专题08 四边形（5年汇编）（陕西专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合陕西2022-2026年中考真题及模拟题，覆盖四边形全考点，基础题注重公式应用（如多边形内角和），综合题融合旋转、动点等（如正方形与旋转），适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约30题|多边形内角和、平行四边形性质、中位线、矩形、菱形、正方形|基础题直接考查公式（如考点01求正多边形边数），综合题隐含中点条件（如考点03中位线计算）| |解答题|约18题|平行四边形证明、矩形/菱形判定、正方形综合|结合实际情境（如考点03公园步道设计），动态几何（如考点05菱形动点问题），适配中考分层考查|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07四边形 5年真题1年模拟：答案版 五年真题分类园 考点01多边形及其内角和 1.12 2.6 考点02平行四边形的性质 3.33 2 4.V13 5.5 9 6. 4 考点03与三角形中位线有关的求解问题 7. (1)口BDEF如图所示： (2)6V2+6 (3)AP=8 3 8.C 117 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点04矩形的性质和判定 9.C 10. 解：如图，点P即为所求 D D 11.2V2 12. 证明：，四边形ABCD是矩形， .AB=DC,∠B=∠C=90°， ..BE=CF, ∴.BE+EF=CF+EF,即BF=CE, ∴.△ABF≌△DCE SAS, ..AF=DE 13.D 考点05菱形的性质和判定 14. 75 4 15.62° 6 17.如图，点D即为所求。 B 217 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点06正方形的性质 18.B 19. 证明：.四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=DC=AD,∠B=∠D .∠BAE=∠DAF, ∴.△ABE≌△ADF ASA, ∴BE=DF ∴.BC-BE=DC-DF,即CE=CF. 20.C 21.D 22.B V一年模孤练测园 1.46 3 2.A 3.7 4.B 5.6 6.B 7. 5 8.5 9.C 10.9V5 11.(1) 证明：，四边形ABCD是矩形， .BC=AD,∠B=∠C=90°， 317 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .EF⊥AE, .∠AEF=90°， .∠DEA+∠CEF=90°， :∠DEA+∠DAE=90°， .∠DAE=∠CEF: AD=CF+CE, ..BC=CF+CE, 又，BC=BE+CE, ..BE=CF, ∴.△ABE≌△ECFAAS, ..AB=CE; 21005+100* 12.B 13. 80 14.A 5. 3/10 2 16,证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD‖BC, ∴.∠D=∠BCF, 在△ADE和△BCF中， AD=BC ∠D=∠BCF DE=CF ∴.△ADE≌△BCF(SAS), ∴.∠AED=∠BFC. 17.C 18.B 19.B 417 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20.1)①，②：③：（②，③：①） (2) 解：解法一，选的条件为①，②，结论为③， 证明，，四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B=∠D, 在△ABE和△ADF中， ∠B=∠D BE=DF ∠AEB=∠AFD ∴.△ABE≌△ADF ASA, ∴.AE=AF; 解法二，选的条件为②，③，结论为①， 证明，，四边形ABCD为平行四边形， ∴.∠B=∠D 在△ABE和△ADF中， ∠B=∠D ∠AEB=∠AFD, AE=AF ∴.△ABE≌△ADF AAS, ∴.BE=DF. 21. 证明：.四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=∠BCD=90°，即∠EBC=∠FCB=90° 在Rt△BCE和Rt△CBF中，BC=CB,CE=BF, ∴.Rt△BCE≌Rt△CBF HL, ∴.∠BCE=∠CBF 22.B 23.48 24.B 25. 证明：正方形ABCD, 517 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠A=∠D=90°，AB=CD ,点P为正方形ABCD的边AD的中点，BE=CF, ..AP=DP,AB-BE=CD-CF, ..AE=DF, ∴.△PAE≌△PDF SAS, ∴PE=PF 26.8 27.A 28.证明：，四边形ABCD为正方形， .∴.∠B=∠D=90°，AB=CD, .AE=CF, '.△ABE≌△CDF HL, ∴.∠BAE=∠DCF 29.AB=AD(答案不唯一) 30.1)①1：②2V17 @小平移动的路程为吕米或米 31.1)作图见解析 (2)∠BAC=60° 3)存在，600m 32.13 33.5 34.见解析 35.A 36.B 37.图见解析 38.2.4 39.C 40.D 41. 617 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6 42.3 43.见解析 44.2V/5 45.D 46.12V3 47.AE=CE(答案不唯一) 89 717函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07四边形 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 陕西考情(2022-2026) 命题规律 常考选择填空题，高 考点01多边形及 频考查多边形内角和、外 侧重基础公式运用，多直接求内角、外角、边 其内角和 角和公式：以五、六边形 数；难度低，属于送分题，一般不结合复杂几何证明 为主，偶尔结合正多边形 求角度，几乎年年涉及 选择、填空、解答均 考点02平行四边 有出现：常考边长、周 围绕对边平行相等、对角相等、对角线互相平分 长、角度计算；解答题中 命题；常和全等综合；侧重基础计算与简单证明，很 形的性质 常作为第一小问，结合全 少单独出压轴大题 等三角形进行简单证明 多为填空题、选择 考点03与三角形 题；常和平行四边形、矩 核心考查中位线“平行且等于底边一半”：多隐 中位线有关的求解 形结合，利用中位线求线 藏在图形中，需要识别中点条件；以线段计算为主， 问题 段长、周长：近五年考查 “般不考复杂证明 频率很高 填空、选择、解答都 有；常考对角线相等、直 考点04矩形的性 抓住矩形直角、对角线相等两大特点；判定类考 角性质；解答题常考判定 题常以平行四边形为基础添加条件；常融合勾股定 质和判定 证明，结合勾股定理求线 理，侧重计算+简单证明 段长度：部分年份放在几 何综合 高频考点，填空选择 考角度、边长、面积；解 考点05菱形的性 重点考查菱形四边相等、对角线垂直平分：面积 答题常考判定，利用对角 公式是高频考点：命题喜欢在平行四边形基础上加条 质和判定 线互相垂直平分，面积等 件判定菱形，难度中等 于对角线乘积一半；经常 和动点结合 考点06正方形的 多在几何综合、压轴 综合度最高，融合矩形+菱形全部特征；经常出 性质 小问出现；选择填空会考 综合探究题，搭配旋转、折叠；基础题简单，压轴小 1/20 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 基础角度、线段；常综合 矩形、菱形全部性质，结 问难度偏大，区分度高 合旋转、全等出题 五年真题分类园 考点01多边形及其内角和 1.(2024陕西·中考真题)小芳用三个全等的正m边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形， 这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠.如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则m=· 2.(2023陕西·中考真题)如图所示，是工人师傅用边长均为α的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点 O进行的铺设.若将一块边长为α的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多 边形地砖的边数是 B 考点02平行四边形的性质 3.(2026陕西·中考真题)如图，在口ABCD中，∠B=60°，AB=4,BC=6.点E为BC的中点，连 接AE,将AE绕点A逆时针旋转60°至AF,连接DF,则△ADF的面积为」 B E 4.(2025陕西：中考真题)如图，在口ABCD中，AB=4,BC=6,∠B=60°，点E,N,F,M分别在 2/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 边AB,BC,CD,DA上，且EF,MN将口ABCD分成面积相等的四部分.若BE=1,则MN的长为 D 5.(2025陕西·中考真题)如图，在口ABCD中，AB=6,AD=8,∠B=60°.动点M,N分别在边 AB,AD上，且AM=AN,以MN为边作等边△MNP,使点P始终在口ABCD的内部或边上.当 △MNP的面积最大时，DN的长为· B 6. (2023陕西·中考真题)如图，在口ABCD中，AB=3,AD=4,点E在AD的延长线上，且DE=2, 过点E作直线l分别交边CD,AB于点M,N.若直线l将口ABCD的面积平分，则线段CM的长为 E一l 品 考点3与三角形中位线有关的求解问题 7. (2025陕西·中考真题)问题探究 (1)如图①，在△ABC中，请画出一个口BDEF,使得点D,E,F分别在边AB,AC,BC上： (2)如图②，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,P为矩形ABCD内一点，且满足SABPC=9,△BPC周 长的最小值： 问题解决 (3)为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址 修建一条笔直的步道及一个观景台.如图③所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A为游客 服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台.按照设计要求，点P,Q分别在边AB, AC上，且满足BP:AQ=2:3,O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOC最大.己知 AB=120m,AC=BC=180m,请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点）， 3/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA.(步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大 小均忽略不计) B 图① 图② 图③ 备用图 8.(2023陕西·中考真题)如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF.连接EF并延长， 与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为() D 13 A. B.7 c. D.8 考点04矩形的性质和判定 9. (2025陕西中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=2,延长CB至点E,延长AD至点F, 连接AE,CF.若四边形AECF为菱形，则这个菱形的面积为() B 39 A.9 B. 。号 10.(2024-陕西.中考真题)如图，已知矩形ABCD.请用尺规作图法，在边CD上求作一点P,使 SAPBC= S矩形ABCD· (保留作图痕迹，不写作法) 4 4/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B C 11.(2023·陕西中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4.点E在边AD上，且ED=3,M、 N分别是边AB、BC上的动点，且BM=BN,P是线段CE上的动点，连接PM,PN.若PM+PN=4, 则线段PC的长为· y M 12.(2024陕西：中考真题)如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE=CF.求证： AF=DE. B E FC 13.(2022陕西中考真题)在下列条件中，能够判定口ABCD为矩形的是() A. AB=ACB.AC⊥BD C.AB=AD D.AC=BD 考点05菱形的性质和判定 14.(2024陕西·中考真题)如图，在菱形ABCD中，AB=5,BD=8,过点A作AE⊥AB,与BD相交 于点E,连接CE,则四边形ABCE的面积为 A D E B 5/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D E ABCD ,四边形 是菱形， .AG BD,BO-DO-BD-4, 在Rt△A0B中，A0=AB2-BO=3'则AC=6 .AE⊥AB,AC⊥BD, c0s∠AB0=O =c0S∠ABE=AB AB BE 4-5 5BE' BE=25 25×6 :四边形ABCE的面积为BE×AC=4 75 2 2 4 15.(2023陕西·中考真题)点E是菱形ABCD的对称中心，∠B=56°，连接AE,则∠BAE的度数为 16.(2022陕西·中考真题)如图，在菱形ABCD中，AB=4,BD=7.若M、N分别是边AD、BC上的 动点，且AM=BN,作ME⊥BD,NF⊥BD,垂足分别为E、F,则ME+NF的值为一· y M D E B N C 17.(2026陕西·中考真题)如图，已知△ABC,AB=BC.请用尺规作图法，求作一点D,使得四边形 ABCD为菱形.（保留作图痕迹，不写作法） 6/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 考点06正方形的性质 18.(2026陕西.中考真题)如图，正方形ABCD和正方形CEFG,点E在BC的延长线上.若CE=2BC, 则tan∠AFC的值为() G 0 A.2 c.5 D. 5 5 19.(2025陕西中考真题)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且 ∠BAE=∠DAF.求证：CE=CF, D E A B 20.(2025陕西中考真题)如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上， EF⊥EC,则△CEF的面积为() A D A.10 B.8 C.5 D.4 21.(2024陕西·中考真题)如图，直线l经过正方形ABCD的中心O,分别与BC和AD相交于点E和点F, 7/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 并与CD的延长线相交于点G.若AB=4,AF=3,则DG的长为() G A.1 c D.2 22.(2024陕西中考真题)如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点 H,若AB=6,CE=2,则DH的长为() A D H G E A.2 B.3 c. 9 D. 一 年模拟练测园 1.(2026陕西西安一模)如图，在菱形ABCD中，E,F分别为CD,AD的中点，连接BE,BF,若 COS∠EBF=3 BE=10cm,则菱形ABCD的边长为cm. B 2.(2026陕西西安.一模)如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC边的中点，连接并延长DE至点F, 使得DE=2EF,连接BF,交EC于点G,若AC=20,则EG的长为() 8/20 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D E A.2 B.3 C.4 3. (2026陕西延安一模)一个正多边形的每一个外角度数为36°，那么由该正多边形的一个顶点可以引 出的对角线的条数为 4.(2026陕西安康.一模)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,OE⊥DC交DC的延长 线于点E.若BD=7,sin∠BDC= ， 则OE的长为() D 0 B E B.1 C.2 n 5.(2026陕西安康.一模)如图，矩形ABCD的面积为18V3,点E在边BC上，连接AE,以AE为边作 菱形AEFG,当边GF经过点D,且满足∠AEF=120°时，EF= G B E 6.(2026陕西榆林·一模)如图，在正方形ABCD中，点M在AB边上，且AM=3BM=3,连接DM, 点E是DM的中点，过点E作AB的平行线，交BC于点F,则EF的长为() B M 9/20 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 B. 5-2 C.3 7.(2026陕西榆林.一模)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,E是边CD的中点，P是边AD上的 动点（不与端点重合），线段PQ分别与线段BC、AE相交于点Q、F.若∠EFQ=45°，则PQ的长为 E 8.(2026陕西商洛一模)如图，在边长为6的正方形ABCD中，M,N分别是边AB,AD上的点， ∠MCN=45°，连接MN.若BM:AN=2:3,则MN的长为 D 9.(2026陕西商洛·一模)如图，在口ABCD中，E为边AB延长线上一点，连接DE交对角线AC于点F, 过点F作FG‖BC交AB于点G.若AG=BE=2,则CD的长为() A.5 B.4 c.5+1 D.25-2 10.(2026陕西商洛一模)如图，已知菱形0ABC的顶点A在反比例函数y=18x>01的图象上，点C在 X轴上，边BC与该反比例函数的图象交于点D,连接AD,OD.若点B的纵坐标为6，则△OCD与 △ABD的面积之和为 10120 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 11.(2026陕西咸阳一模)【思路梳理】 D B 图1 图2 (I)如图1，在矩形ABCD中，点E在BC边上，连接AE,过点E作EF⊥AE,交CD边于点F, AD=CF+CE,求证：AB=CE: 【问题解决】 (2)如图2，在某生态农场中，有一块等腰三角形花田ABC,其中AB=AC,∠ACB=67.5°，BC=200 米，点瓜、P分别在边AC、AB上移动（不与端点重合），且AE=BF,为了优化灌溉系统，以EF为 腰在EF下方作等腰△EFG,使得EG=EF,∠FEG=45°，点D是BC的中点，在点D、G处设置监测 点，并规划从D到B、G的路径，使得“D一B→G一D”的总路径（即△DBG的周长）尽可能短，以 减少巡查和管理成本.请你求出△DBG周长的最小值.（监测点的大小忽略不计） 12.(2026陕西成阳一模)如图，在正方形ABCD中，点B在CD边上，且CE=号CD,连接BE,点F 3 是BE的中点，连接AF、DF.若CD=6,则△ADF的面积为() E B A.16 B.15 C.12 D.10 13. (2026陕西渭南一模)如图，在菱形ABCD中，连接AC、BD交于点O,点F在OA上，且 11/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OF=OA,点B在BC边上，且BC=3CE,连接EF、DE.若△CEF的面积为1O,则四边形ABED的 4 面积为 D 14.(2026陕西渭南一模)如图，AC是矩形ABCD的对角线，线段AC的垂直平分线OE,分别交AC、 CD于点O、E,连接AE.若AB=3,AD=2,则AD+DE的值为() B E B.3 D. 15.(2026陕西榆林.一模)如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=6,点E是AD边的中点，点F在AB 边上，且BF=2,BE与CF相交于点W,M是CE的中点，连接MN,则MN的长为 F B M 16.(2026陕西榆林.一模)如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC边上的一点，点F是DC延长线上 的一点，且DE=CF.求证：∠AED=∠BFC. 17.(2026陕西榆林.一模)如图，在菱形ABCD中，∠ADC=100°，对角线AC,BD相交于点O,且 BD=6.延长DC到点E,在∠BCE内作射线CF,使得∠ECF=60°，过点B作BH⊥CF,垂足为 12120 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H,则BH的长为() B O A.5 B.4 C.3 D.2 18.(2026陕西榆林.一模)如图，在四边形ABCD中，AD=10,BC=8,点E是对角线AC的中点，点 F,G分别是AB,CD边的中点，连接EF,EG,GF.若∠FEG=90°，则线段GF的长度为() G A.5 B.41 c.31 D.3 19.(2026陕西渭南一模)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,OE⊥AC交AD于点 E.若OE=2,BD=8,则DE的长为() E 8V5 A. B.65 c.2V5 D.8-2V5 5 5 20.(2026陕西渭南一模)如图，在口ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，连接AE、AF,有下 列三个选项：①BE=DF,②∠AEB=∠AFD,③AE=AF.请你在上述三个选项中选择两个作为补充 条件，选择一个作为结论，并证明你的结论.（只要求写出一种正确的选法) E (1)你选的补充条件为 ，结论为； (填序号即可) (2)根据第(1)问的选择，证明你的结论 13120 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.(2026陕西咸阳一模)如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD边上，连接 BF、CE,BF=CE,求证：∠BCE=∠CBF. D E F 22. (2026陕西咸阳一模)如图，在正方形ABCD中，连接BD,点E在AB上，连接DE,EG⊥BD于 点G,延长EG交BC于点F,若∠ADE=15°，BF=V2,则BD的长为() D G A.2V2 B.3+1 C.2 D.V2+1 23.(2026陕西咸阳一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点E是BC延长线上一 点，连接OE交CD于点F,若CE=3,CF=2,则菱形ABCD的周长为 0 24.(2026陕西宝鸡一模)如图，在矩形ABCD中AB=25,AD=6,点E在AD上，连接BE、CE, 若BE=6,则CE的长为() A.25 B.26 C.5 D.6 25.(2026陕西宝鸡一模)如图，点P为正方形ABCD的边AD的中点，点E、F分别在AB、CD上，且 BE=CF,连接PE、PF,求证：PE=PF 14120 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A E 26.(2026陕西宝鸡一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC=8,点H在菱形ABCD外，连接 AH,AH⊥AC,且AH=4,点E、F分别在边AB、BC上，连接EF,以EF为底边向右作等腰 △PEF,使得∠EPF=∠BAD,连接PA、PH,则△PAH的面积为 27.(2026陕西宝鸡一模)如图，在菱形ABCD中，点E在BC边上，且BE=3EC,连接DE,交对角 线AC于点F.若DE=10,则DF的长为() D A.8 B.6 C.9 D.7 28.(2026陕西渭南·二模)如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、AD上，连接AE、CF, AE=CF,求证：∠BAE=∠DCF. 29.(2026陕西渭南·二模)已知在四边形ABCD中，ABCD,AB=CD,∠A=90°，如果添加一个 条件，可使得四边形ABCD为正方形，则添加的条件可以是 (添加一个即可) 30.(2026陕西榆林·二模)【思路梳理】 15120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B B 图1 图2 备用图 (I)如图1，在菱形ABCD中，点E、F分别在AD、BC边上，连接EF,AE=1,EF平分菱形ABCD的面 积 ①CF的长为 ②若AB=10,菱形ABCD的面积为80，求EF的长. 【实践应用】 (2)如图2，小平和小安做游戏，在空地上画出一个矩形ABCD,其中AB=3米，BC=4米，连接BD,小 平（看作点M)从点B处出发，沿折线BD-DC移动至点C处停止，小安用粉笔在地上作ME⊥AB于点 E,取BM的中点N,连接EN,以ME、EN为邻边作口MENF,当EF所在直线将矩形ABCD的面积平 分时，请你帮助小平和小安计算出小平移动的路程（即点M移动的路程）. 31.（2026陕西西安·二模)【问题探究】 M D B 图1 图2 图3 (I)如图1，在口ABCD中，延长CD至点G,以CG为边向右侧作口CEFG,点O为口CEFG的对称中心， 请过点O作直线！，使直线平分该组合图形的面积；（画出大致示意图即可） (2)如图2，点F为△ABC内一点，连接AF、BF,延长AF至点D,FD=BF,且∠BFD=60°，过点F 作FE‖AC,连接DE,DE=AF,若∠D=120°，求∠BAC的度数： 【问题解决】 (3)如图3所示，某生态研究所欲规划一个湿地研究基地（五边形ABCDF)，该基地由上方的△ADF(F 为AD上方的动点，且AF>DF)和下方的口ABCD两部分组成，计划在△ADF内的E处建一观测点， 满足∠AED=135°，点M在AF边上，线段AE、DE、FG、MH、AH均为观测步道，其中FG⊥DE 于点G,ME⊥DE,AH⊥ME交ME的延长线于点H,且FG=EH,DG=MH,现要在线段BC上选一 16/20 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 个出入口点P,并修建新步道FP,使新步道FP将五边形ABCDF的面积平分，已知BC=2AB=6O0m. 请问：是否存在满足要求的点P和点F？若存在，求此时PF的长；若不存在，请说明理由.（图中的点均 在同一平面内，观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计) 32.(2026陕西渭南·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=12,AD=7,点E在BC边上，且 CE:BE=3:4,点P是矩形内一动点，且EP=4,点F为线段EP的中点，连接DP、BF,则BF+DP的 最小值为 D E B 33.(2026陕西西安·二模)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=4,点M为CD边上的动点（不与端 点重合)，连接AM、BM,点E、F分别为AM、BM的中点，连接EF、DE、CF,过点E作EG‖CF 交CD边于点G,则DE+EG的最小值是 B GM 34.(2026陕西西安·二模)如图，点E、F是口ABCD内的两点，且点E在点F的左侧，连接AE、AF、 BE、DF、EF、AEF=∠AFE,∠BAE=∠DAF,∠CBE=∠CDF,求证：BE=DF A D 35.(2026陕西西安，二模)如图，在菱形ABCD中，AB=6,点E是AD的中点，EF交CD于点G、交 BC的延长线于点F.若DG=3CG,则BF的长为() 17120 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.7 B.7.5 C.8 D.9 36.(2026陕西渭南·二模)如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，F是AD边上一点，连接BF、CF、 EF,且∠FBC=∠DCF,AD=6cm,则EF的长为() A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm 37.(2026陕西宝鸡·二模)如图，已知口ABCD,请用尺规作图法在BC边上求作点E,连接AE,使得 S四边形AECD=3S△ABE.(保留作图痕迹，不写作法) A B 38.(2026陕西西安·三模)如图，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，且点F在线段AG上，连 接CE,过点E作EH⊥CD,垂足为H.若AD=5,GF=3AF,则EH的长度为 D 39.(2026陕西西安.三模)如图，菱形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,点E在BD上， ∠DAE=∠DEA,AD=17,AC=16,则BE的长为() D E B A.15 B.14 C.13 D.12 40.(2026陕西渭南·二模)如图，AD是△ABC的中线，点E是AC边的中点，连接DE.若AB=9,则 DE的长为() 18120 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 41.(2026陕西渭南·二模)如图，正方形和正n边形的两条邻边相交，若∠1+∠2=150°，则n的值是 42.(2026陕西渭南·二模)如图，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，连接AE,点F在AE上，过点 3 F作FH1DE于点H.若AB=4,EH=2:则FH的长为一 H E B 43. (2026陕西渭南·二模)如图，在正方形ABCD中，点M是对角线CA延长线上一点，连接BM、DM, 求证：BM=DM. M B 44.(2026陕西渭南·二模)如图，在菱形ABCD中，点O是它的对称中心，若OA=2,OB=4,则AD的 长为 19120 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 45.(2026陕西咸阳·二模)在口ABCD中，BC=9,E是AD上的一点，连接BE,AC交于点F.过点F 作FG‖AD交AB于点G.若BG=2AG,则DE的长为() D A.2 B.3 c.2 9 D. 46.(2026陕西咸阳二模)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=12.点P为对角线BD上的任一 点，作PE⊥AB,PF⊥AD.则PE+PF+PC之和的最小值为 47.(2026陕西咸阳·二模)如图，口ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在OB、OD上， 且BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,若再添加一个条件，使得四边形AECF为菱形，则可以添加的条 件是 (添加一个即可) F D 48.(2026陕西咸阳·二模)如图，点E为矩形ABCD内一点，连接AE、BE,AE=CD=V5,BE=2, 延长AE交BC于点F,延长BE到点H,连接AH,使得∠H=∠AFB,则AH的长为 D B 20120 专题07 四边形 5年真题1年模拟 考点分类 陕西考情（2022-2026） 命题规律 考点01多边形及其内角和 常考选择填空题，高频考查多边形内角和、外角和公式；以五、六边形为主，偶尔结合正多边形求角度，几乎年年涉及 侧重基础公式运用，多直接求内角、外角、边数；难度低，属于送分题，一般不结合复杂几何证明 考点02 平行四边形的性质 选择、填空、解答均有出现；常考边长、周长、角度计算；解答题中常作为第一小问，结合全等三角形进行简单证明 围绕对边平行相等、对角相等、对角线互相平分命题；常和全等综合；侧重基础计算与简单证明，很少单独出压轴大题 考点03 与三角形中位线有关的求解问题 多为填空题、选择题；常和平行四边形、矩形结合，利用中位线求线段长、周长；近五年考查频率很高 核心考查中位线 “平行且等于底边一半”；多隐藏在图形中，需要识别中点条件；以线段计算为主，一般不考复杂证明 考点04 矩形的性质和判定 填空、选择、解答都有；常考对角线相等、直角性质；解答题常考判定证明，结合勾股定理求线段长度；部分年份放在几何综合 抓住矩形直角、对角线相等两大特点；判定类考题常以平行四边形为基础添加条件；常融合勾股定理，侧重计算 + 简单证明 考点05 菱形的性质和判定 高频考点，填空选择考角度、边长、面积；解答题常考判定，利用对角线互相垂直平分，面积等于对角线乘积一半；经常和动点结合 重点考查菱形四边相等、对角线垂直平分；面积公式是高频考点；命题喜欢在平行四边形基础上加条件判定菱形，难度中等 考点06 正方形的性质 多在几何综合、压轴小问出现；选择填空会考基础角度、线段；常综合矩形、菱形全部性质，结合旋转、全等出题 综合度最高，融合矩形 + 菱形全部特征；经常出综合探究题，搭配旋转、折叠；基础题简单，压轴小问难度偏大，区分度高 考点01 多边形及其内角和 1．（2024·陕西·中考真题）小芳用三个全等的正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则______． 【答案】 【分析】本题考查了无缝拼接的条件，多边形的内角和，正多边形的定义，理解无缝拼接的条件和正多边形的定义，掌握多边形的内角和公式：是解题的关键．由无缝拼接的条件得，由多边形的内角和公式和正多边形的定义，进行列式计算，即可求解； 【详解】解：由题意得：正m边形的内角为， ， 解得：， 故答案为：． 2．（2023·陕西·中考真题）如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面密铺的问题．正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为， 故答案为：． 考点02 平行四边形的性质 3．（2026·陕西·中考真题）如图，在中，，，．点为的中点，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，则的面积为_________． 【答案】 【分析】连接，延长到点，使，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，过点作交于点，根据旋转的性质得到为等边三角形，从而得到，再证得，得到对应边的长度，再解直角三角形求出的长度，根据平行线间垂线段相等求出的长度，从而算出的高进行求解． 【详解】解：如图所示，连接，延长到点，使，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，过点作交于点； ， ∵绕点逆时针旋转至， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； ∵，．点为的中点， ∴， ∴在中，， ∴，解得， 在中，， ∴，解得， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， 则， ∴． 4．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，点，，，分别在边，，，上，且，将分成面积相等的四部分．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】考查平行四边形性质、全等三角形、面积公式及勾股定理，用面积分割与对称性思想．关键是借对称性证全等、用面积求线段，再构直角三角形计算；易错点是漏用对称性或误判直角边． 首先通过构造垂线得到直角三角形，利用的锐角三角函数求得，接着计算得到平行四边形总面积，得每部分面积为． 然后借对称性证，得、． 由平行四边形的对称性与面积平衡再设，用与的面积列方程，解得，推得、． 最后过作构直角三角形，用勾股定理得． 【详解】解：过A作于点H， ， 在中，． ， ∵，将分成面积相等的四部分， ∴每部分面积为，交点即为平行四边形的中心O， 在中，，， ∴，．，， 连接， ∴经过中心点O， ∴， ∵ ． 同理得：， ∴，． 设，过作于点Q， 在中， 在中，由三角形面积公式：   ． 过E作于延长线上点G， 又，， 且． 在中， 又平行四边形的对称性与面积平衡可得， ， 解得， ． 过M作交于P，过A作于点H， 则． ，． ． 在中，由勾股定理：   ． 故答案为：． 5．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为______． 【答案】5 【分析】如图，在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交于点，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出． 【详解】解：如图，在中，，，， 则， ∵是等边三角形， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的平分线交于点， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴直线和直线重合， 即点在上运动， ∵的面积， 则最大时，的面积最大， 根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大， 此时，如图， 则， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点的轨迹是解题的关键． 6．（2023·陕西·中考真题）如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质；连接，由题意得O为的中点；由平行四边形的性质易证，则得；再利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵直线将的面积平分， 是的中点， ； ∵四边形为平行四边形， ， ， ， ； ， ， ， ， 即， ， 解得：， 故答案为：． 考点03 与三角形中位线有关的求解问题 7．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 【答案】 （1）如图所示： （2） （3） 【分析】（1）先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，则，故四边形是平行四边形，即可作答． （2）过点作于点，解得，故在线段上运动的，整理，经过分析当有最小值时，则的周长有最小值，即作点关于的对称点，当三点共线时，有最小值，即的长，结合矩形的性质以及勾股定理列式计算，得，即可作答． （3）取的中点，取的中点，连接，得是的中位线，再过点作，证明，整理，故，再证明四边形是平行四边形，因为是的中点，得，11 、证明，，理解题意，得为定值，则点在的中位线上运动，作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，先得出，，运用三角函数得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意， 先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接， 则， ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 过点作且分别与，交于， 即在线段上运动的， 则， 当有最小值时，则的周长有最小值， 作点关于的对称点 ∴，， ∴， 当三点共线时，有最小值，即的长， 即的周长有最小值， ∵ 四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 此时的周长； （3）如图，取的中点，取的中点，连接， ∴是的中位线， 过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 连接 ∵是的中点，且四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中点 过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，过点作于点， ∴为定值， ∴为定值， 则点在的中位线上运动， 作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大， ， 故， 如图，连接，作于点，于点，连接 ∵与相切于点 ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， 故三点共线， ∴， 则， ∴， ∵，是的中点， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点是的中点，是的中点 ∴是三角形的中位线， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关运算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 8．（2023·陕西·中考真题）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ）    A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 考点04 矩形的性质和判定 9．（2025·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的性质是关键．根据菱形的性质得到，由矩形的性质得到，，，设，则在中，则利用勾股定理求出，即．得到，根据菱形的面积求出答案即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， 设，则在中， ∴ ∵， 即， ∴， 即． ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C 10．（2024·陕西·中考真题）如图，已知矩形．请用尺规作图法，在边上求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点即为所求． 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法是解题关键．作线段的垂直平分线，交于点，根据三角形中线的性质和矩形的性质可得，由此即可得． 【详解】略 11．（2023·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___．    【答案】 【分析】由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， 作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：   ． ，即， 此时、、三点共线且，点在的中点处， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键． 12．（2024·陕西·中考真题）如图，四边形是矩形，点E和点F在边上，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质．根据矩形的性质得到，，再推出，利用证明，即可得到． 【详解】略 13．（2022·陕西·中考真题）在下列条件中，能够判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】当AB=AC时，不能说明是矩形，所以A不符合题意； 当AC⊥BD时，是菱形，所以B不符合题意； 当AB=AD时，是菱形，所以C不符合题意； 当AC=BD时，是矩形，所以D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形． 考点05 菱形的性质和判定 14．（2024·陕西·中考真题）如图，在菱形中，，，过点A作，与相交于点E，连接，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，连接交于点，根据菱形的性质以及勾股定理求得，进而根据余弦的定义求得，进而根据四边形的面积为，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 在中，，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 15．（2023·陕西·中考真题）点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为___． 【答案】62° 【分析】连接，根据中心对称图形的定义得出点是菱形的两对角线的交点，根据菱形的性质得出，，那么． 【详解】解：如图，连接，   点是菱形的对称中心，， 点是菱形的两对角线的交点， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，菱形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心，掌握菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键． 16．（2022·陕西·中考真题）如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为______． 【答案】 【分析】连接AC交BD于点O，过点M作MG//BD交AC于点G，则可得四边形MEOG是矩形，以及，从而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，运用勾股定理求出AO的长即可． 【详解】解：连接AC交BD于点O，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BO=，AD//BC， ∴ 在Rt中，AB=4，BO=， ∵， ∴ 过点M作MG//BD交AC于点G， ∴, ∴ 又 ∴， ∴四边形MEOG是矩形， ∴ME=OG， 又 ∴ ∴ 在和中， , ∴≌ ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 17．（2026·陕西·中考真题）如图，已知，．请用尺规作图法，求作一点，使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点即为所求． 【分析】由作图可得，，则四边形是菱形 【详解】解：分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧在右侧相交，交点即为点． 考点06 正方形的性质 18．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为，则，利用正方形性质求出、的长及，在中利用正切定义求解． 【详解】解：连接，如图： 设， ∵四边形和是正方形，， ∴，，， ∴，， ∵、分别是正方形、的对角线， ∴，， ∴， ∴在中，． 19．（2025·陕西·中考真题）如图，在正方形中，点，分别在边，上，且．求证：． 【答案】 证明：四边形是正方形， ． ， ， ， ，即． 【分析】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，运用全等转化思想．解题关键是利用正方形的边和角的性质证明三角形全等，进而通过线段的和差关系推导结论；易错点是对正方形性质理解不全面，或全等三角形的对应关系判断错误． 先根据正方形性质得出，，结合已知，证明，得到．再由正方形中，通过，推出． 【详解】略 20．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 故选：C． 21．（2024·陕西·中考真题）如图，直线经过正方形的中心，分别与和相交于点和点，并与的延长线相交于点若，，则的长为(　　) A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；根据正方形的性质，结合三角形全等，得到，证明，得到，从而得到结果． 【详解】解：连接， 是正方形的中心， 在上，且，, , ，， ， 在和中， ， ， 四边形是正方形对边平行，则， ， ， 解得：， 故选：D． 22．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴， ∵正方形，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 1．（2026·陕西西安·一模）如图，在菱形中，E，F分别为，的中点，连接，．若，cm，则菱形的边长为______cm． 【答案】 【分析】根据菱形性质和中点得到线段关系，证得，进而得到，然后过点F作于点H，延长交的延长线于点G，在利用锐角三角函数的定义与勾股定理求得、的长，再通过证求得的长，最后通过设未知数表示相关线段，在中利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵E，F分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴cm， 如图，过点F作于点H，延长交的延长线于点G， 在中， ∵ ∴cm， cm， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴cm， ∴cm， 设菱形的边长为cm， 则cm，cm， 在中， ， 解得， ∴菱形的边长为cm． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，分别为，边的中点，连接并延长至点，使得，连接，交于点，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，利用中位线定理得出平行关系，进而构造相似三角形，通过线段比例求解的长． 【详解】解：，分别为，边的中点， 是的中位线， 平行于，， 平行于， ， ， 平行于， ， ， ， ， 即， ， ， ， 是中点， ， ， 得． 3．（2026·陕西延安·一模）一个正多边形的每一个外角度数为，那么由该正多边形的一个顶点可以引出的对角线的条数为________． 【答案】 【分析】先根据任意多边形的外角和为，结合已知外角度数求出正多边形的边数，再根据边形一个顶点引出对角线条数的规律计算即可． 【详解】解：任意多边形的外角和为，该正多边形每个外角为， 该正多边形的边数为， 从边形的一个顶点出发，除去自身及其两个相邻顶点，剩余顶点均可连接得到对角线， 可引出的对角线条数为． 4．（2026·陕西安康·一模）如图，在中，对角线与相交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得，再根据正弦的意义可得． 【详解】解：在中，对角线与相交于点， ∴， 在中，， ∴， ∴． 5．（2026·陕西安康·一模）如图，矩形的面积为，点在边上，连接，以为边作菱形，当边经过点，且满足时，_____． 【答案】6 【分析】过点作于点，连接，先求出菱形的面积、得出，再设，解直角三角形可得，利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接． ∵矩形的面积为， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，， 设， ∴在中，， 又∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 6．（2026·陕西榆林·一模）如图，在正方形中，点M在边上，且，连接，点E是的中点，过点E作的平行线，交于点F，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】如图，延长交于点G，首先求出，然后证明出，得到，求出，证明出四边形是矩形，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵ ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∵点E是的中点 ∴ ∵， ∴ ∴，即 ∴ ∵四边形是正方形， ∴四边形是矩形 ∴ ∴． 7．（2026·陕西榆林·一模）如图，在矩形中，，，是边的中点，是边上的动点（不与端点重合），线段分别与线段、相交于点、．若，则的长为________． 【答案】 【分析】过点作交于点，过点作交的延长线于点，过点作于点，即可得到四边形为平行四边形，进而得到，然后根据同角的余角相等得到，利用正切的定义得到，利用勾股定理求出，然后根据得到，利用得到，最后根据求出的长解答即可． 【详解】解：如图，过点作交于点，过点作交的延长线于点，过点作于点， 则，， ∵四边形 是矩形， ∴，，，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·陕西商洛·一模）如图，在边长为6的正方形中，，分别是边，上的点，，连接．若，则的长为________． 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转得到，通过全等三角形得到，根据正方形性质以及已知条件求解的长． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到， ，，， 四边形是边长为6的正方形， ， ， 三点共线， ， ， ， ， 又 ， ， ， 设，， ，，， ， 在中，，即， 解得，（不符合题意，舍去）， ． 9．（2026·陕西商洛·一模）如图，在中，为边延长线上一点，连接交对角线于点，过点作交于点．若，则的长为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，， 设， ． ， ，． ， ． ， ，， ， ， ，即， 解得，（舍去）． ． 10．（2026·陕西商洛·一模）如图，已知菱形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边与该反比例函数的图象交于点，连接，．若点的纵坐标为6，则与的面积之和为________． 【答案】 【分析】由菱形得，利用 “同底等高的三角形面积相等”将与的面积之和转化为菱形面积的一半，再通过反比例函数解析式求出点 A 坐标，进而计算菱形的面积即可求解． 【详解】解：如图，过点作交轴于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，轴，， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为6， ∴点的纵坐标为6， ∵点在反比例函数的图象上， 将代入解析式得， 解得， ∴点，即，， 在中， ， ∴， ∴． 11．（2026·陕西咸阳·一模）【思路梳理】 (1)如图1，在矩形中，点E在边上，连接，过点E作，交边于点F，，求证：； 【问题解决】 (2)如图2，在某生态农场中，有一块等腰三角形花田，其中，，米，点E、F分别在边上移动（不与端点重合），且．为了优化灌溉系统，以为腰在下方作等腰，使得，，点D是的中点，在点D、G处设置监测点，并规划从D到B、G的路径，使得“”的总路径（即的周长）尽可能短，以减少巡查和管理成本．请你求出周长的最小值．（监测点的大小忽略不计） 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）由矩形的性质得到，可证明，，则可证明，得到； （2）在上取一点T，连接使得，可证明，得到，则可证明，得到，进而证明，则可推出，故点G在以点C为端点，且与的夹角（锐角）为的射线（在上方）上；作点D关于射线的对称点K，连接，可证明当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为；由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，在上取一点T，连接使得， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴点G在以点C为端点，且与的夹角（锐角）为的射线（在上方）上； 如图所示，作点D关于射线的对称点K，连接， ∵点D为的中点， ∴米； 由轴对称的性质可得米，， ∴； ∵的周长， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为； 在中，由勾股定理得米， ∴的周长的最小值为米． 12．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，点F是的中点，连接、．若，则的面积为（    ） A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】作于点，延长交于，由正方形的性质可得，，结合题意得出，证明，四边形为矩形，得出，，求出，再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，延长交于， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，四边形为矩形， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 13．（2026·陕西渭南·一模）如图，在菱形中，连接交于点O，点F在上，且，点E在边上，且，连接、．若的面积为10，则四边形的面积为______． 【答案】 80 【分析】根据菱形的性质，得到，作于点，证明，得到， 根据的面积为10，求出菱形的面积，进而求出的面积，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，再利用分割法进行求解即可. 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， 点在上，， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， 点在边上，， ， . 14．（2026·陕西渭南·一模）如图，是矩形的对角线，线段的垂直平分线，分别交、于点、，连接．若，，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，设，可以把用的代数式表示出来，再利用勾股定理列方程，求出即可求解本题． 【详解】解： 垂直平分， ， 设， 在矩形中，，， ， ， 解得：， ． 15．（2026·陕西榆林·一模）如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F在边上，且，与相交于点N，M是的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】先证明，求得．再利用直角三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． ∵点E是边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵M是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴的长为． 16．（2026·陕西榆林·一模）如图，在平行四边形中，点是边上的一点，点是延长线上的一点，且．求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而推出，再结合已知条件，利用判定，进而得到． 【详解】略 17．（2026·陕西榆林·一模）如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，且．延长到点E，在内作射线，使得，过点B作，垂足为H，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得到，再利用三角函数得到，证明即可得到答案． 【详解】解：菱形中，， ，点为中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 18．（2026·陕西榆林·一模）如图，在四边形中，，，点E是对角线的中点，点F，G分别是，边的中点，连接，，．若，则线段的长度为（   ） A．5 B． C． D．3 【答案】B 【分析】因为E、F、G分别是、、的中点，所以可利用三角形中位线定理，分别求出和的长度．因为，可利用勾股定理求出的长度． 【详解】∵是中点，是中点， ∴ ， 又∵是中点， ∴ ， ∵， ∴ ． 19．（2026·陕西渭南·一模）如图，在矩形中，对角线交于点O，交于点E．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，得，，继而得到，求解即可． 【详解】解：矩形中，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 20．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，点E、F分别在、边上，连接，有下列三个选项：①，②，③．请你在上述三个选项中选择两个作为补充条件，选择一个作为结论，并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法） (1)你选的补充条件为________、________，结论为________；（填序号即可） (2)根据第（1）问的选择，证明你的结论． 【答案】(1)①，②；③；（②，③；①） (2) 解：解法一，选的条件为①，②，结论为③， 证明，四边形为平行四边形， ， 在和中， ， ， ； 解法二，选的条件为②，③，结论为①， 证明，四边形为平行四边形， ， 在和中， ， ， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据全等三角形的判定选择即可 （2）根据选择的条件进行证明，即可求证． 【详解】（1）解：解法一，选的条件为①，②，结论为③； 解法二，选的条件为②，③，结论为①． （2）略 21．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在矩形中，点分别在边上，连接，求证： ． 【答案】 证明：四边形是矩形， ，即． 在和中，， ， ． 【分析】证明，即可得证. 【详解】略 22．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在正方形中，连接，点在上，连接，于点，延长交于点，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得出，确定，得出，利用勾股定理得出，再由等腰三角形三线合一得出，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，即可求解 【详解】解：∵正方形，为对角线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ 23．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在菱形中，对角线交于点，点是延长线上一点，连接交于点，若，则菱形的周长为________． 【答案】48 【分析】取的中点，连接，根据菱形的性质得出是的中位线，得出相等的角，证明，利用对应边成比例进行求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ，且， ∴， 则， 即， 解得， 则 菱形的周长为． 24．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在矩形中，，点在上，连接、，若，则的长为（　　） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，，根据勾股定理可得，则可得，再根据勾股定理可得．本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 25．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，点为正方形的边的中点，点、分别在、上，且，连接、，求证：． 【答案】 证明：正方形， ∴， ∵点为正方形的边的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【分析】证明即可． 【详解】略. 26．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形中，对角线，点在菱形外，连接，且，点分别在边上，连接，以为底边向右作等腰，使得，连接，则的面积为___________． 【答案】8 【分析】连接交于点，根据菱形的性质得出，，，，平分，确定，得出点四点共圆，再由等腰三角形的性质及题意得出点在直线上，确定点到直线的距离等于点到直线的距离，即的长，即可求解． 【详解】解：连接交于点， 四边形是菱形， ，，，，平分， ， 点四点共圆， 是等腰三角形，为底边， ， ∵ 平分， 点在直线上， ，， ∴， 点到直线的距离等于点到直线的距离，即的长， ． 27．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在菱形中，点在边上，且，连接，交对角线于点．若，则的长为（    ） A．8 B．6 C．9 D．7 【答案】A 【分析】由题意可得，利用菱形的性质可得，，易证可得，即，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即选项A符合题意． 28．（2026·陕西渭南·二模）如图，点、分别在正方形的边、上，连接、，，求证：． 【答案】证明：四边形为正方形， ， ， ， ． 【分析】利用正方形性质证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】略 29．（2026·陕西渭南·二模）已知在四边形中，，，，如果添加一个条件，可使得四边形为正方形，则添加的条件可以是________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据已知条件判定四边形为矩形，再根据正方形的判定定理，添加使矩形成为正方形的条件即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． 当添加条件时，一组邻边相等的矩形是正方形，即四边形为正方形． 30．（2026·陕西榆林·二模）【思路梳理】 (1)如图，在菱形中，点、分别在、边上，连接，，平分菱形的面积． ①的长为________； ②若，菱形的面积为，求的长． 【实践应用】 (2)如图，小平和小安做游戏，在空地上画出一个矩形，其中米，米，连接，小平（看作点）从点处出发，沿折线移动至点处停止，小安用粉笔在地上作于点，取的中点，连接，以、为邻边作，当所在直线将矩形的面积平分时，请你帮助小平和小安计算出小平移动的路程（即点移动的路程）． 【答案】(1)①1；② (2)小平移动的路程为米或米 【分析】（1）①根据菱形的性质得出相等的边和平行线，利用梯形的面积公式列出线段的等量关系，得出； ②过点作于点，过点作于点，得出四边形为矩形，得出相等的边，然后利用梯形面积和勾股定理进行求解； （2）分两种情况进行讨论，确定当的对角线经过点时，所在直线将矩形的面积平分，利用勾股定理求出相关线段的长度，利用全等三角形的判定和性质以及矩形的性质进行求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是菱形， ∴， 当时，且两梯形等高， ∴， 又∵， 整理得， ∴； ②如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴由勾股定理得； （2）解：①如图所示，连接交于点， 当的对角线经过点时，所在直线将矩形的面积平分， ∵四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴（米）， ∴小平移动的路程为米； ②如图所示，当点在线段上时， 当的对角线经过点时，所在直线将矩形的面积平分， 交于点交于点，连接， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴小平移动的路程为米； 综上，小平移动的路程为米或米． 31．（2026·陕西西安·二模）【问题探究】 (1)如图1，在中，延长至点，以为边向右侧作，点为的对称中心，请过点作直线，使直线平分该组合图形的面积；（画出大致示意图即可） (2)如图2，点为内一点，连接、，延长至点，，且，过点作，连接，，若，求的度数； 【问题解决】 (3)如图3所示，某生态研究所欲规划一个湿地研究基地（五边形），该基地由上方的（F为上方的动点，且）和下方的两部分组成，计划在内的处建一观测点，满足，点在边上，线段、、、、均为观测步道，其中于点，交的延长线于点，且，，现要在线段上选一个出入口点，并修建新步道，使新步道将五边形的面积平分，已知． 请问：是否存在满足要求的点和点？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（图中的点均在同一平面内，观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计） 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据平行四边形的对称中心性质，连接，确定对角线的交点，则直线过点和对角线的交点； （2）先由得，结合题干条件证明，可得，再由可得，进而得到； （3）先由题干条件证明，得，推出，进而得到点在以为直径的圆上运动，连接对角线的交点和的中点，即可平分五边形的面积，找出满足要求的点和点，再求即可． 【详解】（1）如图1，直线为所作．     （2），， ， 在和中，，，， ，     ，     ， ， ，     ， ，即． （3），，， ，，     ， ，， ， ， ，     ， ， 在和中，，，， ，     ， ， ， ，即．     如图3，取的中点，作的外接圆，则点在上运动，连接、交于点，则为的对称中心，经过点的直线都平分的面积，为的中点，经过点、的直线平分的面积，故作经过、两点的直线，直线交于点，交于点，连接、，则平分五边形的面积．因此存在满足要求的点和点，此时点与重合．     ， ， 易得四边形是平行四边形， ， ， ． 综上，存在满足要求的点和点，此时的长为． 【点晴】本题主要考查平行四边形对称中心的性质、三角形外接圆与动点轨迹、组合图形面积平分的方法以及存在性问题的转化，理解“过对称中心的直线平分中心对称图形面积”，将复杂图形拆解为基本图形，再通过关键点构造直线，是解决面积平分类综合题的关键． 32．（2026·陕西渭南·二模）如图，在矩形中，，，点在边上，且，点是矩形内一动点，且，点为线段的中点，连接、，则的最小值为__________． 【答案】13 【分析】根据比例关系，先算出，由此取中点G，通过证明全等三角形，得到，从而将转化为，变为“两点之间线段最短”的最值问题，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点G，连接， 在矩形中，，，， ∵，， ∴，， 又， ∴， ∵点F，G分别是，的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为13． 33．（2026·陕西西安·二模）如图，在矩形中，，，点为边上的动点（不与端点重合），连接、，点、分别为、的中点，连接、、，过点作交边于点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理可得且，结合矩形性质证得，进而证明四边形为平行四边形，得出；利用直角三角形斜边中线定理可得，，将转化为；作点关于直线的对称点，连接，利用勾股定理求出的长，即为的最小值，从而求得结果． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 点、分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 在中，为的中点， ， 在中，为的中点， ， 要使最小，即求的最小值， 作点关于直线的对称点，连接交于点，此时最小，且最小值为的长 点与点关于直线对称， ， ， ， ， 延长，使，连接， ∴， ∵， ∴ 在中 ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，中位线定理，勾股定理，最短路径的问题，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 34．（2026·陕西西安·二模）如图，点、是内的两点，且点在点的左侧，连接、、、、、，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据已知条件和平行四边形的性质证明，进而可得结论． 【详解】证明：， ，     ∵四边形是平行四边形， ， ， ，     在和中， ∵，，， ，     ． 35．（2026·陕西西安·二模）如图，在菱形中，，点是的中点，交于点、交的延长线于点．若，则的长为（     ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】利用菱形的性质得到，，即可推出，得到，接着运算出的长即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 解得：， ∴． 36．（2026·陕西渭南·二模）如图，在矩形中，是的中点，是边上一点，连接、、，且，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质得，，得到，即得到，即得，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴． 37．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，已知，请用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得，进而可得只需作点，使得，则作的垂直平分线，交于点，连接即可． 【详解】解：如图，点即为所作． ． 38．（2026·陕西西安·三模）如图，四边形和四边形都是正方形，且点在线段上，连接，过点作，垂足为．若，，则的长度为________． 【答案】 【分析】先通过全等三角形转化线段，再结合垂直条件以及勾股定理求出线段长度，根据三角形面积公式推导出的长度． 【详解】解：已知四边形和四边形都是正方形， ， ， ， ， ， , 三点共线， 设，则，， 在中，， ， 解得或（舍去）， ， ， ． 39．（2026·陕西西安·三模）如图，菱形的两条对角线，相交于点O，点E在上，，，，则的长为（     ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出的长，利用勾股定理求出的长，进而得到的长；根据等角对等边得出，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， 在Rt中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．（2026·陕西渭南·二模）如图，是的中线，点E是边的中点，连接．若，则的长为（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由中线的定义可知点D是的中点，易得是的中位线，再利用三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴D是的中点， ∵点E是边的中点， ∴是的中位线， ∴． 41．（2026·陕西渭南·二模）如图，正方形和正n边形的两条邻边相交，若，则n的值是________． 【答案】 6 【分析】由正方形的性质得其内角为，结合对顶角相等及四边形内角和定理，可计算出正边形的一个内角为，再利用正多边形内角公式构造方程，求解出的值 【详解】解：由正方形的性质可知，正方形的每个内角均为， ∵正方形和正边形的两条邻边相交构成一个四边形， 根据对顶角相等，该四边形的两个内角分别等于和， ∴由四边形内角和定理可知，正边形的一个内角为： ， 根据正多边形内角公式得：， 解得． 42．（2026·陕西渭南·二模）如图，在正方形中，点是的中点，连接，点在上，过点作于点．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到的长和的度数，根据线段中点的定义求出的长，由垂直的定义得到，从而证得，再利用相似三角形的判定与性质列出比例式解答即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ，， ∵点是的中点， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ． 43．（2026·陕西渭南·二模）如图，在正方形中，点是对角线延长线上一点，连接、，求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，如图，根据正方形的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论． 【详解】证明：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴垂直平分， ∵点是对角线延长线上一点， ∴． 44．（2026·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，点是它的对称中心，若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可知菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，利用菱形的性质可得且，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：四边形是菱形，点是它的对称中心， ，， ，， 在中，． 45．（2026·陕西咸阳·二模）在中，，E是上的一点，连接，交于点F．过点F作交于点G．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形的性质，证明，，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵中，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 46．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在菱形中，，．点P为对角线上的任一点，作，．则之和的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，，交于点，证明均为等边三角形，等积法得到，进而得到当即点与点重合时，之和最小为的长，即可. 【详解】解：连接，，交于点， 在菱形中，，， ∴，，， ∴均为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，之和最小， ∵点P为对角线上的任一点， ∴当，即点与点重合时，之和最小，为的长， ∴之和的最小值为． 47．（2026·陕西咸阳·二模）如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当或或或时，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形； 当时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形． 48．（2026·陕西咸阳·二模）如图，点为矩形内一点，连接、，，，延长交于点，延长到点，连接，使得，则的长为_________． 【答案】 【分析】由题意易得，过点作于点，作的外接圆，连接，则有，点在上，然后可得，，设，则，进而根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 过点作于点， ∴． 作的外接圆，连接，如图，则为的直径．由，可得点在上， ， ，即． 由为等腰三角形， ， ∴， ∴也为等腰三角形， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $