专题十一 导数与函数单调性讲义(知识点+典例+变式+练习)-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数单调性核心考点，涵盖利用导数判断单调性、已知单调性反推参数范围、存在单调区间等高考高频内容，按概念界定、解题步骤、性质关系的逻辑层次梳理知识点。通过考点归纳、题型分类（含不含参及四类含参讨论）、典型例题解析、分层练习（单选至解答题）的教学流程，帮助学生系统构建知识网络，突破导数应用难点。 讲义采用分类讨论与问题驱动教学法，如针对导函数为二次型的含参问题，通过可分解与不可分解类型对比，培养学生数学思维的逻辑性与严谨性。设置基础巩固到综合应用的分层练习，配合即时反馈，确保复习效率。助力学生提升用数学语言表达函数单调性规律的能力，为教师精准把控复习节奏提供系统指导。

专题十一 导数与函数单调性讲义 知识点归纳 一、利用导数求函数单调性的概念 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导， 若f′(x)>0则f(x)在区间(a，b)上是增函数（f′(x)>0是递增的充分不必要条件） 若f′(x)<0则f(x)在区间(a，b)上是减函数（f′(x)<0是递减的充分不必要条件） 二、函数单调性解题步骤 1.确定函数的定义域； 2.求出导数f′(x)的零点； 3.用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 注意:只有变号零点才能分割单调区间，若为偶次重根零点不一定是变号零点，导数左右符号不变，非变号零点不能划分单调区间。 三、已知原函数的单调性反推导数条件（高频考点） 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立； 若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 注意：f′(x)≥0是递增充要条件（需排除导函数恒为0区间） f′(x)≤0是递减充要条件（需排除导函数恒为0区间） 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解； 若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 注意：f′(x)≥0是递增充要条件（需排除导函数恒为0区间） 四、原函数与导函数性质之间的关系 (1) 可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数. (2) f′(x)为偶函数f(x)有对称中心. 题型 题型一 求不含参函数的单调区间 题型二 已知函数在区间单调，求参数 第一类：导函数是“一次型”； 第二类：导函数含型 ； 第三类：导函数为二次型，可分解为 第四类：导函数为二次型，不可分解 题型三 已知存在单调区间，求参数 题型四 其他类型含参讨论 【典型例题】 题型一 求不含参函数的单调区间 例1 确定下列函数的单调递增区间：； 变式1 确定下列函数的单调递增区间 题型二　已知函数在区间单调，求参数 第一类：导函数是“一次型” 例2-1已知函数，（为自然对数的底）.求函数的单调区间； 变式2-1已知函数.讨论的单调性； 第二类：导函数含型 例2-2 设定义在上的函数.求函数的单调区间； 变式2-2 已知函数讨论函数的单调性 第三类：导函数为二次型 可分解 例2-3已知函数,.讨论函数的单调性 变式2-3 若函数的减区间为，则的值为（ ） A.3 B.1 C. D. 第四类 导函数为二次型 不可分解, 例2-4已知函数.讨论函数的单调性； 变式2-4已知函数．讨论的单调性； 题型三 已知存在单调区间，求参数 例3.已知函数． (1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 变式3 若函数在单调递减，则a的取值范围是______． 题型四 其他类型含参讨论 例4已知函数． (1)当时，求的单调区间；(2)讨论的单调性． 变式4 已知，讨论的单调性. 【强化练习 一、单选题 1．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调增区间（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ）    A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增 C．当时，>0D．当时，=0 5．已知是定义在R上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成立，则的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域是，其导函数为，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若为上的增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，下列说法正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．在处的切线方程为 D．的单调递增区间为 10．已知函数，则满足的整数的取值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 11.设函数，则(　　) A. 在上单调递减 B. 在上的最大值为 C. 方程只有一个实根 D. ，都有成立 三、填空题 12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数：__________. ①；②任意，都有；③是偶函数. 13.若函数在上可导，且满足，则与的大小关系为___________． 14．已知函数，若函数恰有一个实根，则实数的取值范围是 解答题（15-19） 15. 讨论下列函数的单调性 （1）已知函数 （2）已知函数.. （3）已知函数且 （4） 已知函数,. 16.设函数. （1）求的单调区间； （2）当时,试判断零点的个数； 17.已知函数. (1)求的单调区间； (2)若,,求实数的取值范围． 18.已知函数. (1)试讨论的单调性；(2)当时，求的单调区间. 19．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设且，若，求a的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十一 导数与函数单调性讲义 知识点归纳 一、利用导数求函数单调性的概念 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导， 若f′(x)>0则f(x)在区间(a，b)上是增函数（f′(x)>0是递增的充分不必要条件） 若f′(x)<0则f(x)在区间(a，b)上是减函数（f′(x)<0是递减的充分不必要条件） 二、函数单调性解题步骤 1.确定函数的定义域； 2.求出导数f′(x)的零点； 3.用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 注意:只有变号零点才能分割单调区间，若为偶次重根零点不一定是变号零点，导数左右符号不变，非变号零点不能划分单调区间。 三、已知原函数的单调性反推导数条件（高频考点） 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立； 若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 注意：f′(x)≥0是递增充要条件（需排除导函数恒为0区间） f′(x)≤0是递减充要条件（需排除导函数恒为0区间） 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解； 若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 注意：f′(x)≥0是递增充要条件（需排除导函数恒为0区间） 四、原函数与导函数性质之间的关系 (1) 可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数. (2) f′(x)为偶函数f(x)有对称中心. 题型 题型一 求不含参函数的单调区间 题型二 已知函数在区间单调，求参数 第一类：导函数是“一次型”； 第二类：导函数含型 ； 第三类：导函数为二次型，可分解为 第四类：导函数为二次型，不可分解 题型三 已知存在单调区间，求参数 题型四 其他类型含参讨论 【典型例题】 题型一 求不含参函数的单调区间 例1、 确定下列函数的单调递增区间： ； 【答案】(1)单调增区间为 【分析】直接求导，利用导函数的正负与原函数单调性的关系即可得到答案. 【解析】（1）设，，因为时，恒成立， 则当，即时，，此时函数单调递增， 则函数的单调增区间为 变式1 确定下列函数的单调递增区间 【答案】 【解析】 由已知得， 由 可得，解得， 即函数的递增区间为． 题型二　已知函数在区间单调，求参数 第一类：导函数是“一次型” 若a为参数,要注意分进行讨论,还要注意这一条件. 例2-1已知函数，（为自然对数的底）.求函数的单调区间； 【解析】（1）函数的定义域为, 且 当时,,则函数在上单调递增； 当时,,, ∴在上单调递增,在上单调递减 综上当时函数在上单调递增；当时在上单调递增,在上单调递减. 变式2-1已知函数.讨论的单调性； 【解析】(1)的定义域, 当时,,则在上单调递减； 当时,令,可得； 令可得； 则在上单调递增,在上单调递减. 综上当时函数在上单调递减；当时在上单调递增,在上单调递减. 第二类：导函数含型 即要注意, 若,则恒成立,若,则恒成立. 例2-2 设定义在上的函数.求函数的单调区间； 【解析】 当时,,在R上为增函数； 当时,由,得,即 ,由,得. ∴函数的单调增区间为,减区间为； 综上当时的单调递增区间为；当时的单调增区间；减区间为 变式2-2 已知函数讨论函数的单调性 【解析】的定义域R, 当m≥0时,,在R上为增函数 当时m<0时,令,得,则在单调递减； 令得,则在单调递增； ∴当m≥0时,,在R上为增函数；当时m<0时 函数的单调增区间为,减区间为 第三类：导函数为二次型 可分解 首先根据a的符号进行讨论；当a的符号确定后,再根据是否在定义域内讨论。 当都在定义域内时在根据的大小进行讨论。 口诀：一解分三类（a=0,a>0,a<0）,两解比大小（两根相等，一大，一小） 例2-3已知函数,.讨论函数的单调性 【解析】（1）f'（x）＝3x2+2ax﹣a2＝（3x﹣a）（x+a） 当a>0时,由得 ,由得 ； 当a<0时,由得 ,由得 ； 当a=0时,；所以函数在R的单调递增 所以 a>0时，函数的单调递增区间是；递减区间； a<0时，函数的单调递增区间是；递减区间; 当a=0时,函数在R的单调递增 变式2-3 若函数的减区间为，则的值为（ ） A.3 B.1 C. D. 【答案】A 【解析】由得. 因为的减区间为,所以的解集为. 由得,即. 故,解得. 故选:A. 第四类 导函数为二次型 不可分解, 根据判别式的符号进行讨论，求解此类问题既要考虑判别式的符号,又要注意二次项系数的符号,还要注意定义域. 例2-4已知函数.讨论函数的单调性； 【解析】（1）, 令,其对称轴为,令,则. 当时,,所以在上单调递增； 当时,对称轴为, 若,即,恒成立,所以,所以在上单调递增； 若时,设的两根,, 当时,,所以,所以在上单调递增, 当时,,所以,所以在上单调递减, 当时,,所以,所以在上单调递增, 综上所述：当时, 在上单调递增； 若时, 在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增； 变式2-4已知函数．讨论的单调性； 【解析】（1）的定义域为,, 对于函数, ①当时,即时,在恒成立． 在恒成立,在为增函数； ②当,即或时, 当时,由,得或,, 在为增函数,减函数, 为增函数, 当时,由在恒成立, 在为增函数． 综上,当时,在为增函数,减函数,为增函数； 当时,在为增函数． 题型三 已知存在单调区间，求参数 例3.已知函数． (1)若函数存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)，且 (2)，且 【分析】（1）对求导，使有解即可； （2）在上单调递减，转化为时，恒成立，计算其最值即可 【解析】（1）， ． 在上存在单调递减区间， 当时，有解，即有解．设只要即可． 而． 故a的取值范围是，且． （2）在上单调递减， 时，恒成立， 即恒成立，，而， ．． 故a的取值范围是，且． 变式3 若函数在单调递减，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】求出定义域，求出，求出的单调递减区间，列关于的不等式即可求解. 【解析】的定义域为， ， 令，即， 解得，即的单调递减区间为， 因为在单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 题型四 其他类型含参讨论 例4已知函数． (1)当时，求的单调区间；(2)讨论的单调性． 【答案】(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）利用求导并因式分解，再结合定义域，即可由导数的正负确定函数的单调区间； （2）利用求导，再通过对参数的分类讨论，来决定导数的正负，从而确定函数的单调区间. 【解析】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 变式4 已知，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对求导并进行因式分解，根据的取值分类讨论，利用导数符号进行判断即可. 【解析】的定义域为， . 当时，且，可得： 时，，单调递增， 时，，单调递减. 当时，. ①当时，且， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减. ②当时，，在内，，单调递增. ③当时，且， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 【强化练习 一、单选题 1．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项：当时，的导函数为， 所以在时单调递减，A选项不符合；B选项：当时，的导函数为，所以在时单调递减，故B选项不符合；C选项：当时，的导函数为，所以在时单调递减，故C选项不符合；D选项：当时，的导函数为，所以在时单调递增，又函数的定义域为，且，故D选项符合 2．函数的单调增区间（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的定义域为，，令，解得， 故的单调递增区间为.故选：A 3．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数，， 若在递增，则在恒成立，可得,解得，故选：D 4．已知函数的图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ）    A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增 C．当时，>0D．当时，=0 【答案】C 【解析】由图像可知函数的增区间为，减区间为，故AB正确； 由单调性可知，函数在处取得极值，所以，D正确； 当时，函数单调递减，所以，C错误.故选：C 5．已知是定义在R上的奇函数，的导函数为 ，若 恒成立，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令函数，则 ， 因为 所以. 是增函数， 因为是奇函数，所以，， 所以的解集为，即≥的解集为；故选：D. 6．已知函数的定义域是，其导函数为，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，在函数中，，导函数为，， 设，则.∵，∴，则是上的增函数.不等式等价于 ，即， 则解得：，故选：D. 7．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，由题意可知：存在，使得，整理得， 且在上单调递减，则，可得，所以实数的取值范围是.故选：A. 8．已知函数，若为上的增函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由，求导得， 因为为上的增函数，所以在R上恒成立，即在R上恒成立， 即在R上恒成立，令，则， 当时，，当时，， 所以当时，函数取得最大值，所以，所以的取值范围为.故选：B 二、多选题 9．已知，下列说法正确的是（    ） A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．在处的切线方程为 D．的单调递增区间为 【答案】BC 【解析】对于AC，，由，得， 所以切线的斜率，所以在处的切线方程为，所以A错误，C正确， 对于BD，函数的定义域为，，由，得，解得， 由，得，解得， 所以在上递增，在上递减，所以B正确，D错误，故选：BC 10．已知函数，则满足的整数的取值可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BCD 【解析】由题意得，故为偶函数， 而，当时，， 故在单调递增，在单调递减，若，则，得， 即，解得故选：BCD 11.设函数，则(　　) A. 在上单调递减 B. 在上的最大值为 C. 方程只有一个实根 D. ，都有成立 【答案】BCD 【解析】由题可得， 令，则， 当时，，所以，在上单调递减． 又，所以当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上，． 当时，， 所以在上的最大值为，故A错误，B正确； ，即， 由图象知，与的图象只有一个交点，故C正确； 令， 则， 当时，，单调递增， 当时，，当时，， 所以在上先增后减， 又， ，所以成立，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 12.写出一个同时具有下列性质①②③的函数：__________. ①；②任意，都有；③是偶函数. 【答案】（答案不唯一）如等 【解析】任意，都有，所以函数在上单调递增或常函数等， 因为，所以可以是幂函数或或等函数， 又是偶函数，故，即， 所以，所以，为常数， 综上，函数的解析式不唯一， 可以是，等. 13.若函数在上可导，且满足，则与的大小关系为___________． 【答案】 【分析】构造函数，可由已知判得，由单调性可比较大小即可. 【解析】令， 因为在上可导，且满足， 所以， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以. 14．已知函数，若函数恰有一个实根，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】当时，，， 故在上单调递减，且， 当时，，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，，且当时，恒成立，画出的图象如下：    函数恰有一个实根，则或，则实数的取值范围是. 解答题（15-19） 15. 讨论下列函数的单调性 （1）已知函数 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的导函数，分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； 【解析】解：因为定义域为，所以， 对于方程，则， 当，即时，所以，所以在上单调递增， 当，即时，的解为：，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 综上可得：当时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）已知函数.. 【答案】 当时，，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减，在，单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在单调递减，在，单调递增． 【分析】求导得，分别讨论a取不同范围时，对应的导数与0的关系，从而判断原函数的单调区间. 【解析】由函数的解析式可得：， ①当时，若，则单调递减， 若，则单调递增； ②当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增； ③当时，在上单调递增； ④当时，若，则单调递增， 若，则单调递减， 若，则单调递增. （3）已知函数且 【解析】由题得意,. 令,则或. 当时,,由得,由得； 当时,； 当且,即时,由得, 由得或； 当,即时,由得, 由得或. 综上所述,当时,函数在上单调递增,在上单调递减； 当时,函数在上单调递减； 当时,函数在和上单调递减,在上单调递增；当时,函数在和上单调递减,在上单调递增. （4） 已知函数,. 【解析】 .∵函数,其中a>1, ∴f(x)的定义域为(0,+∞),, 令f′(x)=0,得x1=1,x2=a−1. ①若a−1=1,即a=2时,,故f(x)在(0,+∞)单调递增. ②若0<a−1<1,即1<a<2时,由f′(x)<0得,a−1<x<1；由f′(x)>0得,0<x<a−1,或x>1. 故f(x)在(a−1,1)单调递减,在(0,a−1),(1,+∞)单调递增. ③若a−1>1,即a>2时, 由f′(x)<0得,1<x<a−1;由f′(x)>0得,0<x<1,或x>a−1. 故f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增. 综上可得,当a=2时,f(x)在(0,+∞)单调递增； 当1<a<2时,f(x)在(a−1,1)单调递减,在(0,a−1),(1,+∞)单调递增； 当a>2时,f(x)在(1,a−1)单调递减,在(0,1),(a−1,+∞)单调递增. 16.设函数. （1）求的单调区间； （2）当时,试判断零点的个数； 【解析】（1）,. 当时,在恒成立,在是单减函数. 当时,令,解之得. 从而,当变化时,,随的变化情况如下表： - 0 + 单调递减 单调递增 由上表中可知,在是单减函数,在是单增函数. 综上,当时,的单减区间为； 当时,的单减区间为,单增区间为. （2）当时,由（1）可知,在是单减函数,在是单增函数； 又,,. ,；故在有两个零点. 17.已知函数. (1)求的单调区间； (2)若,,求实数的取值范围． 【解析】（1）, 令,得到,. 令,得,所以在单调递增, 令,得或,所以在,单调递减. （2）由（1）知,, 当时,,因为,且, 由（1）可知,在单调递增,此时若,, 与时,矛盾. 当时,,, 由（1）可知,在单调递减,因此对, ,此时结论成立. 综上,的取值范围为. 18.已知函数. (1)试讨论的单调性；(2)当时，求的单调区间. 【答案】(1)答案见解析(2)单调增区间 【解析】（1）由可得 ，， 令，解得或， ①当时，在小于0，即，单调递减， 在大于0，即，单调递增， ②当时，在，大于0，即，单调递增， 在小于0，即，单调递减， ③当时，在恒成立，即恒成立，当且仅当时等号成立， 所以在单调递增， ④当时，在，大于0，即，单调递增， 在小于0，即，单调递减， 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在单调递减，在，单调递增， 当时，在单调递增，当时，在单调递减，在，单调递增. （2）当时， ，，， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又因为，所以当时恒成立，即恒成立， 所以在上单调递增，所以的单调增区间为. 19．（2026·四川·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设且，若，求a的最小值. 【答案】(1)当时，函数在R上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2)5. 【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论求出函数单调区间. （2）由（1）求出的最小值，进而建立不等式，利用导数确定函数单调性求解不等式. 【解析】（1）函数的定义域为R， 求导得 ， 当时，，函数在R上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）得，当时，， 由，得，整理得， 令，由，得，令函数， 求导得，函数在上单调递减， 而，则由，得，因此，解得，又， 所以的最小值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $