广东省汕尾市陆河县2026-2027学年上学期八年级第一次月考数学模拟练习1

**基本信息** 本试卷聚焦八年级上册三角形与几何初步，通过基础辨析、综合证明及实际应用，考查全等三角形判定、角平分线性质等核心知识，体现逻辑推理与几何直观的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、全等判定、平行线性质|基础概念辨析，如第5题多条件判定全等| |填空题|5/15|平移距离、中线计算、HL定理|结合图形变换，如11题平移距离计算| |解答题|8/75|全等证明、尺规作图、动态几何|分层设计，19题测量河宽应用数学建模，22题动态点D综合考查推理能力|

2026-2027广东省汕尾市陆河县八年级（上） 第一次月考数学模拟练习1 一．选择题（共10小题，满分30分） 1．（3分）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 2．（3分）下列图形中，线段是三角形的高线的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如图，点B，C，D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝4，BD＝14，则AB的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点B在直线b上，若∠1＝110°，则∠2＝（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 5．（3分）如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE 6．如图，AD∥MN∥BC，∠ADC＝90°，AD＝BC，那么，图中的全等三角形共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 7．如图，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线．如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，那么∠A+∠P＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 8．（3分）如图，△ABC中，∠A＝80°，△ABC的两条角平分线交于点P，∠BPD的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．130° 9．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点F为BC上一点，连接AF，过点C，B分别作CD⊥AF于点D，BE⊥AF交AF的延长线于点E，若CD＝4，BE＝1，则ED的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB交BD于点E．当∠BAC＝α时，∠CED的度数为（　　） A．135°﹣2α B．2a C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分） 11．如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到，已知A，D之间的距离为1，CE＝2，则BF的长是 　 　 ． 12．（3分）如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE为中线，如果AC＝12cm，则AE＝　 　 ；如果∠ABC＝80°，则∠ABD＝　 　 ． 13．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点．若△ABC的面积为10，则阴影部分图形的面积为 　 　 ． 14．（3分）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，请你根据“HL”定理，添加一个条件 　 　 ，使得Rt△ABC≌Rt△ADC． 15．（3分）如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中AB∥DG，AE∥CF，∠BAC＝50°，∠CDG＝70°，∠EAC＝80°，则∠DCF＝　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（9分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，点E在AC边上，∠DEC+∠ACB＝180°． （1）求证：∠ADE＝∠B； （2）若DE平分∠ADC，求∠DCB的度数． 17．（9分）如图，点D在BC上，AC，DE交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）证明：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝20°，求∠CDF的度数． 18．（9分）（尺规作图，不写画法保留作图痕迹）已知：直线a和直线a外一点P， （1）过点P作直线a的平行线b． （2）这种作法的依据是什么？ 19．（9分）为了测量河两岸相对的两点A，B的距离，聪明的小贝想出了一个巧妙的办法：如图，她站在河边点A（AE为小贝眼睛到地面的距离，AE⊥AB），调整帽檐，刚好看到河对岸点B．再从点A后退到点C（CD＝AE，CD⊥AC），退到刚好通过帽檐能看到自己刚才的位置点A（即∠CDA＝∠AEB）．那么测量出AC的长就是AB的长．请你说明理由． 20．（9分）课上老师提出了这样一个问题：已知：如图，AD＝AE，再添加一个条件，可以证明△ADB≌△AEC． （1）同学们认为可以添加的条件并不唯一， 同学甲添加的条件是：AB＝AC，则△ADB≌△AEC的理由是 　 　 ； 同学乙添加的条件是：∠B＝∠C，则△ADB≌△AEC的理由是 　 　 ； 同学丙添加的条件是：∠ADB＝∠AEC，则△ADB≌△AEC的理由是 　 　 ； （2）若添加的条件是OE＝OD，证明：△ADB≌△AEC． 21．（10分）如图，锐角△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高． （1）若∠B＝15°，∠C＝85°，求∠DAE的度数； （2）猜想并证明∠B，∠DAE，∠C之间的数量关系． 22．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D点为射线AC上一动点，连接BD，过点B作BE⊥BD且BE＝BD（点E在直线BC下方）． （1）当点D在线段AC上时，如图1，过E点作EG⊥AB交AB于点G，求证：△BAD≌△EGB． （2）如图2，当点D在AC的延长线上时，连接CE，与BA的延长线交于点M，求的值． 23．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，延长AC到点D，连接BD，过点B作BE⊥BD，过点A作AE⊥AC，连接DE，点F是DE的中点，连接AF，过点D作DG⊥AD，交AF的延长线于点G． （1）请说明线段AE与线段DG平行吗？并说明理由． （2）请说明△AEF与△GDF全等吗？并说明理由． （3）请说明线段CD与线段DG的关系？并说明理由． 2026-2027广东省汕尾市陆河县八年级（上） 第一次月考数学模拟练习1 一．选择题（共10小题，满分30分） 1．（3分）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 【分析】根据三角形的三边关系求出第三边，然后计算即可． 【解答】解：设第三边的长为x， ∵三角形的两边长分别为2和5， ∴5﹣2＜x＜2+5，即3＜x＜7， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， ∴该三角形的周长为2+5+5＝12， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 2．（3分）下列图形中，线段是三角形的高线的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高线的概念，即需从三角形的一个顶点向它的对边（或对边的平行线）作垂线，由此可得高线，由此判断选项即可． 【解答】解：A、图中线段BD不是△ABC的高线，故A不符合题意； B．图中线段BD是△ABC的高线，故B符合题意； C．图中线段BD不是△ABC的高线，故C不符合题意； D．图中线段BD不是△ABC的高线，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的高线的概念，解决本题的关键是熟练掌握高线的概念． 3．（3分）如图，点B，C，D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE＝4，BD＝14，则AB的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】由全等三角形的性质推出AB＝CD，BC＝DE＝4，求出CD＝BD﹣BC＝14﹣4＝10，即可得到AB的长． 【解答】解：∵△ABC≌△CDE，DE＝4， ∴AB＝CD，BC＝DE＝4（全等三角形的对应边相等）， ∵BD＝14， ∴CD＝BD﹣BC＝14﹣4＝10， ∴AB＝CD＝10． 则AB的长为10， 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是全等三角形性质的熟练掌握． 4．（3分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点B在直线b上，若∠1＝110°，则∠2＝（　　） A．40° B．30° C．20° D．15° 【分析】根据两直线平行同位角相等得到∠2+∠ABC＝∠1＝110°，即可得到答案． 【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝110°， ∴∠2+∠ABC＝∠1＝110°（两直线平行，同位角相等）， ∵∠ABC＝90°， ∴∠2＝110°﹣∠ABC＝110°﹣90°＝20°， 故选：C． 【点评】此题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 5．（3分）如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　） A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE 【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、∠ACB和∠E分别是AB和CD的对边，不能判定△ABC≌△DCE，故A符合题意； B、由AB∥DE推出∠A＝∠CDE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由AAS判定△ABC≌△DCE，故B不符合题意； C、AC＝DE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由SAS判定△ABC≌△DCE，故C不符合题意； D、∠B＝∠DCE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由ASA判定△ABC≌△DCE，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 6．如图，AD∥MN∥BC，∠ADC＝90°，AD＝BC，那么，图中的全等三角形共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【分析】根据平行线的性质得出∠ADC+∠BCD＝90°，∠MND＝∠BCD，∠MNC＝∠ADC，求出∠BCD＝∠MNC＝∠MND＝90°＝∠ADC，再根据全等三角形的判定定理SAS推出△ADC≌△BCD，根据全等三角形的性质定理得出AC＝BD，∠A＝∠B，根据全等三角形的判定定理AAS推出△ADM≌△BCM，根据全等三角形的性质得出DM＝CM，求出DN＝CN，再根据全等三角形的判定定理SSS得出△MDN≌△MCN即可． 【解答】解：∵AD∥MN∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝90°，∠MND＝∠BCD，∠MNC＝∠ADC， ∵∠ADC＝90°， ∴∠BCD＝∠MNC＝∠MND＝90°＝∠ADC， 在△ADC和△BCD中， ， ∴△ADC≌△BCD（SAS）， ∴AC＝BD，∠A＝∠B， 在△ADM和△BCM中， ， ∴△ADM≌△BCM（AAS）， ∴DM＝CM， ∵MN⊥DC， ∴DN＝CN， 在△MDN和△MCN中， ， ∴△MDN≌△MCN（SSS）， 即全等三角形有3对， 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理和性质定理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等，②全等三角形的对应边相等，对应角相等． 7．如图，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线．如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，那么∠A+∠P＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【分析】由角平分线的定义得到∠CBP＝∠ABP＝20°，∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠PCM＝∠ACP＝50°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，由三角形的外角性质得到∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠P＝∠PCM﹣∠PBC＝30°即可求出∠A+∠P的度数． 【解答】解：∵BP是∠ABC的平分线， ∴∠CBP＝∠ABP＝20°，∠ABC＝2∠ABP＝2×20°＝40°， ∵CP是∠ACM的平分线， ∴∠PCM＝∠ACP＝50°，∠ACM＝2∠ACP＝100°， ∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠P＝∠PCM﹣∠PBC＝30°， ∴∠A+∠P＝90°． 故选：C． 【点评】本题考查角平分线的定义，三角形的外角的性质，关键是由三角形的外角性质推出∠A＝∠ACM﹣∠ABC，∠P＝∠PCM﹣∠PBC． 8．（3分）如图，△ABC中，∠A＝80°，△ABC的两条角平分线交于点P，∠BPD的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．130° 【分析】运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠1+∠2，进而求出∠BPC即可解决问题． 【解答】解：如图， ∵在△ABC中，∠A＝80°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵，， ∴， ∴∠BPC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣50°＝130°， ∴∠BPD＝180°﹣130°＝50°． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理及角平分线定义是解题的关键． 9．（3分）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点F为BC上一点，连接AF，过点C，B分别作CD⊥AF于点D，BE⊥AF交AF的延长线于点E，若CD＝4，BE＝1，则ED的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】利用AAS推导出△ADC≌△BEA，进一步解答即可． 【解答】解：∵CD⊥AF，BE⊥AF， ∴∠ADC＝∠BEA＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°； ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠DAC＝90°， ∴∠ACD＝∠BAE， 在△ADC和△BEA中， ， ∴△ADC≌△BEA（AAS）， ∴AD＝BE，CD＝AE， ∵CD＝4，BE＝1， ∴AE＝4，AD＝1， ∴ED＝AE﹣AD＝3， 故选：B． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 10．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB交BD于点E．当∠BAC＝α时，∠CED的度数为（　　） A．135°﹣2α B．2a C． D． 【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义，可求出∠EBC+∠ECB的度数，再利用三角形的外角性质即可求解． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝α， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α， ∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣α）＝90°， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分） 11．如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到，已知A，D之间的距离为1，CE＝2，则BF的长是 　4　 ． 【分析】根据平移的性质，结合图形可直接求解． 【解答】解：观察图形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的，根据对应点所连的线段平行且相等，得BE＝AD＝CF＝1． 所以BF＝BE+CE+CF＝1+2+1＝4． 故答案为：4． 【点评】此题考查的是平移的性质，关键是利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 12．（3分）如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE为中线，如果AC＝12cm，则AE＝　6cm ；如果∠ABC＝80°，则∠ABD＝　40°　 ． 【分析】利用三角形的中线和角平分线定义可得答案． 【解答】解：∵BE为中线，AC＝12cm， ∴AEAC12cm＝6（cm）； ∵BD是角平分线，∠ABC＝80°， ∴∠ABD∠ABC＝40°； 故答案为：6cm；40°． 【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高，关键是掌握三角形角平分线的性质定理． 13．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点．若△ABC的面积为10，则阴影部分图形的面积为 　　 ． 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【解答】解：如图，连接AE、BF、CD． ∵点D是AF的中点， ∴S△ADE＝S△DEF， ∵点E是BD的中点， ∴S△ABD＝2S△ADE＝2S△DEF， 同理可得，S△ACF＝2S△DEF，S△BCE＝2S△DEF， ∴S△ABC＝S△ABD+S△ACF+S△BCE+S△DEF＝2S△DEF+2S△DEF+2S△DEF+S△DEF＝7S△DEF＝10， ∴S△DEF， ∴阴影部分图形的面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 14．（3分）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，请你根据“HL”定理，添加一个条件 BC＝DC或AB＝AD ，使得Rt△ABC≌Rt△ADC． 【分析】根据HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC即可． 【解答】解：∵AB⊥BC，AD⊥DC， ∴∠B＝∠D＝90°， ∵AC＝AC， ∴添加BC＝DC或AB＝AD解可以利用HL判断Rt△ABC≌Rt△ADC． 故答案为：BC＝DC或AB＝AD． 【点评】本题考查直角三角形全等的判定，全等三角形的判定，解题的关键是理解“HL”定理． 15．（3分）如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中AB∥DG，AE∥CF，∠BAC＝50°，∠CDG＝70°，∠EAC＝80°，则∠DCF＝　20°　 ． 【分析】过C作CJ∥AB，进而利用平行线的性质得出角的关系解答即可． 【解答】解：过C作CJ∥AB， ∵AB∥DG， ∴AB∥DG∥CJ， ∵∠BAC＝50°，∠CDG＝70°， ∴∠ACJ＝50°，∠JCD＝70°， ∵AE∥CF，∠EAC＝80°， ∴∠ACF＝180°﹣80°＝100°， ∴∠DCF＝∠ACJ+∠JCD﹣∠ACF＝50°+70°﹣100°＝20°， 故答案为：20°． 【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（9分）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，点E在AC边上，∠DEC+∠ACB＝180°． （1）求证：∠ADE＝∠B； （2）若DE平分∠ADC，求∠DCB的度数． 【分析】（1）由∠DEC+∠ACB＝180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”可证得DE∥BC，再根据“两直线平行，同位角相等”可证∠ADE＝∠B； （2）由CD是AB边上的高，可得∠ADC＝90°，再根据角平分线的定义，可得，最后由（1）中DE∥BC，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠DCB＝45°． 【解答】（1）证明：∵∠DEC+∠ACB＝180°， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B； （2）∵CD是AB边上的高， ∴∠ADC＝90°， ∵DE平分∠ADC， ∴， 由（1）可知DE∥BC， ∴∠DCB＝∠EDC＝45°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 17．（9分）如图，点D在BC上，AC，DE交于点F，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）证明：△ABC≌△ADE； （2）若∠BAD＝20°，求∠CDF的度数． 【分析】（1）由SAS可证△ABC≌△ADE； （2）由全等三角形的性质可得∠ADE＝∠B，由等腰三角形的性质可求∠ADB＝∠B＝80°，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△ABC与△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（SAS）； （2）解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠ADE＝∠B， ∵∠BAD＝20°，AB＝AD， ∴∠ADB＝∠B＝80°， ∴∠ADE＝80°， ∴∠CDF＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝20°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 18．（9分）（尺规作图，不写画法保留作图痕迹）已知：直线a和直线a外一点P， （1）过点P作直线a的平行线b． （2）这种作法的依据是什么？ 【分析】（1）根据平行线的判定、作一个角等于已知角的方法画图即可． （3）结合平行线的判定可得答案． 【解答】解：（1）如图，直线b即为所求． （2）由作图可知，∠BPC＝∠BOA， ∴a∥b， ∴这种作法的依据是：同位角相等，两直线平行． 【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键． 19．（9分）为了测量河两岸相对的两点A，B的距离，聪明的小贝想出了一个巧妙的办法：如图，她站在河边点A（AE为小贝眼睛到地面的距离，AE⊥AB），调整帽檐，刚好看到河对岸点B．再从点A后退到点C（CD＝AE，CD⊥AC），退到刚好通过帽檐能看到自己刚才的位置点A（即∠CDA＝∠AEB）．那么测量出AC的长就是AB的长．请你说明理由． 【分析】由题意易得△AEB≌△CDA（ASA），然后问题可求解． 【解答】解：测量出AC的长就是AB的长，理由如下： ∵AE⊥AB， ∴∠EAB＝90°， ∵CD⊥AC， ∴∠DCA＝90°， 在△AEB和△CDA中， ， ∴△AEB≌△CDA（ASA）， ∴AB＝CA． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 20．（9分）课上老师提出了这样一个问题：已知：如图，AD＝AE，再添加一个条件，可以证明△ADB≌△AEC． （1）同学们认为可以添加的条件并不唯一， 同学甲添加的条件是：AB＝AC，则△ADB≌△AEC的理由是 SAS ； 同学乙添加的条件是：∠B＝∠C，则△ADB≌△AEC的理由是 AAS ； 同学丙添加的条件是：∠ADB＝∠AEC，则△ADB≌△AEC的理由是 ASA ； （2）若添加的条件是OE＝OD，证明：△ADB≌△AEC． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理逐一进行证明即可得解； （2）根据全等三角形的判定定理SSS推出△AEO≌△ADO，再根据全等三角形的性质得出∠AEO＝∠ADO，求出∠B＝∠C，再根据全等三角形的判定定理AAS证明即可． 【解答】（1）解：根据全等三角形的判定定理， 同学甲：在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， 所以△ADB≌△AEC的理由是SAS， 故答案为：SAS； 同学乙：在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（AAS）， 所以△ADB≌△AEC的理由是AAS， 故答案为：AAS； 同学丙：在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（ASA）， 所以△ADB≌△AEC的理由是ASA， 故答案为：ASA； （2）证明：连接AO， 在△AEO和△ADO中， ， ∴△AEO≌△ADO（SSS）， ∴∠AEO＝∠ADO， ∵∠AEO＝∠B+∠BOE，∠ADO＝∠C+∠DOC，∠BOE＝∠DOC， ∴∠B＝∠C， 在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC（AAS）． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 21．（10分）如图，锐角△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高． （1）若∠B＝15°，∠C＝85°，求∠DAE的度数； （2）猜想并证明∠B，∠DAE，∠C之间的数量关系． 【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得∠AEC＝90°，求出∠CAE＝5°，即可得解； （2）由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，由角平分线的定义可得，再由三角形高的定义可得∠AEC＝90°，求出∠CAE＝90°﹣∠C，即可得解． 【解答】（1）解：∵∠B＝15°，∠C＝85°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣15°﹣85°＝80°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠C＝90°﹣85°＝5°， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝40°﹣5°＝35°； （2）解：，证明如下： 由三角形内角和定理可得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C， ∵AD平分∠BAC， ∴90°， ∵AE是△ABC的高， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠C， ∴， 即． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 22．（10分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D点为射线AC上一动点，连接BD，过点B作BE⊥BD且BE＝BD（点E在直线BC下方）． （1）当点D在线段AC上时，如图1，过E点作EG⊥AB交AB于点G，求证：△BAD≌△EGB． （2）如图2，当点D在AC的延长线上时，连接CE，与BA的延长线交于点M，求的值． 【分析】（1）先证明∠E＝∠ABD，再根据∠EGB＝∠BAD＝90°，BE＝BD即可依据“AAS”判定△BAD和△EGB全等； （1）过点E作EH⊥AB，交BA的延长线于点H，先证明∠HEB＝∠ABD，进而依据“AAS”判定△HEB和△ABD全等得BH＝DA，EH＝AB，再根据AB＝AC得AH＝CD，EH＝AC，然后依据“AAS”判定△HEM和△ACM全等得HM＝AM，由此得CD＝AH＝HM+AM＝2AM，据此即可得出求的值． 【解答】（1）证明：当点D在线段AC上时，如图1所示， ∵EG⊥AB交AB于点G， ∴∠EGB＝90°， ∴△EGB是直角三角形， 在△ABC中，∠BAC＝90°， ∴∠EGB＝∠BAD＝90°， ∵BE⊥BD， ∴∠EBD＝90°， ∴∠EBG+∠ABD＝90°， 在Rt△EGB中，∠EBG+∠E＝90°， ∴∠E＝∠ABD， 在△BAD和△EGB中． ， ∴△BAD≌△EGB（AAS）； （2）解：当点D在AC的延长线上时，过点E作EH⊥AB，交BA的延长线于点H，如图2所示： ∴∠H＝∠BAD＝90°， 在Rt△EHB中，∠EBA+∠HEB＝90°， ∵BE⊥BD， ∴∠EBA+∠ABD＝90°， ∴∠HEB＝∠ABD， 在△HEB和△ABD中， ， ∴△HEB≌△ABD（AAS）， ∴BH＝DA，EH＝AB， ∴AB+AH＝CD+AC， ∵AB＝AC， ∴AH＝CD，EH＝AC， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAH＝90°， ∴∠H＝∠CAH＝90°， 在△HEM和△ACM中， ， ∴△HEM≌△ACM（AAS）， ∴HM＝AM， ∴AH＝HM+AM＝2AM， 又∵AH＝CD， ∴2AM＝CD， ∴， 即的值为． 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 23．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，延长AC到点D，连接BD，过点B作BE⊥BD，过点A作AE⊥AC，连接DE，点F是DE的中点，连接AF，过点D作DG⊥AD，交AF的延长线于点G． （1）请说明线段AE与线段DG平行吗？并说明理由． （2）请说明△AEF与△GDF全等吗？并说明理由． （3）请说明线段CD与线段DG的关系？并说明理由． 【分析】（1）根据AE⊥AC，DG⊥AD，点D在AC的延长线上即可得出答案； （2）根据AE∥DG得∠FEA＝∠G，∠FAE＝∠FDE，根据点F是DE的中点得EF＝DF，由此可判定△AEF与△GDF全等； （3）根据DG⊥AD得CD⊥DG，由等腰直角三角形性质得∠BAC＝∠BCA＝45°，进而得∠BAE＝∠BCD＝135°，证明∠ABE＝∠CBD，则可依据“ASA”判定△ABE和CBD全等得AE＝CD，再由（2）的结论得AE＝DG，由此得CD＝DG，据此可得出线段CD与线段DG的关系． 【解答】解：（1）线段AE与线段DG平行，理由如下： ∵AE⊥AC，DG⊥AD，点D在AC的延长线上， ∴AE∥DG； （2）△AEF与△GDF全等，理由如下： ∵AE∥DG， ∴∠FEA＝∠G，∠FAE＝∠FDE， ∵点F是DE的中点， ∴EF＝DF， 在△AEF与△GDF中， ， ∴△AEF≌△GDF（AAS）； （3）线段CD与线段DG的关系是：CD⊥DG，CD＝DG，理由如下： ∵DG⊥AD， ∴CD⊥DG， 在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠BCA＝45°， ∴∠BCD＝180°﹣∠BCA＝135°， ∵AE⊥AC， ∴∠BAE＝90°+∠BAC＝135°， ∴∠BAE＝∠BCD＝135°， ∵BE⊥BD， ∴∠ABC＝∠EBD＝90° ∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBD﹣∠EBC ∴∠ABE＝∠CBD， 在△ABE和CBD中， ， ∴△ABE≌CBD（ASA）， ∴AE＝CD， 由（2）可知：△AEF≌△GDF， ∴AE＝DG， ∴CD＝DG， 线段CD与线段DG的关系是：CD⊥DG，CD＝DG． 【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $