3在旋转的过程中，连接CM,CN,当△CMN是以CN为直角边的直角三 4 角形时，连接OB,请直接写出OB的长， 10.(2026包头·一模)从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以菱形为背景对旋转中 的线段的数量关系开展探究.如图，菱形ABCD与菱形EFCG(BC>FC),∠BCD=120°，点F、G 分别在边BC、CD上. 10/11 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A O D E G F 图1 图2 图3 (I)如图1，菱形EFCG绕点C顺时针旋转，点F在菱形ABCD内部，连接BF，FG,DG,当点B、点F 和点G共线时， ①△BCF与△DCG全等吗？为什么？ ②请写出BG、CG、DG之间的数量关系，并说明理由： (②)如图2，菱形EFCG绕点C顺时针旋转，点F在菱形ABCD内部，连接BF,DG,延长BF交DG于点 H,连接CH.请写出BH、CH、DH之间的数量关系，并说明理由. 11/11可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05四边形 5年真题1年模拟 中考品题透析园 内蒙古考情(2024 考点分类 命题规律 2026) 以选择、填空小题为 多边形（内角 主，分值3分：赤峰 考查多边形内外角和公式：正多边形角度计 和、外角和、正 考过正多边形纸片角 算：中点四边形高频，依托三角形中位线，根 多边形) 度题：模拟题常考中 据原四边形对角线判断新四边形形状。 点四边形。 选择、填空、解答均 平行四边形（性 有考查：解答题7-9 考对边、对角、对角线性质与判定；折叠变换 质、判定、折 分，包头、2025内蒙 是高频载体；多小问梯度设问，第一问证明， 叠) 古统考考过纸片折叠 第二问求线段、面积；常结合中位线。 探究大题。 菱形（性质、判 选择填空3-4分， 考对边、对角、对角线性质与判定；折叠变换 定、计算) 也出解答小问；通辽 是高频载体；多小问梯度设问，第一问证明， 1/42 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考判定选择题，包 头、统考考线段长度 第二问求线段、面积；常结合中位线。 填空。 客观题+解答，分值 3-8分：2026统考 矩形（性质、判 对角线相等且互相平分：直角三角形斜边中线 定、折叠、尺规 结合尺规作图考线段 性质高频；折叠问题抓全等、对应边相等：会 作图) 计算：折叠是热门题 结合等面积法求垂线段长度。 型。 选择填空、压轴解答 题，分值3-10分： 正方形（性质判 集合菱形+矩形全部性质：常和旋转、翻折结 定、旋转、综合 呼市、通辽频繁考综 合；多探究类大题，分层设问；融合全等、相 探究) 合探究，手拉手、旋 似、勾股定理，区分度高。 转模型多。 五年真题分类园 考点01多边形 1.(2024赤峰中考真题)如图，是正n边形纸片的一部分，其中l,m是正n边形两条边的一部分，若 1,m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是() 2/42 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】B 【详解】解：如图，直线人m相交于点A,则∠4=60°， 正多边形的每个内角相等， ∴.正多边形的每个外角也相等， :∠1=∠2=180°-60° 60° 2 ..ns 360° 6006 故选：B 11 考点02平行四边形 1.(2024包头·中考真题)如图，在ABCD中，∠ABC为锐角，点E在边AD上，连接BE,CE,且 S。ABE=SDCE M E H 图1 图2 I)如图1，若F是边BC的中点，连接EF,对角线AC分别与BE,EF相交于点G,H. 3/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ①求证：H是AC的中点： ②求AG:GH:HC: (②)如图2，BE的延长线与CD的延长线相交于点M,连接AM,CE的延长线与AM相交于点N.试探究线 段AM与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论. 【详解】(1)解：① SABE =S.DCE E为AD的中点， :AE=DE, F是边BC的中点， :.BF=CF, ·AE=CF, 在ABCD中，ADIBC .∠EAH=∠FCH, 又，∠AHE=∠CHF, ∴.△AHE≌ACHF(AAS) :AH=CH, ∴H是AC的中点： ②AE=BF,AE∥BF ∴.四边形ABFE为平行四边形， AB∥EF, .△AGB∽△HGE. AB AG EH GH △AHE≌△CHF, .EH FH, AB_AG-2, EH GH .AG=2GH. 3 4/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AG:GH:HC=2:1:3: (2)解：线段AM与线段AN之间的数量关系为：AM=3AW,理由如下： 连接BD交CN于点F,如下图： M 由题意，BE的延长线与CD的延长线相交于点M,连接AM,CE的延长线与AM相交于点N, ·AE=DE,∠AEB=∠DEM 又：AB∥CD, AB∥CM, ∴.∠ABE=∠DME, ∴.△AEB≌ADEM(AAS) .AB=DM, ∴四边形ABDM为平行四边形， .AM=BD,AB=MD .AB=CD ∴.DM=CD :D为CM的中点， :DF∥MN, CD CF 1 CM CN2 ∴F为CN的中点， DF为△CMN的中位线， :.DF=IMN 5/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ·AE=DE,∠AEN=∠DEF,∠NAE=∠FDE AAEN≌△DEF(ASA) .DF AN. ∴.DF=AN=-MN :MN =2AN, .AM AN+MN =3AN, .AM=3AN 2.(2025内蒙古中考真题)如图，ABCD是一个平行四边形纸片，BD是一条对角线，BD=BC=5, CD=6 图1 图2 (I)如图1，将平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A的对应点落在点P处，PB交CD于点M. ①试猜想PM与CM的数量关系，并说明理由； ②求△BDM的面积 (2)如图2，点E,F分别在平行四边形纸片ABCD的AB,AD边上，连接EF,且EF∥BD,将平行四边 形纸片ABCD沿EF折叠，使点A的对应点G落在CD边上，求DG的长. 【详解】(1)解：①由翻折得AD=DP,∠DAB=∠DPB, ,四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,∠DAB=∠BCD, .DP=BC,∠DPB=∠BCD. 又：∠DMP=∠BMC, .△DPM≌△BCM, .PM=CM; ②由△DPM≌△BCM, .DM BM, 6/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如图，过点M作MN⊥BD于点N,过点B作BH⊥CD于点H, D A B 、DN=BN三B2=5 Γ2 BD=BC=5,CD=6, :DH-CH-CD=3, 5 ·cosCDB= DH 3 DN 2 BD5 DMDM :DM=2 : .MN=DM2 -DN =10 2*5x1025 3-3: (2)解：过点C作CP⊥BD于点P,连接AG交BD于点T,过点B作BH⊥CD于点H, 1 E 由翻折的性质得AG⊥BD, 同(2)可得DH=CH=)CD=3, BH=BD-DH =4 .S△BcD= CD:BH=BD:CP 即6×4=5.CP 7/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 得CP24 5 ∴BP=VBC2-Cp- 5 ,平行四边形ABCD中，AD=BC,AD∥CB, .∠ADT=∠CBP, 又：∠ATD=∠CPB=90°， .△ADT≌△CBP, :.DT=BP=3. 7 DP-BD-BP-5-7-1 55 :AG⊥BD,CP⊥BD, :.GT∥CP, .△DGT∽△DCP, DG DT :DC DP' > DG 5 即6=8， 5 解得：DG=7 3· 考点03菱形 1.(2024通辽中考真题)如图，口ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条件不能证明口ABCD是菱形 的是() A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD C.OA2+OD2=AD2 D.AD2+042=OD 8/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】D 【详解】解：A、:∠BAC=∠BCA, .AB=BC, :四边形ABCD是平行四边形， :.口ABCD是菱形，故本选项不符合题意： B、:四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ∴.∠ADB=∠CBD. ,∠ABD=∠ADB, ∠ABD=∠CBD .AB=AD, ∴.口ABCD是菱形，故本选项不符合题意； C、:OA2+OD2=AD2, .∠AOD=90°，即AC1BD, ,四边形ABCD是平行四边形， .口ABCD是菱形，故本选项不符合题意： D、AD2+OA=OD2, ∴.∠OAD=90°，无法得到口ABCD是菱形，故本选项符合题意： 故选：D 2.(2024包头中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6,AC是一条对角线，E是AC 上一点，过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接DE.若CE=AF,则DE的长为 B 【答案】 2v万 【详解】解：过D作DH⊥AC于H, 9/42 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E :菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6, .AB=BC=CD=AD,∠ADC=∠ABC=60°， :,△ABC,△ACD都是等边三角形， 六∠EAF=60,4C=AB=6,MH=CH=) 4C=3. ,EF⊥AB, .∠AEF=30°， .AE=2AF, 又CE=AF, ...AE=2CE, .CE=2, ..HE=CH-CE=1, 在Rt△CDH中，DH2=CD2-CH2=27, :DE=VDH+HE2=2万 2√7 故答案为： 32025内蒙古中考真题)图，有菱形18CD中，B=小5，对角 中， BD的长为I6,E是MD的中点， F是BD上一点，连接EF.若BF=3,则EF的长为 A E D √85 【答案】 【详解】解：连接AC,交BD于点O,过点E作EG⊥OD于点G, 10/42 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B ,四边形ABCD是菱形， AD=4B=45:BO=OD=BD=8 40 1 BD AO=VAD2-OD2=4EG∥AO .△DEG△DAO, DE EG DG .AD AO OD' :E是AD的中点， DE EG DG 1 AD482' .EG=2,DG=4. .FG=BD-BF-DG=16-3-4=9, :EF=VFG2+EG2=V92+22=V85 V85 故答案为： 4.(2024呼伦贝尔兴安盟·中考真题)如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=AF,连接 BF,点O为BF的中点，AO的延长线交边BC于点E,连接EF F D (I)求证：四边形ABEF是菱形： 2)若平行四边形ABCD的周长为22，CE=1,∠BAD=120°，求AE的长. 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,即AF∥BE, 11/42 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠AFB=∠EBF,∠FAE=∠BEA, ,O为BF的中点， BO=FO, ∴.△AOF≌△EOB, BE=FA, AF∥BE, ∴.四边形ABEF是平行四边形， 又AB=AF, 四边形ABEF是菱形： (2)解：：AD=BC,AF=BE, DF=CE=1, ,平行四边形ABCD的周长为22， 菱形ABEF的周长为：22-2=20， AB=20÷4=5, ,四边形ABEF是菱形， .∠B4E三∠BAD=7×120°=60 2 又AB=AE, ∴.△ABE是等边三角形， .AE=AB=5 考点04矩形 1.(2025内蒙古中考真题)如图，ABCD是一个矩形草坪，对角线AC,BD相交于点O,H是BC边的 中点，连接OH,且OH=20m,AD=30m,则该草坪的面积为() 12142 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A.2400m2 B.1800m2 C.1200m2 D.600m2 【答案】C 【详解】解：，ABCD是一个矩形草坪，对角线AC,BD相交于点O, ..AO=CO, ,H是BC边的中点， ∴.OH是△ABC的中位线， .OH =14B 2 .AB=20H=40m, .AD=30m, ∴.矩形ABCD的面积为AB·AD=40×30=1200m2, 故选：C 2.(2024包头·中考真题)如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两点，且BE=EF=FC,连接 DE,AF,DE AF G BG AB=4BC=6sin∠GBF 与 相交于点，连接.若 ,则 的值为() G E v10 310 A.10 B.10 D. 【答案】A 【详解】解：：矩形ABCD,BE=EF=FC,AB=4,BC=6, 13142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.AD=BC=6,AD//BC,BE=EF=FC=2, ∴.△AGDn△FGE,BF=4, FG EF 1 ·AGAD3, FG 1 :.AF 4 过点G作GH⊥BC,则：GH∥AB, G .△GHF∽△ABF, FH GH FG 1 .BF AB AF4· :m=F=1,GH=4B=1 4 .BH BF-FH=3. .BG=VP+32=0, sin∠GBF= HG1√10 BG√1010： 故选A. 3.(2026内蒙古·中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,AC是它的一条对角线，以点B为 圆心，BA长为半径画弧，交AC于点E(异于点A),分别以点A和点E为圆心，大于AE长为半径，在 直线AC的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点M,连接BM,与AC交于点N,则BN的长为 14142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 【答案】4 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用二次根式的性质化简、线段垂直平分线的判定、用勾股定理解三 角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据题干构造图形，连接BE,AM,EM,由作图可知BM垂直平分AE,根据矩形的性质得到 BC=AD=4,根据勾股定理求出AC=2V5,根据等面积法计算即可. 【详解】解：如图，连接BE,AM,EM B 由作图可知AB=BE,AM=EM, 即BM垂直平分AE, ,矩形ABCD, ∴.BC=AD=4, .AB=2, ..AC=25. :S&A=号×AB×BC=号×AC×BN, 2*2x4 1x2R5×BN, 解得：BN=4 5 考点05正方形 1.(2024呼伦贝尔兴安盟·中考真题)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.E 是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长 是() 15142 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E A.2V2 B.2+V2 C.4-25 D.② 【答案】A 【详解】解：正方形ABCD的边长为2， :BC=DC=2,∠BCD=90°，D0=BD 2 ,∠CBD=45°， BD=BC+DC=2 ,△DEF与△DEC关于直线DE对称， .DF=DC=2,∠DFE=∠BCD=90°， ÷BF=BD-DF=22-2∠BFE=90 ∴.∠FBE=∠FEB=45°， EF=BF=22-2 :BE=5BF=2(22-2)=4-2N5 :ABEE BE+EF+BF=4-2W2+2W2-2+2V2-2=2√2 的周长是 故选：A 2.(2024呼市中考真题)如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰△ABF,AB=AF,AE平 分∠DAF交DC于点G,交BF的延长线于点E,连接DE.若BF=2,则DG= 16142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 152 【答案】4 【详解】解：如图，过点A作AH⊥BE于点H,连接DF,交AE于点O, D H B ,正方形ABCD的面积为50， :1B=AD=V50=52.∠ADC=∠BAD=90 AB=AF,BF=2, A0=r:Ah平分∠BHF,明=FH=F=l, 2 AH =AB2-BHE=7 ,AH平分∠BAF,AE平分∠DAF, S∠HAF=)∠BAR,∠EAF=∠DAF 2 &∠EAH=∠HAF+∠EAF=∠BAF+∠DAF)=)x90°=45°， “.Rt△AEH是等腰直角三角形，∠AEH=45°， .EH=AH=7, 17/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .EF EH-FH=6. 又，AD=AF,AE平分∠DAF, ∴.AE垂直平分DF, ·DE=EF=6, OD=1DF 2 .∠AED=∠AEH=45°， .∠DEF=∠AED+∠AEH=90°， DF-DE+EFE-62 ∴.OD=32, 在RtaA0D中，OA=VAD2-0D=42 设OG=x(>0).则4G=01+0G=42+x, 在RtAADG和Rt△DOG中，AG2-AD2=DG2=OD+OG, 即(42+x-(52)=(32+2, 9W2 解得=4， Gs93 即 4, 15V2 4 152 故答案为： 4 3.(2024呼市中考真题)如图，∠ACB=∠AED=90,AC=FE,AB平分∠CAE,AB∥DF. B D E 18142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：四边形ABDF是平行四边形： (②)过点B作BG⊥AE于点G,若CB=AF,请直接写出四边形BGED的形状. 【详解】(1)证明：，AB平分∠CAE, ·∠CAB=LBAF, :AB∥DF, ∴.∠EFD=∠BAF, .∠CAB=∠EFD, 在△ACB和△FED中， 「∠ACB=∠FED AC=FE ∠CAB=∠EFD' △ACB≌△FED(ASA) .AB=FD, 由：AB∥DF, ∴.四边形ABDF是平行四边形. (2)四边形BGED是正方形. 过点B作BG⊥AE于点G, .∠BGE=∠DEG=90°， ,四边形ABDF是平行四边形. BD∥AE,BD=AF, .∠GBD+∠BGE=180°，∠DEG+∠EDB=180°， ∴.∠GBD=90°，∠EDB=90°， 由(I)△ACB≌△FED, CB=ED、 ..CB=AF, ∴.ED=AF, .BD=ED. ∴四边形BGED是正方形. 19142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D G E 4.(2024通辽中考真题)数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF利一个正方形纸板ABCD如 图1摆放，若AE=L,AB=2.将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转 (0°≤au≤90） 角，观察图形的变化， 完成探究活动. 60° 图1 图2 图3 图4 【初步探究】 如图2，连接BE,DF并延长，延长线相交于点G,BG交AD于点M. 问题1 BE和DF的数量关系是 位置关系是 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题. 问题2 如图3，连接BD,点O是BD的中点，连接OA,OG.求证OA=OD=OG. 【尝试应用】 问题3 如图4，请直接写出当旋转角“从0°变化到60°时，点G经过路线的长度. 【详解】解：BE=DF;BE⊥DF;理由如下： 如图，，四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=AD=2,∠BAD=90°， ,△AEF是等腰直角三角形，AE=1, ∴AE=AF=1,∠EAF=90°， 20142 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BAE=∠DAF, ∴.△BAE≌△DAF, BE=DF,∠ABE=∠ADF, .∠AMB=∠DMG, .∠BGD=∠BAM=90°， .BE⊥DF: (2)如图，：四边形ABCD是正方形， .∠BAD=90°， ,点O是BD的中点， ..OA=OB=OD, BE⊥DF, .∠BGD=90°， ,点O是BD的中点， ..OG=OB=OD. ..OA=OD=0G; (3)如图，：∠BGD=90°，OB=0G=OD 21142 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 60 ∴.G在以O为圆心，OD为半径的⊙O上， 过F作FN⊥AD于N, 当∠BAE=a=60°时， ∴.∠DAF=a=60°，∠AFN=30°， AF=AE=1. :w-r-号w=a-m- 21 2, :DW=2-1=3 22 DF=FN2+DN=3 ∴.AF2+DF2=1+3=4=AD2, ∠AFD=90°， .∠ADF=30° .∠AOG=2∠ADF=60°， 而∠EAF=∠EGF=90°，AE=AF=1, “.四边形AEGF是正方形， ∴.当旋转角0从0°变化到60°时，G在AG上运动， AB=2,OA=OB,AO⊥BD, .01=2x5.5 2 60m×V2V2元 ∴.点G经过路线的长度为180 3 22142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 年模拟练测园 1.（2026包头·一模)公园里有一个对角线互相垂直的四边形景观水池，工作人员打算在水池四边的中点 位置安装景观灯，并将这些灯用灯带连接起来，形成一个新的四边形灯带造型，四边形灯带造型的形状一 定是() A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B 【知识点】中点四边形 【分析】利用三角形中位线定理先证明所得四边形为平行四边形，再结合原四边形对角线互相垂直的条件， 得到平行四边形有一个内角为直角，根据矩形定义即可得出结论. 【详解】解：如图，设任意四边形ABCD中，对角线AC⊥BD,E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、AD的中点， E ,E、F分别是AB、BC的中点， ∴.EF是△ABC的中位线， :EF‖AC,且EF=号AC, 同理可得HGAC,且HG=之AC,EH BD,且EH=BD, .EF‖HG,EF=HG ∴.四边形EFGH是平行四边形， :AC⊥BD,EFAC,EH‖BD ,∴.EF⊥EH,即∠HEF=90°， ∴.平行四边形EFGH是矩形 即四边形灯带造型的形状一定是矩形 2.(2026巴彦淖尔·一模)如图，社区要改造一个菱形广场，业主委员会要求绿化面积不低于总面积的 23142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20%,承建商给出如下设计方案（阴影部分为绿化区域），请你用所学知识判断绿化面积在广场总面积中的 占比是() 5 C A. 3 D.10 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求面积、全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 【分析】根据菱形的性质得出OD=OB,ABCD,SAOCD= 5 根据平行线的性质得出 ∠ABD=∠CDB,即可证明△DOF≌△BOE(AAS),得出SA DOF=S△BOE,进而得出S阴影=SAOCD, 即可得出答案 【详解】解：如图所示， D B :四边形ABCD是菱形 OD=OB.AB CD.S 4 ∴.∠ABD=∠CDB ∠OFD=∠OEB=90° 在△DOF和△BOE中， ∠CDB=∠ABD OD=OB .△DOF≌△BOE(AAS), ∴.S&DOF=SA BOE, “Sm影=S△BOE+SACOF=SADOF+SACOF=SAOCD, S形=SocD= S菱形ABCD S菱形ABCD 4 24142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(2026锡林郭勒一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.若点E,F分别为AD, AO的中点，连接EF,EF=4,AF=3,则四边形ABCD的周长为() E A.4V7 B.24 c.8V7 D.40 【答案】D 【分析】根据菱形性质得出AC⊥BD,AB=BC=CD=AD,根据中位线的性质得出OD=2EF=8,根 据勾服定理得出AD=√A0+0D=6+8=10最后求出结果即可. 【详解】解：，四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,AB=BC=CD=AD, :点E,F分别为AD,AO的中点， ∴.EF是△AOD的中位线，AO=2AF=6 ∴.OD=2EF=8, 在Rt△A0D中，由勾股定理得：AD=VA02+0D=6+82=10 ∴.菱形ABCD的周长=4AD=40. 4.(2026包头一模)如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，连接BE,CE.若∠ECB=45°， ∠CED=2∠ABE,AB=5,则AE的长为 A E D 【答案】5V2-5 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】过点E作EF1BC:交BC于点F:根据题意得到EF=FC=5'EC=EF2+FC=52 25142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE=CD=5,证明∠EBC=∠AEB=67.5°，得到CE=BC=5V2,即可得到答案. 【详解】解：在矩形ABCD中，AB=CD=5,AD=BC,∠BCD=∠D=∠A=∠ABC=90°， 过点E作EF⊥BC,交BC于点F, “.四边形ABFE是矩形， .'AB=EF=DC=5, .∠ECB=45°， .∴.∠FEC=45°，∠ECD=∠DEC=45°， .EF=FC=5'EC=EF2+FC2=52'DE=CD=5 .∠CED=2∠ABE, .∴.∠ABE=22.5°， ∴.∠EBC=∠AEB=67.5°， ∴.∠BEC=180°-∠AEB-∠DEC=67.5°， ∴.CE=BC=5V2 .∴.BF+CF=AE+DE=5V2, ∴.AE=5V2-5. D B 5.（2026呼和浩特·二模)如图，在矩形ABCD中，AD=2,AB=5,点O为边AB上一点，且AO=1, 点E在边CD上.将矩形ABCD沿OE折叠，若线段OC恰好经过点D,则线段OE的长是 B 【答案】 V10 3 【分析】根据矩形的性质得到∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，CD=AB=5,BC=AD=2, 26142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD‖AB,可知∠DEO=∠EOB,根据勾股定理得到OD=VS,根据折叠的性质得到 ∠EOB=∠EOB,∠B=∠B=90°，BO=BO=4,BC=BC=2,则∠EOB=∠DEO, OC=2G:可知即D为OC中点，延长cD交B0于X证明△ND0≌△EDC'AAS得到 NO=EC=EC,ND=ED,设NO=EC=EC=x,则NE=10-2x,根据等角对等边得到EN=ON, 求出x=10 ,过点E作EF⊥AB于点F,则四边形ADEF为矩形，可知EF=AD=2, A5=DE=5-号气号则0r 2 ,根据勾股定理求解即可， 【详解】解：矩形ABCD中， .∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，CD=AB=5,BC=AD=2,CD‖AB ∴∠DEO=∠EOB, :A0=1, .B0=4 在Rt△AOD中，OD=VAD+AO=/2+1=5 由折叠的性质可知，∠EOB=∠EOB,∠B=∠B=90°，BO=BO=4,BC=BC=2, ∠E0B=∠DE0'0C=V42+2=25 ∴DC=5,即D为0C中点， 延长CD交BO于N, D O F OB‖EC, .∠DNO=∠DEC, ,DC=DO,∠NDO=∠EDC ÷△NDO≌△EDCAASY 27142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴NO=EC=EC,ND=ED, 设NO=EC=EC=x, .DE=5-x, ∴.ND=ED=5-x,即NE=10-2x, ,∠EOB=∠DEO ∴.EN=ON, 即10-2x=x, 解得：x=10 过点E作EF⊥AB于点F, 则四边形ADEF为矩形 ÷EF=AD=2,AF=DE=5-10=5 33 A0=1, or号 在Rt△OFE中，OE=OF+EF-2V10 3 6.(2026锡林郭勒一模)结合图形，解答下列各题： G G 图① 图② (I)发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长 EF交CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG: (②)探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8,AB=6.将△AEB沿BE翻折到 △BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H,且FH=CH,求DH的长： 3)在(2)的条件下求AE的长， 【答案】Q)见解析 28142 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 唱 【分析】(1)利用HL证明△BFG≌△BCG HL即可： (②)设FH=HC=x,则BH=BF+PH=6+x,根据勾股定理得出8+X=6+X,求出x=子，即可得 出答案； (3)延长BH,AD交于点Q,设FH=HC=x,根据勾股定理求出X,证明△BFG一△BCH,设 AE=EF=m,则DE=8-m,然后对应边成比例即可求出结果 【详解】(I)证明：，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BF,∠BFE=∠A=90°，∠BFG=90°=∠C, ∴.AB=BC=BF, 在Rt△BFG和Rt△BCG中， BG=BG BF=BC 故△BFG≌△BCG HL: (2)解：，四边形ABCD为矩形， .∠C=∠A=90°，CD=AB=6,BC=AD=8, 根据翻折可得：AB=BF=6,∠BFE=∠A=90°， 设FH=HC=x,则BH=BF+FH=6+x, 在Rt△BCH中，BC2+CH=BH2, .82+x2=(6+x)2 新：子 .DH=DC-HC= 3 (3)解：如图，延长BH,AD交于点Q, 29142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F 万 H G 图② 限据解析(2)可得：∠BFG=180°-90°=90°，CH=了，BH=6 7_25 331 ∴.∠BFG=∠BCH=90°， .∠HBC=∠FBG, .△BCH-△BFG, BF BG_FG BC BH HC :8 6_BG_FG 7, 3 :BG=25 ,在矩形ABCD中，AD‖BC, H ∴.△EFQ~△GFB△DHQ~△CHB 图② 06 CH DH 8 DQ 11 3 ..DQ 88 设AE=EF=m, 则DE=8-m, 30142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.EQ=DE+DQ=8-m+ 88=144-m, 77 :△EFQ一△GFB, EQ_EF ·BGFG 144 :、 -m 25 > 4 m=9 2 9 ·AE的长为 7.(2026呼和浩特·二模)已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，将△ACD绕点A 顺时针旋转90°得到△ACD.连接DD,交AB于点E.延长DC,分别交AB,CB于点F,H. C H B D' (1)求证：四边形ACHC是正方形， (2)若AC=2,BC=4,CD=1, ①猜想BH与HF的数量关系，并证明： ②求EF的长度， 【答案】)证明见解析 2)OBH=2HF,证明见解析，②EF=名 【分析】(1)由旋转可得AC=AC,∠CAC=90°，∠ACB=∠ACD=90°，则 ∠ACB=∠ACH=∠CAC=90°，即可证明四边形ACHC是正方形. (2)①由四边形ACHC是正方形得到AC=AC=CH=CH=2,∠CHC=90°，再根据 tan∠B=AC=HE=2-1 BCB丽42得到BH=2HF: 31142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②过E作EN⊥AD于N,过D作DM⊥AB于M,先求出BD=3,AF=BF=AD=5,再根据 am∠B=-分n5,AM号G,得m之BN-惑-- AN AM 4' 设EN=3a, 则AN=4a,AE=5a,由∠ADE=45°，得到EN=DN=3a,根据AD=AN+DN列方程求出， a号5，AE=5a号5，最后根据EF=AF-AE求解即可。 【详解】(1)证明：，将△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ACD, ∴.AC=AC,∠CAC=90°，∠ACB=∠ACD=90°， ∴.∠ACB=∠ACH=∠CAC=90°， ,∴.四边形ACHC是矩形， .AC=AC, ∴四边形ACHC是正方形. (2)解：①BH=2HF,证明如下： :AC=2,四边形ACHC是正方形. ∴.AC=AC=CH=CH=2,∠CHC=90°， .BC=4, .'.tan B=AC=HF=2_1 BC BH 4 2 ..BH=2HF: ②过E作EN⊥AD于N,过D作DM⊥AB于M, H B D .BC=4,CD=1, BD=BC-CD=3'AB=AC2+BC2=295 AD=AC2+CD2=5 BH=BC-CH=4-2=2' 32/42 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.BF-BF5. ..AF=AB-BF=V5. tan∠B=DM-1 BM2 .BM=2DM, .BM2+DM2=BD2, 2DM2+DM2=32 解得DM-是5（负值合去） BM=2DM-5,AM=AD-M-号5， 5 tan∠EAN=EN-DM-3 AN AM 4 设EN=3a则AN=4a'AE=AN2+EN=5a' 由旋转可得AD=AD,∠DAD=90°， .∠ADE=45, ∴.∠NDE=∠NED=45°， .'EN=DN=3a, .AD=AN+DN, 5=4a+3a, 解翔a号S, ∴.AE=5a 55, EF=A-AE-5-95-5 8.(2026通辽一模)综合与实践 问题情境： 如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将RtAABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到 △CBE(点A的对应点为点C),延长AE交CE于点F,连接DE. 33142 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 猜想证明： D D B B 图① 图② (1)试判断四边形BEFE的形状，并说明理由； (2)如图②，若DA=DE,请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明： 解决问题： (3)如图①，若AB=15,CF=3,请直接写出DE的长 【答案】(1)四边形BEFE是正方形，理由详见解析：(2)CF=FE,证明详见解析：(3)317， 【分析】(1)由旋转可知：∠E=∠AEB=90°，∠EBE=90°，再说明∠FEB=90°可得四边形 BEFE是矩形，再结合BE=BE即可证明： ，垂足为H,先根据等腰三角形的性质得到A=号A 可得AH=BE,再结合BE=BE、CE=AE即可解答： (3)过E作EG⊥AD,先说明∠1=∠2，再设EFx、则BE=FE'=EF=BE'X、CE'=AE=3+x,再在 Rt△AEB中运用勾股定理求得x,进一步求得BE和AE的长，然后运用三角函数和线段的和差求得DG和 EG的长，最后在Rt△DEG中运用勾股定理解答即可， 【详解】解：(1)四边形BEPE是正方形 理由：由旋转可知：∠E=∠AEB=90°，∠EBE=90°，BE=BE 又：∠AEB+∠FEB=180°，∠AEB=90° ∴.∠FEB=90° 四边形BEFE是矩形 .BE =BE. .四边形BEFE是正方形： (2)CF=FE. 证明：如图，过点D作DH⊥AE,垂足为H, 34142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C E E H B 则∠DHA=90°，∠1+∠3=90° DA=DE AH-AE. .四边形ABCD是正方形， ∴.AB=DA,∠DAB=90° ∴.∠1+∠2=90° ∴.∠2=∠3 .·∠AEB=∠DHA=90°， .AAEB≈ADHA ∴AH=BE BE=E F ∴.AH=EF .CE=AE, FE-TGE ∴.CF=FE: (3)如图：过E作EG⊥AD 35142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D c F E G 2 E B ∴.GE/AB ∴.∠1=∠2 设EFX,则BE-FE'=EF=BE'X,CE'=AE=3+x 在Rt△AEB中，BEX,AEx+3,AB=15 ∴.AB2BE+AE2,即152x2+(x+3)2,解得x=-12(舍)，X-9 .BE-9,AE=12 8m<1Bg=9=3os∠1AE-12.4 AB155 AB155 22AC=AS=3cos∠2GEGE4 AE125 AE125 .AG=7.2,GE-9.6 .DG=15-7.2=7.8 DEV7.82+9.62=V153=317 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转变换、勾股定理、解三角形等知识，综合应用所学知识是解答本 题的关键. 9.(2026赤峰一模)综合与探究 【问题情境】在口ABCD中，AB<AD,BE平分∠ABC交AD于点E. H H G B 图1 图2 备用图 36142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)【猜想证明】如图1，AF平分∠BAD交BC于点F,连接EF,判断四边形ABFE的形状并证明. (②)【深入探究】CH平分∠BCD交BA的延长线于点H,交BE于点G.将△BHG绕点B顺时针旋转 a0°<a<180得到△BMN,点H,G的对应点分别为M,N,直线CG与直线MN相交于点O. ①以图2为例，求证：OM=OC; ②若BC=10,tan∠AEB=3 在旋转的过程中，连接CM,CN,当△CMN是以CN为直角边的直角三 角形时，连接OB,请直接写出OB的长。 【答案】I) 解：四边形ABFE为菱形，理由如下： 证明：四边形ABCD是平行四边形， ..AD BC, ∴.∠DAF=∠AFB,∠AEB=∠EBC, ,BE平分∠ABC,AF平分∠BAD, :.∠ABE=∠EBC,∠BAF=∠DAF, .∠BAF=∠AFB,∠ABE=∠AEB, ..AB=BF,AB=AE. ∴AE=BF 又AEBF, ∴.四边形ABFE为平行四边形， 又：AB=AE, ∴.四边形ABFE为菱形： (2)①证明：连接BO, H B ,四边形ABCD是平行四边形， ..AB CD. ∴.∠H=∠HCD 37142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CH平分∠BCD, .∠BCH=∠HCD, ∴.∠H=∠BCH, ..BH=BC, ,BE平分∠ABC, .GH=CG,BG⊥CH, ∴.∠BGH=∠BGC=90°， 由旋转的性质，得∠N=∠BGH=90°，MN=HG,BN=BG, .∠BGC=∠N=90°，MN=CG, 又，BO=BO, ∴.Rt△BOG≌Rt△BON|HL, ∴OG=ON, ∴.MN-ON=CG-OG,即OM=OC: ②0B的长为810 V73. 3 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算、利用平行四边形 的性质求解 【分析】(1)先证明四边形ABFE为平行四边形，再证明四边形ABFE为菱形即可： (2)①先证明Rt△BOG≌Rt△BON HL,推出OG=ON,即可证明OM=OC: ②分两种情况讨论，当∠CNM=90°和∠NCM=90°时，利用解直角三角形的知识求解即可. 【详解】(1)略 (2)①略 ②解：AD‖BC ∴.∠AEB=∠GBC, .3 :tam∠AEB=4,∠BGC=90, tan∠GBc=CG-3 BG 4' ∴.设CG=3x,BG=4x, ÷BC=VCG+BG2=5x 38142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BC=10, ∴.5x=10, 解得X=2, ∴.CG=6,BG=8, 由旋转的性质得MN=6,BN=8, 如图，当点N在线段BC上时，∠CNM=90°， H 即△CMN是以CN为直角边的直角三角形， .CN=10-8=2, .tan∠GCB= BG_8_4 CG6-31 ON4 CN 3' oN-号ow-8 oB=BN+0N-98+9 8/10; 3 如图，当点N在线段CB下方时，∠NCM=90°， 即△CMN是以CN为直角边的直角三角形， 由①可知OM=OC, 39142 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠OMC=∠OCM. .∠OMC+∠ONC=90°，∠OCN+∠OCM=90°， .∠ON=∠ONC, “.ON=OC, ..ON=OC=OM=-MN=3, .0G=6-0C=3, 0B=VBG2+0G=V82+3=73 V1 综上，OB的长为 3 0或73】 10.(2026包头·一模)从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以菱形为背景对旋转中 的线段的数量关系开展探究.如图，菱形ABCD与菱形EFCG(BC>FC),∠BCD=120°，点F、G 分别在边BC、CD上， D B F 图1 图2 图3 (I)如图1，菱形EFCG绕点C顺时针旋转，点F在菱形ABCD内部，连接BF,FG,DG,当点B、点F 和点G共线时， ①△BCF与△DCG全等吗？为什么？ ②请写出BG、CG、DG之间的数量关系，并说明理由； (②)如图2，菱形EFCG绕点C顺时针旋转，点F在菱形ABCD内部，连接BF,DG,延长BF交DG于点 H,连接CH.请写出BH、CH、DH之间的数量关系，并说明理由. 【答案】1) ①全等，原因如下： 在菱形ABCD中，BC=DC,∠BCD=120°： 在菱形EFCG中，FC=GC,∠FCG=120°： ∴.∠DCG+∠FCD=120°=∠BCF+∠FCD, 则∠DCG=∠BCF, 在△BCF和△DCG中， 40142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC=DC ∠ DCG=2 BCF, FC=GC .∴△BCF≌△DCG SAS: ②BG=3CG+DG,理由如下： 过点C作CH⊥FG,如图所示： A 在菱形ErCG中，FC=GC,∠FcG=120,则∠HC=∠HGC=30,m=CHPG. 在△FHc中，CH-FC,FH-5CI,则H=G=5cG, 2 ∴.FG=3CG, 由①知△BCF≌△DCG SAS,则DG=BF, ∴.BG=BF+FG=DG+V3CG: 2) BH=V3CH+DH,理由如下： 在BF上取点I,使BI=HD,连接CI,如图所示： A D F 由(I)①知△BCF≌△DCG(SAS,则∠CBI=∠CDH, 在△BCI和△DCH中， BC=DC ∠CBI=∠CDH, BI=HD ∴.△BCI≌△DCH SAS, ∴.CI=CH,∠BCI=∠DCH, 41142 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(I)①知∠DCG=∠BCF,则∠FCI=∠HCG, .,:∠FCG=∠FCD+∠DCH+∠HCG=120, ∴.∠HCI=∠FCD+∠DCH+∠FCI=∠FCD+∠DCH+∠HCG=120°， 过点C作CJ⊥HI,如图所标： A 在△HCI中，CI=CH,∠HCI=120°，则∠J1C=∠JHC=30,Ⅱ=JH=号， 在R么c,c-a,I=3d,n=2c-哭cH, .'HI=3CH, .∴.BH=BI+IH=DH+V3CH 【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质证明、三角形内角和定理的应用、全等的性质和 SAS综合(SAS) 【分析】(1)①由菱形性质得到相关边、角相等关系，再由三角形全等的判定定理说明即可：②过点C作 CH⊥FG,在△FCG中得到FG=3CG,再由全等得出DG=BF,数形结合即可表示出 BG、CG、DG之间的数量关系： (2)在BF上取点I,使BI=HD,连接CI,构造出△BCI≌△DCH SAS,得到相应边与角的相等关 系，进而求出∠HCI=120°，同(1)②中求证线段之间关系的方法即可得出BH、CH、DH之间的数 量关系 【详解】(1)①略 ②略 (2)略 42142