16.3乘法公式课件2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦乘法公式中的平方差公式与完全平方公式，通过计算实例观察特征、几何面积验证推导公式，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解公式来源与结构。 其亮点在于融合几何直观与推理意识，如用阴影面积说明平方差公式、实验田面积推导完全平方公式，结合实例剖析与变式训练培养运算能力。总结系统且注重应用，助力学生提升数学思维，为教师提供清晰教学路径。

乘法公式 # # 平方差公式 模块一： 计算 (1)(x+1)(x-1)= x²-1; (2)(m+2)(m-2)= m²-4; (3)(2x+1)(2x-1)= 4x²-1 . 1 、观察等式左边的两个二项式有什么特点? 2、观察等式右边的多项式，你发现了什么? CHUNHONG SHUXUE ·知识导航 · 计算：( a+b)(a-b) =a² -ab+ab-b² =a²-b² 思考：你能用文字语言表达以上式子吗? 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 CHU ZHONG SHU×UE ·知识导航 · (a+b)(a-b)=a²-b² 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 1.(a-b)(a+b)=a²-b² 2.(b+a)(-b+a)=a²-b² 平方差公式 CHUZHONG SHUXUE ·知识导航 · ◆公式变形： (a+b)(a-b)=a2²-b² (1)公式左边是：相同两数的和与差的积 有两项符号相同(相同项)、有两项符号相反(相反项) (2)公式右边是：这两个数的平方差；相同项²一相反项² (3)公式中的a和b可以代表数，也可以是式子 运用公式的关键 先确定相同项和相反项 CHUZHONG SHUXUE ·知识导航 · 理解公式 特征结构 分析：(1)左图中阴影部分的面积为 a²-b2; (2)将阴影部分拼成右图的一个长方形，这个长方形的长是a+b ,宽是a-b , 面积 (a+b)(a-b) 根据下面的演示，你能通过求阴影部分的面积说明平方差公式吗? CHUZHONG SHUXUE ·知识导航 · 演示 例1.计算： (1)(3x+2)(3x-2) (2)(-x+2y)(-x-2y) 分析：在(1)中，可以把3x看成a,2 看成 b, 即 (a+b)(a-b)=a² -b² 解：(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)²-2²=9x²-4 (2)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)²-(2y)²=x²-4y² ·实例剖析 · CHUZHONG SHUXUE 运用平方差公式计算： (-4a-1)(4a-1). 法 利用加法交换律， 变成公式标准形式。 法 提取两“-”号中的“-”号， 变成公式标准形式。 注意 十算时千万别忘了你提出的 “=”号、添括号； 运用平方差公式时，要紧扣公式的特征， 4. -1 +4a (-4a -1)(4a-1) =-(4a+1)(4a-1) (-4a-1)(4a-1) = ( -1 -4a =(-1)²-(4a)² =1-16a² 找出相等的“项”和符号相反的“项”,然后应用公式. =-[(4a)²-1] =1-16a² ·实例剖析 · 例2.计算： (1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) 解：(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y²-2²-(y²+4y-5) =y²-4-y²-4y+5 =-4y+1 (2)102×98 (2)102×98 =(100+2)×(100-2) =100²-22 =10000-4 =9996 CHUZHONG SHUXUE ·实例剖析 · · 能力训练 · 1. 下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是( D) A. (一2m+n) (一2m—n) B. C.(x+2y—1)(x+2y+1) D.(a —b)(一a+b) 2.下列计算错误的是(B) A. (6a+1)(6a-1)=36a²-1 B.(a³-8) (一a³+8)=a⁹—64 C.(-m-n)(m—n)=n²-m² D.(-a²+1)(-a²-1)=a⁴—1 CHUZHONG SHUXU 则3× · 3= 27 , x 一y的值为 -4_. 则( m-5)²-(n+5)²= 6. 5. 在平面直角坐标系中，已知A(-a,8),B(-11,b a+b,y= 2, 则式子(x+2y-3)(x-2y+3) 的值为 8 3. 已知x+y-3=0, x²-y²=-12, 4. 已知m+n=3,m-n=12, 关于y轴对称，其中x= . CHU ZHONG SHUXUE ·能力训练 · 6. (1)已知a—b=2,b—c=2,a+c=14, 求a²—b²的值. 解：把b—c=2,a+c=14 相加，得a+b=16. 所以a²—b²=(a—b)(a+b)=2×16=32. (2)已知2a²+3a—6=0, 求式子3a(2a+1)—(2a+1)·(2a—1) 的值. SHUXU 解：原式=6a²+3a—4a²+1=2a²+3a+1. 因为2a²+3a—6=0, 所以2a²+3 a=6. · 能力训练 · CHUZHONG · 能力训练 · 7.对于任意的正整数n, 整式(3n+1)(3n-1)—(3-n)(3+n) 的值一定是10的整数倍 吗? 解：原式=9n²-1-(9-n) =10n²-10. ∵(10n²-10)÷10=n²-1, n为正整数， ∴n²-1为整数. 即(3n+1)(3n—1)—(3-n)(3+n) 的值一定是10的 整数倍. U ZHONG SHU XUE 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差. 字母表示： (a+b)(a-b)=a²-b² 应用时，紧紧抓住“一同一反”这一特征，只有 两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不 能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用 内容 平方差 公 式 注意 ·归纳总结 · 完全平方公式 模块二： 不同的新品种. 你能用不同的方法表示试验田的总面积吗? ①总面积=(a+b)² ②总面积=a²+ab+ab+b² =a²+2ab+b² 你发现了什么? (a+b)²=a²+2ab+b² ab 个 a 一块边长为a米的正方形实验田，因其边长增加b米，形成四块实验田，以种植 ·知识导航 · b² a b 计算下列各式： (1)(p+1)²= p²+2p+1 (2)(m+2)2= m²+4m+4 (3)(p—1)²= p²-2p+1 (4)(m—2)²= m²—4m+4 CHUZHONG SHU×UE ·知识导航 · 你能用字母表示出你发现的规律吗? (1)(610= (2)(H2② p²+2+1 m²+4m4; ·知识导航 · 2×p×1 2×m×2 CHUZHONG (F)²=a2+2ab+B² . SHUXUE (3) ⑥O²= p²-2D+) ; -2×p×1 (4)(D203= m²-4m+4 -2×m×2 你能用字母表示出你发现的规律吗? b)²=a²-2 ab+b². CHUZHONG SHU×UE ·知识导航 · 也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去) 它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式. 简记为： “ 首平方，尾平方，积的2倍放中央” (a+b)²= a²+2ab+b² (a-b)²= a²-2ab+b² CHU ZHONG SHU XUE 完全平方公式 ·知识导航 · 积为二次三项式； 积中两项为两数的平方和； 另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同. 公式中的字母a,b 可以表示数、单项式和多项式. 1 ② 3 ④ CHUZHONG SHU×UE ·知识导航 · ◆公式特征： 例1.运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)² 解：(1)(4m+n)² =(4m)²+2·(4m)·n+n² =16m²+8mn+n² ·实例剖析 · CHUZHONG SHUXUE 解：(2) (2) (2)992. 992 =(100-1)² =10000-200+1 = 9801. 通过合理变形， 利用完全平方公式， 可以简化运算. 例2 运用完全平方公式计算： (1)1022; 解：102² =(100+2)² =10000+400+4 =10404. CHUZHONG SHUXUE 运用完全平方公式进行计算时，应注意： (1)公式中的字母a,b 可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这个公 式的结构特征就可以运用这个公式； (2)公式等号右边2ab的符号取决于等号左边二项式中两项的符号，若这 两项同号，则2ab取“+”;若这两项异号，则2ab取“-”; (3)(a±b)²≠a²±b² . CHUZHO SHUXUE 只有当b=0 或a=b 时 ，(a-b)²=a²-b² . E U X U H S (a+b)²与(-a-b)²相等吗?(a-b)²与(b-a)²相等吗? (a-b)²与a²-b2相等吗?为什么? (-a-b)²=(-a)²-2·(-a)·b+b² =a²+2ab+b²=(a+b)² (b-a)² =b²-2ba+a²=a²-2ab+b² =(a-b)² (a-b)² 与a²-b 不一定相等. ·归纳总结 · CHUZHONG 1.下列多项式中，是完全平方式的是(B). A.m²—2mn-n² B.x²+4xy+4y² C.x²—2xy-y² D.25a²+10ab—b² 2.计算(2x—y)(-y+2x)的结果是( A). A.4x²—4xy+y² B.x²+4xy+4y² C.2x²-y² D.4x²—y² CHUZHONG SHUXU 3.若多项式9x²+mx+1是一个完全平方式，则m的值是 ( B) A.±3 B.±6 C.3 D.±9 4.若 ( 2x+4y)²=4x²-2(m-1)xy+16y², 则m的值为 - 7 . ·能 力 训 练· CHUZHONGSHUXU 解：(1)( x+2y-3)(x-2y+3) =[x+(2y-3)][x-(2y-3)] =x²-(2y-3)² =x²-(4y²-12y+9) =x²-4y²+12y-9. (2)(a +b+c)² =[(a+b)+c]² =(a+b)²+2(a+b)c +c² =a2+2ab+b²+2ac +2bc +c2 =a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac. 5.运用乘法公式计算： (1)(x+2y-3)(x-2y +3) (2)(a +b+c)² CHUN ZHONG SHUXUE ·能力训练 · 6.(1)已知x+y=8,xy=12, 求x²-xy+y² 的值 . 解：∵x+y=8,xy =12,x²-xy+y²=(x+y)²-3xy ∴x²-xy+y²=82-3×12=64-36=28. (2)已知a+b=3, 且a-b=-1, 求ab的值 . 解：∵a+b=3,a-b=-1, ∴a²+2ab+b²=9①,a²-2ab+b²=1②, ①-②,得4ab=9-1=8,∵ab=2. ·能 力 训 练· CHUZHONGSHUXU 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和， 加上(或减去)它们的积的2倍. (a+b)²=a+2ab+b²,(a-b)²=a2-2ab+b². ·归纳总结 · 完全平方公式 符号表示 内容 $