广东省湛江市霞山区2026-2027学年八年级上学期第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 聚焦三角形与全等核心知识，融合生活情境与逻辑推理，梯度覆盖基础应用与综合探究，适配八年级上册月考检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/30|三角形三边关系、稳定性、全等判定、角平分线性质|第2题以黄河大桥钢架结构考三角形稳定性，体现几何直观；第9题多结论辨析，培养推理意识| |填空|5/15|等腰三角形计算、全等条件补充、直角三角形判定|第15题中点与垂直综合，考查模型观念；第12题开放条件设计，发展创新意识| |解答|8/75|全等证明、面积计算、坐标系几何综合|第18题四边形全等与面积转化，强化运算能力；第23题坐标系动点探究，提升应用意识与创新思维|

2026-2027学年广东省湛江市霞山区八年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分） 1．（3分）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 2．如图，这是黄河上某大桥的一部分，大桥上的钢架结构采用三角形的形状，这其中蕴含的数学道理是（　　） A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 3．（3分）下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）已知：如图，∠B＝35°，∠B＝∠1，∠2＝∠C，则∠DAC的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE、BD，使BE＝BD；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部交于点F，作射线BF交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　） A．无法确定 B． C．1 D．2 6．（3分）如图，△ABC中，△ABE≌ACD，∠ABC＝36°，D、E是BC边上的两点，且∠ADE＝2∠DAE＝72°，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F，分别为BC，AD，BE的中点，S△BFD＝1，则S△ABC的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∠1+∠2＝100°，则∠A的度数是（　　） A．55° B．50° C．70° D．65° 9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P．下列结论： ①CP平分∠ACF； ②∠ABC+∠APC＝180°； ③若PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则AM+CN＝AC； ④∠BAC＝2∠BPC． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①③ 10．（3分）如图，已知点P（6m﹣4，3m﹣1）在第一象限角平分线OC上，若∠APB是直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则OA+OB等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求△ABC底边BC的长　 　 cm． 12．（3分）如图，B是AD中点，∠C＝∠E，请添加一个条件，使得△ABC≌△DBE，可以添加的条件是 　 　 .（写出一个即可） 13．（3分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC的形状为　 　 （按角分类）． 14．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q，BC＝10，△APQ的周长为16，则PQ的长度为　 　 ． 15．（3分）如图，已知D点为BC中点，∠BED＝∠CAD，过点C作CF⊥AD，垂足为点F，若AE＝2，则DF＝　 　 ． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）三条线段的长度分别为a、b、c，其中a＜b＜c，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （1）a、b、c只需要满足条件　 　 即可．（只填一个序号） ①b+c＞a；②b+a＞c；③a+c＞b． （2）若a＝3，c＝6，b为整数，求构成的三角形的周长． 17．（7分）如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°，求∠DAE的度数． 18．（7分）如图①，在四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：CA平分∠BCD； （3）如图②，若AF是△ABC的边BC上的高，已知AF＝2，求四边形ABCD的面积． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG． （1）求证：△ABF≌△ACG； （2）若AD平分∠BAC，求证：BE＝CG+EG． 20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AD于点E，CF⊥AB交AB延长线于点F，且∠D+∠ABC＝180°． （1）求证：BC＝CD； （2）若AD＝10，BF＝2，求AB的长． 21．（9分）如图，点E，F在线段BD上，已知AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF． 求证：∠B＝∠D． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G． （1）求证：△ABC≌△DCE． （2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠DFC的度数． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（2，0），连接AB，点P，Q是线段OB上的动点（P，Q两点不重合），且OP＝BQ．连接AQ，过点O作OD⊥AQ交AQ于点E，交直线AB于点D，连接DP，交AQ于点F． （1）求证：∠DOB＝∠QAO； （2）试猜想∠BPD与∠AQO的数量关系，并说明理由； （3）当PQ＝FQ时，连接OF，求△AOF的面积． 2026-2027学年广东省湛江市霞山区八年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分） 1．（3分）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 【分析】根据三角形的三边关系求出第三边，然后计算即可． 【解答】解：设第三边的长为x， ∵三角形的两边长分别为2和5， ∴5﹣2＜x＜2+5，即3＜x＜7， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， ∴该三角形的周长为2+5+5＝12， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 2．如图，这是黄河上某大桥的一部分，大桥上的钢架结构采用三角形的形状，这其中蕴含的数学道理是（　　） A．两点之间线段最短 B．三角形具有稳定性 C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【解答】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，如大桥上的钢架结构采用三角形的形状，其中的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：B． 【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的内容． 3．（3分）下列能表示△ABC的边BC上的高的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形高的定义，过A点作BC的垂线，垂线段为BC边的高，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：△ABC的边BC上的高为AE，如图， ． 故选：B． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的角平分线、中线和高． 4．（3分）已知：如图，∠B＝35°，∠B＝∠1，∠2＝∠C，则∠DAC的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【分析】由∠2是△ABD的外角，利用三角形的外角性质，可求出∠2的度数，结合∠C＝∠2，可求出∠C的度数，再在△ACD中，利用三角形内角和定理，即可求出∠DAC的度数． 【解答】解：∵∠2是△ABD的外角， ∴∠2＝∠B+∠1＝2∠B＝2×35°＝70°， ∴∠C＝∠2＝70°． 在△ACD中，∠2＝70°，∠C＝70°， ∴∠DAC＝180°﹣∠2﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，牢记“三角形内角和是180°”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键． 5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE、BD，使BE＝BD；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠CBA的内部交于点F，作射线BF交AC于点G，若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为（　　） A．无法确定 B． C．1 D．2 【分析】过点G作GH⊥AB于点H，由尺规作图可知BG是∠ABC的平分线，进而得GH＝GC＝1，再根据“垂线段最短”得GP≥GH＝1，由此可得出GP的最小值． 【解答】解：过点G作GH⊥AB于点H，如图所示： 由尺规作图可知：BG是∠ABC的平分线， 又∵∠C＝90°，CG＝1， ∴GH＝GC＝1， ∵P为AB上一动点， 根据“垂线段最短”得：GP≥GH＝1， ∴GP的最小值为1． 故选：C． 【点评】此题主要考查了尺规作图，角平分线的性质，理解垂线段最短，熟练掌握尺规作图，角平分线的性质是解决问题的关键． 6．（3分）如图，△ABC中，△ABE≌ACD，∠ABC＝36°，D、E是BC边上的两点，且∠ADE＝2∠DAE＝72°，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180°、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏． 【解答】解：∵△ABE≌ACD，∠ABC＝36°， ∴AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABC，△ADE是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB＝36°， ∴∠BAC＝108°， ∵∠ADE＝2∠DAE＝72°， ∴∠DAE＝36°， ∵∠ABC+∠DAB＝∠ADE＝72°， ∴∠DAB＝36°， ∴AD＝AB， ∴△ABD是等腰三角形； 同理可得，△ACE是等腰三角形； ∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝36°+36°＝72°， ∴∠BAE＝∠AED， ∴△BAE是等腰三角形； 同理，△ACD是等腰三角形， ∴等腰三角形ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键，难度适中． 7．（3分）如图，在△ABC中，点D，E，F，分别为BC，AD，BE的中点，S△BFD＝1，则S△ABC的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据中点的定义和“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【解答】解：∵点F是BE的中点，S△BFD＝1， ∴BF＝EF， ∴S△DEF＝S△BFD＝1， ∴S△BDE＝S△DEF+S△BFD＝2， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∴S△ABE＝S△BDE＝2， ∴S△ABD＝S△ABE+S△BDE＝4， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∴S△ACD＝S△ABD＝4， ∴S△ABC＝S△ACD+S△ABD＝8． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的面积，掌握中点的定义和“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 8．（3分）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∠1+∠2＝100°，则∠A的度数是（　　） A．55° B．50° C．70° D．65° 【分析】由折叠的性质及平角等于180°，可求出∠ADE+∠AED的度数，再在△ADE中，利用三角形内角和定理，即可求出∠A的度数． 【解答】解：根据折叠的性质，可知：∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED， ∵∠1+∠FDE+∠ADE＝180°，∠2+∠FED+∠AED＝180°， ∴∠ADE+∠AED（180°﹣∠1+180°﹣∠2）[360°﹣（∠1+∠2）]（360°﹣100°）＝130°， ∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣130°＝50°． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及翻折变换（折叠问题），熟练掌握三角形内角和定理和折叠的性质是解题的关键． 9．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC，∠EAC的平分线BP，AP交于点P．下列结论： ①CP平分∠ACF； ②∠ABC+∠APC＝180°； ③若PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则AM+CN＝AC； ④∠BAC＝2∠BPC． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【分析】过点P作PD⊥AC于点D．根据角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），可得PM＝PN，PM＝PD，所以PM＝PN＝PD．再根据角平分线的判定（到角两边距离相等的点在角的平分线上），可知CP平分∠ACF，故①正确．假设∠ABC+∠APC＝180°．由 ，，．得．若∠ABC+∠APC＝180°，则，解得∠ABC＝180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故②错误．根据“HL”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可得Rt△APM≌Rt△APD，所以AM＝AD．同理，Rt△CPN≌Rt△CPD（HL），所以CN＝CD．因此AM+CN＝AD+CD＝AC，故③正确．因为AP平分∠EAC，CP平分∠ACF，所以，．又因为∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，且，所以∠BAC＝2∠BPC，故④正确．从而即可得解． 【解答】解：如图，BP平分∠ABC，AP平分∠EAC，PM⊥AB，PN⊥BC，过点P作PD⊥AC于点D． ∴PM＝PD，PM＝PN， ∴PM＝PN＝PD， ∴CP平分∠ACF， 故结论①正确； PM⊥AB，PD⊥AC， ∴△APM和△APD是直角三角形， 在Rt△APM和Rt△APD中， ， ∴Rt△APM≌Rt△APD（HL）， ∴AM＝AD， 同理，Rt△CPN≌Rt△CPD（HL）， ∴CN＝CD， ∴AM+CN＝AD+CD＝AC， 故结论③正确； ∵AP平分∠EAC，CP平分∠ACF， ∴，． ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ACF＝∠ABC+∠BAC， ∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB） ， ∴∠BAC＝2∠BPC， 故结论④正确； 假设∠ABC+∠APC＝180°， ∵，， ， ∴∠APC＝180°﹣（∠PAC+∠PCA） ， 若∠ABC+∠APC＝180°，则， 解得：∠ABC＝180°，不符合三角形的性质， 故结论②错误， 综上所述，结论正确的是①③④， 故选：B． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（3分）如图，已知点P（6m﹣4，3m﹣1）在第一象限角平分线OC上，若∠APB是直角顶点P在OC上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则OA+OB等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据角平分线的性质定理可得关于m的方程，解方程即可求得点P的坐标，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，证明△PDA≌△PEB即可． 【解答】解：由条件可知6m﹣4＝3m﹣1， 解得：m＝1， 则点P的坐标为（2，2）， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则∠PDA＝∠PEB＝90°， ∴∠EPD＝∠EPB+∠BPD＝90°， ∴∠EPB＝∠DPA， 由点P的坐标知，PE＝PD＝OD＝OE＝2， ∴△PDA≌△PEB（ASA）， ∴DA＝BE， ∴OA+OB＝OD+DA+OB＝OD+BE+OB＝OD+OE＝2+2＝4， ∴OA+OB＝4． 故选：D． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握以上知识点是关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为16cm，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为4cm的两个三角形，求△ABC底边BC的长　　 cm． 【分析】设AB＝AC＝x cm，BC＝y cm，根据三角形周长得到第一个方程，再利用中线性质得到两个三角形的周长差即为腰长与底边长的差，分两种情况建立方程组求解，最后根据三角形三边关系检验，得到符合条件的BC的长． 【解答】解：设AB＝AC＝x cm，BC＝y cm， 由△ABC周长为16cm得： 2x+y＝16， ∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝CD， 又BD是△ABD和△BCD的公共边， ∴|x﹣y|＝4， 分两种情况讨论： （1）当x＞y时，x﹣y＝4， 联立方程组， 两式相加得3x＝20，解得， 代入x﹣y＝4得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意． （2）当x＜y时，y﹣x＝4， 联立方程组， 解得， 此时三边长为4cm，4cm，8cm，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去． 综上，底边BC的长为． 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握分类讨论是关键． 12．（3分）如图，B是AD中点，∠C＝∠E，请添加一个条件，使得△ABC≌△DBE，可以添加的条件是 　∠A＝∠D（答案不唯一）　 .（写出一个即可） 【分析】由条件AB＝DB，∠C＝∠E，故可再添加一组角相等． 【解答】解：∵AB＝DB，∠CBE＝∠ABD， ∴可添加∠A＝∠D， 在△ABC和△DBE中， ， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， 故答案为：∠A＝∠D答案不唯一）． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键． 13．（3分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC的形状为　直角三角形　 （按角分类）． 【分析】根据三角形的内角和定理和角之间的关系，可得三角形最大的内角的度数，按角分类即可． 【解答】解：在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴， ∴△ABC是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点评】本题考查三角形的内角和定理，三角形的分类，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理． 14．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q，BC＝10，△APQ的周长为16，则PQ的长度为　3　 ． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，再根据三角形周长公式计算得到答案． 【解答】解：∵MP是AB的垂直平分线， ∴PA＝PB， ∵QN是AC的垂直平分线， ∴QA＝QC， ∵△APQ的周长为16， ∴QA+PA+QP＝16， ∴QC+PB+QP＝16， ∴QP+PC+BQ+QP+QP＝16， ∴BC+2QP＝16， ∵BC＝10， ∴QP＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 15．（3分）如图，已知D点为BC中点，∠BED＝∠CAD，过点C作CF⊥AD，垂足为点F，若AE＝2，则DF＝　1　 ． 【分析】延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG，过点B作BH⊥AG，垂足为H，根据线段中点的定义可得BD＝CD，从而利用SAS证明△ADC≌△GDB，进而可得BG＝AC，∠A＝∠G，再根据等量代换可得：∠BED＝∠G，从而可得BE＝BG，进而可得BE＝AC，然后根据垂直定义可得：∠BHD＝∠AFC＝∠CFD＝90°，从而利用AAS证明△BHE≌△CFA，再利用全等三角形的性质可得AF＝EH，从而利用等式的性质可得AE＝FH＝2，最后根据AAS证明△CDF≌△BDH，从而利用全等三角形的性质可得DF＝DHFH＝1，即可解答． 【解答】解：延长AD到点G，使DG＝AD，连接BG，过点B作BH⊥AG，垂足为H， ∵D点为BC中点， ∴BD＝CD， ∵∠ADC＝∠BDG， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴BG＝AC，∠A＝∠G， ∵∠BED＝∠A， ∴∠BED＝∠G， ∴BE＝BG， ∴BE＝AC， ∵BH⊥AG，CF⊥AD， ∴∠BHD＝∠AFC＝∠CFD＝90°， ∴△BHE≌△CFA（AAS）， ∴AF＝EH， ∴AF﹣EF＝EH﹣EF， ∴AE＝FH＝2， ∵BD＝CD，∠CDF＝∠BDH， ∴△CDF≌△BDH（AAS）， ∴DF＝DHFH＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）三条线段的长度分别为a、b、c，其中a＜b＜c，且这三条线段首尾顺次连接能构成三角形． （1）a、b、c只需要满足条件　②　 即可．（只填一个序号） ①b+c＞a；②b+a＞c；③a+c＞b． （2）若a＝3，c＝6，b为整数，求构成的三角形的周长． 【分析】（1）直接利用三角形的三边关系解答即可； （2）先求出b的值，再求出三角形的周长即可． 【解答】解：（1）∵三条线段的长度分别为a、b、c，a＜b＜c， ∴b+c＞a和a+c＞b不管构不构成三角形一定成立，故①③不符合题意； 当b+a＞c时，这三条线段首尾顺次连接能构成三角形，故②符合题意． 故答案为：②； （2）∵a＝3，c＝6，a＜b＜c， ∴3＜b＜6， 由（1）得b+a＞c，即b+3＞6，解得b＞3， ∴3＜b＜6， ∵b为整数， ∴b＝4或b＝5， 当b＝4时，三角形的周长为3+4+6＝13； 当b＝5时，三角形的周长为3+5+6＝14． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，列代数式，熟知三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 17．（7分）如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°，求∠DAE的度数． 【分析】由三角形内角和定理求得∠BAC，则根据角平分线的定义易求∠EAC，根据三角形外角定理，即可求得∠AED，在直角△AED中，利用直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠EAD，即可作答． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝70°， 则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°． ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠EAC∠BAC＝36°， ∴∠AED＝∠B+∠BAE＝38°+36°＝74°， ∵AD是△ABC的高线， ∴△AED为直角三角形， ∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣74°＝16°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、高和三角形外角，解题的关键是熟练掌握角的变换． 18．（7分）如图①，在四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA⊥AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求证：CA平分∠BCD； （3）如图②，若AF是△ABC的边BC上的高，已知AF＝2，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据三角形的判定定理ASA即可证得． （2）通过三角形全等求得AC＝AE，∠BCA＝∠E，进而根据等边对等角求得∠ACD＝∠E，从而求得∠BCA＝∠E＝∠ACD即可证得； （3）过点A作AM⊥CE，垂足为点M，由题意易得AF＝AM＝2，然后可得M为CE的中点，则有CM＝AM＝ME＝2，进而根据割补法可求解面积． 【解答】（1）证明：∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ADE＝∠ABC， 在△ABC与△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（ASA）； （2）证明：由（1）知：△ABC≌△ADE， ∴∠BCA＝∠E，AC＝AE， ∴∠ACD＝∠E， ∴∠BCA＝∠E＝∠ACD， ∴CA平分∠BCD； （3）解：如图②，AF是△ABC的边BC上的高，AF＝2，∠BCA＝∠ACD，过点A作AM⊥CE，垂足为点M． ∴AF＝AM＝2， ∵∠BAC＝∠DAE，DA⊥AB， ∴∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+∠BAC＝∠BAD＝90°， ∵AM⊥CE，AC＝AE， ∴M为CE的中点． ∴CM＝AM＝ME＝2． ∴CE＝4． 又由（1）知△ABC≌△ADE， ∴． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的平分线的判定和性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG． （1）求证：△ABF≌△ACG； （2）若AD平分∠BAC，求证：BE＝CG+EG． 【分析】（1）由∠BAC＝∠FAG可得出∠BAD＝∠CAG，从而可证△ABF≌△ACG； （2）由（1）的结论可得AF＝AG，BF＝CG，再由AB＝AC及AD平分∠BAC易得∠CAG＝∠CAD，从而可得△AEF≌△AEG，则易得结论． 【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠FAG， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD， 即∠BAD＝∠CAG， 在△ABF和△ACG中， ， ∴△ABF≌△ACG（ASA）； （2）∵△ABF≌△ACG， ∴AF＝AG，BF＝CG． ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵∠BAD＝∠CAG， ∴∠CAG＝∠CAD． 在△AEF和△AEG中， ， ∴△AEF≌△AEG（SAS）， ∴EF＝EG， ∴BE＝BF+FE＝CG+EG． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． 20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AD于点E，CF⊥AB交AB延长线于点F，且∠D+∠ABC＝180°． （1）求证：BC＝CD； （2）若AD＝10，BF＝2，求AB的长． 【分析】（1）根据角平分线性质得CF＝CE，证明∠CBF＝∠D，进而可依据“AAS”判定△CBF是△CDE全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）设AB＝a，由△CBF和△CDE全等得BF＝DE＝2，则AF＝a+2，AE＝8，证明△CAF和△CAE全等得AF＝AE，则a+2＝8，由此解得a＝6，继而可得AB的长． 【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，CF⊥AB交AB延长线于点F， ∴CF＝CE，∠F＝∠CEA＝∠CED＝90°， ∵∠CBF+∠ABC＝180°，∠D+∠ABC＝180°， ∴∠CBF＝∠D， 在△CBF是△CDE中， ， ∴△CBF≌△CDE（AAS）， ∴BC＝CD； （2）解：设AB＝a， 由（1）可知：△CBF≌△CDE， ∴BF＝DE， ∵BF＝2， ∴BF＝DE＝2， ∴AF＝AB+BF＝a+2， ∵AD＝10， ∴AE＝AD﹣DE＝10﹣2＝8， ∵AC平分∠BAD， ∴∠CAF＝∠CAE， 在△CAF和△CAE中， ， ∴△CAF≌△CAE（AAS）， ∴AF＝AE， ∴a+2＝8， 解得：a＝6， ∴AB＝a＝6． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 21．（9分）如图，点E，F在线段BD上，已知AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF． 求证：∠B＝∠D． 【分析】根据已知条件证明Rt△ADF≌Rt△CBE（HL），故可求解． 【解答】证明：∵DE＝BF， ∴DE+EF＝BF+EF， ∴DF＝BE． ∵AF⊥BD，CE⊥BD， ∴△ADF、△CBE都是直角三角形， 在Rt△ADF和Rt△CBE中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）， ∴∠B＝∠D． 【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质，垂线，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G． （1）求证：△ABC≌△DCE． （2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠DFC的度数． 【分析】（1）根据已知条件CE∥AB可推出∠B＝∠DCE，再结合BC＝CE，BA＝CD，利用SAS判定定理即可证明； （2）先由（1）中三角形全等得出∠A＝∠D，再根据三角形外角性质求出∠AGF，根据三角形的内角和定理和对顶角相等求出∠DFC即可． 【解答】（1）证明：∵CE∥AB， ∴∠B＝∠DCE． 在△ABC和△DCE中， ， ∴△ABC≌△DCE（SAS）． （2）解：∵△ABC≌△DCE，∠B＝50°，∠D＝22°， ∴∠A＝∠D＝22°，∠AGF＝∠B+∠D＝50°+22°＝72°． ∴∠DFC＝∠AFG＝180°﹣∠A﹣∠AGD＝86°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和三角形外角的性质是解题的关键． 23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（2，0），连接AB，点P，Q是线段OB上的动点（P，Q两点不重合），且OP＝BQ．连接AQ，过点O作OD⊥AQ交AQ于点E，交直线AB于点D，连接DP，交AQ于点F． （1）求证：∠DOB＝∠QAO； （2）试猜想∠BPD与∠AQO的数量关系，并说明理由； （3）当PQ＝FQ时，连接OF，求△AOF的面积． 【分析】（1）根据∠AOQ＝90°，∠AEO＝90°，可得∠AOE+∠DOB＝90°，∠AOE+∠QAO＝90°，从而得证； （2）当P在Q点左边时，过B点作BM⊥OB于点B，交OD的延长线于点M，证明△BOM≌△OAQ（ASA），得到BM＝OQ，∠AQO＝∠OMB，再证明△BMD≌△BPD（SAS），得到∠BPD＝∠BMD，从而得到∠BPD与∠AQO的数量关系；当P在Q点右边时，由OP＝BQ，PQ＝PQ，可知OQ＝BP，同理可证△BOM≌△OAQ（ASA），有OQ＝BM，则BP＝BM，同理可证△BMD≌△BPD（SAS），从而得到∠BPD与∠AQO的数量关系； （3）当P在Q左侧时，先证明△PQF是等边三角形，∠PQF＝60°，设PQ＝FQ＝PF＝2a，然后结合30°角所对的直角边等于斜边的一半，表示出OP，PQ，OQ，AQ，然后利用AF＝AQ﹣FQ表示出AF，最后表示出S△AOF；当P在Q右侧时，此时OP＝BQ＞1，则OQ＜1，由（2）知，∠AQO＝∠BPD，故∠FQP＝∠FPQ，那么FQ＝FP，可推出∠OAQ＝30°，此时AQ＝2OQ＜2，与AQ＞AO＝2矛盾，故P在Q右侧时不成立． 【解答】（1）证明：由题得∠AOQ＝90°， ∴∠AOE+∠DOB＝90°， 又∵OD⊥AQ， ∴∠AEO＝90° ∴∠AOE+∠QAO＝90°， ∴∠DOB＝∠QAO． （2）解：∠BPD＝∠AQO；理由如下： ①如图1，当P在Q点左边时，过B点作BM⊥OB于点B，交OD的延长线于点M， ∴∠MBO＝90°＝∠AOQ， ∵A（0，2），B（2，0）， ∴OA＝OB，∠OAB＝∠ABO＝45°， 在△BOM和△OAQ中， ， ∴△BOM≌△OAQ（ASA）， ∴BM＝OQ，∠AQO＝∠OMB， 又∵OP＝BQ， ∴BP＝OQ， ∴BM＝BP， 又∵∠ABO＝45°， ∴∠MBD＝∠MBO﹣∠ABO＝45°＝∠DBP， 在△BMD和△BPD中， ， ∴△BMD≌△BPD（SAS）， ∴∠BPD＝∠BMD， 又∵∠AQO＝∠BMD， ∴∠BPD＝∠AQO； ②如图2，当P在Q点右边时，由OP＝BQ，PQ＝PQ，可知OQ＝BP， 同理可证△BOM≌△OAQ（ASA）， ∴OQ＝BM，则BP＝BM， 同理可证△BMD≌△BPD（SAS）， ∴∠BMD＝∠BPD， 又∵∠BMD＝∠AQO， ∴∠BPD＝∠AQO； （3）解：如图3，当P在Q左侧时， 由（2）可知∠BPD＝∠AQO， ∴△PQF是等腰三角形， ∴FQ＝FP， 又∵PQ＝FQ， ∴△PQF是等边三角形，∠PQF＝60°． 设PQ＝FQ＝PF＝2a， ∵OP＝BQ，OB＝2， ∴， ∵OP＝1﹣a，PQ＝2a， ∴OQ＝1﹣a+2a＝1+a， 在Rt△AOQ中，∠PQF＝60°， ∴∠OAQ＝30°，AQ＝2OQ， ∴AQ＝2+2a， 又∵FQ＝2a， ∴AF＝AQ﹣FQ＝2， 同理在Rt△AOE中，∠OAE＝30°，OA＝2， ∴， ∴； 如图4，当P在Q右侧时，此时OP＝BQ＞1，则OQ＜1， 由（2）知，∠AQO＝∠BPD， 故∠FQP＝∠FPQ， ∴FQ＝FP， 当PQ＝FQ时，∠FQP＝60°， ∴∠OAQ＝30°， ∴AQ＝2OQ＜2，与AQ＞AO＝2矛盾，故P在Q右侧时不成立， 综上，． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点并分类讨论是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司 $