专题03 函数（3年汇编）（内蒙古专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦内蒙古中考函数专题，汇编2024-2026年真题及模拟题，覆盖四大考点，突出实际应用与综合建模（如一次函数销售利润、二次函数遮阳棚设计）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|每题3-4分|平面直角坐标系与函数基础（坐标平移、剪纸对称）；反比例函数（k的几何意义、与正六边形综合）|情境贴近生活（剪纸艺术、物理压强），基础题占比高，符合考情送分题规律| |解答题|7-12分（压轴题8-12分）|一次函数（销售利润、工程方案）；二次函数（图象平移、水滑道建模、存在性与最值）|梯度设问（基础计算到综合建模），融合跨学科（物理电流、建筑遮阳棚），契合内蒙古中考压轴题命题趋势（项目式学习、几何综合）|

专题03 函数 5年真题1年模拟 考点分类 内蒙古考情（2024-2026） 命题规律 平面直角坐标系与函数基础（点坐标、平移、对称、自变量取值） 选择填空小题，分值 3 分；全区各地市均考查；常和剪纸、格点图形结合出题。 考查点平移、对称变换；格点读取坐标；割补法求坐标系内多边形面积；难度低，属于基础送分题。 一次函数（正比例函数、图象性质、解析式求解、方案利润实际应用） 客观题 34 分，解答大题 710 分；实际应用题高频必考，呼市、包头、兴安盟频繁考销售、工程方案利润问题。 考查 k、b 对图象的影响；图象与方程、不等式结合；分段函数是高频难点；结合销售、工程、生活情境建模求最大利润；自变量取值范围是易错点。 反比例函数（图象性质、k 的几何意义、反比例与几何综合、实际应用） 选择填空 34 分，也可作为解答小问；通辽、包头常考反比例与多边形、几何图形综合。 考查 k 正负判断图象分布；比较函数值大小；k 的几何意义求面积；和正六边形、平行四边形结合；物理、生活实际情境（压强、电流）；常与一次函数联立求交点、比较函数值。 二次函数（图象性质、平移变换、待定系数法、与方程不等式；二次函数综合压轴） 选择填空 34 分；解答压轴大题 812 分，内蒙古中考必考压轴，各地市均重点考查。 考查开口、对称轴、顶点、与坐标轴交点；图象平移；判别式、二次函数与一元二次方程；综合大题多为项目式学习、实际建模（遮阳棚、水滑道、大棚、洒水车）；多小问梯度设问，融合几何、解直角三角形；存在性、最值问题高频。 考点01 平面直角坐标系与函数 1．（2026·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有一个“心形”图形，“心形”图形上的点在格点上，若将该图形向上平移3个单位长度，则该图形上点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知图形的平移，求点的坐标 【分析】根据平面直角坐标系确定点的坐标，再根据点的平移规律“上加下减”进行计算即可． 【详解】解：由图可知，点的坐标为， 将该图形向上平移3个单位长度， 点的横坐标不变，纵坐标加3， 对应点的坐标为， 即． 2.（2024·通辽·中考真题）剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合．则点关于y轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵图形的对称轴是轴， ∴在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为， 故选：C． 3.（2024·包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【详解】解∶过A作于M，过B作于N， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积为 ， 故选：D． 考点02 一次函数 1.（2025·内蒙古·中考真题）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得设电流关于电压的函数解析式为：， 由图象可代入得：， 解得：， ∴， 当，则 故选：A． 2.（2024·通辽·中考真题）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由一次函数：的图象可得： ，， 由一次函数：的图象可得： ，， ∴，，，， 正确的结论是A，符合题意， 故选A． 3.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 4.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：    （1）体育场离该同学家2.5千米； （2）该同学在体育场锻炼了15分钟； （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍； （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确； 该同学在体育场锻炼了（分钟），故（2）正确； 该同学的跑步速度为（千米/分钟），步行速度为（千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误； 若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为（千米/分钟），所以，故（4）正确， 故选：C． 5．（2026·内蒙古·中考真题）对于一次函数（是常数，且），下列结论： ①点在此函数图象上； ②当且时，； ③当时，随的增大而减小． 其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①② 【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数自变量或函数值、求一元一次不等式的解集、判断一次函数的增减性 【分析】对三个结论逐一验证判断，①将点的横坐标代入函数解析式，计算纵坐标验证，②代入的值得到函数解析式，解不等式判断结论，③根据一次函数的增减性与一次项系数的符号关系判断结论． 【详解】解：对于①，将代入，得，所以点在此函数图象上，故①正确． 对于②，当时，函数解析式为，当时，得不等式，移项得，系数化为得，故②正确． 对于③，一次函数的增减性由一次项系数决定，当时，若，则，此时随的增大而增大，只有当即时，才随的增大而减小，故③错误． 故正确的结论是：①②． 6.（2024·包头·中考真题）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴， ∴符合该条件的一个一次函数的表达式是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 7.（2024·呼市·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元． 【详解】解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元． 设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个， 由题意得：， 解得， 设该网店所获利润为元， 则， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 即该网店所获最大利润为1260元， 故答案为：55；1260． 8.（2024·包头·中考真题）图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：）随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 8.4 10.8 13.2 (1)依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由； (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 【详解】（1）解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加， ∴， 检验∶当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴碗的数量最多为10个． 9.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 22 乙 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705元． (1)求的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润（元）与购进甲种水果的数量（千克）之间的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元． 10.（2024·赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 【详解】（1）解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； （2）解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米， 由题意得， ， 解得， ∵， ∴随的增加而减少， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：15天的工期，两队最多能修复公路千米． 考点03 反比例函数 1．（2026·内蒙古·中考真题）已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据题意确定与的函数关系为反比例函数，求出常数的值，再根据反比例函数图象的性质及图象上点的坐标进行判断即可． 【详解】，且为定值 是的反比例函数，且，图象位于第一象限 排除选项A、B 将，代入 得 函数解析式为 对于C选项，当时，，图象经过点，符合题意 对于D选项，当时，，不符合题意． 2.（2025·内蒙古·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值， ∵， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 当时，即时， 则， 综上，只有选项D正确， 故选：D． 3.（2024·通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点E作轴于H，连接， ∵原点为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上， ∴点在双曲线上， 又∵点E也在双曲线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选：A． 4.（2024·包头·中考真题）若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则 ． 【答案】/ 【详解】解：函数，当时，函数随的增大而减小，最大值为， 时，， ，当时，函数随的增大而减大，函数的最大值为， ． 故答案为：． 5.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 ． 【答案】 【详解】如图，作轴于，作轴于，则， ∵点，的坐标分别为，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为，代入得，， ∴反比例函数解析式为， ∵轴， ∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6.（2024·赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点． (1)已知点，在，，中，是点等和点的有_____； (2)若点的等和点在直线上，求的值； (3)已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 【详解】（1）解：由，得，， ∴点是点的等和点； 由，得，，， ∵， ∴不是点的等和点； 由，得，， ∴是点的等和点； 故答案为：和； （2）解：设点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴； （3）解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设，点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵点在直线上， ∴， 整理得，， 去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴点的坐标为或．    7.（2024·呼市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律． x … 1 2 3 4 … … 8 4 2 1 … 写出与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； (3)一次函数的图象与函数的图象相交于C，D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对称点为点E，点P是第一象限内函数图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接，，．若的面积为15，求点P的坐标． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则一次函数的解析式． （2）解：由表格可知，， 画出函数图象如下： ． （3）解：联立，解得或， ∵一次函数的图象与函数的图象相交于，两点（点在点的左侧）， ∴， ∵点关于坐标原点的对称点为点， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为， 如图，过点作轴的垂线，交直线于点，则， ∴，点到的距离与点到的距离之和为， ∵的面积为15， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 所以点的坐标为． 考点04 二次函数 1．（2026·内蒙古·中考真题）二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【知识点】求x轴与抛物线的截线长 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 2.（2024·包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 3.（2024·呼市·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 4.（2024·赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 5.（2024·呼市·中考真题）下列说法中，正确的个数有（    ） ①二次函数的图象经过两点，m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且，则恒成立． ②在半径为r的中，弦互相垂直于点P，当时，则． ③△ABC为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且，点A的坐标为，点B的坐标为，点C是反比例函数的图象上一点，则． ④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】∵二次函数的图象经过两点， ∴当时，， ∵m，n是关于x的元二次方程的两个实数根，且， ∴，故①正确； 如图，过点O作，垂足分别为M，N，连接， ∴M、N分别为的中点，， ∵弦互相垂直， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴，故②正确； 当点C在第一象限时，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， ∴ ∵点C是反比例函数的图象上一点， ∴； 当点C在第二象限时，同理可得 ∴； 综上，或，故③错误； 设矩形两边分别为m，n， ∵矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等， ∴， ∴， 解得（负舍）， ∴， ∵矩形对角线，故④正确； 综上，正确的个数有3个， 故选：C． 6.（2024·通辽·中考真题）关于抛物线（是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）． ①当时，抛物线的对称轴是轴； ②若此抛物线与轴只有一个公共点，则； ③若点，在抛物线上，则； ④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于． 【答案】①④/④① 【详解】解：当时，，此时抛物线的对称轴是轴，故①正确； ∵此抛物线与轴只有一个公共点， ∴方程的有两个相等的实数根， ∴， 解得：，故②错误； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大， ∵点，在抛物线上，且， ∴，故③错误； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标在直线上， 如图，过点A作直线于点B，则点，，， ∴是等腰直角三角形， ∴，即抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确． 故答案为：①④ 7．（2026·内蒙古·中考真题）综合与实践 下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务． 项目 名称 为学校操场主席台遮阳棚设置灯带 问题 情境 如图是某学校操场上坐南朝北的主席台，由地台（长方体）、四根立柱、遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由两条抛物线形线条组成，从正面看，上方有一矩形，其一边与地台的长度相同．项目式学习小组想为该矩形四周设置灯带，测量了地台的长度，在测量矩形另一边的长度时遇到了困难，需要解决． 收集 信息 查找图纸：立柱，，两根立柱与之间的距离．点是过点，的抛物线的最高点，地台高，立柱到地台前边缘的距离． 查阅资料：小组通过查阅资料知道本地春分日正午太阳光线与地面夹角的度数为． 实地测量：在太阳光下遮阳棚顶点的影子落在操场上的点处，测得影长． 抽象 模型 说明：①测量时间为春分日正午； ②点，，，，，，，，，在同一竖直平面内；点，，，在同一竖直方向上，点，，在同一水平线上； ③各组选取不同的点作为坐标原点建立平面直角坐标系解决问题．如图为“智慧”小组以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立的平面直角坐标系． … … (1)任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点，，的抛物线的函数表达式； (2)任务二：请你求出矩形另一边的长度． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）连接，可得，然后求出，再解即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点，， ∴设过点，，的抛物线的表达式为， 代入点得，，解得， ∴过点，，的抛物线的表达式为； （2）解：连接，由题意可得，，，共线， ∵，， ∵， ∴， ∴将代入，则， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 答：矩形另一边的长度为． 8.（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； （2）解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； （3）解：∵装置整体图案为轴对称图形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∵是矩形， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍）， ∴， 由抛物线对称性可得． 9.（2024·呼市·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； (2)已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； (3)若，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接，．求证：． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且， ∴将点代入得：， 解得， 则化成顶点式为， 故答案为：2，． （2）解：，理由如下： ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， 二次函数的对称轴为直线， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 又∵抛物线的开口向上， ∴． （3）证明：若，则， 将向上平移4个单位得到新抛物线， ∵抛物线与直线交于点， ∴设点的坐标为， 将代入得：， ∴， ∵点为中点， ∴， 轴于点， ， ∴， ， ∴． 10.（2024·赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决． (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______； (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称． ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式； ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）； (3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）． 【详解】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 设水滑道所在抛物线的解析式为， 将代入，得：，即， ， 水滑道所在抛物线的解析式为； （2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称， 则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为， 人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称， ， 人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即， ∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：； 由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：， 令，则，即 或（舍去，不符合题意）， 点， ， ， ， 此人腾空飞出后的落点D在安全范围内； （3）解：根据题意可得点的纵坐标为4， 令，即， （舍去，不符合题意）或， ， 设所在直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 所在直线的解析式为， 如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H， 这条钢架与平行， 设该钢架所在直线的解析式为， 联立，即， 整理得：， 该钢架与水滑道有唯一公共点， ， 即该钢架所在直线的解析式为， 点H与点O重合， ，，， ， 这条钢架的长度为米． 11.（2024·包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 【详解】（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； （2）证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 12.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （2）解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 13.（2024·通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线为常数）经过点且交轴于两点． (1)求抛物线表示的函数解析式； (2)若点为抛物线的顶点，连接，，．求四边形的面积． 【详解】（1）解：把代入函数中，得， 解得， ∴， 把代入函数中，得， ∴， ∵抛物线为常数）经过点， ∴，解得， ∴抛物线表示的函数解析式为； （2）解：∵抛物线的函数解析式为， ∴顶点P的坐标为， ∵， ∴轴，， 过点D作于点E，则， ∴； 把代入函数中，得， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 1．（2026·呼和浩特·二模）氢气在氧气中燃烧生成水：，实验测得：在完全反应的情况下，参加反应的氢气质量（单位：g）与生成水的质量（单位：g）成正比例关系．当生成水时，消耗氢气，若要生成水，需要消耗氢气（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题已知与成正比例，根据正比例函数的定义设出解析式，代入已知条件求出函数解析式，再将生成水的质量代入解析式即可求出消耗氢气的质量． 【详解】解：∵参加反应的氢气质量与生成水的质量成正比例， ∴设， 把，代入解析式得， ， 解得， ∴与的函数解析式为， 当时，， ∴需要消耗氢气． 2．（2026·赤峰·一模）在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线，则直线经过的点可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数自变量或函数值 【分析】根据一次函数的平移方式求出两种平移方式下平移后的函数解析式，则可求出，得到直线，再分别验证选项中的点即可． 【详解】解：将直线向右平移6个单位，得到的函数解析式为， 将直线向下平移4个单位，得到的函数解析式为， 直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线， ， 解得， 直线， 当时，，则点在直线上， 当时，，则点不在直线上， 当时，，则点不在直线上， 当时，，则点不在直线上， 只有A选项符合题意； 3．（2026·巴彦淖尔·一模）已知：一次函数与反比例函数在一、三象限的交点为和且 在下列结论中正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】根据反比例函数的象限位置确定两个交点横坐标的范围，结合函数性质分区间比较与的大小，判断选项正误. 【详解】解：∵反比例函数在一、三象限，两个交点满足， ∴. 举例验证：取反比例，对应一次函数为. 求得交点横坐标，， 对A：取，得，，，A错误. 对B：取，得，，，B错误. 对C：取，得，，，C错误. 对D：当时，一次函数在第一象限始终位于反比例函数上方，即，D正确. 4．（2026·锡林郭勒·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（    ） A．函数解析式为 B．蓄电池的电压是18V C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C． 【详解】解：设，将代入可得，故A错误； ∴蓄电池的电压是36V，故B错误； 当时，，该项正确； 当当时，，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 5．（2026·呼和浩特·二模）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁， 过甲点作轴平行线交反比例函数于，过丙点作轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知， 、乙、、丁在反比例函数图像上， 根据题意可知优秀人数，则 ①，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数， 在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图像与性质的实际应用题，读懂题意，并熟练掌握反比例函数的图像与性质是解决问题的关键． 6．（2026·呼和浩特·一模）若点都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“＜”连接的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：∵，点A，B同象限，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 又∵都在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质，熟记概念是关键． 7．（2026·锡林郭勒·一模）在平面直角坐标系中，两点在抛物线上，则下列结论中正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】D 【分析】先求出抛物线对称轴，结合得到抛物线开口方向和增减性，再逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；点距离对称轴越远，值越大； A：∵，， ∴，即， ∴点离对称轴更远， ∴，故该选项不合题意； B：∵，两点都在对称轴左侧，随增大而减小， ∴，故该选项不合题意； C：∵，，说明顶点纵坐标小于0， 将代入解析式得，可得，但不能推出，故该选项不合题意； D：∵，两点都在对称轴右侧，开口向上时随增大而增大， ∴，故该选项符合题意． 8．（2026·包头·一模）如图，点和点A在反比例函数的图象上，连接．若，且，则k的值为________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过点P作轴于点，过点A作于点，证明，进而根据全等三角形的性质得出，根据点，进而得出，根据点在反比例函数的图象上．列出方程，求得a的值，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，过点P作轴于点，过点A作于点，      ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵． ∴， ∴ ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得：或（舍去） ∴． 9．（2026·通辽·一模）验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】50 【分析】用待定系数法求出反比例函数解析式，再把，代入解析式求出y的值，进而计算即可． 【详解】解：设 关于 的函数解析式为 ， 把 代入 ， ， 函数解析式为 ， 当 时， ， 当 时， ， 度数减少了 （度）． 10．（2026·赤峰·一模）如图，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，点在轴上，点B，C在轴上，与轴交于点，连接．若，，则的值为__________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义、平行四边形的性质、面积的转化；熟练运用同高等底求两个三角形面积关系是解题的关键． 根据，，得，易得，所以，求出，继而得出矩形的面积，最后求出k值即可． 【详解】解：如图， 过点F作，垂足为F点 四边形为平行四边形 又图像过第三象限 故答案为： 11．（2026·巴彦淖尔·一模）蒙古族皮艺画与牛角雕是内蒙古特色非遗工艺品，某特产专卖店售卖这两种工艺品．已知售出 2件皮艺画和 1 件牛角雕共收入 900 元，售出 1 件皮艺画和 2 件牛角雕共收入 1200 元． (1)求每件皮艺画、每件牛角雕的售价． (2)为满足市场需求，该专卖店计划购进这两种工艺品共60件，且购进牛角雕的数量不超过皮艺画数量的一半．若每件皮艺画进价为100元，每件牛角雕进价为300元，请给出获利最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】(1)皮艺画 200 元 / 件，牛角雕 500 元 / 件 (2)进货方案：皮艺画 40 件，牛角雕 20 件；最大利润8000元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设每件皮艺画售价为元，每件牛角雕售价为元，因为题目给出了两种销售组合的总收入，所以可以根据两个等量关系列出二元一次方程组，求解方程组即可得到两种商品的售价． （2）首先设购进皮艺画件，那么购进牛角雕的数量为件，根据“购进牛角雕的数量不超过皮艺画数量的一半”的条件，列出不等式，求出的取值范围．因为总利润等于单件利润乘以销售数量，所以可以列出总利润关于的一次函数表达式，根据一次函数的增减性，结合的取值范围，即可求出最大利润以及对应的进货方案． 【详解】（1）解：设每件皮艺画售价x元，牛角雕售价y元， ， 解得：， 答：皮艺画200元/件，牛角雕500元/件． （2）解：设购进皮艺画m件，牛角雕件 ∵， ∴， 利润， ， ∵， ∴W随m增大而减小，故时利润最大． 进货方案：皮艺画40件，牛角雕20件； 最大利润：元． 12．（2026·通辽·一模）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：，且规定商品的单价不能低于成本价，但不高于50元． (1)销售单价为多少元时，每天能获得800元的利润； (2)若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为多少元?最大利润为多少元? 【答案】(1)销售单价为40元时，每天能获得800元的利润； (2)若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为50元，此时最大利润为1200元． 【分析】（1）根据题意，列出一元二次方程，解方程，舍去不合题意的解，问题得解； （2）设商品的利润为w元，得到w与x的二次函数关系式并配成顶点式，根据自变量取值范围和二次函数的性质，即可求出当x=50时，w有最大值，此时w=1200，问题得解． 【详解】（1）解：由题意得， 整理得， 解得， 由题意得， ∴不合题意，舍去， ∴， 答：销售单价为40元时，每天能获得800元的利润； （2）解：设商品的利润为w元，由题意得 （）， ∵-2＜0， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当x=50时，w有最大值，此时w=1200， 答：若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为50元，此时最大利润为1200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，理解题意，熟知二次函数的性质，根据题意正确列出一元二次方程和二次函数解析式是解题关键，解题时一定要注意商品单价的取值范围． 13．（2026·包头·一模）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，其中x（米）为小球抛出的水平距离，y（米）为小球抛出的高度（即小球到x轴的距离）．小球上升过程中，当高度为6米时，小球的水平距离为2米． (1)求这个二次函数的表达式和小球到达的最大高度； (2)小球的落点是A，求点A的坐标； (3)若在斜坡上距O点水平距离6米的位置设置一个高2米的竖直挡板，判断小球能否越过该挡板，并说明理由． 【答案】(1)二次函数的表达式为 ，小球到达的最大高度为8米； (2)点A的坐标为； (3) 小球能越过该挡板，理由如下： 当时，小球的高度为（米）， 当时，斜坡的高度为（米）， ∵挡板高2米， ∴挡板顶端距离地面的高度为（米）， ∵， ∴小球能越过该挡板． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值、投球问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据题意将点代入二次函数的表达式即可求出a，进而求得函数表达式；将二次函数一般式化为顶点式，根据二次函数图象的性质即可得出最大高度； （2）根据题意联立二次函数的表达式与斜坡的表达式，得，解得，， 再当时，， 即可求得A点的坐标； （3）根据题意把分别代入二次函数的表达式及直线的表达式，再根据挡板高2米，求得挡板顶端距离地面的高度为（米）， 最后，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线经过点， 将代入，得， 解得 ， ∴这个二次函数的表达式为 ， 将二次函数的表达式配方得， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为8． 答：这个二次函数的表达式为 ，小球到达的最大高度为8米； （2）解：联立二次函数的表达式与斜坡的表达式，得， 整理，得， 解得，， 当时，（舍去）， 当时，， ∴． 答：点A的坐标为； （3）略 14．（2026·通辽·一模）问题背景 某校劳动基地蔬菜大棚由抛物线 和“矩形” 构成，抛物线最高点 到地面 的距离为米，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系，已知米，米．   建立建模 （1）求抛物线的解析式； 问题解决 （2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，如图1，准备在大棚抛物线上安装矩形“脚手架”（即三根支架，其中，垂直地面，平行地面），求“脚手架”的最大长度； （3）如图2，在蔬菜大棚上安装照明灯，要求照明灯到地面的垂直距离为米，每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米，左右外侧的两个照明灯安装在抛物线上，如图所示，直接写出至少需要安装照明灯的个数． 【答案】（1）；（2）米；（3）个 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）顶点的坐标为，设抛物线的解析式，根据题意得，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设点的坐标为，的长度之和为米，进而列出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）令得出距离地面4米的大棚的水平宽度为米，结合题意，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，顶点的坐标为 设抛物线的解析式 ∵米，米． ∴ 代入，得 解得： ∴抛物线解析式为 （2）设点的坐标为，的长度之和为米， ∴ ∴ ∵ ∴当时， 答：“脚手架”的最大长度为米； （3）依题意，当时， 解得： 则距离地面4米的大棚的水平宽度为米 ∵米 每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米， ∴直接写出至少需要安装照明灯的个数为个． 15.（2026·锡林郭勒·一模）洒水车是城市绿化的主力军．如图1，洒水车浇水时喷出水的轨迹可以近似为抛物线．数学兴趣小组成员为了解洒水车要如何控制才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带，通过建立数学模型进行探索． 如图2，建立平面直角坐标系，喷水口H离地面竖直高度h为米．可以把洒水车喷出的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，喷出水的最大射程为6米．把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米．竖直高度米，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示．小组成员通过进一步分析发现：喷头喷出的水流的下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的． 【问题解决】 (1)直接写出点C，H的坐标； (2)求上边缘抛物线的函数解析式，下边缘抛物线的解析式及与轴交点B的坐标； (3)若要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所夹区域内），求的取值范围． 【答案】(1)； (2)上边缘抛物线的解析式为；下边缘抛物线的解析式为；B的坐标为 (3) 【分析】（1）直接根据题意得出点C、H的坐标即可； （2）先推导出上边缘抛物线的顶点为，且过点和，设上边缘抛物线的顶点式为，将，分别代入，求出上边缘抛物线的解析式为：，由下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移得到，且过点，设下边缘抛物线的解析式为，将代入，求出下边缘抛物线的解析式为，继而求出点B的坐标即可； （3）先求出，则，将代入，解得（不符合题意，舍去）或，此时，则，即可解答； 【详解】（1）解：∵喷水口H离地面竖直高度h为米， ∴； ∵喷出水的最大射程为6米， ∴； （2）解：∵上边缘抛物线的顶点为，且过点和， 所以设上边缘抛物线的顶点式为， 将，分别代入，得： ， 解得， ∴上边缘抛物线的解析式为：， 即， ∵下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移得到，且过点， ∴设下边缘抛物线的解析式为， 将代入，得 ， 解得或（与上边缘重合，舍去）， ∴下边缘抛物线的解析式为：， 令，则， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为． （3）解：∵， ∴，则， 将代入，得 解得（不符合题意，舍去）或， ∴当时，点F在上边缘抛物线上，此时， ∴． 16．（2026·呼和浩特·二模）综合与实践 设计自由式小轮车的训练场地 问题背景 图1是某极限运动公园的自由式小轮车训练基地，数学探究小组计划以此为参考，为其他训练基地进行场地设计． 建立模型 图2是数学探究小组设计的自由式小轮车部分训练场地的示意图，从左向右依次为水平跳台段，抛物线中段，水平跳台段，抛物线中段，抛物线由抛物线水平向右平移得到，以及最终的减速停止区．以抛物线的顶点为坐标原点O，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 数模实测 根据实际需求，设计水平跳台段的高度为4米，过渡点B与y轴水平距离为4米，过渡点C与y轴水平距离为3米，长为0.25米．若骑行者从B点进入坡道段，然后从C点跳跃，在最高点G做空中转体等表演动作，最后从E点降落进入坡道段，整个空中运动轨迹是抛物线中段，抛物线的对称轴为直线，E点与C点的水平距离为1.25米． 拓展资料 ①从看到障碍物到捏下刹车需要反应时间，这是任何人不可避免的反应延迟．反应时间内小轮车保持原速，这段距离为反应距离．刹车生效后，小轮车减速至停止，这段距离为制动距离．安全距离等于反应距离加制动距离． ②当物体做匀减速直线运动时，末速度v，初速度，加速度a，与位移s（从起点指向终点的有向线段的长度）满足关系式． 问题解决： (1)求抛物线的解析式； (2)直接写出点C，点E的坐标； (3)若骑行者在最高点G处做空中转体等表演动作，求最高点G与跳台的垂直距离； (4)若骑行者从过渡点F进入减速停止区时的速度为，并在此时考虑减速，反应时间0.5s，之后以的加速度做匀减速直线运动，请计算该训练场地应至少设计多长的安全距离． 【答案】(1) (2)， (3)最高点G与跳台的垂直距离米 (4)该训练场地应至少设计安全距离为米 【分析】（1）由题意得，根据抛物线的顶点为坐标原点O，设抛物线的解析式为，把代入计算即可； （2）先求出，再得到，根据平移设抛物线解析式为，，把代入得抛物线解析式为，最后根据E点横坐标为，求坐标即可； （3）根据抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式，把，，代入得抛物线的解析式，即可求出最高点，最后计算最高点G与跳台的垂直距离即可； （4）根据反应距离、制动距离、安全距离的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵抛物线的顶点为坐标原点O， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵过渡点C与y轴水平距离为3米，点在第一象限， ∴点横坐标为， 当时，， ∴； ∵长为0.25米， ∴，即， ∵抛物线中段，抛物线由抛物线水平向右平移得到， ∴设抛物线解析式为，， 把代入得， 解得或（舍去）， ∴抛物线解析式为， ∵E点与C点的水平距离为1.25米， ∴E点横坐标为， 当时，， ∴； （3）解：∵抛物线中段，抛物线的对称轴为直线， ∴设抛物线的解析式， 把，，代入得， ∴解得， ∴抛物线的解析式， ∴抛物线的最高点， ∴最高点G与跳台的垂直距离米； （4）解：∵骑行者从过渡点F进入减速停止区时的速度为，并在此时考虑减速，反应时间，之后以的加速度做匀减速直线运动， ∴反应距离为米，制动距离满足，解得， ∴该训练场地应至少设计安全距离为米． 17．（2026·呼和浩特·一模）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形   隧道及斜坡的侧面示意图可近似如图2所示．   图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得，，． 隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）： (2)在图3中画出以点的水平方向建立轴，过点的竖直方向为轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式： (3)限高架上标有警示语“车辆限高米”（即最大安全限高），求的值（精确到0.1米）． 【答案】(1)1.55米 (2) (3)3.5米 【分析】（1）作，根据求出即可； （2）先设抛物线的关系式为，根据题意可得点，再代入可得答案； （3）先根据题意将代入二次函数关系式，求出，再求出，然后根据得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴． ∵， ∴， 即， 解得（米）； （2）解：如图所示，建立直角坐标系， 设抛物线的关系式为， ∵隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米， ∴点． 把代入，得 ， 解得， ∴； （3）解：如图所示， ∵车辆行驶方向的右侧车道线与墙面距离是1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米， ∴， ∴当时，，则， ∴． ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米）． ∵涉及安全问题， ∴（米）． 18．（2026·赤峰·一模）春暖花开，正是放风筝的好时候．某数学兴趣小组开展了特色实践活动，设计并制作外形为拋物线型的风筝． 活动主题 设计一个外形为拋物线型的风筝 活动准备 竹条，专业伞布以及其他的制作工具 步骤1 用竹条设计制作一个“十”字形支架，如图1，垂直平分，垂足为，，，． 步骤2 以点为原点，以所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，确定过点、、三点的抛物线的表达式，画出图形，用伞布剪出拋物线型伞面，并用材料对外轮廓进行定型； 步骤3 为使风筝结构更加稳固，同时兼具对称美，用竹条构造三角形结构，连接、，同时构造另一个，使得点、在抛物线上，且与位似，位似比为，位似中心在直线上； 根据以上材料，解决下列问题： (1)求出图2中过、、三点的拋物线的表达式； (2)请求出图2中所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、求位似图形的对应坐标 【分析】（1）先写出、、三点的坐标，再使用待定系数法求出抛物线的表达式； （2）分两类讨论，当与在位似中心的同一侧时，设与轴的交点为，由位似的性质可得，，，由对称性可知点的横坐标为，从而求出点和点的坐标，进一步得到点的坐标；当与在位似中心的两侧时，使用同样的方法计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设过、、三点的拋物线的表达式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴拋物线的表达式为； （2）解：①当与在位似中心的同一侧时，如图，设与轴的交点为， ∵与位似，位似比为，位似中心在直线上， ∴，，， ∴点的横坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为； ②当与在位似中心的两侧时，如图，设与轴的交点为， 同理可得，点的坐标为，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 5年真题1年模拟·答案版 考点01 平面直角坐标系与函数 1．B 2．C 3．D 考点02 一次函数 1. A 2. A 3. D 4. C 5. ①② 6. 7.【详解】解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元． 设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个， 由题意得：， 解得， 设该网店所获利润为元， 则， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 即该网店所获最大利润为1260元， 故答案为：55；1260． 8.【详解】（1）解：由表格可知，每增加一只碗，高度增加， ∴， 检验∶当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴碗的数量最多为10个． 9.【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 当时， 根据题意，得， ∵， ∴随的增大而减小， ∴时，有最大值，最大值为， 即购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元； 综上，，购进甲种水果80千克，乙种水果70千克，最大利润为1060元． 10.【详解】（1）解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； （2）解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米， 由题意得， ， 解得， ∵， ∴随的增加而减少， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：15天的工期，两队最多能修复公路千米． 考点03 反比例函数 1．C 2．D 3．A 4．0.5 5．12 6.【详解】（1）解：由，得，， ∴点是点的等和点； 由，得，，， ∵， ∴不是点的等和点； 由，得，， ∴是点的等和点； 故答案为：和； （2）解：设点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴； （3）解：由题意可得，，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点，如图，由时的取值范围是或，可得点的横坐标为，点的横坐标为， 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设，点的横坐标为， ∵点是点的等和点， ∴点的纵坐标为， ∴， ∵点在直线上， ∴， 整理得，， 去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴点的坐标为或．    7.【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则一次函数的解析式． （2）解：由表格可知，， 画出函数图象如下： ． （3）解：联立，解得或， ∵一次函数的图象与函数的图象相交于，两点（点在点的左侧）， ∴， ∵点关于坐标原点的对称点为点， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 设点的坐标为， 如图，过点作轴的垂线，交直线于点，则， ∴，点到的距离与点到的距离之和为， ∵的面积为15， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 所以点的坐标为． 考点04 二次函数 1．B 2. A 3. D 4. B 5. C 6. ①④ 7.【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）连接，可得，然后求出，再解即可． 【详解】（1）解：由题意得，顶点，， ∴设过点，，的抛物线的表达式为， 代入点得，，解得， ∴过点，，的抛物线的表达式为； （2）解：连接，由题意可得，，，共线， ∵，， ∵， ∴， ∴将代入，则， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 答：矩形另一边的长度为． 8.【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； （2）解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； （3）解：∵装置整体图案为轴对称图形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∵是矩形， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍）， ∴， 由抛物线对称性可得． 9.【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且， ∴将点代入得：， 解得， 则化成顶点式为， 故答案为：2，． （2）解：，理由如下： ∵抛物线经过点， ∴， ∵， ∴，即， 二次函数的对称轴为直线， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 又∵抛物线的开口向上， ∴． （3）证明：若，则， 将向上平移4个单位得到新抛物线， ∵抛物线与直线交于点， ∴设点的坐标为， 将代入得：， ∴， ∵点为中点， ∴， 轴于点， ， ∴， ， ∴． 10.【详解】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为，且过点， 设水滑道所在抛物线的解析式为， 将代入，得：，即， ， 水滑道所在抛物线的解析式为； （2）解：①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称， 则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为， 人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称， ， 人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即， ∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：； 由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：， 令，则，即 或（舍去，不符合题意）， 点， ， ， ， 此人腾空飞出后的落点D在安全范围内； （3）解：根据题意可得点的纵坐标为4， 令，即， （舍去，不符合题意）或， ， 设所在直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 所在直线的解析式为， 如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H， 这条钢架与平行， 设该钢架所在直线的解析式为， 联立，即， 整理得：， 该钢架与水滑道有唯一公共点， ， 即该钢架所在直线的解析式为， 点H与点O重合， ，，， ， 这条钢架的长度为米． 11.【详解】（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； （2）证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 12.【详解】（1）解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （2）解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 13.【详解】（1）解：把代入函数中，得， 解得， ∴， 把代入函数中，得， ∴， ∵抛物线为常数）经过点， ∴，解得， ∴抛物线表示的函数解析式为； （2）解：∵抛物线的函数解析式为， ∴顶点P的坐标为， ∵， ∴轴，， 过点D作于点E，则， ∴； 把代入函数中，得， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 1．B 2．A 3．D 4．C 5．C 6．D 7. D 8. 9. 50 10. -12 11.【答案】(1)皮艺画 200 元 / 件，牛角雕 500 元 / 件 (2)进货方案：皮艺画 40 件，牛角雕 20 件；最大利润8000元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设每件皮艺画售价为元，每件牛角雕售价为元，因为题目给出了两种销售组合的总收入，所以可以根据两个等量关系列出二元一次方程组，求解方程组即可得到两种商品的售价． （2）首先设购进皮艺画件，那么购进牛角雕的数量为件，根据“购进牛角雕的数量不超过皮艺画数量的一半”的条件，列出不等式，求出的取值范围．因为总利润等于单件利润乘以销售数量，所以可以列出总利润关于的一次函数表达式，根据一次函数的增减性，结合的取值范围，即可求出最大利润以及对应的进货方案． 【详解】（1）解：设每件皮艺画售价x元，牛角雕售价y元， ， 解得：， 答：皮艺画200元/件，牛角雕500元/件． （2）解：设购进皮艺画m件，牛角雕件 ∵， ∴， 利润， ， ∵， ∴W随m增大而减小，故时利润最大． 进货方案：皮艺画40件，牛角雕20件； 最大利润：元． 12.【答案】(1)销售单价为40元时，每天能获得800元的利润； (2)若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为50元，此时最大利润为1200元． 【分析】（1）根据题意，列出一元二次方程，解方程，舍去不合题意的解，问题得解； （2）设商品的利润为w元，得到w与x的二次函数关系式并配成顶点式，根据自变量取值范围和二次函数的性质，即可求出当x=50时，w有最大值，此时w=1200，问题得解． 【详解】（1）解：由题意得， 整理得， 解得， 由题意得， ∴不合题意，舍去， ∴， 答：销售单价为40元时，每天能获得800元的利润； （2）解：设商品的利润为w元，由题意得 （）， ∵-2＜0， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当x=50时，w有最大值，此时w=1200， 答：若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为50元，此时最大利润为1200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，理解题意，熟知二次函数的性质，根据题意正确列出一元二次方程和二次函数解析式是解题关键，解题时一定要注意商品单价的取值范围． 13.【答案】(1)二次函数的表达式为 ，小球到达的最大高度为8米； (2)点A的坐标为； (3) 小球能越过该挡板，理由如下： 当时，小球的高度为（米）， 当时，斜坡的高度为（米）， ∵挡板高2米， ∴挡板顶端距离地面的高度为（米）， ∵， ∴小球能越过该挡板． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值、投球问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】（1）根据题意将点代入二次函数的表达式即可求出a，进而求得函数表达式；将二次函数一般式化为顶点式，根据二次函数图象的性质即可得出最大高度； （2）根据题意联立二次函数的表达式与斜坡的表达式，得，解得，， 再当时，， 即可求得A点的坐标； （3）根据题意把分别代入二次函数的表达式及直线的表达式，再根据挡板高2米，求得挡板顶端距离地面的高度为（米）， 最后，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线经过点， 将代入，得， 解得 ， ∴这个二次函数的表达式为 ， 将二次函数的表达式配方得， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为8． 答：这个二次函数的表达式为 ，小球到达的最大高度为8米； （2）解：联立二次函数的表达式与斜坡的表达式，得， 整理，得， 解得，， 当时，（舍去）， 当时，， ∴． 答：点A的坐标为； （3）略 14.【答案】（1）；（2）米；（3）个 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）顶点的坐标为，设抛物线的解析式，根据题意得，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设点的坐标为，的长度之和为米，进而列出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）令得出距离地面4米的大棚的水平宽度为米，结合题意，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，顶点的坐标为 设抛物线的解析式 ∵米，米． ∴ 代入，得 解得： ∴抛物线解析式为 （2）设点的坐标为，的长度之和为米， ∴ ∴ ∵ ∴当时， 答：“脚手架”的最大长度为米； （3）依题意，当时， 解得： 则距离地面4米的大棚的水平宽度为米 ∵米 每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米， ∴直接写出至少需要安装照明灯的个数为个． 15.【答案】(1)； (2)上边缘抛物线的解析式为；下边缘抛物线的解析式为；B的坐标为 (3) 【分析】（1）直接根据题意得出点C、H的坐标即可； （2）先推导出上边缘抛物线的顶点为，且过点和，设上边缘抛物线的顶点式为，将，分别代入，求出上边缘抛物线的解析式为：，由下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移得到，且过点，设下边缘抛物线的解析式为，将代入，求出下边缘抛物线的解析式为，继而求出点B的坐标即可； （3）先求出，则，将代入，解得（不符合题意，舍去）或，此时，则，即可解答； 【详解】（1）解：∵喷水口H离地面竖直高度h为米， ∴； ∵喷出水的最大射程为6米， ∴； （2）解：∵上边缘抛物线的顶点为，且过点和， 所以设上边缘抛物线的顶点式为， 将，分别代入，得： ， 解得， ∴上边缘抛物线的解析式为：， 即， ∵下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移得到，且过点， ∴设下边缘抛物线的解析式为， 将代入，得 ， 解得或（与上边缘重合，舍去）， ∴下边缘抛物线的解析式为：， 令，则， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴下边缘抛物线与x轴交点B的坐标为． （3）解：∵， ∴，则， 将代入，得 解得（不符合题意，舍去）或， ∴当时，点F在上边缘抛物线上，此时， ∴． 16.【答案】(1) (2)， (3)最高点G与跳台的垂直距离米 (4)该训练场地应至少设计安全距离为米 【分析】（1）由题意得，根据抛物线的顶点为坐标原点O，设抛物线的解析式为，把代入计算即可； （2）先求出，再得到，根据平移设抛物线解析式为，，把代入得抛物线解析式为，最后根据E点横坐标为，求坐标即可； （3）根据抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式，把，，代入得抛物线的解析式，即可求出最高点，最后计算最高点G与跳台的垂直距离即可； （4）根据反应距离、制动距离、安全距离的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵抛物线的顶点为坐标原点O， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵过渡点C与y轴水平距离为3米，点在第一象限， ∴点横坐标为， 当时，， ∴； ∵长为0.25米， ∴，即， ∵抛物线中段，抛物线由抛物线水平向右平移得到， ∴设抛物线解析式为，， 把代入得， 解得或（舍去）， ∴抛物线解析式为， ∵E点与C点的水平距离为1.25米， ∴E点横坐标为， 当时，， ∴； （3）解：∵抛物线中段，抛物线的对称轴为直线， ∴设抛物线的解析式， 把，，代入得， ∴解得， ∴抛物线的解析式， ∴抛物线的最高点， ∴最高点G与跳台的垂直距离米； （4）解：∵骑行者从过渡点F进入减速停止区时的速度为，并在此时考虑减速，反应时间，之后以的加速度做匀减速直线运动， ∴反应距离为米，制动距离满足，解得， ∴该训练场地应至少设计安全距离为米． 17.【答案】(1)1.55米 (2) (3)3.5米 【分析】（1）作，根据求出即可； （2）先设抛物线的关系式为，根据题意可得点，再代入可得答案； （3）先根据题意将代入二次函数关系式，求出，再求出，然后根据得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴． ∵， ∴， 即， 解得（米）； （2）解：如图所示，建立直角坐标系， 设抛物线的关系式为， ∵隧道的最高点到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米， ∴点． 把代入，得 ， 解得， ∴； （3）解：如图所示， ∵车辆行驶方向的右侧车道线与墙面距离是1米，必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米， ∴， ∴当时，，则， ∴． ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米）． ∵涉及安全问题， ∴（米）． 18.【答案】(1) (2)或 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、求位似图形的对应坐标 【分析】（1）先写出、、三点的坐标，再使用待定系数法求出抛物线的表达式； （2）分两类讨论，当与在位似中心的同一侧时，设与轴的交点为，由位似的性质可得，，，由对称性可知点的横坐标为，从而求出点和点的坐标，进一步得到点的坐标；当与在位似中心的两侧时，使用同样的方法计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设过、、三点的拋物线的表达式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴拋物线的表达式为； （2）解：①当与在位似中心的同一侧时，如图，设与轴的交点为， ∵与位似，位似比为，位似中心在直线上， ∴，，， ∴点的横坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为； ②当与在位似中心的两侧时，如图，设与轴的交点为， 同理可得，点的坐标为，， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数 5年真题1年模拟 中考品题透析园 内蒙古考情(2024 考点分类 命题规律 2026) 平面直角坐标系 选择填空小题，分值 与函数基础（点 考查点平移、对称变换：格点读取坐标；割补 3分：全区各地市均 坐标、平移、对 法求坐标系内多边形面积：难度低，属于基础 考查：常和剪纸、格 称、自变量取 送分题。 点图形结合出题。 值) 客观题3-4分，解 一次函数（正比 答大题7-10分：实 考查k、b对图象的影响：图象与方程、不等 例函数、图象性 际应用题高频必考， 式结合：分段函数是高频难点；结合销售、工 质、解析式求 呼市、包头、兴安盟 程、生活情境建模求最大利润：自变量取值范 解、方案利润实 频繁考销售、工程方 围是易错点。 际应用) 案利润问题。 反比例函数（图 选择填空3-4分， 考查k正负判断图象分布：比较函数值大小： 1/25 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 也可作为解答小问： 象性质、k的几 k的几何意义求面积：和正六边形、平行四边 何意义、反比例 通辽、包头常考反比 形结合：物理、生活实际情境（压强、电 与几何综合、实 例与多边形、几何图 流)；常与一次函数联立求交点、比较函数 际应用) 值。 形综合。 二次函数（图象 选择填空3-4分： 考查开口、对称轴、顶点、与坐标轴交点：图 性质、平移变 解答压轴大题8-12 象平移；判别式、二次函数与一元二次方程； 换、待定系数 综合大题多为项目式学习、实际建模（遮阳 分，内蒙古中考必考 法、与方程不等 棚、水滑道、大棚、洒水车)；多小问梯度设 压轴，各地市均重点 式：二次函数综 问，融合几何、解直角三角形；存在性、最值 合压轴) 考查。 问题高频。 五年真题分类园 考点01平面直角坐标系与函数 1.(2026内蒙古中考真题)如图，在平面直角坐标系中有一个“心形”图形，“心形”图形上的点H在 格点上，若将该图形向上平移3个单位长度，则该图形上点H的对应点H的坐标是() 2/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(-2,-1) B.（-2,2） c.(1,-1 D.（-2,1) 2.(2024通辽·中考真题)剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标 系的坐标轴重合，则点4(-4,2)关于y箱对称的点的坐标为《） A.(4-2) B.(4,-2) c.(4,2) D.（2,-4) 3(2024包头中考真题)如图，在平面直角坐标系中，四边形018C各顶点的坐标分别是010,01.1,2) B(3,3)C(5,0) 则四边形OABC的面积为() B A A.14 B.11 C.10 D.9 考点02一次函数 1.(2025内蒙古中考真题)在闭合电路中，通过定值电阻的电流1（单位：A)是它两端的电压0（单位： V)的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为15V时，通过它的电流为() 3/25 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 IA 4- 051015 A.12A B.8A C.6A D.4A 2.(2024通辽·中考真题)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=x+么与y=k,+6(其中 kk2≠0k1k2bb2 ?,,为常数)的图象分别为直线，.下列结论正确的是() b+b2>0 B.4>0 C.4+k<0 D.k<0 3 3（204呼伦贝尔兴安盟中考真题)点P()在直线y=-子+4上，坐标化，)是二元一次方程 5x-6y=33 的解，则点的位置在() A,第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D,第四象限 4.(2024呼伦贝尔兴安盟·中考真题)已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上.下面的图象反映 的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆. 图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离.结合图象给出下列结论： y/km ☑------------------------------------ 2.5 0引1530 65 88 103 x/min (1)体育场离该同学家2.5千米： (2)该同学在体育场锻炼了15分钟： 4/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍： (4)若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则a的值是3.75； 其中正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2026内蒙古中考真题)对于一次函数y=(k+1)x-k(k是常数，且k≠-1)，下列结论： ①点(1,1)在此函数图象上： ②当k=1且y<0时，x<2 1 ③当k<0时，y随x的增大而减小. 其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号) 6.(2024包头·中考真题)在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个 符合该条件的一次函数的表达式 7.(2024呼市·中考真题)2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名.某厂家 生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进 小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元.某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰 辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多 306.若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为元. 8.(2024包头中考真题)图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的.小亮尝 试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度'（单位：Cm)随着碗的数量x (单位：个)的变化规律.下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据： x/个 1 2 3 4 y/cm 6 8.4 10.8 13.2 ()依据小亮测量的数据，写出y与x之间的函数表达式，并说明理由： (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm,求此时碗的数量最多为多少个？ 9.(2024呼伦贝尔兴安盟·中考真题)某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两 种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/仟克） 售价（元千克) 甲 22 5/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 乙 b 25 该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705 元 1)求a,b的值： (②)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不 大于120千克.实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售.求超市当天销 售完这两种水果获得的利润y(元)与购进甲种水果的数量x(千克)之间的函数关系式（写出自变量x 的取值范围)，并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润. 10.(2024赤峰中考真题)一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，己知乙队平均每天 修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复 90千米公路所需要的时间相等. ()求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米： (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天 的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 考点3反比例函数 1. (2026内蒙古·中考真题)已知压力F(单位：N)一定时，压强p(单位：Pa)与受力面积S(单位： m)之间的西数关系式为D号当S=0.3m时，p=180Pa,则压强p关于受方面积S的证数图象正确 的是() A p/Pa A p/Pa 900 900 A. 00.6 S/m2 B. 00.6 6/25 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 p/Pa p/Pa 1000- 900 C. 00.6 S/m2 D. 00.5 S/m2 3 2(2025内蒙古中考真题)己知点A(m,y),B(m+1,y2)都在反比例函数y=-x的图象上，则下列结论 “定正确的是() A.当>5 B.片<为 C.当m<0时 yi<y2 时， D.当m<-时，为<乃 3.(2024通辽中考真题)如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点 E在双曲线'=依为常数，k>0)上，将正六边形ABCDEF向上平移5个单位长度，点D恰好落在双曲 线上，则k的值为() y= k(k>0) 0 A.45 B.3V5 c.25 D.3 4(2024包头中考真激)若反比例函数%-至，⅓= x,当1≤x≤3时，函数y的最大值是a,函数与的 最大值是b,则a=一 5(2024呼伦贝尔兴安盟：中考真愿)如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为50，(2,6)）， 过点B作BC∥x轴交y轴于点C,点D为线段AB上的一点，且BD=2AD:反比例函数'=K>0)的图 象经过点D交线段BC于点E,则四边形ODBE的面积是 7/25 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 瓦B 6.(2024赤峰中考真题)在平面直角坐标系中，对于点 M(x, ,给出如下定义：当点 N(x2,y2 ，满足 x+=乃+”时，称点N是点M的等和点。 (1)已知点 L3),在X42）,NB-),0-2列中，是点M等和点的有一： (2)若 M(B-2)的等和点N在直线'=x+b上，求D的值； 6)已知，双曲线片=x和直线为=x-2,满足y<乃的x取值范围是x>4或-2<x<0:若点p在双曲线 k 乃=上，点p的等和点Q在直线片=x-2上，求点p的坐标. 7(2024呼市中考真题)如图，在平面直角坐标系中，一次函数”=+b(k≠0) 的图象与x轴、y轴分别 交于(-2,0)B(0,1)】 两点 y 6 5 3 2 A 分 -8-7-6-5-4-32-1 012345678x 2 3 -4 -5 6 8 8/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求一次函数的解析式： ,2 (2)已知变量的对应关系如下表已知值呈现的对应规律. -3 -2 1 4 2 … 4 4 y2 -4 -8 3 4 3 1 … y2 写出 与x的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象： (3)一次函数的图象与函数的图象相交于C,D两点（点C在点D的左侧），点C关于坐标原点的对 称点为点B点P是第一象限内函数”图象上的一点，且点P位于点D的左侧，连接PC,PE,CE.若 △PCE的面积为15，求点P的坐标. 考点04二次函数 1. (2026内蒙古中考真题)二次函数y=x-9的图象与X轴交于A,B两点，则线段AB的长是() A.3 B.6 C.9 D.18 2(2024包头中考真题)将抛物线'=？+2 向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（) A.y=(x+-3B.y=(+y-2c.y=(x-旷-3D.y=(x--2 3.(2024呼市中考真题)在同一平面直角坐标系中，函数y=m-b口≠0)和y=(c≠0)的图象大致如 y=ax2+bx+c(a≠0) 图所示，则函数 的图象大致为() 9/25 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 … 的顶点Λ，C在抛物线"=一+4上，点D在'轴上.若 ABCD 4.(2024赤峰中考真题)如图，正方形 AC两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),下列结论正确的是() A A.m+n=1 B.m-n=1 C.mn=1 ≥1 D.n 5.(2024呼市·中考真题)下列说法中，正确的个数有() ①二次函数'=r+bx+c(a>0 的图象经过(2).(4) 两点，心，n是关于x的元二次方程 ax2+bx+c-k=0(0<k<1) 的两个实数根，且m<”,则4<m<n<2恒成立. ②在半径为r的⊙0中，弦AB,CD互相垂直于点P,当OP=m时，则AB+CD2=8r2-4m2. ③△ABC为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且∠1BC=90°，点A的坐标为， ),点B的坐标为 0,5) 点C是反比例西数y≠0)的图象上一点，则k=士30 x 2-2(a+1)x+a2-1=0 ④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程 的两个实数根，且矩形的周长 4V6 值与面积值相等，则矩形的对角线长是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(2024·通辽·中考真题)关于抛物 y=2-2m+m+m-4(m是常数)，下列结论正确的是 (填写所有正确结论的序号)· ①当m=0时，抛物线的对称轴是y轴； ②若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m=-4: ③若点4(m-2,）,B(m+)在抛物线上，则<为， ④无论”为何值，抛物线的顶点到直线 =x 的距离都等于22 7.(2026内蒙古中考真题)综合与实践 下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务 项目 为学校操场主席台遮阳棚设置灯带 名称 如图是某学校操场上坐南朝北的主 席台，由地台（长方体）、四根立 柱、遮阳棚组成.从侧面看，遮阳 棚由两条抛物线形线条组成，从正 问题 面看，上方有一矩形，其一边与地 面丽围 情境 台的长度相同.项目式学习小组想 为该矩形四周设置灯带，测量了地 台的长度，在测量矩形另一边的长 度时遇到了困难，需要解决. 查找图纸：立柱ED=5m,FG=7m, 两根立柱ED与FG之间的距离 太阳光线，N DG=8m.点F是过点E,N的抛物线 收集 的最高点，地台高AB=1m,立柱FG 信息 D 到地台前边缘的距离AG=2m HinmgimmmmmC 查阅资料：小组通过查阅资料知道本地 春分日正午太阳光线与地面夹角的度数 为49°. 11/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 实地测量：在太阳光下遮阳棚顶M点的 影子落在操场上的H点处，测得影长 HB=7.5m. 说明：①测量时间为春分日正午： ②点A,B,C,D,E,F,G,H, M,N在同一竖直平面内；点M,N, A,B在同一竖直方向上，点H,B,C 抽象 太阳光线行 F 在同一水平线上： 模型 ③各组选取不同的点作为坐标原点建立 H 平面直角坐标系解决问题.如图为“智 慧”小组以点D为原点，AD所在直线 为X轴，DE所在直线为y轴建立的平面 直角坐标系， (1)任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点E,F,N的抛物线的函数表达式： (②)任务二：请你求出矩形另一边MN的长度， (参考数据：sin49°≈0.75，cos49°0.66，tan49°≈1.15) 8.(2025内蒙古中考真题)问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示. 保温二 温度健康节能少 加热 口〔调节抑菌休眼眠 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外无形由上方的抛物线一，中同的矩形4BCD 下方的抛物线组成. 抛物线的高度为8cm,矩形1BCD的边1B=8&cm,BC=6cm,抛物线一的高度为4cm 在装置内部安 装矩形电子显示屏EFGH,点B,F在抛物线上，点，G在物线二上 12125 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H G 个 8cm 6cm BY 问题解决： 4cm 8cm-> 图1 如图2，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为'轴. 建立平面直角坐标系.请结合外形参数，完成以下任务： ⊙ 图2 (I)直接写出B,C,D三点的坐标： ②直接写出抛物线二和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式， L 3)为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为l5cm,求此时EF边的长， 9(2024呼市中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线'=r-2r-4经过点m） 1)若m=1,则b= 通过配方可以将其化成顶点式为. ②)已知点，少( 在抛物线上，其中<.若m>0且2+2%≤5，比较”与的大小关系，并 说明理由： 3)若6=0：将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线y=:+ 交于A,B两点，直线与y轴交于 点C,点为4C中点，过点B作x轴的菲线，垂足为点R,连接仁，CF,求证：CF-号CE 13125 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.(2024赤峰中考真题)如图，是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进 行了深入研究，下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出 后落入水池.以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平 面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测量和调查 得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决。 个米 y/米 A B 0 D Ex/米 0 /米 图1 图2 (1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为8米，点C到点B的水平距离为3 米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为一： (2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE=12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE 不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称. ①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式： ②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）： (③)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固，如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距 地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN,另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM.现在需要在水滑 道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在 钢架MN上，另一端固定在地面上，请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）· 山.(2024包头中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线”=-2x+r+C与轴相交 A1,0）B 两点（点A在点B左侧），顶点为M(2,d ,连接AM」 14125 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M A B M' 图1 图2 (1)求该抛物线的函数表达式： 1 0, 2)如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接AC,CM.当点C的坐标为2)时，求证：∠ACM=∠BAM: (3)如图2，连接BM,将△ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M'处，过点B的直线与线段 BD 8 AM相交于点D,与y轴负半轴相交于点E·当DE-7时，3SABD与2SAw0是否相等？请说明理由. 12,（2024呼伦贝尔兴安盟中考真腰)如图，在平面直角坐标系中，二次函数'=+r+ca≠0)， 的图像 A(4,0) 经过原点和点 经过点A的直线与该=次两数图家交于点)，与箱交于点C。 (1)求二次函数的解析式及点C的坐标： (②)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PELx轴于点E,与直线AB 交于点D,设点P的横坐标为m. ①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点P,使得△BPD与△AOC相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由. 3 13.(2024通辽中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+3与x轴，y轴分别交于点C,D, 2 抛物线=-2+为带数)经过点D且交辅于A8两点。 15/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 V=- 2t43 3 y= (-2)2+k 4 (1)求抛物线表示的函数解析式： (②)若点P为抛物线的顶点，连接AD,DP,CP.求四边形ACPD的面积. 年模拟练测园 点燃 1.(2026呼和浩特·二模)氢气在氧气中燃烧生成水：2H2+022H,0, 实验测得：在完全反应的情况 c 下，参加反应的氢气质量y(单位：g)与生成水的质量x(单位：g)成正比例关系.当生成水18g时，消 耗氢气2g,若要生成水45g,需要消耗氢气() A.2g B.5g C.18g D.45g 2.(2026赤峰一模)在平面直角坐标系中，将直线y=kx+2(k≠0)向右平移6个单位或向下平移4个单 位可得到同一条直线，则直线y=kx+2经过的点可以是() A.6,6 B. 层0 D.3,1 3.(2026巴彦淖尔一模)已知：一次函数y1=k1X+b与反比例函数y2=二在一、三象限的交点为 X m1,n和(m,n,)且(m1<m,在下列结论中正确的是（） A.当x<m1时，y1>y2 B.当X>m1时，-y1>y2 C.当<m2时，y1<y2 D.当x>m2时，y1>y2 4.(2026锡林郭勒一模)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位： 2)是反比例函数关系，它的图象如图所示.下列说法正确的是() 16125 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AIA 0 4 R/S A.函数解析式为1=13 B.蓄电池的电压是18V C.当I≤10A时，R≥3.62 D.当R=62时，I=4A 5.(2026呼和浩特·二模)某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学 校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描 述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩 优秀人数最多的是() 甲 乙 丙 、 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 6.(2026呼和浩特一模)若点A(-3,a),B(-1,b,C(2,c都在反比例函数y=kk<0的图象上， 则a,b,c的大小关系用“<”连接的结果为() A.b<a<c B.c<b<a C.a<b<c D.c<a<b 7。(2026锡林郭勒一模)在平面直角坐标系中，两点AX1,y小、BX,y,在抛物线 y=ax2-4ax+bla>0上，则下列结论中正确的是() A.若X1+x2>4,且X1<X2,则y1>y2B.若X1<x2<2,则y1<y2 C.若x1<2<x2,且y1y2<0,则b<0D.若x1>x2>2,则y1>y2 17/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(2026包头一模)如图，点Pa,2和点A在反比例函数y=k(x<0)的图象上，连接OP,AP.若 OP=AP,且∠OPA=90°，则k的值为 0 9.(2026通辽一模)验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，y关于 x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.4米调整到0.5米，则近视眼镜 的度数减少了 度 y/度A 500 00.2 米 10.(2026赤峰一模)如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数y=k(x<0)的图象上，点D在y X 轴上，点B,C在x轴上，AB与y轴交于点E,连接CE.若BC=2OB,S△oBE=1,则k的值为 D E OBC 11.(2026巴彦淖尔一模)蒙古族皮艺画与牛角雕是内蒙古特色非遗工艺品，某特产专卖店售卖这两种 工艺品.已知售出2件皮艺画和1件牛角雕共收入900元，售出1件皮艺画和2件牛角雕共收入 1200元. (1)求每件皮艺画、每件牛角雕的售价. (2)为满足市场需求，该专卖店计划购进这两种工艺品共60件，且购进牛角雕的数量不超过皮艺画数量的 半.若每件皮艺画进价为100元，每件牛角雕进价为300元，请给出获利最大的进货方案，并求出最大 利润. 18125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2026通辽一模)某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y (件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系：y=-2x+160,且规定商品的单价不能低于成本价， 但不高于50元. (1)销售单价为多少元时，每天能获得800元的利润； (2)若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为多少元？最大利润为多少元？ 13.(2026包头一模)如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=4x-ax刻 画，斜坡OC可以用一次函数y=2X刻画，其中x(米)为小球抛出的水平距离，y(米)为小球抛出的高 度（即小球到x轴的距离），小球上升过程中，当高度为6米时，小球的水平距离为2米 /米 x/米 (1)求这个二次函数的表达式和小球到达的最大高度； (2)小球的落点是A,求点A的坐标： 3)若在斜坡OC上距O点水平距离6米的位置设置一个高2米的竖直挡板，判断小球能否越过该挡板，并 说明理由、 14.(2026通辽一模)问题背景某校劳动基地蔬菜大棚由抛物线AEB和“矩形”ABCD构成，抛物 线最高点E到地面CD的距离为7米，其横截面如图1所示，并建立平面直角坐标系，已知CD=12米， BC=3米. M 图1 图2 建立建模(1)求抛物线的解析式； 问题解决 (2)冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，如图1，准备在大棚抛物线上安装矩形“脚手架”（即三根 支架，其中QP,NM垂直地面，PN平行地面)，求“脚手架”的最大长度； (3)如图2，在蔬菜大棚上安装照明灯，要求照明灯到地面的垂直距离为4米，每两个相邻照明灯之间的 19/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 水平距离相等且不超过1米，左右外侧的两个照明灯安装在抛物线上，如图2所示，直接写出至少需要安装 照明灯的个数 15.(2026·锡林郭勒一模)洒水车是城市绿化的主力军.如图1，洒水车浇水时喷出水的轨迹可以近似为 抛物线.数学兴趣小组成员为了解洒水车要如何控制才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带，通过建立数学 模型进行探索， 如图2，建立平面直角坐标系，喷水口H离地面竖直高度h为1.2米.可以把洒水车喷出的上、下边缘抽象 为两条抛物线的部分图象.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米，喷出水的最大射程OC为6 米.把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=1.5米.竖直高度EF=0.7米，洒水车与绿化带 之间的距离就可以用线段OD的长来表示.小组成员通过进一步分析发现：喷头喷出的水流的下边缘抛物 线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 喷水口 BD 图1 图2 【问题解决】 (1)直接写出点C,H的坐标： (2)求上边缘抛物线的函数解析式，下边缘抛物线的解析式及与X轴交点B的坐标； 3)若要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（即矩形DEFG位于上边缘抛物线和下边缘抛物线所 夹区域内)，求OD的取值范围 16. (2026呼和浩特·二模)综合与实践 设计自由式小轮车的训练场地 图1是某极限运动公园 的自由式小轮车训练基 问题 地，数学探究小组计划 背景 以此为参考，为其他训 图1 练基地进行场地设计. 20125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图2是数学探究小组设 计的自由式小轮车部分 训练场地的示意图，从 左向右依次为水平跳台 AB段，抛物线L1中 BOC段，水平跳台CD 段，抛物线L2中DEF 建立 段，抛物线L2由抛物 模型 线L1水平向右平移得 到，以及最终的减速停 止区.以抛物线L的 顶点为坐标原点O,平 行于地面的直线为x AB 4 G 轴，垂直于地面的直线 人 2 为y轴，建立如图所示 E 2Fy 的平面直角坐标系. -6-5-4-3-2-1912345678x 根据实际需求，设计水 图2 平跳台AB段的高度为 4米，过渡点B与y轴 水平距离为4米，过渡 点C与y轴水平距离为 3米，CD长为0.25 数模 米.若骑行者从B点进 实测 入坡道BOC段，然后 从C点跳跃，在最高 点G做空中转体等表 演动作，最后从E点降 落进入坡道DEF段， 整个空中运动轨迹是抛 21/25 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 物线L3中CGE段，抛 物线L3的对称轴为直 7 线x=2B点与C点 的水平距离为1.25 米. ①从看到障碍物到捏下刹车需要反应时间，这是任何人不可避免的反应延迟， 反应时间内小轮车保持原速，这段距离为反应距离.刹车生效后，小轮车减速 拓展 至停止，这段距离为制动距离.安全距离等于反应距离加制动距离。 资料 ②当物体做匀减速直线运动时，末速度v,初速度Vo,加速度α，与位移s(从 起点指向终点的有向线段的长度)满足关系式V-V=-2as 问题解决： (1)求抛物线L1的解析式： (2)直接写出点C,点E的坐标： (3)若骑行者在最高点G处做空中转体等表演动作，求最高点G与跳台CD的垂直距离： (4)若骑行者从过渡点F进入减速停止区时的速度为6m/s,并在此时考虑减速，反应时间0.5s,之后以 α=8m/s的加速度做匀减速直线运动，请计算该训练场地应至少设计多长的安全距离 17.(2026呼和浩特·一模)某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其 内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道.以下为该小组研究报告的部分记录，请认真 阅读，解决问题， 图1 发 现 涉水线设置 限高架设置 问 22/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题 确 花 目 标 数 隧道入▣ 学 隧道 《限高架 抽 侧面 涉水线处 一斜坡 象 图2 图3 绘 制 图3为隧道横截面示意图，由 隧道及斜坡的侧面示意图可近似 抛物线的一部分ACB和矩形 图 如图2所示. ADEB的三边构成. 形 信 息 车辆进入隧道，应在行驶车道 收 当隧道内积水的水深为0.27米时 内通行（禁止压线），且必须 集 (即积水达到涉水线处)，车辆 保证车辆顶部与隧道顶部 资 应避免通行 ACB在竖直方向的空隙不小 料 于0.3米. 整 理 实 隧道的最高点C到地面DE距 地 离为5.4米，两侧墙面高 杀 斜坡的坡角c为10°，并查得 AD=BE=3米，地面跨度 察 sin10°≈0.174，cos10°≈0.985 DE=10米.车辆行驶方向的 数 ,tan10°≈0.176. 右侧车道线（宽度忽略不计） 据 与墙面的距离为1米. 采 23125 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 集 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离MN(精确到0.01米)： (2)在图3中画出以点C的水平方向建立x轴，过点C的竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线 ACB的解析式： 3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到0.1米）. 18.(2026·赤峰·一模)春暖花开，正是放风筝的好时候.某数学兴趣小组开展了特色实践活动，设计并 制作外形为抛物线型的风筝. 活动 设计一个外形为抛物线型的风筝 主题 活动 竹条，专业伞布以及其他的制作工具 准备 C A 用竹条设计制作一个“十”字形支架，如 步骤 图1，CD垂直平分AB,垂足为E, 1 AB=4,CD=8,CE=1. D 图1 以点D为原点，以CD所在的直线为y轴建 立如图2所示的平面直角坐标系，确定过 步骤 点A、B、C三点的抛物线的表达式，画 2 出图形，用伞布剪出抛物线型伞面，并用 B 材料对外轮廓进行定型： 为使风筝结构更加稳固，同时兼具对称 美，用竹条构造三角形结构，连接AC、 D 步骤 BC,同时构造另一个△FGH,使得点F 图2 3 G在抛物线上，且△FGH与△ABC位 似，位似比为2：1，位似中心在直线CD 上； 24/25 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 根据以上材料，解决下列问题： (1)求出图2中过A、B、C三点的抛物线的表达式： (2)请求出图2中所有满足条件的点H的坐标. 25/25