专题09 三角形全等（3年汇编）（四川专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 专题整合四川2024-2026中考真题及模拟题，聚焦三角形全等三大考点，融合考情分析与真题实践，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|多题|角平分线性质（2026巴中题）、垂直平分线与等腰三角形（2026攀枝花题）|基础中档题为主，结合尺规作图与性质应用| |解答题|综合题|全等判定与旋转变换（2026成都题）、新定义“伪全等”（2024遂宁题）|注重几何综合，融入变换与坐标系背景，适配中考命题趋势|

专题09 三角形全等 3年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2024-2026） 命题规律 考点 01 角平分线（性质与尺规作图） 2026 年：巴中、宜宾、广安、凉山（4 地） 2025 年：无单独命题2024 年：绵阳、南充（2 地） 以选择题、填空题为主，基础中档题。①高频考法：尺规作图识别角平分线，直接运用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等）；②常结合面积法求线段长、垂线段最短求最小值；③常搭配平行线推出等腰三角形进行角度、线段计算；④本考点小题多数不依赖全等，直接用角平分线性质解题；⑤较少出解答大题，多作为几何综合题里的条件。 考点 02 线段垂直平分线（性质与尺规作图） 2026 年：攀枝花、眉山、广元、南充（4 地）2025 年：达州、成都、广安（3 地）2024 年：巴中、眉山、凉山（3 地） 选择、填空高频考点，几乎年年考查。①核心：尺规作图识别垂直平分线，利用 “垂直平分线上的点到线段两端距离相等” 进行线段转化；②经典题型：求三角形周长，通过等线段替换实现周长转化，简化计算；③结合等腰、等边三角形三线合一，进行角度计算、多结论判断；④与勾股定理结合求线段长度；⑤偶尔融入最值、圆的相关结论；⑥难度以基础为主，属于必须拿分题型。 考点 03 三角形全等的判定与性质 2026 年：攀枝花、眉山、成都、达州、广元、眉山、乐山（解答证明）2025 年：巴中、凉山、达州、雅安、广元、内江、南充、乐山、自贡（多市解答证明） 2024 年：遂宁、自贡、内江、成都、广元（选择填空 + 解答） 四川中考必考，选择填空、解答证明题均有出现。①基础证明题：解答小问，直接用 SSS、SAS、ASA、AAS 完成简单证明，属于送分解答；②几何变换综合：旋转、折叠背景下找全等，是高频命题载体；③新定义题型：如 “伪全等三角形”，现场理解定义再判定全等；④坐标系背景：平面直角坐标系中构造全等求点坐标；⑤综合压轴：全等作为工具，结合勾股、相似、内心、最值、动点，求线段、角度、最值；⑥易错点：SSA 不能判定全等，试题经常设置相关陷阱；⑦全等很少单独考难题，大多是作为工具服务于后面的计算与探究。 考点01 角平分线 1．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧分别交、于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积公式．首先根据勾股定理求出的长，再根据尺规作图可知是的角平分线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，结合面积法求出点到的距离（即的长），最后计算的面积． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 由尺规作图可知，是的角平分线，过点作于点， ，即， ， ， ， 即， ， ，解得， ， ． 2．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图痕迹可知是的角平分线，利用角平分线的性质可得点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可知，是的角平分线， 过点作于点， ，即， ， ． 3．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 如图：过D作垂足为F，由三角形面积公式可得，然后再根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图：过D作垂足为F， ∵的面积为5， ∴,即，解得：, ∵平分交于点D，，， ∴． 故选B． 4．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得和，结合角平分线的性质得到和，当时，线段长度的最小，结合角平线的性质可得即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，解得， ∵平分， ∴， ∴，解得， 当时，线段长度的最小， ∵平分， ∴． 故选∶C． 5．（2026·四川广安·中考真题）如图所示，在中，按以下步骤作图：（1）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点；（3）作射线交于点；（4）连接，交于点，连接．若，则_____． 【答案】 【分析】由作图可知：垂直平分，，结合勾股定理和线段的和差可得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分，， ∵ ∴，， ∴． 6．（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 【答案】1 【分析】根据角平分线定义和平行线性质证得是等腰三角形，求出的长，过点作于点，求出，根据角平分线的性质得出点到的距离． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴,, ∴， 过点作于点， ∴， ∵平分，， ∴, 即点到的距离为1． 考点02 垂直平分线 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，等腰中， ，垂足为D，点O是线段上一点，点P是延长线上一点，若 ，给出下列结论：①点P、C、B在以点O为圆心，为半径的圆上；② ；③ 是等边三角形；④其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用等腰三角形“三线合一”及垂直平分线性质得出 ，结合已知 可得，从而判断①；利用等边对等角及角度和差关系判断②；通过三角形内角和定理计算的度数判断③；根据相似三角形的判定判断④． 【详解】解：连接 ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 点、 、 在以点 为圆心，为半径的圆上，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； 在 中，， 即， ， ， ， ， ， 是等边三角形，故③正确； 根据已知条件无法证明， 故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 2．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可知直线 是线段 的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得 ，进而得到 ，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用 求解即可． 【详解】由作图可知，直线 是线段 的垂直平分线， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 3．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 4．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（    ）    A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，是等边三角形 D．当为中点时， 【答案】D 【分析】连接，根据，点是的中点得，则，进而得点在线段的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设，根据得，的，再根据得，则，由此可对选项Ｂ进行判断；当为中点时，则，是线段的垂直平分线，由此得，然后根据，，得，由此可对选项Ｃ进行判断；连接并延长交于，根据是等边三角形得，则，进而得，，由此得，，由为中点，则，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：连接，如图1所示：   ，点是的中点， 为斜边上的中线， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 即线段的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意； 设， ， ， ， ， ， ， 即，故选项B正确，不符合题意； 当为中点时，则， ， 是线段的垂直平分线， ， ，，， ， ， 是等边三角形，故选项C正确，不符合题意； 连接，并延长交于，如图2所示：      当为中点时， 点为的中点， 根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点， 当为中点时，是等边三角形， ，，平分，平分， ， ， 在中，， ， ， ，， ∵为中点， ∴ ，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键． 5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 6．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：． 7．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，，，，点，，分别在，，边上，连接，，，若，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】勾股定理求得，设，延长至使得，则，进而求得，取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，三线合一，得出，可得点在的角平分线上，时，最小，此时最小，进而解求得的最小值，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 设， 如图，延长至使得，则， ∴，， ∴， 如图，取的中点，连接， ∴， 又∵， ∴垂直平分，是的角平分线， ∴点在的角平分线上，时，最小，此时最小， ∴此时， ∴. 8．（2026·四川南充·中考真题）如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，直线分别交，于点，，则的长为_______． 【答案】 【分析】由勾股定理可得，由尺规作图可得是的垂直平分线，容易证明，则，因此． 【详解】解：在中，， 由题意可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为_____°． 【答案】 【分析】本题考查了基本尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求出，由作图过程可知垂直平分线段，得到，再根据等腰三角形的性质求出，由三角形外角的性质即可求得． 【详解】，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， 是的一个外角， ， 故答案为：． 10．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程，，再利用勾股定理求得，然后利用三角形的面积求得即可解答． 【详解】解：连接，，设与相交于O， 根据作图过程，得，， ∴垂直平分，则，， ∵在中，，，， ∴， 由得 ， ∴， 故答案为：． 11．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为__________． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 【详解】解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 考点03 三角形全等 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，等腰中， ，垂足为D，点O是线段上一点，点P是延长线上一点，若 ，给出下列结论：①点P、C、B在以点O为圆心，为半径的圆上；② ；③ 是等边三角形；④其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用等腰三角形“三线合一”及垂直平分线性质得出 ，结合已知 可得，从而判断①；利用等边对等角及角度和差关系判断②；通过三角形内角和定理计算的度数判断③；根据相似三角形的判定判断④． 【详解】解：连接 ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 点、 、 在以点 为圆心，为半径的圆上，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； 在 中，， 即， ， ， ， ， ， 是等边三角形，故③正确； 根据已知条件无法证明， 故④错误； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个． 2．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 【答案】B 【分析】连接，交于点，利用线段垂直平分线的判定定理即可得出结论. 【详解】解：连接，交于点， ∵， ∴， ∴正确，错误. 3．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可知直线 是线段 的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得 ，进而得到 ，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用 求解即可． 【详解】由作图可知，直线 是线段 的垂直平分线， ， ， ， ， 在中，，， ， ． 4．（2026·四川成都·中考真题）如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 5．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再利用可证明得到，利用三角形内角和定理可证明，据此根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，设交于O， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 7．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 8．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 如图：过D作垂足为F，由三角形面积公式可得，然后再根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图：过D作垂足为F， ∵的面积为5， ∴,即，解得：, ∵平分交于点D，，， ∴． 故选B． 9．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得和，结合角平分线的性质得到和，当时，线段长度的最小，结合角平线的性质可得即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，解得， ∵平分， ∴， ∴，解得， 当时，线段长度的最小， ∵平分， ∴． 故选∶C． 10．（2024·四川遂宁·中考真题）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，， 在中，， 在中，， 在中， 综上所述，共有4对“伪全等三角形”， 故选：D． 11．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．由旋转的性质得到，推出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵将绕点O逆时针旋转到， ∴， ∴，， ∴点B坐标为， 故选：A． 二、填空题 12．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】首先构造辅助线与全等三角形，将转化为；再用代数表达式表示的长度；最后通过二次函数的性质求的最小值，即的最小值． 【详解】解：过A作，使，连接、． ∴, ∵， ∴； 又， 设，则． 由旋转性质，得，， ， 又, ， ∴． 在中，， 在中，由勾股定理得， 代入、， 化简得：， ∵， ∴抛物线开口向上， 故当时，取最小值，故 ，即． 13．（2026·四川达州·中考真题）如图，、．请你添加一个条件________，使得． 【答案】（答案不唯一，如或等）． 【分析】根据平行线的性质得出，根据线段的和差关系得出，此时具备了一边一角对应相等，根据全等三角形的判定定理、或添加相应的条件即可． 【详解】解：， ． ， ，即． 若添加， 在和中， ． 若添加 在和中， ． 若添加 在和中， ． 14．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则________． 【答案】6 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系、正方形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作轴于点，轴于点，连接，证明，得到，拆分线段即可求解． 【详解】解：作轴于点，轴于点，连接，如图， ∵， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 15．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________．    【答案】 【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，    ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 16．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为______． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 17．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为______．    【答案】/18度 【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：连接，，    ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 三、解答题 18．（2026·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先利用反比例函数解析式求出的值得到点的坐标，将点的坐标代入一次函数解析式中，求出的值； （2）先求出点A、B的坐标，过点D作轴于点F，证明，由此求出点D的坐标，由平移知，可求出直线的解析式，再求出直线与反比例函数的图象交点即可得点E的坐标． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得， ∴， 将代入中，得； （2）解：由（1）知， 令得；令得， ∴，， ∴，， 如图，过点D作轴于点F， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵直线的解析式为，平移后， ∴设直线解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线解析式为， 令， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 19．（2026·四川眉山·中考真题）【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质． 已知，如图1，中， ， ， ，点D是 边上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接， ，与 交于点F．         (1)【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究 与的数量关系，并说明理由． (2)【深入探究】如图2，当点D运动到 时，求的长． (3)【拓展延伸】如图3，点M为 延长线上一点，且满足 ，当时，求的值（用含k的式子表示）． 【答案】(1) ，理由如下： 由旋转得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ； (2) (3) 【分析】（1）证明即可得证； （2）先由勾股定理求解，然后根据等腰直角三角形求解，再证明得到即可； （3）证明即可得到，则，从而得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ， ， ∴ ∴， 在 中， ， ∴， ∴， 同理可求 ∵ ， ∴ ∴ ∴ 解得； （3）解：由（1）可得， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 20．（2026·四川乐山·中考真题）如图，已知，．求证：． 【答案】证明：在和中， ，，， ， ． 【分析】利用证明，即可证明． 【详解】略 21．（2026·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究． 如图，，（），点D在边上，延长交于点F． (1)【初步感知】求证：； (2)【深入探究】如图1，当，时，求的长； (3)【拓展延伸】如图2，将绕点E按逆时针方向旋转一定角度（小于）得到，若F，，三点共线，且点A的对应点满足，求n的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，结合证明，再利用相似三角形的性质即可证明； （2）根据题意得，，由得到，则，，再利用线段的和差列出关于长的方程，求出，即可求解的长； （3）连接，设，由（2）中的结论可得，根据旋转的性质得，，则，设，导角可得，则，推出，再结合推出，则，再由得到，，再利用线段的和差列出关于n的方程，即可求解n的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，，， ∵，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， 即的长为； （3）解：如图，连接， 设， 由（2）中的结论可得， 由旋转的性质得，，， ∴， 设， ∵F，，三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴n的值为． 22．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，，现进行如下操作： ①以点C为圆心，任意长为半径画弧交于点E，交于点F； ②以点A为圆心，长为半径画弧交于点H； ③以点H为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点G； ④过点G作射线； ⑤以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，连接得四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，，求证：． 【答案】(1) 解：四边形是菱形，理由如下： 由作图得，， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； (2) 证明：∵四边形是菱形 ∴， ∴ 由作图得， ∴ ∴． 【分析】（1）由作图得，，，得到，然后结合即可证明； （2）由菱形的性质得到，，推出，然后证明出，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 23．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 【答案】（1），； （2）数量关系：，位置关系：， 理由如下： ， ，即， 又， ， ，， ，， ， 则， 即； （3） 【分析】（1）证明，则，，再由对顶角结合互余的性质证明； （2）证明，则，，，再由对顶角结合互余的性质证明； （3）先求出，，过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，证明，则，求出，即可证明，则，证明，则，求出，，则，那么由勾股定理得，再对运用面积法求解，最后由求解即可． 【详解】（1）解：如图， ， ，， 又， ， 即， 在△和△中， ， ， ，， 设与交于点， ，， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）解：∵，， ∴，， 过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则在中，由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，解题的关键是正确运用类比的思想条件并添加辅助线求解． 24．（2025·四川巴中·中考真题）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （）当为时，点的坐标为______； 当为时，点的坐标为______． 【猜想与证明】 （）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数） （）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式． 【实践与运用】 （）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；；（2）②；（3）；（4）且 【分析】（）结合图形找出点的位置即可求解； （）根据点位置的分布即可判断； （）利用勾股定理及线段垂直平分线的性质解答即可求解； （）结合图形性质，根据正方形的性质解答即可． 【详解】解：（）当为时，线段的垂直平分线为直线，过点垂直于轴的垂线即为轴， ∴点的坐标为； 当为时，如图所示，点的坐标为， 故答案为：，； （）由对称性可知，当为时，如图所示，点的坐标为， ∴由点的位置变化可猜想为我们学过的二次函数， 故答案为：； （）由勾股定理得，，， ∵， ∴， ∴； （）如图，当时，点，此时，四边形是正方形， 当时，可知，则， ∴， 即为钝角三角形， 又由（）可知当为时，点的坐标为，点三点共线构成不了三角形， ∴， 综上，要使为钝角三角形，的取值范围为且． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，二次函数的图象，线段垂直平分线的性质，正方形的性质等，理解题意是解题的关键． 25．（2025·四川广元·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，2为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：由作图方法可得， 又∵， ∴， ∴，即； (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，求弧长，熟知相关知识是解题的关键． （1）由作图方法可得，再利用可证明，据此可证明结论； （2）根据（1）所求可得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴的长． 26．（2025·四川乐山·中考真题）如图，已知线段、相交于点，，．求证：． 【答案】 证明：∵线段、相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法及性质是解题的关键． 根据“边角边”证明，再由全等三角形对应边相等即可证明． 【详解】略 27．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2)11 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 28．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1) 证明：， ． ． 在与中， ． (2) 证明：， ． ， ． ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 29．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【答案】(1)；全等三角形的对应角相等 (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【详解】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：；全等三角形的对应角相等． （2）略 30．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，结合，，证明即可. 【详解】略 31．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图1，在中，，，将绕点顺时针旋转角得到，此时点落在的延长线上． (1)求的大小； (2)设，求关于的函数关系式； (3)如图2，连接，为的中点，连接，证明：直线． 【答案】(1) (2) (3) 证明：如图所示，连接， ∵，由旋转可得， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据旋转的性质结合已知条件，得出是等腰直角三角形，即可求解； （2）过点作于点，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，表示出，进而列出关系式； （3）连接，根据已知以及旋转的性质可得，证明得出，进而可得，即可证明，即可得证 【详解】（1）解：由旋转可得， 又∵点落在的延长线上，， ∴， ∴， （2）解：如图所示，过点作于点， ∵，则是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， （3）略 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的与判定，函数关系，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 32．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践 (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． (3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①1； ②如图， (3) 如图， 【分析】（1）由“角角边”即可证明； （2）①由操作知，将四边形绕点E旋转得到四边形，故，因此；②由两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明； （3）取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， 由题意得为中点，‘ ∴’， ∵， ∴ 故答案为：； （2）解：①如图，由操作知，点E为中点，将四边形绕点E旋转得到四边形， ∴， ∴， 故答案为：1； ②如图， 由题意得，是的中点，操作为将四边形绕点E旋转得到四边形，将四边形绕点H旋转得到四边形，将四边形放在左上方空出， 则，， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴三点共线，同理三点共线， 由操作得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：如图，     如图，取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 由题意得，，， ∴， ∴， 由操作得，， ∵， ∴， ∴三点共线， 同理三点共线， ∵， ∴四边形为矩形， 如图，连接， ∵为中点， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由操作得，，而， ∴， 同理，， ∵，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形能放置左上方空出， ∴按照以上操作可以拼成一个矩形． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，三角形的中位线，正确理解题意是解题的关键． 33．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． (1)求证：； (2)若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ，， ， ； (2)①， 理由如下：设， ， ， ， ， ， ； ② 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，，根据，可得； （2）①设，可求，可求，根据等腰三角形的判定可得； ②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②，， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ． 34．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ，，， ∴___①___． ∴． 又∵， ∴在中，___②___． ∵，，    ∴___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．    【拓展应用】 如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．    【问题再探】 如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．    【答案】【问题解决】①；②；③5； 【知识迁移】， 证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到． 过点作交边于点，连接． AI 由旋转的特征得． 由题意得， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 又∵为正方形的对角线， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 在中，， ∴． 【拓展应用】； 【问题再探】 【分析】【问题解决】根据题中思路解答即可； 【知识迁移】如图，将绕点逆时针旋转，得到．过点作交边于点，连接．由旋转的特征得．结合题意得．证明，得出．根据正方形性质得出．结合，得出．证明，得出．证明．得出．在中，根据勾股定理即可求解； 【拓展应用】如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则．则，，根据，证明，得出，过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．得出，证明是等腰直角三角形，得出，，在中，根据勾股定理即可证明； 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．由旋转的特征得．根据，得出，证明，得出，根据勾股定理算出，根据，表示出，证明，根据相似三角形的性质表示出，，同理可得．，证明四边形为矩形．得出，，在中，根据勾股定理即可求解； 【详解】【问题解决】解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中，，，， ∴①． ∴． 又∵， ∴在中，②． ∵，， ∴③． 【知识迁移】略 【拓展应用】． 证明：如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，    将绕着点顺时针旋转，得到，连接． 则． 则，， ， ， 在和中 ， ， ∴， 过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形． ∴， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，，， ∴， 即， 又∴， ∴， 即， 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．    由旋转的特征得． ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，即， ， 同理可得． ， ， ， 又∵， ∴四边形为矩形． ， ， 在中，． ， 解得． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是旋转变换的性质、矩形的性质和判定、正方形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用旋转变换作图，掌握以上知识点是解题的关键． 35．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键. （1）先证明，再结合已知条件可得结论； （2）证明，再结合三角形的内角和定理可得结论. 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 36．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 【答案】(1) 证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； (2) 证明： 垂直平分， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质： （1）由中点，得到，由，得到，即可得证； （2）由全等三角形的性质，得到，进而推出垂直平分，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 37．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 【答案】 证明∶∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 38．（2024·四川达州·中考真题）如图，线段、相交于点．且，于点． (1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） (2)若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问） 【答案】(1)解：如图所示，即为所求； (2) 解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定： （1）先根据垂线的尺规作图方法作出点F，再连接、即可； （2）先证明，得到，再证明，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 39．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是的平分线，．试说明：． 【答案】 证明： 是的平分线， ． 在和中， ， 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，解题的关键是利用角平分线的性质找到证明三角形全等的条件． 根据角平分线的定义得到，再结合已知的相等线段，利用全等三角形的判定定理证明，最后根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】略 40．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键。根据证明即可得出结论。 【详解】略． 1．（2026·四川宜宾·三模）如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于二分之一长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与交于点，由作图可知平分，证明，得出，进而求出的长；利用证明，求出的长，最后在中利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，设与交于点， 由作图过程可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，． 2．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，若以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，平分，可得的边上的高与的边上的高相等，则，即可求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴点到、的距离相等，即的边上的高与的边上的高相等， ∴，即， ∴． 3．（2026·四川南充·二模）如图，在等边中，是边上的动点（不与端点重合），将线段绕点顺时针旋转到，连接．下列说法不正确的是（    ） A． B．平分 C． D．点到的距离与点有关 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可证是等边三角形，利用可证，根据全等三角形的对应边相等可证；根据全等三角形的对应角相等可证，可证平分；根据可知，根据三角形内角和定理可证；根据全等三角形的对应角相等可证，可证，根据平行线间的距离处处相等，可证点到的距离与点无关． 【详解】解：是等边三角形， ，， 由旋转可知，， 是等边三角形， ，， ， 在和中，， ， ， ， ， 故A选项正确； ， ， 又， ， 平分， 故B选项正确； ， ， , ， ， 故C选项正确； 无论点在边的任何位置， 均可证明， ， 又， ， ， 点到的距离与点无关． 4．（2026·四川成都·二模）如图，已知，，且点A，F，C，D在同一直线上，补充下列条件后，仍不能一定使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：， ， ， ， A.当时，为，没有此判定定理，故符合题意； B.当时，可通过证明全等，故不符合题意； C.当时，可通过证明全等，故不符合题意； D.当时，，可通过证明全等，故不符合题意． 5．（2026·四川南充·二模）如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，直线分别交，于点D，E，连接．若，，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】此题涉及了勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图与性质，线段中点的定义． 【详解】解：在中， ， ． 由作图可知，是的垂直平分线， 、， ． 在中， ， ． ， ． 6．（2026·四川成都·二模）如图，在中，，按下列步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧；②以点为圆心，的长为半径画弧；③两弧相交于点，连接，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据三角形内角和定理及角度比例求出的度数，然后根据作图步骤得出，，进而判定，利用全等三角形对应角相等即可求解． 【详解】解：， 设，，， ， ， 解得， ， 由作图步骤可知：，， 在 和中， ， ， ． 7．（2026·四川广元·一模）如图，在中，，，，平分，过点作的垂线，交的延长线于，交的延长线于，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求得，再证明得到，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵过点作的垂线，交的延长线于，交的延长线于， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴，则， 在中，． 8．（2026·四川成都·一模）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形全等的性质，平行线的判定解答即可． 【详解】解：， ， ， ； 无法证明； ， ，， ， 故选项A、C、D正确，不符合题意，选项B不正确，符合题意． 9．（2026·四川南充·一模）如图，在中，的垂直平分线交于，连接，点是的中点，连接．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂直平分线得到，由，点是的中点，结合斜边中线的一半得到，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交， ∴， ∴，，故B选项结论正确，不符合题意； ∵，点是的中点， ∴，故A选项结论正确，不符合题意； ∴，故D选项结论正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴不一定成立，故C选项结论不正确，符合题意； 10．（2026·四川泸州·一模）如图，两个三角形为全等三角形，则的度数是（   ） A．74° B．45° C．55° D．51° 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 根据第一张图先求出边的对角，再结合全等三角形的性质可得出的度数． 【详解】解：由第一张图先求出边的对角为， ∵两个三角形为全等三角形， 第二张图中的对角为， 即， 故选D． 11．（2026·四川成都·模拟预测）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，射线交边于点．若的面积为，，则的长为__________． 【答案】 18 【分析】首先，过D作于H，然后，根据角平分线的性质得出，最后，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过D作于H， ∴， 根据作图知是的角平分线， 又∵，， ∴， ∵的面积为，即， ∴． 12．（2026·四川成都·模拟预测）如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 【答案】 1.5 【分析】先根据全等三角形的对应边相等得，再根据求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 13．（2026·四川成都·三模）如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过这两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得到，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数；根据作图痕迹判断出直线是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质得到，进而求出的度数；最后根据角的和差关系计算的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图可知，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴． 14．（2026·四川成都·一模）如图，在中，点D是边的中点，点E，F分别在边上，且，连接．若，则的长度为______． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H，连接，作交的延长线于点M，求出,证明，得到则，根据得到，解得或（不合题意，舍去）．即可求出的长度． 【详解】解：作交的延长线于点H，连接，作交的延长线于点M，如图， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设， ∴, ∵点D是边的中点， ∴ ∴， ∴ ∴是线段的垂直平分线， ∴， 在中，,， ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ∴． 15．（2026·四川成都·二模）如图，的直角边，斜边，点P为线段上动点．若F为线段上一点，且，连接，将线段绕点F顺时针方向旋转得线段，连接，则的最小值为______． 【答案】4 【分析】连接，以为边作等边，连接，证明，得出，说明点G在上运动，根据垂线段最短，得出当时，取得最小值，过点F作于点N，证明四边形为矩形，得出，，根据直角三角形的性质得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：连接，以为边作等边，连接，如图所示： 则，， 根据旋转可得：，， ∴是等边三角形，， ∴，即， ∴， ∴，即点G在上运动， ∵垂线段最短， ∴当时，取得最小值，过点F作于点N，如图所示， 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 16．（2026·四川成都·二模）如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的对应边相等，得出，，然后根据已知线段的长度求出结果即可． 【详解】解：∵， ，， ∵， ， ∵， ，即． 17．（2026·湖南怀化·二模）如图，在中，D为边的中点，以点D为圆心，以合适的长为半径作弧，交于点M，N；分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内交于点P；作直线交于点Q；连接．若，则______． 【答案】8 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，根据题意得出，结合垂直平分线的性质得出，即可解答． 【详解】解：根据作图步骤可知，， ∵D为边的中点， ∴垂直平分边， ∴． ∵， ∴，， ∴． 18．（2026·四川成都·二模）如图，在中，，．按以下步骤作图： ①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和； ②作直线，分别交，于点； ③连接，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的尺规作图和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，特殊角的直角三角形的性质等知识点． 过点作于点，根据垂直平分线的性质得到，继而得到，即是的角平分线，根据角平分线的性质得到，继而根据角的直角三角形的性质得到的长度． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵，， ∴， ∵， ∴． 19．（2026·四川成都·二模）如图，在中，是的平分线，在的延长线上取一点，连接，，已知，，，则的长__________． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到为等腰直角三角形，由此可得，再利用正切值以及勾股定理可求解与的长度，再由等腰可得，由此可得，再由三角形三边的关系，设，再利用角的关系得到，结合三角形面积得到边的比例，可解得，利用勾股定理求解x的值，由此可解． 【详解】解：过点A作的延长线于点H，过点B作，过点C作，如图， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴，则， 在中，， 即，且， 在中，， 即，解得， 则， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在中，， 在中，则， 设，则， 在中，， ∵， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴为的角分线， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 解得， ∵， 在中，， 则， 即，可得， 解得（负值舍掉）， 故 ． 20．（2026·四川成都·二模）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为______． 【答案】 15 【分析】根据垂直平分线可知，进而可知周长． 【详解】解：在中，边的垂直平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴ 的周长 ． 21．（2026·四川南充·一模）已知：如图，相交于点O，，． 求证：． 【答案】 证明：在和中， ． ． ． 【分析】根据题意可证明，继而利用全等性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】略 22．（2026·四川南充·三模）如图，是的中线，于，于．求证：． 【答案】证明：∵是的中线， ∴， ，， ， ， ． ， ，， ， ， ， ， ． 【分析】先证明，得出，再根据含的直角三角形的性质，得出，即可得出结论． 【详解】略 23．（2026·四川南充·二模）如图，在四边形中，，点E是边上的一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）先求出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，根据勾股定理可得，再然后利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 24．（2026·四川南充·一模）如图，在中，为的中线，以点为圆心，以长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)的度数为 【分析】（1）根据三线合一得出．由作图知：．由可证明； （2）由等腰三角形的性质求出，由作图知：．得出，进而利用三角形内角和即可得出答案． 【详解】（1）证明：，为的中线， ． 由作图可得． 在和中， ， ； （2）解：，为的中线， ， ∵， ， 由作图可得， ， ∴， 又， ∴． 25．（2026·四川内江·一模）在矩形中，点是上一点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：在矩形中，，， ． ， ． 在和中， ， ； (2)2 【分析】（1）在矩形中，，，则．根据，得出，根据即可证明； （2）勾股定理求出，根据四边形是矩形，得出，再结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ∵四边形是矩形， ， ． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题09三角形全等 3年真题1年模拟答案版 三年真题分类园 考点01角平分线 1.D 2.D 3.B 4.c 522 6.1 考点02垂直平分线 1.C 2.B 3.C 4.D 5.c 6.C 6W5 7.5 8.3 9.60 4545 10.515 1/34 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.12 考点03三角形全等 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.C 10.D 11.A 8686 12.3/3 13.AB=DE(答案不唯一，如∠A=∠D或∠ACB=∠F等)· 14.6 15.2v13 16.100°/100度 17.18°/18度 18.1)a=2,b=1 2EL4) 4 (1)解：将点C(a,2)代入y=中，得2a=4, 解得a=2, :c22) 将C(2,2)代入y=2x+b中，得b=1: 2/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②解：由(1)知y-2x+1, 令x=0得y=1:令y=0得x=-2, B(0,1)A(-2,0) .OB=1,OA=2. 如图，过点D作DF⊥x轴于点F, - B ∴∠AFD=90° .∠ADF+∠DAF=90°. 由旋转得AD=AB,∠DAB=90°」 .∠BAO+∠DAF=180°-∠DAB=90°， ∴.∠ADF=∠BAO 又：∠AFD=∠BOA=90°. :△ADFBAO(AMS) .AF=OB=1,DF=OA=2, ..OF=OA+AF=3. D-32) :直线AB的解析式为y=2x+1,平移后DEAB, 1 ∴设直线DE解析式为y=2x+m, 2 将点D(-3,2)代入，得2+m=2, 7 解得m= 2 3/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17 “直线DE解析式为y=2x+2, 174 令2+ 2x 解得x=1或x=-8(舍去)， 1 :E04) 19.(1)CE=BD,理由如下： 由旋转得∠DAE=90°，AD=AE .∠BAC=90° .∠DAE=∠BAC :.∠DAC+∠CAE=∠DAC+∠BAD ∴.∠CAE=∠BAD AB=AC △ABD≌AACE(SAS) :.CE=BD ®而 1 3)k-1 (1)略 (2)解：BC=10,CD=4, ..BD=BC-CD=6, .AB=AC,∠BAC=90° .∠B=∠ACB=45° .△ABD≌AACE :.CE=BD=6,∠ACE=∠B=45°， 4/34 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠DCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90° DE=DC2+CE2=+6=213 在R△ADE中，AD=AE, :DE=VAD2+AE=V2AD.∠AED=∠ADE=450 4D=E-号E=2v5=v26 2 C=5x10=5N2 同理可求 B=AC=2 2 2 :∠AEF=∠B=45°，∠EAF=∠BAD=90°-∠DAF .△AEF∽△ABD EF AE :.BD AB EF 26 .65V2 解得EF-63】 (3)解：由(1)可得，△ABD≌△ACE ∴.∠ECA=∠B=45o MC=MF, .∠MCF=∠MFC, ∴.∠FCD+∠MCD=∠ECF+∠FEC .∠DCF=∠ECF=45° .∠MCD=∠MEC .∠M=∠M ∴.aMCD∽AMEC DM_DC_DC ·CMCE BD BD DC =k(k>) 5/34 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DM DC DC 1 CM CE BD k ..CM=FM DM DM 1 ∴.FM CM k DM 1 FD=k-1. 20.证明：在△ABC和△ABD中， AC=AD,∠CAB=∠DAB,AB=AB, .△ABC≌△ABD(SAS) .BC=BD 略 21.(I)证明：，△ABC≌△EAD, .∠BAC=∠E,即∠FAD=∠E, 又∠AFD=∠EFA, .△AFDOAEFA, AF FD .FE AF' ∴.AF2=FDFE; 2 23 ⊙2+1 (1)略 (2)解：，△ABC≌△EAD, .BC=AD=1,AB=AE,AC=DE, .AB=AC=nBC,n=2, .AB=AC=AE=DE=2, 由(1)得，△AFD△EFA, AF FD AD 1 ·FE=AF=AE=2, 6/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .FE=2AF, FD=-AF ..DE=FE-FD 3Af=2 解得AF4 ：BF=AB-AF=2-4_2 33 2 即BF的长为 (3)解：如图，连接AF, A E D 设BC=AD=1, 由(2)中的结论可得AB=AC=AE=DE=n, 由旋转的性质得，AE=E,∠EAD'=∠EAD, .∠EAA=∠EAA, 设∠EAD'=∠EAD=a, F,A,D三点共线， .∠EA'F+∠EAD'=180°. .∠EAF=180°-&， AE=DE, .∠AED=180°-2a, .△ABC≌△EAD, ∴.∠BAC=∠AED=180°-2a, .∠EAF=∠BAC+∠EAD=180°-2a+a=180°-a, ∴.∠EAF=∠EA'F, ∴.∠EAF-∠EAA=∠EA'F-∠EAA,即∠FAA=∠FA'A, .AF=A'F, 7/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AA⊥AB, .∠AAB=90°， ∴.∠FAA'+∠FBA'=90°，∠FAA+∠FAB=90°， ∴.∠FBA=∠FAB, .BF=A'F, AF-BF-14B=In 2 2 由(1)得，△AFD△EFA, AF FD AD 1 FE AF AE n' :.FE-MAF-IW FD-LAF= 1 2 n 21 DE-FE-FD=In-1 =n 22 解得”=V2+1 (负值已舍去)， .n的值为V2+l. 22.(1) 解：四边形ABCD是菱形，理由如下： 由作图得，∠DAC=∠ACB,AD=CB .AD∥CB “.四边形ABCD是平行四边形 AB=BC 四边形ABCD是菱形； (2) 证明：，四边形ABCD是菱形 .CD=AB,CDII AB ∴.∠DCA=∠BAC 由作图得，CF=AH :△DCF2BAH(SMS) 8/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DF =BH. (1)略 (2)略 23.(I)AD=BE,AD⊥BE: BE a (2)数量关系：ADb,位置关系：ADLBE: 理由如下： ∠ACB=∠DCE=90° ∴.∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD, BC CE a 又AC CD b' ∴.△BCEn△ACD, BE BCa ∴.AD AC b，∠CBE=∠CAD, .∠BMC=∠AMN,∠CBE+∠BMC=90°. ∴.∠CAD+∠AMN=90° 则∠ANM=90°， 即AD⊥BE; 137 (3)30 (1)解：如图， a 图1 D..b =1 BC=AC,CE=CD 又：∠ACB=∠DCE=90° ∴.∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE, 即∠BCE=∠ACD, 在△BCE和△ACD中， 9/34 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD △BCE≌△ACD(SAS) .AD=BE,∠CBE=∠CAD 设BE与AC交于点O, ·∠BOC=∠AOE,∠BOC+∠CBO=90° .∠CAD+∠AOE=90°， “.∠1=90° AD⊥BE, 故答案为：AD=BE,AD⊥BE: (2)略 BC CE a 3 (3)解：AC=CDb4,BC=7.5,CE=3.5 ·AC=10, CD=14 3 过点A作CD平行线交CG延长线于点H,则∠I=∠H,过点E作BC延长线的垂线，垂足为点J, H G .CF⊥BE,∠DCE=90°， .∠1=∠2=90°-∠FCE, ∴.∠2=∠H, .CF⊥BE,∠ACB=90°， ∠3=∠4=90°-∠5， 10134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△BCEACAH, BC CE BE 3 ·CA AH CH4' .CE=3.5, :片 .AH=CD :∠AGH=∠DGC,∠I=∠H, :△MGH≌aDGC(AAS) :cG=6H-. :∠DCE=90°，∠ACJ=180°-∠ACB=90°， .∠ACD=∠ECI=90°-∠ACE, .∠ACD=∠ABC, .LECJ=∠ABC. .tan∠ECJ=tan∠ABC, EJ AC b4 .CJ BC a 3' 设E=4x,CJ=3x, 则在RIAEC中，由勾股定理得EC=5x=3.5, 10 :E=14 c=21 ， 10 B/=BC+C☒=7.5+21_48 105, BE=B2+J=10 sxr-8cxa。 .CF=BCxEI 7.5x 14 5-21 BE 1010 11/34 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BE 3 CH 4' :CH=40 3 .CG-1CH-20 2 3 .FG=CG-CF=20_21_137 31030· 24.(1)(0,2):(4,4):2)②：3)y=8 2+2:(4)4<x<4且x≠0 解，小当M为0，叭时，线段4M的垂直平分线为直线=2，过点M董直于'轴的垂线即为轴。 点P的坐标为 0,2） 当M为4,0)时，如图所示，点P的坐标为 4,4) y 5 A(0,4) P 3 3 -5-4-3-2-H012345 M(0,4) 2 -3 -4 -5 故答案为： (0,2）(4,4) (2)由对称性可知，当M为4,0)时，如图所示，点P的坐标为44) 由点P的位置变化可猜想L为我们学过的二次函数， 故答案为：②； (3)由勾殷定理得，P=(x-0+(0y-4=r+(-4},PM2=y. PA=PM, 12134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :+0y-4}=y2 2, ..y= 4)如图，当x=4时， P(4,4),此时∠MPM=90°，四边形40P是正方形， 当4<x<4时，可知∠AMO>45°，则∠P'AM'=∠PMA<45°， .∠AP'M>90°， 即△AMP为钝角三角形， 又由山)可知当M为0)时，点P的坐标为Q2),点4、从、P三点共线构成不了三角形. x≠0， 综上，要使△AMP为钝角三角形，x的取值范围为4<x<4且x≠0. -4 A(04) 1 M(0,4) -5-4-3-2-110123M45x -2 25.(1) 证明：由作图方法可得OM=ON,MC=NC, 又0C=0C, △MOC≌aNOC(SSS) .∠MOC=∠NOC,即∠AOC=∠BOC: ②3 (1)略 (2)解：：∠A0B=60」 :∠A0C=∠B0C=)∠4OB=30】 13134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又.0M=2, ·ME的长= 0r×2=” 1803· 26. 证明：，线段AC、BD相交于点E, ∴.∠AEB=∠DEC ..AE=DE,BE=CE, ,△AEB≌ADEC(SAS) .AB=DC 略 27.(1) 证明：AB∥DE, ∴.∠B=∠E :AC=DF,∠A=∠D, △ABC≌△DEF(AAS) (2)11 (1)略 (2)解：，△ABC≌aDEF, .BC=EF, .BF+FC=CE+FC, BF=4,FC=3. .3+4=CE+3, .CE=4, ∴.BE=BF+FC+CE=4+3+4=11, 28.(1) 证明：∠BAD=∠EAC ∴.∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD .∴.∠BAC=∠EAD 14134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在△ABC与△AED中， AB=AE, ∠BAC=∠EAD, AC=AD, ∴.△ABC≌AAED(SAS) (2) 证明：△ABC≌△AED, .∠ACB=∠ADE. AC=AD ∴.∠ACD=∠ADC ∴.∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC, ∴.∠BCD=∠EDC (1)略 (2)略 29.(1)SSS；全等三角形的对应角相等 (2) 证明：：∠AED=∠AOB, .ED∥OB .∠EPO=∠BOP, EP=EO ∴.∠EPO=∠EOP .∠BOP=∠EOP, .OP平分∠AOB (1)解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是SSS 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，AAS,ASA或HL,②全等三角形的对 应角相等 证明如下：根据作图可得AO=BO, ,∠BPO=90° :.∠AP0=180°-90°=90°， ∴∠BPO=∠APO 15134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△AOP与Rt△BOP中， (OP=OP AO=BO. RIAAOPS≌Rt△BOP(HL) ∴.∠AOP=∠BOP .OP平分∠AOB: 故答案为：SSS;全等三角形的对应角相等. (2)略 30. 证明：，∠ABE=∠BAF, .AC=BC, :∠ACE=∠BCF,CE=CF, △ACE≌ABCF(SAS) ∴.AE=BF 略 31.1)90° a=(5-x 3) 证明：如图所示，连接DF, D B E 图2 :∠BDA=∠A=45°，由旋转可得∠DEB=∠BAC=45°， .∠DAE=90°， .DE⊥AD, ,F是AE的中点， 16134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DF =AF, 又：BF=BF,BA=BD】 △ABF≌ADBF(SSS) :∠FBD=∠FBA=)∠ABD=45】 .∠FDB=∠BDE=45°， .BF∥DE, ∴.BF⊥AD (1)解：由旋转可得BA=BD, 又：点D落在AC的延长线上，∠BAC=45°， .∠BDA=∠BAC=45° ∴.a=∠ABD=90°. (2)解：如图所示，过点C作CG⊥AB于点G, C B E 图1 ∠BAC=45°，则△ACG是等腰直角三角形， ..AG=CG. :∠ABC=30°，AB=x,BC=y, o-8c=aG=ac-co5 2 4B=4G+GB=1+ 2y=x +5(5-小， 2x (3)略 17134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 32.1)△EAG (2)①1： ②如图， K -L E 2 H 3Y0 G 图5 3) 如图， Nn H M' G-- E N 2 G (1)解：如图， GA B、H X 图2 ·ABCD, .∠GAE=∠D 由题意得E为AD中点，‘ EA=ED’, .∠AEG=∠DEK, ∴.△EDK≌AEAG 故答案为：△EAG; (2)解：①如图，由操作知，点E为AB中点，将四边形EBFO绕点E旋转I80°得到四边形EAQL 18134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .'AE=BE, AE=1 :BE 故答案为：1； K 图5 ②如图， K E B D G 图5 由题意得，E、F、G、H是AB,BC,CD,DA的中点，操作为将四边形EBFO绕点E旋转180°得到四边形 EAOL OHDG 180° HAP OGCF 将四边形 绕点H旋转0 得到四边形 ,将四边形 放在左上方空出， 则Ag=BF=CF,AP=DG=CG,∠BFO=∠AQL, .∠DAB+∠B+∠C+∠D=360°，∠QAE=∠B,∠PAH=∠D,∠DAB+∠QAE+∠PAH+∠PAQ=360° .∠PAg=∠C. .∠BFO+∠CFO=180° .∠AQL+∠AQK=180° .K,OL三点共线，同理K,P,J三点共线， 由操作得，∠2=∠L,∠3=∠J. :∠1+∠2=180，∠1+∠3=180° 19134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠1+∠L=180°，∠1+∠=180° .OW∥KL,OL∥KJ ∴.四边形OKL为平行四边形： (3)解：如图， N" H M 3 E G N 2> D G 如图，取AB,BC,CD,DA为中点为E,H,G,F,连接FH,过点E,点G分别作EM⊥FH,GN⊥FH,垂 足为点M,N,将四边形EBHM绕点E旋转180°至四边形EAHM',将四边形FDGN绕点F旋转180°至四 边形FAGN',将四边形NGCH放置左上方空出，使得点C与点A重合，CG与AG重合，CH与AH'重 合，点N的对应点为点N”,则四边形MMNN'即为所求矩形. 由题意得，∠EMF=∠EMH=∠M'=90°，∠GNH=∠GNF=∠N'=90°， .∠N'=∠MMH=90°，HM'∥NM .N'G'∥MM', 由操作得，∠1=∠4，∠2=∠3 :∠1+∠2=180°， .∠3+∠4=180°， :.N”,,M'三点共线， 同理N,G,N”三点共线， .∠N'=∠EMF=∠M'=90°， .四边形MMN"N为矩形， 如图，连接AC,EF,FG,GH,EH 20134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A E B H D G :E,H为BA,BC中点， 1 :.EH∥AC,EH=二AC 1 同理FG∥AC,FG=AC :.FGI‖EH,FG=EH, .∠EHM=∠GFN, :∠EMF=∠GNH=90°， ∴.△EHM≌aGFN, .EM=GN,MH=NF, .FM NH H M' E G MIN 1H N' 2 C D G 由操作得，AH'=BH,而BH=CH, .AH'=CH 同理，AG=CG. :∠BAD+∠D+∠C+∠B=360°，∠D=∠G'AF,∠B=∠H'AE,∠BAD+∠HAE+∠GAF+∠H'AG=360° .∠H'AG'=∠C, ,四边形MMN"N'为矩形， .N'N"=MM',N'M'=N'M. :NF+FM=H'M'+H'N" 21134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .'MF+NF MF+MH =MH'+N'H', .NH =N'H', 同理NG=NG', ∴四边形NGCH能放置左上方空出， .按照以上操作可以拼成一个矩形. 33.1)证明：CE1AB, .∠CEB=90°=∠A, ∴∠1+∠3=90°，∠2+∠ABC=90° ∠I=∠ABC, .∠2=∠3： (2)①BC=BD 理由如下：设∠2=∠3=x, .∠BFE=90°-x=∠DFC, ∠4=45° ∴.∠CDB=180°-45°-(90°-x)=45°+x ∠BCD=∠4+∠2=45°+x, .∠BCD=∠BDC, :BC=BD: ②BF、25 12 (1)略 (2)解：①略 ②：BC=BD=13,AD=5, .AB=√BD2-AD2=V169-25=12 BC=BD,∠A=∠CEB,∠2=∠3， ∴.△ADB≌aEBC(AAS) .BE=AD=5 :∠A=∠CEB,∠3=∠3 22134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△EFBSAADB, EFBE .ADAB· EF 5 .512, 治 34. 【问题解决】①△ADE≌△ADE;②EC2+CD2=EDP;③5： 【知识迁移】DN2+BM2=MN2, 证明：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF', 过点D作DH⊥BD交边AF'于点H,连接NH FAI由旋转的特征得 AE=AF',BE=DF',∠BAE=∠DAF' 由题意得EF+EC+FC=DC+BC=DF+FC+EC+BE, .EF DF+BE=DF+DF'=FF 在△AEF和△AF'F中，AE=AF,EF=FF,AF=AF :MEF≌AFF(SS) ∴.∠EAF=∠FAF 又：BD为正方形ABCD的对角线， ∠ABD=∠ADB=45°」 .DH⊥BD .∠ADH=∠HDB-∠ADB=45° 在△ABM和△ADH中，∠BAM=∠DAH,AB=AD,∠ABM=∠ADH 23134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 、△ABM≌△ADH(ASA) .AM AH,BM=DH 在△AMN和△AHN中，AM=AH,∠MAN=∠HAN,AW=AN 片△MMN2aAHN(SMS) .MIN=HN 在Rt△HND中，DN2+DH=HN2, .DN2+BM2=MN2 【拓展应用】2BE2+2DF2=EF2: 21x-60 【问题再探】y= 5x-28 【问题解决】解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD',连接ED'. D C(B) 图2 由旋转的特征得∠BAD=∠CAD',∠B=∠ACD',AD=AD,BD=CD .∠BAC=90°，∠DAE=45°， ∴.∠BAD+∠EAC=45° .∠BAD=∠CAD'」 .∠CAD+∠EAC=45°，即∠EAD'=45°. .∠DAE=∠DAE 在△DAE和△DAE中，AD=AD',∠DAE=∠D'AE,AE=AE, .①△ADE≌△AD'E. .'DE=D'E. 又，∠ECD'=∠ECA+∠ACD'=∠ECA+∠B=90°」 24134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△ECD'中，②EC2+CD2=ED2 CD'=BD=3,CE=4, :DE=DE=3+4=5®. 【知识迁移】略 【拓展应用】2BE2+2DF2=EF2 证明：如图所示，设直线EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点， D N B H 将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH,连接HM,HE】 则△ADF≌AAGH 则DF=GH,AG=AD,AF=AH,∠DAF=∠HAG, :∠EAF=45°」 .∠HAE=∠HAG+∠GAE=∠DAF+∠GAE=45°， 在△AEH和△AFE中 AH=AF ∠HAE=∠FAE=45° AE=AE .△AEH≌△AEF(SAS) .EF =HE, 过点H作HO⊥CB交CB于点O,过点H作HG⊥BM交BM于点M,则四边形OHGB为矩形. ..OH BG,OB=HG ∠CEF=45°， ∴.∠CEF=∠CFE=∠DFN=∠DNF=∠BME=∠BEM=45° 25134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△BME,△DNF,△CEF,△AMN 是等腰直角三角形， .CE=CF,BE BM,DN=DF,AN=AM ∴AM-AG=AN-AD ∴.GM=DN=DF=HG, ∴.∠HMG=45° ∴.∠HME=45°+45°=90°. 在RtAOHE中， OE2+OH2=HE2 (OB+BE)2+BG2=EH2 (GH BE)2+BG2=EH2 GH+BE)2+(BM-GM)2=EH2 即 EF=HE,DF=GH GM,BE=BM (GH+BE)+(BE-GH)2=EF2 即2(DF2+BE)=E2 【问题再探】如图，将△BEC绕点B逆时针旋转9O°，得到△BE'C',连接ED.过点E作EGLBC,垂足 为点G,过点E'作EG⊥BC',垂足为G.过点E作EF∥BA,过点D作DF∥BC交AB于点H,E'F、 DF交于点F. A 45 G 由旋转的特征得BE=BE,LCBE=∠C"BE,EG=E'G,BG=BG .∠ABC=90,∠DBE=45° 26134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CBE+∠DBA=45°， ∴.∠C"BE+∠DBA=45°，即∠DBE=45°， 在△EBD和△E'BD中，BE=BE',∠DBE=∠DBE',BD=BD ∴.AEBD≌AE'BD(SAS) ..DE=DE', :∠ABC=90°，AB=4,BC=3 .AC=AB2+BC2=5 又AD=x,CE=y, ..DE'=DE=5-x-y :DF∥BC, ∴.∠ADH=∠C,∠AHD=∠ABC=90° ∴.△AHD△ABC. ABBC-AC5,即AH=4xHD=3 AH HD AD 5 ÷HB=AB-AH=4-4x 5, 同理可得EG=5少，GC、J EG=4BG☒”=BG=33 y, .E'G'⊥AB,∠ABC=90° .E'G'∥BC∥FD 又：E'F∥AB,∠FHG'=∠AHD=90° 四边形FEGH为矩形. 2=90.FH=EG-y DF=DH+FH- 4 5, 27134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 43 在RL△E'FD中，EF2+DF2=E'D2 21x-60 解得y= 5x-28· 35.(1) 证明：，AD=BE ∴.AD+DB=BE+DB,即AB=DE AC=DF,BC=EF △ABC≌ADEF(SSS) (2)aABC≌aDEF,∠A=55°. .∠A=∠FDE=55°， :∠E=45°， ∴.∠F=180°-∠FDE-∠E=80° 36.(1) 证明：：D为BC的中点， ∴.BD=CD .BE AC, ∴.∠E=∠DAC,∠DBE=∠C ∠E=∠DAC ∠DBE=∠C 在 和 中， ABDE ACDA BD=CD ,'△BDE≌aCDA(AAS) (2) 28134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 证明：△BDE≌aCDA, ∴.ED=AD AD⊥BC, ∴BD垂直平分AE, ∴.BA=BE. 37. 证明：，△ABC是等边三角形， .AB=BC,∠ABD=∠BCE=60°， 又BD=CE. △ABD≌aBCE(SAS) .AD=BE 38.(1)解：如图所示，即为所求： B4 (2) 解：四边形AECF是平行四边形，理由如下： .AB∥CD, ∠B=∠D,∠OAB=∠OCD, 又：AB=CD △ABO2△CDO(ASA) ∴.OA=OC ,AE⊥BD,CF⊥BD .AE∥CF,∠AEO=∠CFO=90°， 又.∠AOE=∠COF】 ,△AOE2ACOF(AAS) .AE=CF 29134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四边形AECF是平行四边形. 39 证明：：AB是∠CAD的平分线， ∴.LCAB=∠DAB 在△ABC和△ABD中， AC=AD ∠CAB=∠DAB AB=AB :.△ABC2△ABD(SMS) .∠C=∠D 40 证明：，AB∥CD,AE∥CF ∴.∠B=∠D,∠AEB=∠CFD. .BF DE, .BE=DF, 在△ABE与△CDF中， I∠B=∠D BE=DF ∠AEB=∠CFD' .△ABE≌△CDF(ASA), ∴AB=CD 一年摸拟练测园 1.A 2.C 30134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.B 9.C 10.D 11.18 12.1.5 13.21 14.62 15.4 16.6 17.8 18g 119 19.13 20.15 21.证明：在△ABC和△BAD中， BC=AD, AC=BD, AB=BA, ,.△ABC≌aBAD(SSS) .∠ABC=∠BAD ∴.OA=OB 22.证明：：AD是△ABC的中线， ..CD=BD 31134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :CE⊥AD,BF⊥AD, .∠3=∠5=90°， ∠2=∠4， ∴.△CDE≌△BDF(AAS) ..DE=DF, ∠1=2∠2，∠1+∠2=180°， .3∠2=180°， ∠2=60°， ∴.∠6=90°-60°=30° :CD=2DE, .BC=2EF, B 6 23. (1)见解析 (2)12 (1)证明：∠A=90°， ∠ADE+∠AED=90°， .ED⊥EC, .∠BEC+∠AED=90°， .∠ADE=∠BEC, 在△ADE和△BEC中， 「∠A=∠B=90° ∠ADE=∠BEC AD=BE △ADE≌△BEC(AAS) .AE=BC 32134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：.△ADE≌△BEC, .DE=CE ,ED⊥EC, :DE2+CE2=CD2=132=338 .DE2=CE2=169, ∠A=90°，AD=5, :AE=VDE2-AD=V169-25=12 AE=BC, .BC=12. 24.(1)证明见解析 (2)∠BAC的度数为80° (1)证明：“AB=AC,AD为△ABC的中线， ∴.∠BAD=∠CAD 由作图可得AE=AF. 在△ADE和△ADF中， AE=AF ∠BAD=∠CAD AD=AD .AADE≌△ADF(SAS) (2)解：AB=AC,AD为△ABC的中线， AD⊥BC, ,∠BDE=20°， .∠ADE=70°， 由作图可得AE=AD ∠AED=∠ADE=70°， .∠BAD=180°-70-70°=40°. 又：∠BAD=∠CAD, 33134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BAC=2∠BAD=80° 25.(1) 证明：在矩形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°， ∴.∠FAD=∠BEA. :DF⊥AE, ∴.∠DFA=90°=∠B 在△ABE和△DFA中， ∠B=∠DFA ∠BEA=∠FAD AE=DA ∴.△ABE≌ADFA(AAS) (2)解：AE=AD=10,∠B=90°， BE=VAE2-AB2=V10-62=8 ,四边形ABCD是矩形， ..BC=AD=10 .CE=BC-BE=10-8=2 34134 专题09 三角形全等 3年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2024-2026） 命题规律 考点 01 角平分线（性质与尺规作图） 2026 年：巴中、宜宾、广安、凉山（4 地） 2025 年：无单独命题2024 年：绵阳、南充（2 地） 以选择题、填空题为主，基础中档题。①高频考法：尺规作图识别角平分线，直接运用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等）；②常结合面积法求线段长、垂线段最短求最小值；③常搭配平行线推出等腰三角形进行角度、线段计算；④本考点小题多数不依赖全等，直接用角平分线性质解题；⑤较少出解答大题，多作为几何综合题里的条件。 考点 02 线段垂直平分线（性质与尺规作图） 2026 年：攀枝花、眉山、广元、南充（4 地）2025 年：达州、成都、广安（3 地）2024 年：巴中、眉山、凉山（3 地） 选择、填空高频考点，几乎年年考查。①核心：尺规作图识别垂直平分线，利用 “垂直平分线上的点到线段两端距离相等” 进行线段转化；②经典题型：求三角形周长，通过等线段替换实现周长转化，简化计算；③结合等腰、等边三角形三线合一，进行角度计算、多结论判断；④与勾股定理结合求线段长度；⑤偶尔融入最值、圆的相关结论；⑥难度以基础为主，属于必须拿分题型。 考点 03 三角形全等的判定与性质 2026 年：攀枝花、眉山、成都、达州、广元、眉山、乐山（解答证明）2025 年：巴中、凉山、达州、雅安、广元、内江、南充、乐山、自贡（多市解答证明） 2024 年：遂宁、自贡、内江、成都、广元（选择填空 + 解答） 四川中考必考，选择填空、解答证明题均有出现。①基础证明题：解答小问，直接用 SSS、SAS、ASA、AAS 完成简单证明，属于送分解答；②几何变换综合：旋转、折叠背景下找全等，是高频命题载体；③新定义题型：如 “伪全等三角形”，现场理解定义再判定全等；④坐标系背景：平面直角坐标系中构造全等求点坐标；⑤综合压轴：全等作为工具，结合勾股、相似、内心、最值、动点，求线段、角度、最值；⑥易错点：SSA 不能判定全等，试题经常设置相关陷阱；⑦全等很少单独考难题，大多是作为工具服务于后面的计算与探究。 考点01 角平分线 1．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，，以点为圆心任意长为半径画弧分别交、于、两点，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则的面积为（） A． B． C． D． 2．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，小于长为半径画弧分别交、于点、，又分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，连接交于点D．已知，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 3．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 4．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（2026·四川广安·中考真题）如图所示，在中，按以下步骤作图：（1）以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；（2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点；（3）作射线交于点；（4）连接，交于点，连接．若，则_____． 6．（2026·四川凉山·中考真题）如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______． 考点02 垂直平分线 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，等腰中， ，垂足为D，点O是线段上一点，点P是延长线上一点，若 ，给出下列结论：①点P、C、B在以点O为圆心，为半径的圆上；② ；③ 是等边三角形；④其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 4．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（    ）    A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，是等边三角形 D．当为中点时，     5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 6．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·四川广元·中考真题）如图，在中，，，，点，，分别在，，边上，连接，，，若，，则的最小值为__________． 8．（2026·四川南充·中考真题）如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，直线分别交，于点，，则的长为_______． 9．（2025·四川·中考真题）如图，在中，，．分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线，交于点，连接，则的大小为_____°． 10．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧；再以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点D，连接，则的长为________． 11．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为__________． 考点03 三角形全等 1．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，等腰中， ，垂足为D，点O是线段上一点，点P是延长线上一点，若 ，给出下列结论：①点P、C、B在以点O为圆心，为半径的圆上；② ；③ 是等边三角形；④其中正确结论的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 3．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交于点F，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川成都·中考真题）如图，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 6．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 8．（2024·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 9．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 10．（2024·四川遂宁·中考真题）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 11．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（    ）    A． B． C． D． 12．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，，，将绕点逆时针旋转得到．连接，则的最小值为________． 13．（2026·四川达州·中考真题）如图，、．请你添加一个条件________，使得． 14．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则________． 15．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________．    16．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为______． 17．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为______．    18．（2026·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与函数的图象交于点． (1)求，的值； (2)将线段绕点逆时针旋转到，连接，将沿直线平移，当点的对应点恰好落在函数的图象上时，求点的坐标． 19．（2026·四川眉山·中考真题）【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质． 已知，如图1，中， ， ， ，点D是 边上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接， ，与 交于点F．         (1)【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究 与的数量关系，并说明理由． (2)【深入探究】如图2，当点D运动到 时，求的长． (3)【拓展延伸】如图3，点M为 延长线上一点，且满足 ，当时，求的值（用含k的式子表示）． 20．（2026·四川乐山·中考真题）如图，已知，．求证：． 21．（2026·四川成都·中考真题）在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究． 如图，，（），点D在边上，延长交于点F． (1)【初步感知】求证：； (2)【深入探究】如图1，当，时，求的长； (3)【拓展延伸】如图2，将绕点E按逆时针方向旋转一定角度（小于）得到，若F，，三点共线，且点A的对应点满足，求n的值． 22．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，，现进行如下操作： ①以点C为圆心，任意长为半径画弧交于点E，交于点F； ②以点A为圆心，长为半径画弧交于点H； ③以点H为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点G； ④过点G作射线； ⑤以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，连接得四边形． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，，求证：． 23．（2025·四川·中考真题）和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 24．（2025·四川巴中·中考真题）综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为． 【操作与发现】 （）当为时，点的坐标为______； 当为时，点的坐标为______． 【猜想与证明】 （）在轴上多次改变点的位置，得到相应的点，把这些点连接起来形成图象，猜想为我们学过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数） （）设点的坐标是，根据与的关系，确定满足的关系式． 【实践与运用】 （）运用所学知识，要使为钝角三角形，直接写出的取值范围． 25．（2025·四川广元·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，2为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C，画射线交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 26．（2025·四川乐山·中考真题）如图，已知线段、相交于点，，．求证：． 27．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 28．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 29．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： (1)请你将上述讨论得出的依据补充完整； (2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 30．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 31．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图1，在中，，，将绕点顺时针旋转角得到，此时点落在的延长线上． (1)求的大小； (2)设，求关于的函数关系式； (3)如图2，连接，为的中点，连接，证明：直线． 32．（2024·四川巴中·中考真题）综合与实践 (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． (3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 33．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． (1)求证：； (2)若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 34．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．    由旋转的特征得，，，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ，，， ∴___①___． ∴． 又∵， ∴在中，___②___． ∵，，    ∴___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．    【拓展应用】 如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．    【问题再探】 如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．    35．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 36．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 37．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 38．（2024·四川达州·中考真题）如图，线段、相交于点．且，于点． (1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为点、连接、；（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） (2)若，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问） 39．（2024·四川乐山·中考真题）如图，是的平分线，．试说明：． 40．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图，．求证：． 1．（2026·四川宜宾·三模）如图，矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于二分之一长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，则的长为（） A． B． C． D． 2．（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，在中，，若以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川南充·二模）如图，在等边中，是边上的动点（不与端点重合），将线段绕点顺时针旋转到，连接．下列说法不正确的是（    ） A． B．平分 C． D．点到的距离与点有关 4．（2026·四川成都·二模）如图，已知，，且点A，F，C，D在同一直线上，补充下列条件后，仍不能一定使的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川南充·二模）如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，直线分别交，于点D，E，连接．若，，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D． 6．（2026·四川成都·二模）如图，在中，，按下列步骤作图：①以点为圆心，的长为半径画弧；②以点为圆心，的长为半径画弧；③两弧相交于点，连接，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·四川广元·一模）如图，在中，，，，平分，过点作的垂线，交的延长线于，交的延长线于，则的长为（  ） A． B． C． D． 8．（2026·四川成都·一模）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·四川南充·一模）如图，在中，的垂直平分线交于，连接，点是的中点，连接．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·四川泸州·一模）如图，两个三角形为全等三角形，则的度数是（   ） A．74° B．45° C．55° D．51° 11．（2026·四川成都·模拟预测）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，射线交边于点．若的面积为，，则的长为__________． 12．（2026·四川成都·模拟预测）如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 13．（2026·四川成都·三模）如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于两点，过这两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为______． 14．（2026·四川成都·一模）如图，在中，点D是边的中点，点E，F分别在边上，且，连接．若，则的长度为______． 15．（2026·四川成都·二模）如图，的直角边，斜边，点P为线段上动点．若F为线段上一点，且，连接，将线段绕点F顺时针方向旋转得线段，连接，则的最小值为______． 16．（2026·四川成都·二模）如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 17．（2026·湖南怀化·二模）如图，在中，D为边的中点，以点D为圆心，以合适的长为半径作弧，交于点M，N；分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内交于点P；作直线交于点Q；连接．若，则______． 18．（2026·四川成都·二模）如图，在中，，．按以下步骤作图： ①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和； ②作直线，分别交，于点； ③连接，若，则的长为______． 19．（2026·四川成都·二模）如图，在中，是的平分线，在的延长线上取一点，连接，，已知，，，则的长__________． 20．（2026·四川成都·二模）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，若，，则的周长为______． 21．（2026·四川南充·一模）已知：如图，相交于点O，，． 求证：． 22．（2026·四川南充·三模）如图，是的中线，于，于．求证：． 23．（2026·四川南充·二模）如图，在四边形中，，点E是边上的一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（2026·四川南充·一模）如图，在中，为的中线，以点为圆心，以长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 25．（2026·四川内江·一模）在矩形中，点是上一点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的长． 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $