专题04 三角形（3年汇编）（内蒙古专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇编内蒙古2022-2026年中考真题及模拟题，聚焦三角形专题，覆盖几何初步、全等、相似、综合变换及解直角三角形，以真实情境与模型探究为核心命题亮点。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约7题/3分|平行线性质、三角板角度组合、位似坐标|结合木工曲尺、三角尺摆放等工具情境，考查角度推导| |填空题|约3题/3-4分|位似坐标、平移变换、相似模型|以A字型/X字型为高频模型，设置坐标计算与规律探究| |解答题|约6题/7-10分|全等判定（SAS/ASA）、解直角三角形（无人机测高）、旋转折叠综合|设计“伞形图”模型证明、手拉手旋转探究，融入无人机测高、古塔测量等真实实践情境，多问梯度设问|

专题04 三角形 5年真题1年模拟 考点分类 内蒙古考情（2022-2026） 命题规律 几何初步（平行线、相交线、角度计算） 以选择题为主，分值 3 分；全区各地市高频考查，常结合三角尺、生活工具为载体出题。 主要考查平行线性质、对顶角、三角板角度组合；侧重角度推导计算，难度低；常与物理学科情境融合。 三角形基础与全等三角形 选择、填空、解答题均有出现；解答题 79 分，通辽等地市考过模型探究大题；是几何证明的基础。 常考 SAS、AAS、ASA 全等判定；出现 “伞形图” 等模型探究；多小问梯度设问，第一问模型证明，后面迁移拓展；会和圆综合考查。 相似三角形（含位似） 选择填空 34 分，解答大题 68 分；2025 统考考过位似坐标；赤峰有相似探究压轴小问。 位似常考坐标系内求对应点坐标；A 字型、X 字型为高频模型；利用相似求线段、面积比例；面积比等于相似比平方是高频易错点。 三角形综合（旋转、折叠、特殊三角形） 多为选择压轴、填空压轴或解答综合题，分值 310 分；呼市、赤峰高频考查，融合旋转、翻折变换。 以旋转、折叠为背景；结合等腰、等边、直角三角形；手拉手模型频繁出现；部分新定义题型（勾股四边形），考查学生阅读理解和知识迁移。 解直角三角形与锐角三角函数计算 必考题型，解答实践应用题 810 分；各地市几乎年年考；也会出实数计算小题。 以无人机测高、古塔 / 建筑物测量为真实情境；考仰角、俯角；需要做垂线构造直角三角形；也会单独考查三角函数实数运算；重视方案设计类开放设问。 考点01 几何初步 1．（2026·内蒙古·中考真题）如图，木工常用的直角曲尺的直角顶点和其中一端点分别在两条平行直线和上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【详解】解：如图，设曲尺左侧边与直线的夹角为， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， 曲尺的直角顶点为， ， ． 2.（2025·内蒙古·中考真题）如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3.（2024·包头·中考真题）如图，直线，点在直线上，射线交直线于点，则图中与互补的角有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴图中与互补的角有，，，共3个． 故选∶C． 4.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶C． 5.（2024·赤峰·中考真题）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示：    由题意得： ∴ 故选：B． 6.（2024·呼市·中考真题）如图，直线和被直线和所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴， 故选：B． 7.（2024·通辽·中考真题）将三角尺按如图位置摆放，顶点A落在直线上，顶点B落在直线上，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，∵    ∴， ∵在三角板中，， ∴． 故选：B 考点02 三角形及其全等 1.（2024·通辽·中考真题）【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】 （1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 （3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 【详解】解：（1）在和中， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，连接，取的中点F，连接， ∵的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点03 相似 1.（2025·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 2.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】如图，过作轴于点，则， 由平移性质可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故答案为：． 3.（2024·赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F． 请你解决下面各组提出的问题： (1)求证：； (2)探究与的关系； 某小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明； (3)拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，且， ∴， ∴； （2）解：①当时，；当时，， ∴总结规律得：是的2倍， ∴当时，； ②当时，猜想， 证明：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，又， ∴，即， ∴； （3），理由如下： 过点作， ∵，， ∴， 由（2）知，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 考点04 三角形综合 1.（2024·赤峰·中考真题）如图，△ABC中，，．将△ABC绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④ 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴，， 由旋转的性质得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ①点B在旋转过程中经过的路径长是；①说法正确； ②∵，∴；②说法正确； ③∵， ∴， ∴；③说法正确； ④∵，， ∴， ∴．④说法正确； 综上，①②③④都是正确的， 故选：A． 2.（2024·呼市·中考真题）如图，在中，，将沿翻折得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为的中点，连接．若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接与相交于点，连接， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 又由旋转得，，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 考点05 解直角三角形 1.（2025·内蒙古·中考真题）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为 （结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 2.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的处，测得操控者的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为，又经过人工测量得到操控者和大楼之间的水平距离是80米，则楼的高度是多少米？（点都在同一平面内，参考数据：） 【答案】楼的高度为米． 【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴楼的高度为米． 3.（2024·赤峰·中考真题）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点M， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）， ∴古树的高度约为米． 故答案为：． 4.（2024·包头·中考真题）如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）． (1)请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用等表示，测出的角用等表示），并对设计进行说明； (2)根据你测量的数据，计算教学楼的高度（用字母表示）． 【详解】（1）解：如图，将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到的距离为m，用测角仪测出A的仰角为，测出B的俯角为； （2）解：如图，过C作于E， 则四边形是矩形，，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 答：教学楼的高度为． 5.（2024·通辽·中考真题）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是，长6米，在距离C点4米处的点测得杨树顶端A点的仰角为，求杨树的高度（精确到米，，，在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：． 【详解】解：过点B作于点E， 在中，，米， ∴米，米， 米， 米 在中，， 米， 米， ， 米． 答：杨树的高度约米． 6.（2024·呼市·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴， 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 考点06 锐角三角函数的计算 1.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）计算：． 【详解】解： ． 2.（2024·赤峰·中考真题）计算：； 【详解】解：（）原式 ， ； 3.（2024·呼市·中考真题）计算： 【详解】解：（1）原式 ； 4.（2024·通辽·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 1．（2026·通辽·一模）如图，是一种测量角的仪器，它依据的原理是（    ） A．同位角相等 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．等角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，是基础题，根据对顶角相等的性质解答． 【详解】解：依据的原理是对顶角相等． 故选：B． 2．（2026·呼和浩特·一模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 3．（2026·巴彦淖尔·一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点（折射光线的反向延长线与主光轴线的交点）．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，从而利用平角定义可得，然后利用三角形的外角性质可得 ，再利用对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图： ， ， ， 是的一个外角， ， ， 故选：A． 4．（2026·赤峰·一模）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】题目主要考查平行线的性质及三角板角度的计算，根据平行线的性质得出，然后结合图形求解即可． 【详解】解：∵将一副三角尺平放在桌面上，， ∴． ∴． 故选：D． 5．（2026·巴彦淖尔·一模）在 中，， 则满足上述条件的三角形个数为（     ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、三角形的个数问题 【分析】本题考查已知两边及一边对角的三角形个数判断，利用含30°角的直角三角形的性质求出点B到边的高，通过比较高与的大小得到三角形个数. 【详解】解：过点作，交所在直线于点， ∵，， ∴在中，， ∵，即， ∴在直线上可找到两个不同的点满足，因此满足条件的三角形共有2个. 6．（2026·包头·一模）如图，在点光源O的照射下，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，形成的投影是．若，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】由中心投影可知与是位似图形，进而根据位似图形的性质求解即可． 【详解】解：由中心投影可知，与是位似图形， ∵， ∴ ∴与的位似比为， ∴， ∴． 7．（2026·赤峰·二模）如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，连接分别交，于点P、Q，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由题意易得，，，则有，，，然后可得，进而根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴，，， ∵点R为的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（2026·包头·一模）某社区有一块锐角三角形草坪，示意图如图，米，且与的夹角．为了方便居民通行，计划从点C向边修一条小路作为步道，则步道的最短长度为________米． 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】首先，过点C作于，然后，运用在中，及已知数据及角度，代入计算即可． 【详解】解：如图，过点C作于． ∴， 在中，米，， ∴(米)． 9．（2026·呼和浩特·二模）始建于辽圣宗时期的呼和浩特白塔（万部华严经塔）有近千年历史．某数学活动小组去测量其高度．如图所示，在塔前平地上取A，B两点，，测角仪的高度．在A点测得塔顶M的仰角，在B点测得塔顶M的仰角，则塔的高度约是_______m（，，，结果保留整数） 【答案】 56 【分析】延长交于点，构造直角三角形，利用矩形的性质求出和的长，设，在两个直角三角形中分别表示出和，利用建立方程求解即可； 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意可知，，，， 四边形和四边形均为矩形， ，， 设， 在中，， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ． 10．（2026·通辽·一模）如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．过点作于点，则，求出，，利用，得出，，相加即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．（2026·锡林郭勒·一模）如图，为订书机的托板，压柄绕着点旋转，连接杆的一端点固定，点从向处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若，，，则的长度为_______． 【答案】10 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是关键． 过点作，垂足为，先求出，进而求出，可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为， 在中，，， ，， ，， ， ． 故答案为：10． 12．（2026·呼和浩特·一模）如图，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图右图，已知，，与的夹角为．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角调整为，并用铁链锁定B、C两点．农夫站在离顶端D处的E处时可以高效且安全地采桑．此时农夫所在的E处到地面的高度为______．（结果精确到）．（参考数据：，，，，） 【答案】2.6 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是关键． 过点E作于点G， 根据，求出，再在中，利用及长度，即可求解． 【详解】解：过点E作于点G，如图所示， ，， ， ， ， 在中，，， ． 故答案为：2.6． 13．（2026·锡林郭勒·一模）如图，在中，，，D是边上的中点，交于点E，O是的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，解直角三角形及平行线分线段成比例定理，作交于点H，先得出，得出，证明，求出，根据平行线分线段成比例定理求出结论即可得到结论． 【详解】解：作交于点H， ， ， 是的中点， ， ∵D是边上的中点，， ∴， ， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴，即， ， 故答案为：． 14．（2026·巴彦淖尔·一模）如图，在中， P 为边上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转至 ，则线段的最小值__________．    【答案】6 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】过点A作于D，根据旋转的性质得到，，进而得到当，所以最短时，最短，当时，最短，然后利用含角直角三角形的性质得到求解即可． 【详解】解：如图1所示，由旋转可得，，过点A作于D， ， ， ，      ∵P为边上一动点， ∴当时，最短，此时最短， 如图2所示，    ∵，， ∴， ∴当时，， ∴． 15．（2026·巴彦淖尔·一模）定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)如图1∶若四边形中，，， ，四边形 “勾股四边形”(填“是”或“不是”)，若是则写出勾股边 ，若不是填无． 性质探究： (2)如图2，，，，，． ①求证：无论θ取何值，四边形一定为“勾股四边形”． ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求θ的值． 拓展应用： (3)如图3， 和都是等边三角形，连接，当四边形 是以、为勾股边的勾股四边形时，若 求的长． 【答案】(1)是；与 (2)①证明：，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即四边形一定为“勾股四边形”； ② (3)3 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、四边形其他综合问题、等边三角形的判定和性质、二次根式的乘法 【分析】（1）根据“勾股四边形”的定义求解即可． （2）①由三角形内角和定理得出，由角的和差关系可知，然后根据勾股定理得出，即可证． ②先证明，由全等三角形的性质得出， 等量代换可得出，再由勾股四边形的定义可知，即可得出，由等边三角形的判定和性质即可求出的值． （3）连接，，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由，结合勾股四边形的定义进一步得出是直角三角形，且，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，，由等边三角形的性质得出． 【详解】（1）解：∵，， ， ∴， ∴四边形 是“勾股四边形”，勾股边为与； （2）解：①略； ②解：， ． 在与中， ， ． 又， ． 四边形为“勾股四边形”， ，为勾股边， ∴勾股边的平方和不可能等于， ∴， ． 又， 是等边三角形， ， ． （3）解：连接，，过点作于点， 和是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中， ， ， 四边形是以、为勾股边的勾股四边形，且， ， ， 是直角三角形，且， ， 在中，，，， ， 由勾股定理可得，， ， 由勾股定理可得，， ． 16．（2026·呼和浩特·一模）综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以直角三角形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论．如图1，在中，，点D是的中点，连接，分别过点A，B作的平行线相交于点E． 猜想证明：（1）判断四边形的形状，并证明你的结论； 操作探究：（2）“乐学”小组在图1的基础上连接，交于点O，然后将绕A点逆时针旋转得到（点D，E的对应点分别为，），在认真分析旋转到不同位置时的情形后，他们提出如下问题，请你解答： ①如图2，当点E'恰好与点D重合时，与交于点H，求证：； ②若，，当线段所在直线与所在直线平行时，直接写出点E，之间的距离． 【答案】（1）四边形是菱形，见解析（2）①见解析；②或 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，熟练利用分类讨论思想正确画出辅助线是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，在根据斜边上中线等于斜边一半得到，即可证明四边形为菱形； （2）①证明即可解答； ②分情况讨论，即当在点上方或当在点下方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）证明：过点A，B作的平行线相交于点E， ， 四边形是平行四边形， 在中，点D是的中点， ， 四边形是菱形； 解：（2）①四边形是菱形， ，， ， ， ， 由旋转得到， ， ， ， ，即； ②如图，当在点上方，且点在上时，， ，，， ， ， 根据旋转的性质，， ， 过点作，连接， ， ，， ， 如图，当在点下方，且点在的延长线上时， ， ， 根据旋转的性质， ， 过点作，交的延长线于点，连接， 同理可得， ， ， 综上所述，点E，之间的距离为或． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04三角形 5年真题1年模拟 中考品题透析园 内蒙古考情(2022 考点分类 命题规律 2026) 以选择题为主，分值 几何初步（平行 3分：全区各地市高 主要考查平行线性质、对顶角、三角板角度组 线、相交线、角 频考查，常结合三角 合；侧重角度推导计算，难度低；常与物理学 度计算) 尺、生活工具为载体 科情境融合。 出题。 选择、填空、解答题 均有出现：解答题 常考SAS、AAS、ASA全等判定；出现“伞形 三角形基础与全 7-9分，通辽等地市 图”等模型探究；多小问梯度设问，第一问模 等三角形 考过模型探究大题： 型证明，后面迁移拓展；会和圆综合考查。 是几何证明的基础。 相似三角形（含 选择填空3-4分， 位似常考坐标系内求对应点坐标：A字型、X 位似) 解答大题6-8分： 字型为高频模型：利用相似求线段、面积比 1/15 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025统考考过位似坐 标：赤峰有相似探究 例：面积比等于相似比平方是高频易错点。 压轴小问。 多为选择压轴、填空 压轴或解答综合题， 以旋转、折叠为背景；结合等腰、等边、直角 三角形综合（旋 分值3-10分；呼 三角形：手拉手模型频繁出现：部分新定义题 转、折叠、特殊 市、赤峰高频考查， 型（勾股四边形），考查学生阅读理解和知识 三角形) 迁移。 融合旋转、翻折变 换。 必考题型，解答实践 以无人机测高、古塔/建筑物测量为真实情 解直角三角形与 应用题8-10分：各 境：考仰角、俯角；需要做垂线构造直角三角 锐角三角函数计 地市几乎年年考：也 形；也会单独考查三角函数实数运算；重视方 算 案设计类开放设问。 会出实数计算小题。 五年真题分类园 考点01几何初步 1.(2026内蒙古·中考真题)如图，木工常用的直角曲尺的直角顶点A和其中一端点B分别在两条平行直 2/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 线a和b上，若∠1=127°，则∠2的度数是() 0 A.53 B.47° C.37o D.27° 2.(2025内蒙古中考真题)如图，直线AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上，连接EF,以点E 为圆心，适当长为半径画弧.交射线EA于点M,交EF于点N,再分别以点M,N为圆心，大于2MN 的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在∠AEF的内部相交于点H,画射线EH交CD于点G,若 ∠AEF=80°，则∠EGF的度数为() A ML E B H米 A.1009 B.80° C.50° D.40 3.(2024包头中考真题)如图，直线AB∥CD,点E在直线AB上，射线EF交直线CD于点G,则图中 与∠AEF互补的角有() -B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2024呼伦贝尔兴安盟中考真题)如图，AD∥BC,AB1AC,若∠1=35.8，则∠B的度数是(） A D B A.3548 B.5512 C.5412 D.54°52 5.(2024赤峰·中考真题)将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则∠1的大小为() 3/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.100° B.105° C.115o D.120° L 6(2024呼市中考真题)如图，直线和被直线和所截，4=∠2=130°，3=75°，则∠4的度数 为() A.75° B.105 C.115° D.130° 7.(2024通辽中考真题)将三角尺1BC按如图位置摆放，顶点4落在直线上，顶点B落在直线上，若 11%,4=25°，则2的度数是(） C K2 309 A.45° B.35° C.30° D.25° 考点02三角形及其全等 1.(2024通辽中考真题)【实际情境】 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具，同学们认真观察后，组装 了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞. 4/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M D 图1 图2 图3 【模型建立】 (1)如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”.AM=AN,DM=DN.求证：∠AMD=∠AND 【模型应用】 (2)如图2，△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D.请你从以下两个条件： ①∠AMD=2∠C;②AC=AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明 过程.（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】 (3)如图3， 4C为0的直径.仍=C,∠BMC的平分线4D交C于点5，交©0于点D,连接CD 求证： AE=2CD 品 考点03相似 1.(2025内蒙古中考真题)如图，在平面直角坐标系中，△04B的顶点坐标分别是 0(0,0）A(2,1) B(1,2 ,以原点0为位似中心，在第三象限画△0AB与△0AB位似，若△0AB与△01B的相似比为2：1， 则点A的对应点A的坐标为() VA B A.（-2,-) B.（4,-2) c.（4,-2) D.（2,4) 2.(2024呼伦贝尔兴安盟·中考真题)如图，点 0,-2).B,0), 将线段AB平移得到线段DC,若 ∠ABC=90°，BC=2AB,则点D的坐标是一 5/15 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 3.(2024赤峰·中考真题)数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题.如图 1,在△ABC中，AB=AC,点D是AC上的一个动点，过点D作DE⊥BC于点E,延长ED交BA延长线 于点F F A ◆y D B B E C E 图1 图2 请你解决下面各组提出的问题： (I)求证：AD=AF; DF AD (2)探究DE与DC的关系； AD 1 DF 2 AD 4 DF 8 某小组探究发现，当DC3时，DE3;当DC5时，DE5, 请你继续探究： AD 7 DF ①当DC=6时，直接写出DE的值； AD m DE ②当DC=n时，猜想DE的值（用含m,n的式子表示），并证明： 3)拓展应用：在图1中，过点F作FP⊥AC,垂足为点P,连接CF,得到图2，当点D运动到使 AD m AP ∠4CF=∠ACB时，若DCn,直接写出AD的值（用含m,n的式子表示）· 考点04三角形综合 6/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(2024赤峰中考真题)如图，△ABC中，AB=BC=1,∠C=72°.将△ABC绕点A顺时针旋转得到 △AB'C,点B'与点B是对应点，点C'与点C是对应点.若点C恰好落在BC边上，下列结论：①点B在 AB B'B 旋转过程中经过的路径长是”；②BA∥BC:③BD=C'D:④AC=BD·其中正确的结论是（) B' B A.①②③④B.①②③ C.①③④ D.②④ 2.(2024呼市中考真题)如图，在△ABD中，∠ABD=30,∠A=105°，将△ABD沿BD翻折180°得到 △CBD,将线段DC绕点D顺时针旋转3O°得到线段DF,点E为AB的中点，连接EF,ED,若EF=1, 则△BED的面积是() 1+3 2+V5 2+V5 1+3 A 4 B 4 C.2 D.2 考点05解直角三角形 1.(2025·内蒙古中考真题)如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人 机进行测量.他们将无人机上升并飞行至距湖面Om的点C处.从C点测得A点的俯角为60°，测得B点 的俯角为30°(A,B,C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A,B的距离为m(结果保留 根号)， 730°- ----------------->B 2.(2024呼伦贝尔兴安盟中考真题)综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度.如图， 无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的俯角为45°，又经过人 工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是多少米？（点A,B,C,D都 在同一平面内，参考数据：V3≈1.7) 7/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 30° 45ò- A B 3.(2024赤峰中考真题)综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度.如图，点C处与古树底 部A处在同一水平面上，且AC=10米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为45° 古树底部A的俯角为65°，则古树AB的高度约为 米（结果精确到01米；参考数据： sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145). D--- 4.(2024包头·中考真题)如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活动.教学 楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两 点间的距离：测角仪的功能是测量角的大小)· 皮尺 测角仪 (I)请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上 (测出的距离用m,n等表示，测出的角用，P等表示)，并对设计进行说明； (2)根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度（用字母表示）· 5.(2024通辽中考真题)在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度.如图，从C点测 得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求 杨树AB的高度（精确到0.1米，AB,BC,CD在同一平面内，点C,D在同一水平线上.参考数据： V3≈1.73) 8/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B B D445°0 6.(2024呼市·中考真题)实验是培养学生创新能力的重要途径.如图是小亮同学安装的化学实验装置， 安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处.现将左侧的实验装置图抽象成右侧 示意图，已知试管4B=24cm,BE=号4B,试管领斜角∠ABG为12 3 高锰酸钾 蓬松的棉花团 E B (I)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (②)实验时，导气管紧靠水槽壁MW,延长BM交CN的延长线于点F,且MN⊥CF于点N(点C,D,N, F在一条直线上)，经测得：DE=28cm,MN=8cm,∠ABM=147°，求线段DN的长度.（结果用含非 特殊角的三角函数表示) 考点06锐角三角函数的计算 1.(2024呼伦贝尔兴安盟中考真题)计算： +tan60°+V5-2+(π-2024)° 2.(2024赤峰中考真题)计算： V5+(π+1°+2sin60°+2-V5 3.(2024呼市中考真题)计算： V3tan30°+(3-π)°+l-V2-8 4（2024通辽中考真腿)计算：W5-+2sn60°-（←对 一年模拟练测园 1.(2026通辽·一模)如图，是一种测量角的仪器，它依据的原理是（) 9/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 60 20110 0 7080001001012013017 A.同位角相等B.对顶角相等 C.垂线段最短 D.等角的余角相等 2.（2026呼和浩特.一模)一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持 力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α=25°，则摩擦力F2与重力G方向 的夹角β的度数为() B YG A.155° B.125° c.115o D.65° 3.(2026巴彦淖尔一模)如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 O的光线相交于点A,点B为焦点（折射光线的反向延长线与主光轴线的交点）.若∠1=155°， ∠2=35°，则∠3的度数为() A.10 B.15° C.25 D.35° 4.(2026赤峰一模)将一副三角尺平放在桌面上，如图所示.若ABCE,则∠BCD的大小为() 10/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.100° B.120° C.135 D.150° 5.(2026巴彦淖尔一模)在△ABC中，∠C=30°，AB=5,BC=8,则满足上述条件的三角形个数 为() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.(2026包头一模)如图，在点光源O的照射下，一块面积为5cm的三角形硬纸板（记为△ABC)平 行于投影面时，形成的投影是△乙.若AD:AO=1:2,则△乙的面积是() O B A D 4.5 2cm2 B. 4cm2 C.10cm2 D.15cm2 7.(2026赤峰二模)如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，连接 BR分别交AC,DC于点P、Q,则BP:PQ:QR的值为() A.3:1:2 B.5:2:3 C.4:1:3 D.7:2:4 8.(2026包头一模)某社区有一块锐角三角形草坪，示意图如图，BC=60米，且AB与BC的夹角 ∠ABC=60°.为了方便居民通行，计划从点C向边AB修一条小路作为步道，则步道的最短长度为 米 11/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 9.(2026呼和浩特·二模)始建于辽圣宗时期的呼和浩特白塔（万部华严经塔）有近千年历史.某数学活 动小组去测量其高度.如图所示，在塔前平地上取A,B两点，AB=18m,测角仪的高度 BD=AC=1.6m.在A点测得塔顶M的仰角C=37°，在B点测得塔顶M的仰角B=45°，则塔的高度约 是 m(sin37≈ ,c0s37≈4 tan37o≈3 结果保留整数 M B A 10.（2026·通辽·一模)如图，因地形原因，湖泊两端A，,B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进 行测量.他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处.从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯 角为30°(A,B,C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A,B的距离为m(结果保留根号)· 60730° →B 11.(2026锡林郭勒一模)如图，AB为订书机的托板，压柄BC绕着点B旋转，连接杆DE的一端点D固 定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中，DE的长度保持不变，若BD=32cm,an∠DEB多， ∠B=45°，则BE的长度为 cm 12115 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2026呼和浩特·一模)如图，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑 工具一桑梯，其简单示意图如图右图，已知AB=AC=1.8m,AD=1.6m,AC与AB的夹角∠BAC为a 为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角α调整为42°，并用铁链锁定B、C两点，农夫站在离 顶端D处0.6m的E处时可以高效且安全地采桑.此时农夫所在的E处到地面的高度为m.(结果 精确到0.1m),(参考数据：sin42°=0.67，cos42°=0.74，tan42°=0.9，sin69°=0.93， c0s69°=0.34) D 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan DE⊥AB交BC于点E,O是ED的中点，连接AO并延长交BC于点F.若AD=4,则OF的长为一 14.(2026巴彦淖尔.一模)如图，在△ABC中，AB=AC=43,∠BAC=120°，P为BC边上一 动点，连接AP,将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP,则线段PP的最小值 13/15 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(2026巴彦淖尔一模)定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾 股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边. E D B 图1 图2 图3 (I)如图1：若四边形ABCD中，AB=3,AD=2,AC=V13,四边形ABCD_“勾股四边形”（填 “是”或“不是”)，若是则写出勾股边_，若不是填无， 性质探究： (2)如图2，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=20,∠OBC=0(0<0<180,OA>OC. ①求证：无论0取何值，四边形OABC一定为“勾股四边形”. ②若四边形OBCD也为“勾股四边形”，且BC,BO为勾股边，求0的值. 拓展应用： 3)如图3，△ABC和△BDE都是等边三角形AB>BD,连接AD,当四边形ABED是以AB、AD为 勾股边的勾股四边形时，若AB=33,AD=6，求BE的长. 16.（2026呼和浩特.一模)综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师要求同学们以直角三角形为背景探索几何图形运动变化中的数学结论.如 图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，连接AD,分别过点A,B作BC,AD的平行 线相交于点E. 14/15 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D D(E) B B 图1 图2 备用图 猜想证明：(1)判断四边形ADBE的形状，并证明你的结论： 操作探究：(2)“乐学”小组在图1的基础上连接DE,交AB于点O,然后将△ADE绕A点逆时针旋转 得到△ADE(点D,E的对应点分别为D,E),在认真分析旋转到不同位置时的情形后，他们提出如 下问题，请你解答： ①如图2，当点E恰好与点D重合时，DD与AC交于点H,求证：DH=CH: ②若AB=8,AC=6,当线段DE所在直线与BC所在直线平行时，直接写出点E,E之间的距离. 15/15函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04三角形 5年真题1年模拟：答案版 五年真题分类园 考点01几何初步 1.C 2.D 3.C 4.C 5.B 6.B 7.B 考点02三角形及其全等 1.【详解】解：(1)在△ADM和△ADN中， AM AN,DM DN,AD=AD, :.△ADM≌AADN(SSS). .∠AMD=∠AND: (2)解：选择②为条件，①为结论 如图，在AC取点N,使AN=AM,连接DN, ,AD平分∠MAC, 1/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠DAM=∠DAN, 在△ADM和△ADN中， :AM=AN,∠DAM=∠DAN,AD=AD, :.△ADM≌aADN(SAS) ∴.DM=DN,∠AMD=∠AND、 AC=AM+MD,AC=AN+NC, .DM =CN, .DN =CN, .∠C=∠CDN, .∠AMD=∠AND=∠CDN+∠C=2∠C: 选择①为条件，②为结论 如图，在AC取点N,使AN=AM,连接DN, D ,AD平分∠MAC, .∠DAM=∠DAN, 在△ADM和△ADN中， :AM=AN,∠DAM=∠DAN,AD=AD, :.△ADM≌aADN(SAS) ∴.DM=DN,∠AMD=∠AND. ,∠AMD=2∠C. .∠AND=2∠C=∠CDN+∠C, .∠CDN=∠C, ∴.DN=CN, .DM=CN. .AC=AN+NC, 2/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AC=AM+MD: (3)如图，连接BD,取AE的中点F,连接BF, B :∠BAC的平分线AD, .DC=BD. .BD =CD .∠BCD=∠CBD, .AC为⊙0的直径， .∠ABC=90°， .AE =2BF =2AF, ∠ABF=∠BAF, .∠BAF=∠BCD, ∠ABF=∠CBD, AB=BC, .AB=BC, ∴.△ABF≌△CBD, .'BF=BD =CD, ..AE=2CD 考点03相似 1.B 2.(4,4) 3.【详解】(1)证明：，AB=AC, .∠B=∠C, 3/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DE⊥BC, .∠BEF=∠CED=90°， .∠F=90°-∠B,∠CDE=90°-∠C,且∠CDE=∠ADF, .∠F=∠ADF, :'AD=AF; AD 1 DF 2 AD 4 DF 8 (2)解：①当DC3时，DE3;当DC5时，DE5, DF AD .总结规律得：DE是DC的2倍， AD7 DF_14_7 .当DC6时，DE63: AD m DF 2m ②当DCn时，猜想DEn, 证明：作AG⊥EF于点G, F A G D B E DE⊥BC, :.AG∥CE, ∴.△AGD∽△CED, AD m DC n, GD AD m .DE DC n, 由(1)知AD=AF,又AG⊥EF, .DG=FG,即DF=2DG, DF 2GD 2m ..DE DE n; AP n (3)AD2m,理由如下： 4/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过点D作DG⊥CF, G D B E :∠ACF=∠ACB,DE⊥CE, .DG=DE, AD m DF 2m 由(2)知，当DCn时，DEn, DE n :DF 2m, DG n :DF 2m, .PF⊥AC. .∠ACF+∠CFP=90°， .FE⊥BC, .∠B+∠AFD=90°， .AB=AC, .∠ACB=∠B」 .∠B=∠ACF, :.∠AFD=LCFP .∠AFD-∠PFD=∠CFP-∠PFD. .∠AFP=∠DFG ∴.sin∠AFP=sin∠DFG. AP DG n ..AF DF 2m, 由(1)知AD=AF, APAP n .AD AF 2m. 5/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点04三角形综合 1.A 2.A 良 考点05解直角三角形 1.1205 2.(405-40) 3.11.5 4.【详解】(1)解：如图，将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到AB的距离为，用测角仪测出A的 仰角为a,测出B的俯角为P: B 7777777777777777777777 (2)解：如图，过C作CE⊥AB于E, 77777 777777777777777 则四边形CDBE是矩形，∠ACE=a,∠BCE=B, .CE=BD=m,BE=CD. 6/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RtaBCE中，BE=CE.tan∠ECB=mtanB, 在RtAACE中，BE=CE,tan∠ECA=m tan a, 4B=AE+BE=m(tana+tan B) 答：教学楼AB的高度为m(tana+tanB), 5.【详解】解：过点B作BE⊥DC于点E, A B D45°30° C E 在RtaBCE中，∠BCE=30°，BC=6米， BE=1BC=3 米，CE=VBC2-BE=V6-32=35米， DC=4米， DE=DC+CE=(4+3米 在Rt△AED中，∠ADE=45°， :AE=DE=(4+35)米. :AB=AE-BE=4+35-3=(+35)米 V5≈1.73， .AB=1+3×1.73≈6.19≈6.2米. 答：杨树AB的高度约6.2米. AB=24cm,BE=14B 6.【详解】（1)解： 3 .'BE =8cm, 由题意可知，BG⊥DE, 在Rt△BEG中，∠ABG=12°， 7/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BG=BE.cos /ABG =8cos12cm. 答：试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度8cosl2°cm (2)解：如图，过点B作BP⊥CF于点P,过点M作M0⊥BP于点， B D P N F 则四边形BPDG和四边形MNPO都是矩形， ZPBG=90,DP=BG=8cos12%cm,BP=DG,PQ=MN =8cm,PN=OM, 在Rt△BEG中，∠ABG=I2°，BE=8Cm, .EG=BE·sin∠ABG=8sinl2cm, DE 28cm, BP=DG=DE-EG=(28-8sin 12)cm .BO=BP-PQ=(20-8sin12)cm :∠ABM=147°，∠ABG=12°，∠PBG=90°」 .∠MBQ=45° :.Rt△BMO是等腰直角三角形， .OM=BO=(20-8sin12)cm DN=DP+PN=DP+OM=(8c0s12+20-8sin 12)em 答：线段DN的长度为(8cos12°+20-8sin12)cm 考点06锐角三角函数的计算 8/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 +tan60°+5-2+（元-2024）° 1.【详解】解： =8+V5+2-5+1 =11. 31+2x5+2-5 2.【详解】解：(1)原式 2 =4+V3+2-5, =6； 5x5+1+2-1-35 3.【详解】解：(1)原式 3 =1-22: 4.【答案】1 【详解】解：V5-2+2sin60°-（←x =2-5+2x5-1 =2-V5+V3-1 =1. 一年模拟练测园 1.B 2.C 3.A 4.D 5.c 6.B 9/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.A 8.30RV3 9.56 10.120只/3 11.10 12.2.6 13.3 6 14.6 15.【答案】(1)是；AB与AD (2)①证明：.OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=20,∠OBC=0, 、.∠0AB=∠0BA=180°-∠A0B-1809-20=90°-9， 2 2 ∴.∠ABC=∠OBC+∠OBA=90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC+AB=AC2, 即四边形OABC一定为“勾股四边形”； ②0=30° 3)3 【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合(SAS)、四边形其他综合问题、等边三角形的 判定和性质、二次根式的乘法 【分析】(1)根据“勾股四边形”的定义求解即可. (2)①由三角形内角和定理得出∠OAB=∠OBA=90°-0，由角的和差关系可知 ∠ABC=∠OBC+∠OBA=90°，然后根据勾股定理得出BC2+AB=AC,即可证. ②先证明△AOC≌△BOD|SAS,由全等三角形的性质得出AC=BD,等量代换可得出 BC2+AB=BD,再由勾股四边形的定义可知BC2+BO=BD,即可得出AB=BO,由等边三角形 的判定和性质即可求出的值 (3)连接AE,CD,过点B作BF⊥AD于点F,证明△DBC≌△EBA(SAS),由全等三角形的性质得 出CD=AE,由AC2+AD=CD,结合勾股四边形的定义进一步得出△ACD是直角三角形，且 ∠DAC=90°，由含30度直角三角形的性质得出BF=号AB=23,由勾股定理求出AP,BD,由等边 三角形的性质得出BE. 10/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：：AB=3,AD=2,AC=V13, AB2+AD2=32+22=13=R13=AC2 ∴四边形ABCD是“勾股四边形”，勾股边为AB与AD: (2)解：①略； ②解：，'∠AOB=∠COD=20」 .∠AOC=∠BOD. 在△AOC与△BOD中， OA=OB AOC=∠BOD OC=OD ∴.△AOC≌△BOD SAS, ..AC=BD. 又BC2+AB2=AC2, .BC2+AB2=BD2. ,四边形OBCD为“勾股四边形”，BC,BO为勾股边，OA=OB>OC ∴勾股边的平方和不可能等于OC, ..BC2+BO2=BD2, .∴.AB=BO 又.OA=OB, ∴.△AOB是等边三角形， ∴.∠A0B=20=60°， ∴.0=30°」 (3)解：连接AE,CD,过点B作BF⊥AD于点F, E D B ,'△ABC△BDE 和 是等边三角形， ∴.BC=BA=AC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=60°， 11/14 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠ABC+∠ABD=∠DBE+∠ABD. 即∠DBC=∠EBA, 在△DBC和△EBA中， BD=BE ∠DBC=∠EBA BC=BA ∴.△DBC≌△EBA SAS, ∴CD=AE, .四边形ABED是以AB、AD为勾股边的勾股四边形，且AB>BD, .AB+AD2=AE2, .AC2+AD2=CD2. ∴.△ACD是直角三角形，且∠DAC=90°， ∴.∠DAB=∠DAC-∠BAC=90°-60°=30°， 在Rt△ABF中，∠DAB=30°，AB=3V3,AD=6, .nF-2A 由勾股定理可得，An=AB-BF-33-月S号 Dn-AD-Ar=6-是2 由勾股定理可得，BD=VDF2+BF2- 32, 2 ∴.BE=BD=3. 16.【答案】(1)四边形ADBE是菱形，见解析(2)①见解析；②2V5或45 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，熟练利用分类讨论思想正确画出辅 助线是解题的关键， (I)先证明四边形ADBE是平行四边形，在根据斜边上中线等于斜边一半得到AD=DC=DB,即可证 明四边形ADBE为菱形： (2)①证明△CDA≌△DAD即可解答： ②分情况讨论，即当DE在点A上方或当DE在点A下方两种情况，分别求解即可. 【详解】(1)证明：，过点A,B作BC,AD的平行线相交于点E, 12/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.AD‖BE,AE‖BD ∴.四边形ADBE是平行四边形， ,在Rt△ABC中，点D是BC的中点， ∴.AD=DC=DB, 四边形ADBE是菱形： 解：(2)①.四边形ADBE是菱形， .∴.DE⊥AB,DC=DA=AE, .CA DE, .∴.∠CDA=∠DAE, ∴.△CDA≌△DAE SAS, .'△DAD由△DAE旋转得到， ∴.△CDA≌△DAD, .DD=CA,∠CAD=∠DDA, .∴.HA=HD .∴.DD-HD=AC-HA,即DH=CH: ②如图，当DE在点A上方，且点D在AC上时，DE‖BC, D'T .·AB=8AC=6 .CB=CA2+AB2=10 AD-AE-BC-5, 根据旋转的性质∠DAE=∠DAE,AE=AE=5, ∴.∠CAD=∠EAE, 过点E作EF⊥AE,连接EE, .sin∠EAF=sin∠CAD=sin∠ACD=3 13/14 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AF=AE·sin∠EAE=3'EF=AE2-AF=41 ∴.EF=AE-AF=2, ..EE=E F2+EF2=25 如图，当DE在点A下方，且点D在CA的延长线上时， D ○ B.:∠D=∠ADE=∠C E .D'E BC, 根据旋转的性质∠DAE=∠DAE, ∴.∠CAD=180°-∠DAE-∠DAE=180°-∠DAE-∠EAE=∠FAE, 过点E作EF⊥AF,交EA的延长线于点F,连接EE, 同理可得AF=3,EF=4, ∴.EF=FA+AE=8, ..EE=E F2+EF2-42 综上所述，点E,E之间的距离为2V5或4V5. 14114