专题08 统计与概率（3年汇编）（内蒙古专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 统计与概率专题汇编，含内蒙古5年中考真题及模拟题，覆盖调查方式、数据代表、统计图表、概率计算等核心考点，注重真实情境应用与数据分析能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|9题/27分|统计基础概念（样本容量、普查与抽样）、概率事件分类|结合AI产品评分、防沙治沙等时代情境，概念辨析突出易错点| |填空|1题/3分|概率公式应用|单词字母抽取等生活化素材，考查基础计算| |解答|8题/50分|统计图表补全与分析（频数分布表、扇形图）、用样本估计总体、列表/树状图求概率|双图表组合题占比高，如视力调查、志愿者服务数据，强调数据解读与决策建议|

专题08 统计与概率 5年真题1年模拟·答案版 考点01 统计 1．C 2．D 3．D 4．D 5．D 6． 【答案】(1)A款评分的众数为，中位数为；B款评分的众数为，中位数为；A款产品的信息识别准确度更高； (2)建议公司选择B款产品． 【知识点】求众数、运用加权平均数做决策、求加权平均数、运用众数做决策、求中位数、运用中位数做决策 【分析】（1）先对A、B两款产品的评分从小到大排序，根据众数和中位数的定义得到对应结果，再比较即可判断哪款产品的信息识别准确度更高； （2）根据给定的权重比计算两款产品的加权平均分，比较得分大小后即可给出合理的选择建议． 【详解】（1）解：将A款产品“信息识别准确度”的评分从小到大排序为：，，，，， 因为数据中出现次数最多， 因此A款评分的众数为， 共个数据，排在中间的是第个数据，为， 因此A款评分的中位数为； 将B款产品“信息识别准确度”的评分从小到大排序为：，，，，， 因为数据中出现次数最多， 因此B款评分的众数为， 共个数据，排在中间的是第个数据，为， 因此B款评分的中位数为； 所以两款的众数相同，A款评分的中位数和高于B款， 因此A款产品的信息识别准确度更高； （2）解：根据权重比计算两款产品的最终得分： A产品最终得分：， B产品最终得分：， ∵，B产品的最终得分更高， ∴建议公司选择B款产品． 7. 【详解】（1）解：∵随机抽取了40名学生， ∴中位数为第名学生的视力的平均数， 由频数分布表可得第名学生在组， ∴这40名学生视力的中位数落在组； （2）解：①由题意得，（人） 答：500名八年级学生的视力在范围内有200人； ②因为， 所以今年学生视力在范围内的人数相比去年减少， 建议：①读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；②保证充足的睡眠，饮食均衡；③减少电子产品的使用（合理即可）． 8. 【详解】解：（1）整理数据可得：有：60、61、62、63、64、66、65、67； ∴； 的有：94、94、93、91、92、92、91、93、90、90、 ∴； 补全图形如下： ； （2）由， ∴； 所对应的扇形的圆心角度数是； （3）若成绩不低于90分为优秀，估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的有（人）； 9. 【详解】（1）解：本次测试的总人数为：（人）， 成绩为优秀的人数为：40人， 则优秀率为：； （2）解：第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，中位数为228， 则， 答：乙同学的测试成绩是； （3）解：本校测试成绩的平均数为222.5，本校所在区县测试成绩平均数为218.7， 本校测试成绩的优秀率为，本校所在区县测试成绩优秀率为， ， 从平均数角度看，该校九年级全体男生立定跳远的平均成绩高于区县水平，整体水平较好； 从优秀率角度看，该校九年级全体男生立定跳远成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成绩的优秀率低于区县水平； 10. 【详解】（1）解：本次调查的学生共有人， “文明宣传”的人数有人， 补图如下： 故答案为：200； （2）解：， ∴“敬老服务”对应的圆心角的度数是， （3）解：， ∴估计参加“文明宣传”项目的学生人数为360人． 11. 【详解】（1）解：认为更合理的方案是②，因为抽样调查应具有广泛性和可靠性. 从检查结果的数据可知视力为的人数有5人，视力为的人数有9人， 故， 故答案为∶ ②5，9． （2）解：样本的平均数为： （3）解：∵一共有42名学生，且第21位和22位的数据为：4.6和4.7， ∴中位数为：， ∵小明同学右眼视力为4.5，且 ∴小明同学右眼视力在九年级全体学生中属于视力较弱偏下游．接近中位数． （4）解：， 故该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数有420人． 考点02 概率  1．D 2．D 3．C 4. 5. 6. 【详解】（1）解：将这五张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，抽取牌面数字是4的概率为：； （2）解：画树状图，如下， 共有20种等可能事件，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数有12种， 所以抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率为． 7. 【详解】（1）解：根据收集的数据知；； 出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则； 故答案为：5；2；75； （2）解：∵由统计图可知中位数为78分， ∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分， 如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分， 因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大， 可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标． 故答案为：78；80； （3）解：画树状图表示所有等可能结果如图所示， 共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种， ∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为， 答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为． 1．D 2．D 3． 4． 【答案】(1)乙的平均得分更高，发挥更稳定，整体表现优于甲； (2) 解：推荐乙参赛，理由如下： 近五年获奖分数线的平均数：（分） ∵乙的平均数高于获奖分数线的平均数，甲的平均数低于获奖分数线的平均数，且乙的方差远小于甲，得分更稳定，出现低分的概率更低，更能确保达到获奖分数线， ∴推荐乙参赛； (3) 解：选甲更合适，理由如下： 观察甲乙两人的得分，甲的最高得分为95分，高于乙的最高得分91分，甲有多次高于90分的得分，得分上限更高，说明甲有更大的提升空间和发展潜能，因此从发展潜能的角度考虑，选甲参加高级甜点制作培训更合适． 【知识点】利用平均数做决策、求一组数据的平均数、利用合适的统计量做决策、运用方差做决策 【分析】（1）根据平均数和方差的大小，比较甲乙两人的表现； （2）先计算获奖分数线的平均数，再结合甲乙的平均水平和稳定性，推荐能确保获奖的选手； （3）从得分上限和提升空间的角度，分析选择发展潜能更大的选手． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴乙的平均得分高于甲，得分波动更小，发挥更稳定，乙的季度技能考核整体表现优于甲； （2）略 （3）略 5． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)现状见解析；建议见解析 【分析】（）根据类人数人、占比，先算出总人数为名，再用占比乘，求出类对应圆心角为； （）用总人数乘类占比，算出类人数为人，在条形图中补画对应高度的条形，完成统计图补全； （）通过类人数算出达标学生占比，分析出多数学生锻炼时长未达标的现状，再从学校和学生层面提出加强体育锻炼的建议． 【详解】（1）解：已知类人数为人，占总人数的， ∴总人数为：(名)， 类对应圆心角为：． （2）解：类占总人数的， 因此类人数为：， 在条形统计图的类位置，补画高度为的条形即可． （3）解：现状：本次调查中，仅的学生每天锻炼时长达到小时及以上，超过七成的学生锻炼时长未达到要求，整体体育锻炼时间不足； 建议： 学校可增加体育课时，丰富课间体育活动，布置课外体育作业；学生应提高对体育锻炼的重视，主动保证每日锻炼时间． (建议合理即可) 6． 【答案】(1) (2)人 (3)A组男生长跑成绩更好．一定程度上肺活量与长跑成绩之间成反比例，一定程度上肺活量越高，长跑成绩越好；建议见解析． 【详解】（1）解：抽取的10名男生肺活量数据按从大到小排列，第名，第名， ∴抽取的10名男生肺活量数据的中位数为． （2）解：女生800米跑成绩在以内，通常可认定为合格． 由统计图可得抽取的10名女生800米跑成绩合格的有人， ∴该校八年级共有300名女生，估计其中800米跑成绩合格的女生人数为人； （3）解：∵分别计算出两组男生的1000米跑平均成绩为：A组；B组， ∴A组男生长跑成绩更好． 根据统计图表可以发现一定程度上肺活量与长跑成绩之间成反比例，一定程度上肺活量越高，长跑成绩越好； 为提高八年级学生的长跑成绩，建议多安排时间进行长跑训练，也可以通过各种动作训练肺活量． 7． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了条形统计图、统计表，求中位数与众数，画树状图求概率． 由统计表可知，型机器人每天分拣快递数量的众数是，把型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列，其中第名和第名都是万件，所以型机器人分拣快递数量的中位数是； 根据型号机器人分拣快递的平均数高于型机器人，建议购买型机器人； 画树状图，由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，所以抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率是． 【详解】（1）解：由统计表可知，型机器人每天分拣快递数量的众数是， 由条形统计图可知， 型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列为：、、、、、、、、、， 其中第名和第名都是万件， 型机器人分拣快递数量的中位数是， 故答案为：，； （2）解：合理化建议： 型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人． （3）解：画树状图如下图所示， 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种， （抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 统计与概率 5年真题1年模拟 考点分类 内蒙古考情（2024-2026） 命题规律 统计基础概念：调查方式、样本、样本容量 客观小题高频考点，各地市几乎隔年考查；分值 3 分；以选择题为主。 多为概念辨析，易错点：样本容量不带单位；区分普查与抽样调查；判断样本是否具有代表性。 数据代表：平均数、加权平均数、中位数、众数、方差 统计大题必考内容，也可单独出选择填空；分值 3~6 分；包头、呼市、兴安盟都常考方差。 结合一组数据计算统计量；方差用来判断数据稳定性；常要求根据中位数、平均数对数据进行评价。 统计图表：条形图、扇形图、频数分布表，补全图表、计算圆心角 统计解答题核心考点，固定必考大题，7~10 分，所有地市高频考查。 题干给出双图表组合，需要从两个图提取信息；计算频数、频率、扇形圆心角；补全统计图；设问稳定。 用样本估计总体 依附统计大题，作为其中一问，极少单独出题。 利用样本占比估算总体数量；常和统计图表结合，属于基础计算类设问。 概率：事件分类、概率公式、列表法 / 树状图 以选择填空为主（3 分），部分地市解答题考查列表树状图；统计与概率一般分开出题。 依托真实生活情境；区分放回与不放回试验；简单概率小题为主；大题考查列举法求概率，难度不高。 考点01 统计 1.（2024·通辽·中考真题）在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高（单位：）如下： 170　　175　　169　　171　　172　　170　　173 这组数据的中位数是（    ） A．175 B．172 C．171 D．170 【答案】C 【详解】解：将这组数据从小到大排列为169、170、170、171、172、173、175， 所以这组数据的中位数为171． 故选：C． 2.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件 B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查． C．一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4 D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐 【答案】D 【详解】A．任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，故原说法错误； B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜抽样调查．故原说法错误； C．一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是5，故原说法错误 D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐，故正确， 故选：D． 3.（2024·赤峰·中考真题）在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（　　） A．为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50 B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D．甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲 【答案】D 【详解】解：A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，说法正确，本选项不符合题意； B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，说法正确，本选项不符合题意； C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，说法正确，本选项不符合题意； D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是乙，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 4.（2024·呼市·中考真题）为了解某小区居民的家庭月平均用水量的情况，物业公司从该小区1500户家庭中随机抽取150户家庭进行调查，统计了他们的月平均用水量，将收集的数据整理成如下的统计图表： 月平均用水量x（吨） 频数 15 a 32 40 33 总计 150 根据统计图表得出以下四个结论，其中正确的是（    ） A．本次调查的样本容量是1500 B．这150户家庭中月平均用水量为的家庭所占比例是 C．在扇形统计图中，月平均用水量为的家庭所对应圆心角的度数是 D．若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，则这150户家庭月平均用水量的众数是12 【答案】D 【详解】解：本次调查的样本容量是150，故A不正确； ，故B不正确； 96°，故C不正确； 以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，组的实际数据为12，这组的数量最多为40户，所以12是这组数据的众数，即这150户家庭月平均用水量的众数是12，故D正确． 故选：D． 5.（2024·赤峰·中考真题）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（　　） 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 39 41 33 40 47 A．120 B．200 C．6960 D．9600 【答案】D 【详解】解：， ∴视力不低于4.8的人数是9600， 故选：D． 6．（2026·内蒙古·中考真题）AI技术的广泛应用，为各行各业带来了前所未有的变革．某公司要从A，B两款AI产品中选择一款进行本地部署，聘请五位专家对这两款产品从“信息处理速度”“信息识别准确度”“功能丰富程度”三个维度分别评分（每个维度满分100分）． 其中，五位专家对“信息识别准确度”评分情况为： A款产品：73，70，70，75，77； B款产品：70，69，70，75，76． 对每款产品每个维度评分的平均值作为该维度的得分，整理得到下表： 产品 维度及得分 信息处理速度 信息识别准确度 功能丰富程度 A 78 73 86 B 82 72 85 请根据以上信息，解答下列问题： (1)请写出五位专家对A，B两款产品的“信息识别准确度”评分的众数和中位数，并以此判断哪款产品的信息识别准确度更高； (2)如果公司将“信息处理速度”“信息识别准确度”“功能丰富程度”三个维度的得分按的比例计算两款产品的加权平均数作为最终得分．请你以此为依据为公司选择产品提出合理建议，并说明理由． 【答案】(1)A款评分的众数为，中位数为；B款评分的众数为，中位数为；A款产品的信息识别准确度更高； (2)建议公司选择B款产品． 【知识点】求众数、运用加权平均数做决策、求加权平均数、运用众数做决策、求中位数、运用中位数做决策 【分析】（1）先对A、B两款产品的评分从小到大排序，根据众数和中位数的定义得到对应结果，再比较即可判断哪款产品的信息识别准确度更高； （2）根据给定的权重比计算两款产品的加权平均分，比较得分大小后即可给出合理的选择建议． 【详解】（1）解：将A款产品“信息识别准确度”的评分从小到大排序为：，，，，， 因为数据中出现次数最多， 因此A款评分的众数为， 共个数据，排在中间的是第个数据，为， 因此A款评分的中位数为； 将B款产品“信息识别准确度”的评分从小到大排序为：，，，，， 因为数据中出现次数最多， 因此B款评分的众数为， 共个数据，排在中间的是第个数据，为， 因此B款评分的中位数为； 所以两款的众数相同，A款评分的中位数和高于B款， 因此A款产品的信息识别准确度更高； （2）解：根据权重比计算两款产品的最终得分： A产品最终得分：， B产品最终得分：， ∵，B产品的最终得分更高， ∴建议公司选择B款产品． 7.（2025·内蒙古·中考真题）每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 请根据所给信息，解答下列问题： (1)这40名学生视力的中位数落在哪个组内? (2)该校八年级共有500名学生． ①根据上表数据，请估计这500名八年级学生的视力在范围内的人数； ②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数为263人．如果你是该校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议． 【详解】（1）解：∵随机抽取了40名学生， ∴中位数为第名学生的视力的平均数， 由频数分布表可得第名学生在组， ∴这40名学生视力的中位数落在组； （2）解：①由题意得，（人） 答：500名八年级学生的视力在范围内有200人； ②因为， 所以今年学生视力在范围内的人数相比去年减少， 建议：①读书时，坐姿要端正，不要在光线不好的地方看书；②保证充足的睡眠，饮食均衡；③减少电子产品的使用（合理即可）． 8.（2024·通辽·中考真题）为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机扎取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本． 【收集数据】 调查研究小组收集到50名学生的测试成绩： 60 61 62 94 73 73 85 85 87 72 63 64 70 66 74 65 67 75 76 71 94 93 84 91 76 82 83 83 92 84 80 80 82 92 91 86 77 86 88 72 70 71 93 90 81 90 74 78 81 75 【整理描述数据】 通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图： 组别 成绩分组 频数 16 16 （1）频数分布表中________，________，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中________，所对应的扇形的圆心角度数是________． 【应用数据】 （3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数． 【详解】解：（1）整理数据可得：有：60、61、62、63、64、66、65、67； ∴； 的有：94、94、93、91、92、92、91、93、90、90、 ∴； 补全图形如下： ； （2）由， ∴； 所对应的扇形的圆心角度数是； （3）若成绩不低于90分为优秀，估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的有（人）； 9.（2024·包头·中考真题）《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（），良好（），及格（），不及格（），其中表示测试成绩（单位：）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下： a．本校测试成绩频数（人数）分布表： 等级 优秀 良好 及格 不及格 频数（人数） 40 70 60 30 b．本校测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 222.5 228 c．本校所在区县测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 218.7 223 请根据所给信息，解答下列问题： (1)求出的值； (2)本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？ (3)请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议． 【详解】（1）解：本次测试的总人数为：（人）， 成绩为优秀的人数为：40人， 则优秀率为：； （2）解：第100名、第101名成绩的平均值为该校本次测试成绩的中位数，中位数为228， 则， 答：乙同学的测试成绩是； （3）解：本校测试成绩的平均数为222.5，本校所在区县测试成绩平均数为218.7， 本校测试成绩的优秀率为，本校所在区县测试成绩优秀率为， ， 从平均数角度看，该校九年级全体男生立定跳远的平均成绩高于区县水平，整体水平较好； 从优秀率角度看，该校九年级全体男生立定跳远成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成绩的优秀率低于区县水平； 10.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角的度数； (3)该校共有2000名学生，若有的学生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数． 【详解】（1）解：本次调查的学生共有人， “文明宣传”的人数有人， 补图如下： 故答案为：200； （2）解：， ∴“敬老服务”对应的圆心角的度数是， （3）解：， ∴估计参加“文明宣传”项目的学生人数为360人． 11.（2024·呼市·中考真题）近年来，近视的青少年越来越多且年龄越来越小·研究表明：这与学生长期不正确的阅读、书写姿势和长时间使用电子产品等有很大的关系，呼和浩特市某校为了解儿年级学生右眼视力的情况，计划采用抽样调查的方式来估计该校九年级840名学生的右眼视力情况．制定以下两种抽样方案： ①从九年级的一个班级中随机抽取42名学生（九年级每个班级至少有50名学生）； ②从九年级中随机抽取42名学生． 你认为更合理的方案是_________（填“①”或“②”） 该校用合理的方案抽取了42名学生进行右眼视力检查，检查结果如下： 4.5   4.8   4.9   4.4   4.5   4.2   5.0 4.0   4.2   4.3   5.0   4.2   4.4   4.9 4.2   4.4   4.5   4.6   4.8   4.9   4.1 5.0   4.9   4.8   4.7   4.5   4.8   5.0 4.9   4.5   4.3   4.9   4.3   5.0   4.9 4.8   4.9   5.0   4.1   4.9   4.3   4.2 整理上面的数据得到如下表格： 右眼视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 2 5 4 3 m 1 1 5 n 6 请根据所给信息，解答下列问题： (1)_________，_________； (2)计算该样本的平均数；（结果精确到0.1，参考数据：） (3)若该校九年级小明同学右眼视力为4.5，请你用调查得到的数据中位数推测他在九年级全体学生中的右眼视力状况； (4)根据样本数据，估计该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数． 【详解】（1）解：认为更合理的方案是②，因为抽样调查应具有广泛性和可靠性. 从检查结果的数据可知视力为的人数有5人，视力为的人数有9人， 故， 故答案为∶ ②5，9． （2）解：样本的平均数为： （3）解：∵一共有42名学生，且第21位和22位的数据为：4.6和4.7， ∴中位数为：， ∵小明同学右眼视力为4.5，且 ∴小明同学右眼视力在九年级全体学生中属于视力较弱偏下游．接近中位数． （4）解：， 故该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数有420人． 考点02 概率 1．（2026·内蒙古·中考真题）阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一种防风固沙植物）万亩，成活率已经达到．下列说法正确的是（   ） A．种植10棵梭梭，一定有9棵成活 B．种植9棵梭梭，一定有1棵成活 C．种植1棵梭梭，一定不能成活 D．种植1棵梭梭，不一定能成活 【答案】D 【知识点】概率的意义理解 【分析】考查概率的意义．概率表示事件发生的可能性大小，不代表确定性结果．成活率意味着成活的可能性很大，但具体到每一次种植，结果是不确定的． 【详解】解：成活率表示在大量重复试验中，成活的可能性为，属于随机事件，并非必然事件或不可能事件 ．种植棵梭梭，不一定有棵成活，故A错误； 种植棵梭梭，成活数量不确定，故B错误； 种植棵梭梭，可能成活也可能不成活，故C错误，D正确． 2.（2024·包头·中考真题）为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为， 画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中恰好抽到同一个阅读项目的结果有4种可能， ∴他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是， 故选：D． 3.（2024·通辽·中考真题）不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，列出表格如下： 红 白1 白2 红 （红，红） （白1，红） （白2，红） 白1 （红，白1） （白1，白1） （白2，白1） 白2 （红，白2） （白1，白2） （白2，白2） 一共有9种等可能结果，其中两次都摸出白球的有4种， 所以两次都摸出白球的概率是． 故选：C 4.（2025·内蒙古·中考真题）在单词（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“”的概率是 ． 【答案】 【详解】解：单词中字母“”有2个，单词中总共有5个字母， ∴选中字母“”的概率， 故答案为：． 5.（2024·呼市·中考真题）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ． 【答案】 【详解】解：将这4张卡片记为，画出树状图如下： 由图可知，随机两次取出卡片的所有等可能的结果共有16种，其中，两次取到相同图案的卡片的结果有4种， 则两次取到相同图案的卡片的概率为， 故答案为：． 6.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，4，5，5，6． (1)将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？ (2)将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张．请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率． 【详解】（1）解：将这五张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，抽取牌面数字是4的概率为：； （2）解：画树状图，如下， 共有20种等可能事件，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数有12种， 所以抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率为． 7.（2024·赤峰·中考真题）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题 (1)表格中的______；______；______； (2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分； (3)学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 【详解】（1）解：根据收集的数据知；； 出现最多的是75分，有5人，众数为75分，则； 故答案为：5；2；75； （2）解：∵由统计图可知中位数为78分， ∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分， 如果想确定一个较高的目标，成绩目标应定为80分， 因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大， 可以估计，如果成绩目标定为80分，努力一下都能达到成绩目标． 故答案为：78；80； （3）解：画树状图表示所有等可能结果如图所示， 共有种等可能结果，A，B两名队员恰好同时被选中的情况有种， ∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为， 答：A，B两名队员恰好同时被选中的概率为． 1．（2026·赤峰·一模）化学兴趣小组的同学整理了四种常见的物质：①氧气，②二氧化碳，③铜片，④高锰酸钾溶液．从中随机抽取两种物质，则抽到的两种物质均为无色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】画树状图，共有种等可能的结果，其中抽到的两种物质均为无色的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：∵①氧气为无色，②二氧化碳为无色，③铜片为紫红色，不是无色，④高锰酸钾溶液为紫红色，不是无色， 将①氧气，②二氧化碳，③铜片，④高锰酸钾溶液分别记作、、、， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中抽到的两种物质均为无色的结果有种，即、， ∴抽到的两种物质均为无色的概率是． 2．（2026·包头·一模）随着人工智能时代的到来，某学校开设了涵盖人工智能技术的四门兴趣课程，分别为“音乐创作”“打印与虚拟仿真”“机器人编程与应用”“非遗文化数字化”，每位同学只能选择一门自己喜欢的课程，甲、乙两名同学选择同一门课程的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】画出表格，列举出甲乙两名同学选课的所有可能结果数，即可得到两人选择同一门课程的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意得，设“音乐创作”“打印与虚拟仿真”“机器人编程与应用”“非遗文化数字化”为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 由表格可得，两人选课的所有可能结果总数为16种， ∵甲乙选择同一门课程的结果共有4种， ∴． 3．（2026·锡林郭勒·一模）某校为了让学生更多的了解，计划举办手抄报展览，确定了“即梦”、“”“豆包”“星图”四个主题，若各班随机选择其中两个主题，则各班恰好选中“”与“星图”的概率是______． 【答案】 【分析】设“即梦”、“”“豆包”“星图”分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果． 各班恰好选中“”与“星图”的有2种，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：设“即梦”、“”“豆包”“星图”分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格，如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 一共有12种等可能结果． 各班恰好选中“”与“星图”的有2种， 所以各班恰好选中“”与“星图”的概率是． 故答案为： 4．（2026·包头·一模）甲、乙两人是某甜品店的烘焙师，以下是他们在季度技能考核中的甜点制作得分（满分100分）及当地近五年烘焙行业甜点制作技能大赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人季度技能考核的得分如下表所示（单位：分） 考核次数 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 82 90 85 94 87 95 86 91 乙 88 89 90 90 91 89 91 88 其中，甲、乙得分的平均数分别是，； 方差分别是，． 信息二：当地近五年烘焙行业甜点制作技能大赛获奖分数线如下表所示（单位：分） 年份 2021 2022 2023 2024 2025 获奖分数线 87 91 88 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)根据平均数与方差，综合评价甲、乙两人的季度技能考核表现； (2)结合当地近五年烘焙行业甜点制作技能大赛获奖分数线的平均数，为确保获奖，请推荐一人参赛，并写出推荐理由； (3)若要从中选择一人进行高级甜点制作培训，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】(1)乙的平均得分更高，发挥更稳定，整体表现优于甲； (2) 解：推荐乙参赛，理由如下： 近五年获奖分数线的平均数：（分） ∵乙的平均数高于获奖分数线的平均数，甲的平均数低于获奖分数线的平均数，且乙的方差远小于甲，得分更稳定，出现低分的概率更低，更能确保达到获奖分数线， ∴推荐乙参赛； (3) 解：选甲更合适，理由如下： 观察甲乙两人的得分，甲的最高得分为95分，高于乙的最高得分91分，甲有多次高于90分的得分，得分上限更高，说明甲有更大的提升空间和发展潜能，因此从发展潜能的角度考虑，选甲参加高级甜点制作培训更合适． 【知识点】利用平均数做决策、求一组数据的平均数、利用合适的统计量做决策、运用方差做决策 【分析】（1）根据平均数和方差的大小，比较甲乙两人的表现； （2）先计算获奖分数线的平均数，再结合甲乙的平均水平和稳定性，推荐能确保获奖的选手； （3）从得分上限和提升空间的角度，分析选择发展潜能更大的选手． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴乙的平均得分高于甲，得分波动更小，发挥更稳定，乙的季度技能考核整体表现优于甲； （2）略 （3）略 5．（2026·锡林郭勒·一模）《教育强国建设规划纲要》提出深入落实“健康第一”教育理念，规定中小学学生每天要有小时的体育锻炼．为了解我盟初中生每天的体育锻炼情况，现从中随机抽取部分学生分为“：每天锻炼达到小时或小时以上”、“：每天锻炼达到小时但不足小时”、“：每天锻炼达到小时但不足小时”、“：每天锻炼小时以下”四类，绘制了如下扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出）． (1)本次调查共抽取___________名学生；扇形统计图中“类”所对应的圆心角度数为___________ (2)补全条形统计图； (3)通过本次调查，请你结合四类学生的比例，分析该校学生体育锻炼的现状，针对你分析的现状提出加强学生体育锻炼的合理化建议． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)现状见解析；建议见解析 【分析】（）根据类人数人、占比，先算出总人数为名，再用占比乘，求出类对应圆心角为； （）用总人数乘类占比，算出类人数为人，在条形图中补画对应高度的条形，完成统计图补全； （）通过类人数算出达标学生占比，分析出多数学生锻炼时长未达标的现状，再从学校和学生层面提出加强体育锻炼的建议． 【详解】（1）解：已知类人数为人，占总人数的， ∴总人数为：(名)， 类对应圆心角为：． （2）解：类占总人数的， 因此类人数为：， 在条形统计图的类位置，补画高度为的条形即可． （3）解：现状：本次调查中，仅的学生每天锻炼时长达到小时及以上，超过七成的学生锻炼时长未达到要求，整体体育锻炼时间不足； 建议： 学校可增加体育课时，丰富课间体育活动，布置课外体育作业；学生应提高对体育锻炼的重视，主动保证每日锻炼时间． (建议合理即可) 6．（2026·呼和浩特·二模）场青少年的体质健康，既与其学习和生活息息相关，又与国家和民族的未来密不可分．为了提升学生的体质健康，进行学生体质健康调查与分析就必不可少．某数学活动小组为探究本校八年级学生肺活量和长跑成绩的关系，从所有八年级学生中随机抽取10名男生和10名女生，收集男生肺活量和1000米跑成绩，女生肺活量和800米跑成绩． 【整理、描述数据】 10名男生的肺活量和1000米跑成绩数据： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 肺活量/ 4000 3500 3200 3000 2800 2700 2550 2400 2250 2100 1000米跑成绩 228 235 245 255 265 280 288 295 302 310 10名女生肺活量和800米跑成绩 【分析数据】 抽取的10名男生肺活量数据的平均数为2850，中位数为a． 【应用数据】 (1)计算a的值； (2)女生800米跑成绩在285s以内，通常可认定为合格．若该校八年级共有300名女生，估计其中800米跑成绩合格的女生人数； (3)将男生按肺活量是否大于等于中位数a分为两组：A组（）和B组（）．分别计算出两组男生的1000米跑平均成绩为：A组245.6s；B组295s，请你判断哪组男生长跑成绩更好．结合本题数据，简要分析一定程度上肺活量与长跑成绩之间的关系，并为如何提高八年级学生的长跑成绩提出一条合理化建议． 【答案】(1) (2)人 (3)A组男生长跑成绩更好．一定程度上肺活量与长跑成绩之间成反比例，一定程度上肺活量越高，长跑成绩越好；建议见解析． 【详解】（1）解：抽取的10名男生肺活量数据按从大到小排列，第名，第名， ∴抽取的10名男生肺活量数据的中位数为． （2）解：女生800米跑成绩在以内，通常可认定为合格． 由统计图可得抽取的10名女生800米跑成绩合格的有人， ∴该校八年级共有300名女生，估计其中800米跑成绩合格的女生人数为人； （3）解：∵分别计算出两组男生的1000米跑平均成绩为：A组；B组， ∴A组男生长跑成绩更好． 根据统计图表可以发现一定程度上肺活量与长跑成绩之间成反比例，一定程度上肺活量越高，长跑成绩越好； 为提高八年级学生的长跑成绩，建议多安排时间进行长跑训练，也可以通过各种动作训练肺活量． 7．（2026·通辽·一模）某区域快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 机器人台数（台） 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差 A型号 和 b B型号 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中_____________，_______________； (2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． (3)若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了条形统计图、统计表，求中位数与众数，画树状图求概率． 由统计表可知，型机器人每天分拣快递数量的众数是，把型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列，其中第名和第名都是万件，所以型机器人分拣快递数量的中位数是； 根据型号机器人分拣快递的平均数高于型机器人，建议购买型机器人； 画树状图，由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，所以抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率是． 【详解】（1）解：由统计表可知，型机器人每天分拣快递数量的众数是， 由条形统计图可知， 型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列为：、、、、、、、、、， 其中第名和第名都是万件， 型机器人分拣快递数量的中位数是， 故答案为：，； （2）解：合理化建议： 型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人． （3）解：画树状图如下图所示， 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种， （抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 统计与概率 5年真题1年模拟 考点分类 内蒙古考情（2024-2026） 命题规律 统计基础概念：调查方式、样本、样本容量 客观小题高频考点，各地市几乎隔年考查；分值 3 分；以选择题为主。 多为概念辨析，易错点：样本容量不带单位；区分普查与抽样调查；判断样本是否具有代表性。 数据代表：平均数、加权平均数、中位数、众数、方差 统计大题必考内容，也可单独出选择填空；分值 3~6 分；包头、呼市、兴安盟都常考方差。 结合一组数据计算统计量；方差用来判断数据稳定性；常要求根据中位数、平均数对数据进行评价。 统计图表：条形图、扇形图、频数分布表，补全图表、计算圆心角 统计解答题核心考点，固定必考大题，7~10 分，所有地市高频考查。 题干给出双图表组合，需要从两个图提取信息；计算频数、频率、扇形圆心角；补全统计图；设问稳定。 用样本估计总体 依附统计大题，作为其中一问，极少单独出题。 利用样本占比估算总体数量；常和统计图表结合，属于基础计算类设问。 概率：事件分类、概率公式、列表法 / 树状图 以选择填空为主（3 分），部分地市解答题考查列表树状图；统计与概率一般分开出题。 依托真实生活情境；区分放回与不放回试验；简单概率小题为主；大题考查列举法求概率，难度不高。 考点01 统计 1.（2024·通辽·中考真题）在学校文艺汇演中，7名参加舞蹈表演的女生身高（单位：）如下： 170　　175　　169　　171　　172　　170　　173 这组数据的中位数是（    ） A．175 B．172 C．171 D．170 2.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）下列说法正确的是（    ） A．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件 B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜全面调查． C．一组数据2，4，6，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是4 D．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，两团女演员的身高平均数相同，方差分别为，则甲芭蕾舞团的女演员身高更整齐 3.（2024·赤峰·中考真题）在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（　　） A．为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50 B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D．甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲 4.（2024·呼市·中考真题）为了解某小区居民的家庭月平均用水量的情况，物业公司从该小区1500户家庭中随机抽取150户家庭进行调查，统计了他们的月平均用水量，将收集的数据整理成如下的统计图表： 月平均用水量x（吨） 频数 15 a 32 40 33 总计 150 根据统计图表得出以下四个结论，其中正确的是（    ） A．本次调查的样本容量是1500 B．这150户家庭中月平均用水量为的家庭所占比例是 C．在扇形统计图中，月平均用水量为的家庭所对应圆心角的度数是 D．若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，则这150户家庭月平均用水量的众数是12 5.（2024·赤峰·中考真题）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如下表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（　　） 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 39 41 33 40 47 A．120 B．200 C．6960 D．9600 6．（2026·内蒙古·中考真题）AI技术的广泛应用，为各行各业带来了前所未有的变革．某公司要从A，B两款AI产品中选择一款进行本地部署，聘请五位专家对这两款产品从“信息处理速度”“信息识别准确度”“功能丰富程度”三个维度分别评分（每个维度满分100分）． 其中，五位专家对“信息识别准确度”评分情况为： A款产品：73，70，70，75，77； B款产品：70，69，70，75，76． 对每款产品每个维度评分的平均值作为该维度的得分，整理得到下表： 产品 维度及得分 信息处理速度 信息识别准确度 功能丰富程度 A 78 73 86 B 82 72 85 请根据以上信息，解答下列问题： (1)请写出五位专家对A，B两款产品的“信息识别准确度”评分的众数和中位数，并以此判断哪款产品的信息识别准确度更高； (2)如果公司将“信息处理速度”“信息识别准确度”“功能丰富程度”三个维度的得分按的比例计算两款产品的加权平均数作为最终得分．请你以此为依据为公司选择产品提出合理建议，并说明理由． 7.（2025·内蒙古·中考真题）每年的6月6日是全国爱眼日，某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 请根据所给信息，解答下列问题： (1)这40名学生视力的中位数落在哪个组内? (2)该校八年级共有500名学生． ①根据上表数据，请估计这500名八年级学生的视力在范围内的人数； ②从去年同期这500名学生的体检结果中可知，视力在范围内的人数为263人．如果你是该校的一名学生，请说明这500名学生今年和去年视力在范围内的人数变化情况，并为学校提一条保护学生视力的合理化建议． 8.（2024·通辽·中考真题）为迎接2024年5月26日的科尔沁马拉松赛，某中学七年级提前开展了一次“马拉松”历史知识测试．七年级600名学生全部参加本次测试，调查研究小组随机扎取50名学生的测试成绩（百分制）作为一个样本． 【收集数据】 调查研究小组收集到50名学生的测试成绩： 60 61 62 94 73 73 85 85 87 72 63 64 70 66 74 65 67 75 76 71 94 93 84 91 76 82 83 83 92 84 80 80 82 92 91 86 77 86 88 72 70 71 93 90 81 90 74 78 81 75 【整理描述数据】 通过整理数据，得到以下尚不完整的频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图： 组别 成绩分组 频数 16 16 （1）频数分布表中________，________，并补全频数分布直方图； （2）扇形统计图中________，所对应的扇形的圆心角度数是________． 【应用数据】 （3）若成绩不低于90分为优秀，请你估计参加这次知识测试的七年级学生中，成绩为优秀的人数． 9.（2024·包头·中考真题）《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀（），良好（），及格（），不及格（），其中表示测试成绩（单位：）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况，精准找出差距，进行科学合理的工作规划，整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下： a．本校测试成绩频数（人数）分布表： 等级 优秀 良好 及格 不及格 频数（人数） 40 70 60 30 b．本校测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 222.5 228 c．本校所在区县测试成绩统计表： 平均数 中位数 优秀率 及格率 218.7 223 请根据所给信息，解答下列问题： (1)求出的值； (2)本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是，请你计算出乙同学的测试成绩是多少？ (3)请你结合该校所在区县测试成绩，从平均数、中位数、优秀率和及格率四个方面中任选两个，对该校九年级全体男生立定跳远测试的达标情况做出评价，并为该校提出一条合理化建议． 10.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）某市某校组织本校学生参加“市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了部分参加志愿者服务的学生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生共有______人，请补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角的度数； (3)该校共有2000名学生，若有的学生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的学生人数． 11.（2024·呼市·中考真题）近年来，近视的青少年越来越多且年龄越来越小·研究表明：这与学生长期不正确的阅读、书写姿势和长时间使用电子产品等有很大的关系，呼和浩特市某校为了解儿年级学生右眼视力的情况，计划采用抽样调查的方式来估计该校九年级840名学生的右眼视力情况．制定以下两种抽样方案： ①从九年级的一个班级中随机抽取42名学生（九年级每个班级至少有50名学生）； ②从九年级中随机抽取42名学生． 你认为更合理的方案是_________（填“①”或“②”） 该校用合理的方案抽取了42名学生进行右眼视力检查，检查结果如下： 4.5   4.8   4.9   4.4   4.5   4.2   5.0 4.0   4.2   4.3   5.0   4.2   4.4   4.9 4.2   4.4   4.5   4.6   4.8   4.9   4.1 5.0   4.9   4.8   4.7   4.5   4.8   5.0 4.9   4.5   4.3   4.9   4.3   5.0   4.9 4.8   4.9   5.0   4.1   4.9   4.3   4.2 整理上面的数据得到如下表格： 右眼视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 2 5 4 3 m 1 1 5 n 6 请根据所给信息，解答下列问题： (1)_________，_________； (2)计算该样本的平均数；（结果精确到0.1，参考数据：） (3)若该校九年级小明同学右眼视力为4.5，请你用调查得到的数据中位数推测他在九年级全体学生中的右眼视力状况； (4)根据样本数据，估计该校九年级学生右眼视力在4.7及4.7以上的学生人数． 考点02 概率 1．（2026·内蒙古·中考真题）阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一种防风固沙植物）万亩，成活率已经达到．下列说法正确的是（   ） A．种植10棵梭梭，一定有9棵成活 B．种植9棵梭梭，一定有1棵成活 C．种植1棵梭梭，一定不能成活 D．种植1棵梭梭，不一定能成活 2.（2024·包头·中考真题）为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个．则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·通辽·中考真题）不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，那么两次都摸出白球的概率是（    ） A． B． C． D． 红 白1 白2 红 （红，红） （白1，红） （白2，红） 白1 （红，白1） （白1，白1） （白2，白1） 白2 （红，白2） （白1，白2） （白2，白2） 4.（2025·内蒙古·中考真题）在单词（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“”的概率是 ． 5.（2024·呼市·中考真题）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为 ． 6.（2024·呼伦贝尔兴安盟·中考真题）从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，4，5，5，6． (1)将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？ (2)将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张．请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率． 7.（2024·赤峰·中考真题）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下： 收集数据 77 78 76 72 84 75 91 85 78 79 82 78 76 79 91 91 76 74 75 85 75 91 80 77 75 75 87 85 76 77 整理、描述数据 成绩/分 72 74 75 76 77 78 79 80 82 84 85 87 91 人数/人 1 1 a 4 3 3 b 1 1 1 3 1 4 分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 80 c 78 解决问题 (1)表格中的______；______；______； (2)分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为______分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为______分； (3)学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率． 1．（2026·赤峰·一模）化学兴趣小组的同学整理了四种常见的物质：①氧气，②二氧化碳，③铜片，④高锰酸钾溶液．从中随机抽取两种物质，则抽到的两种物质均为无色的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·包头·一模）随着人工智能时代的到来，某学校开设了涵盖人工智能技术的四门兴趣课程，分别为“音乐创作”“打印与虚拟仿真”“机器人编程与应用”“非遗文化数字化”，每位同学只能选择一门自己喜欢的课程，甲、乙两名同学选择同一门课程的概率是（   ） A． B． C． D． A B C D A B C D 3．（2026·锡林郭勒·一模）某校为了让学生更多的了解，计划举办手抄报展览，确定了“即梦”、“”“豆包”“星图”四个主题，若各班随机选择其中两个主题，则各班恰好选中“”与“星图”的概率是______． A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 4．（2026·包头·一模）甲、乙两人是某甜品店的烘焙师，以下是他们在季度技能考核中的甜点制作得分（满分100分）及当地近五年烘焙行业甜点制作技能大赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人季度技能考核的得分如下表所示（单位：分） 考核次数 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 82 90 85 94 87 95 86 91 乙 88 89 90 90 91 89 91 88 其中，甲、乙得分的平均数分别是，； 方差分别是，． 信息二：当地近五年烘焙行业甜点制作技能大赛获奖分数线如下表所示（单位：分） 年份 2021 2022 2023 2024 2025 获奖分数线 87 91 88 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)根据平均数与方差，综合评价甲、乙两人的季度技能考核表现； (2)结合当地近五年烘焙行业甜点制作技能大赛获奖分数线的平均数，为确保获奖，请推荐一人参赛，并写出推荐理由； (3)若要从中选择一人进行高级甜点制作培训，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 5．（2026·锡林郭勒·一模）《教育强国建设规划纲要》提出深入落实“健康第一”教育理念，规定中小学学生每天要有小时的体育锻炼．为了解我盟初中生每天的体育锻炼情况，现从中随机抽取部分学生分为“：每天锻炼达到小时或小时以上”、“：每天锻炼达到小时但不足小时”、“：每天锻炼达到小时但不足小时”、“：每天锻炼小时以下”四类，绘制了如下扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出）． (1)本次调查共抽取___________名学生；扇形统计图中“类”所对应的圆心角度数为___________ (2)补全条形统计图； (3)通过本次调查，请你结合四类学生的比例，分析该校学生体育锻炼的现状，针对你分析的现状提出加强学生体育锻炼的合理化建议． 6．（2026·呼和浩特·二模）场青少年的体质健康，既与其学习和生活息息相关，又与国家和民族的未来密不可分．为了提升学生的体质健康，进行学生体质健康调查与分析就必不可少．某数学活动小组为探究本校八年级学生肺活量和长跑成绩的关系，从所有八年级学生中随机抽取10名男生和10名女生，收集男生肺活量和1000米跑成绩，女生肺活量和800米跑成绩． 【整理、描述数据】 10名男生的肺活量和1000米跑成绩数据： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 肺活量/ 4000 3500 3200 3000 2800 2700 2550 2400 2250 2100 1000米跑成绩 228 235 245 255 265 280 288 295 302 310 10名女生肺活量和800米跑成绩 【分析数据】 抽取的10名男生肺活量数据的平均数为2850，中位数为a． 【应用数据】 (1)计算a的值； (2)女生800米跑成绩在285s以内，通常可认定为合格．若该校八年级共有300名女生，估计其中800米跑成绩合格的女生人数； (3)将男生按肺活量是否大于等于中位数a分为两组：A组（）和B组（）．分别计算出两组男生的1000米跑平均成绩为：A组245.6s；B组295s，请你判断哪组男生长跑成绩更好．结合本题数据，简要分析一定程度上肺活量与长跑成绩之间的关系，并为如何提高八年级学生的长跑成绩提出一条合理化建议． 7．（2026·通辽·一模）某区域快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 机器人台数（台） 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差 A型号 和 b B型号 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中_____________，_______________； (2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． (3)若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $