广东省汕尾市海丰县2026-2027学年八年级上学期第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 以三角形知识为核心，通过基础辨析（如三边关系）、情境应用（如杭州景观几何问题）和综合推理（如折叠与全等证明），分层考查几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|三角形三线识别、内角和、全等判定|第5题通过折纸情境考查高/中线/角平分线，体现抽象能力| |填空题|5/15|等腰三角形周长、垂直平分线性质、面积计算|第14题结合角平分线性质与面积关系，考查推理意识| |解答题|8/55|全等证明、轴对称应用、动态几何|第22题以杭州景观为背景设计平行线与三角形综合题，培养模型意识|

2026-2027广东省汕尾市海丰县八年级（上） 第一次月考数学模拟练习1 一．选择题（共15小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm 2．（3分）如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，CG⊥CB，垂足分别为点D、E、F、C，△ABC中BC边上的高是（　　） A．CF B．BE C．CG D．AD 3．（3分）已知∠A＝40°，∠B＝50°，则△ABC为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 4．（3分）如图，∠1＝110°，∠2＝145°，那么∠3等于（　　） A．55° B．75° C．65° D．85° 5．（3分）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．角平分线、高线、中线 6．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 7．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE进行折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A'的位置，若∠A＝35°，则∠1﹣∠2的度数为（　　） A．35° B．60° C．75° D．70° 8．（3分）如果一个三角形的两条边长分别为2cm和5cm，则此三角形的第三边长可能是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．7cm 9．（3分）已知三角形的三边长3，7，a，则的值为（　　） A．7 B．﹣7 C．13﹣2a D．2a﹣13 10．（3分）如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点B关于AD的对称点E恰好落在边CD上，连接AE，若AF为△ACE的角平分线，则△ADB的度数为（　　） A．24° B．28° C．30° D．38° 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）等腰三角形两边分别为3厘米和8厘米，则它的周长为　 　 厘米． 12．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q，BC＝10，△APQ的周长为16，则PQ的长度为　 　 ． 13．（3分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的两点，连接BE，CF，且BE∥CF，AE＝13，AF＝7，则DE的长为　 　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，下列三个结论：①连接OC，则OC平分∠ACB；②；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝2ab．其中正确的是 　 　 （只填序号）． 15．（3分）如图，已知△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．若△ABC的面积等于12，则△BDE的面积等于 　 　 ． 二．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：∵　 　 （已知）， ∴∠PBC80°＝40°． 同理可得∠PCB＝　 　 ． ∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（ 　 　 ）， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）． ∴∠BPC＝　 　 °． 17．（7分）已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m． （1）求m的取值范围； （2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长． 18．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB⊥AC，直线l经过A点，BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D、E． （1）证明：△BDA≌△AEC； （2）写出BD、DE、EC之间的数量关系，并说明理由． 三．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°． （1）尺规作图：作∠ACB的角平分线交AB于O；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若AC＝6，求BO的长． 20．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且DF＝BD． （1）若AC＝8，AB＝10．且△ABC的面积等于24，则DE的长为　 　 ． （2）求证：CF＝BE． 21．（9分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F． （1）求证：BE＝CF； （2）如果AB＝20，AC＝8，求AE的长． 四．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）杭州风景如画，苏堤、白堤纵横交错，断桥、三潭印月相映成趣．在这些优美的景观布局中，蕴含着丰富的几何图形与位置关系．某数学实践小组在游览时发现，景观栈道、桥梁结构与观景路线中常常出现三角形与平行线的组合．请结合下列图形与情境，运用所学知识解决下列问题：如图1，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，直线a与边AC，AB分别交于D，E两点，直线b与边BC，AC分别交于F，G两点，且a∥b． （1）若∠AED＝35°，求∠BFG的度数； （2）如图2，P为边AB上一点，连结PF，若∠PFG+∠BFG＝180°，请你探索∠PFG与∠AED的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若∠AED＝n，延长AB交直线b于点Q，在线段DG上有一点M，连结ME，MQ，请直接写出∠MEQ，∠EMQ，∠MQF之间的数量关系（用含n的式子表示）． 23．（14分）在平面直角坐标系中，直线MN交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N（0，﹣3），∠ONM＝30°，作线段MN的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）如图1，点M的坐标为 　 　 ，点A的坐标为 　 　 ； （2）如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，且位于x轴上方，若S△ANP＝6，求点P坐标； （3）如图3，点Q是y轴的一个动点，连接QM，AQ，将△MAQ沿AQ翻折得到△M1AQ，当△M1MN是等腰三角形时，求点Q的坐标． 2026-2027广东省汕尾市海丰县八年级（上） 第一次月考数学模拟练习1 一．选择题（共15小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm 【分析】根据三角形三边关系得出第三边的取值范围，判断即可． 【解答】解：由三角形三边关系可知，第三边的取值范围为：9﹣5＜x＜9+5， 即：4＜x＜14， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解本题的关键． 2．（3分）如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，CG⊥CB，垂足分别为点D、E、F、C，△ABC中BC边上的高是（　　） A．CF B．BE C．CG D．AD 【分析】根据三角形的高的定义判断． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴△ABC中BC边上的高是AD， 故选：D． 【点评】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 3．（3分）已知∠A＝40°，∠B＝50°，则△ABC为（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都不对 【分析】根据三角形内角和定理，求出第三个角即可作出判断． 【解答】解：∠C＝180﹣∠A﹣∠B＝180﹣40﹣50＝90°， 则△ABC是直角三角形． 故选：C． 【点评】本题是三角形内角和定理的应用，是一个基础的题目． 4．（3分）如图，∠1＝110°，∠2＝145°，那么∠3等于（　　） A．55° B．75° C．65° D．85° 【分析】由邻补角的性质求出∠ACB＝70°，由三角形的外角性质得到∠3＝∠2﹣∠ACB＝75°． 【解答】解：∵∠1＝110°， ∴∠ACB＝180°﹣110°＝70°， ∵∠2＝145°， ∴∠3＝∠2﹣∠ACB＝75°． 故选：B． 【点评】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 5．（3分）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、中线、高线 D．角平分线、高线、中线 【分析】根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解． 【解答】解：由图①的折叠方式可知，∠BAD＝∠B′AD， ∴AD是△ABC的角平分线． 由图②的折叠方式可知，∠ADB＝∠ADB′， ∵∠ADB+∠ADB′＝180°， ∴∠ADB＝∠ADB′＝90°， ∴AD⊥BC， ∴AD是△ABC的高线． 由图③的折叠方式可知，BD＝CD， ∴AD是△ABC的中线． 只有D符合题意，ABC不符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，轴对称的性质等知识点，熟知三角形角平分线、中线和高线的定义是解题的关键． 6．（3分）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】过P作PK⊥OB于K，由角平分线的性质推出PK＝PC＝2，而OD＝4，即可求出△POD的面积OD•PK＝4． 【解答】解：过P作PK⊥OB于K， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C， ∴PK＝PC＝2， ∵OD＝4， ∴△POD的面积OD•PK4×2＝4． 故选：A． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到PK＝PC． 7．（3分）如图，将△ABC纸片沿DE进行折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A'的位置，若∠A＝35°，则∠1﹣∠2的度数为（　　） A．35° B．60° C．75° D．70° 【分析】根据多边形内角与外角的性质和三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：如图， ∵△ABC纸片沿DE进行折叠，点A落在四边形BCED的外部点A'的位置， ∴∠4＝∠5，∠3＝∠2+∠DEC， ∵∠1+∠4+∠5＝180°， ∴∠1+2∠4＝180°， ∴∠1＝180°﹣2∠4， ∵∠3+∠DEC＝180°， ∴∠2＝∠3﹣∠DEC＝2∠3﹣180°， ∴∠1﹣∠2＝180°﹣2∠4﹣2∠3+180°＝360°﹣2∠4﹣2∠3＝2∠A， ∴∠1﹣∠2＝2×35°＝70°， 故选：D． 【点评】本题考查了折叠的性质，多边形内角与外角的性质和三角形内角和定理，解题的关键是根据折叠的性质找出图中角度之间的关系． 8．（3分）如果一个三角形的两条边长分别为2cm和5cm，则此三角形的第三边长可能是（　　） A．2cm B．3cm C．6cm D．7cm 【分析】设第三边长为xcm，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【解答】解：设第三边长为xcm， 则5﹣2＜x＜5+2， 即3＜x＜7， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 9．（3分）已知三角形的三边长3，7，a，则的值为（　　） A．7 B．﹣7 C．13﹣2a D．2a﹣13 【分析】根据三角形三边关系，二次根式性质和绝对值的性质进行判断即可． 【解答】解：∵三角形的三条边长分别为3、7、a， ∴7﹣3＜a＜7+3， 即4＜a＜10， ∴a﹣4＞0，a﹣10＜0， ∴a﹣3＞0， ∴． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形和非负数．熟练掌握三角形三边关系，二次根式性质和绝对值的性质是解决问题的关键． 10．（3分）如图，在四边形ABDC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点B关于AD的对称点E恰好落在边CD上，连接AE，若AF为△ACE的角平分线，则△ADB的度数为（　　） A．24° B．28° C．30° D．38° 【分析】连接BE，依据垂直平分线的性质可得AB＝AE，从而得到AC＝AE，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得∠CAF＝∠EAF，AF⊥DE，所以，根据直角三角形性质可得∠ADE的度数，根据轴对称的性质可得∠ADB的度数． 【解答】解：连接BE， ∵点B关于AD的对称点E恰好落在CD上， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE，DE＝DB， ∴∠EAD＝∠BAD，∠EDA＝∠BDA， ∵AB＝AC， ∴AC＝AE， 又∵AF为△ACE的角平分线，∠AFE＝90°， ∴∠CAF＝∠EAF，AF⊥DE， ∴∠EAF+∠DAE＝∠CAF+∠BAD， ∴， ∴∠ADE＝90°﹣62°＝28°， ∴∠ADB＝∠ADE＝28°． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟知以上知识是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）等腰三角形两边分别为3厘米和8厘米，则它的周长为　19　 厘米． 【分析】给出等腰三角形有两条边长分别为3cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【解答】解：∵等腰三角形两边分别为3厘米和8厘米，且3+3＝6＜8， ∴等腰三角形三边不可能是3厘米，3厘米，8厘米， ∴等腰三角形三边为3厘米，8厘米，8厘米， ∴三角形的周长为19厘米． 故答案为：19． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 12．（3分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q，BC＝10，△APQ的周长为16，则PQ的长度为　3　 ． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到PA＝PB，QA＝QC，再根据三角形周长公式计算得到答案． 【解答】解：∵MP是AB的垂直平分线， ∴PA＝PB， ∵QN是AC的垂直平分线， ∴QA＝QC， ∵△APQ的周长为16， ∴QA+PA+QP＝16， ∴QC+PB+QP＝16， ∴QP+PC+BQ+QP+QP＝16， ∴BC+2QP＝16， ∵BC＝10， ∴QP＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 13．（3分）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的两点，连接BE，CF，且BE∥CF，AE＝13，AF＝7，则DE的长为　3　 ． 【分析】因为△ABC中，AD是BC边上的中线，所以BD＝CD，由AE＝13，AF＝7，求得EF＝AE﹣AF＝6，由BE∥CF，得∠E＝∠CFD，而∠BDE＝∠CDF，可根据“AAS”证明△BED≌△CFD，得DE＝DFEF＝3，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵△ABC中，AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∵点F在线段AE上，AE＝13，AF＝7， ∴EF＝AE﹣AF＝6， ∵BE∥CF， ∴∠E＝∠CFD， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DFEF＝3， 故答案为：3． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△AED≌△CFD是解题的关键． 14．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，下列三个结论：①连接OC，则OC平分∠ACB；②；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝2ab．其中正确的是 　①②③　 （只填序号）． 【分析】①连接OC，过点O作OP⊥AC于点P，OH⊥AB于点H，根据角平分线的性质得OP＝OH，OH＝OD，进而得OP＝OD，由此得点O在∠ACB的平分线上，据此可对该结论进行判断； ④根据OH＝OP＝OD＝a，AB+BC+CA＝2b得S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC•（AB+BC+CA）＝ab，由此可对该结论进行判断； ②根据角平分线定义得∠OBA＝∠OBC（∠ABC+∠ABC）＝90°∠C，进而得∠AOB＝180°﹣（∠OBA+∠OAB）＝90°∠C，由此可对该结论进行判断； ③在AB上截取AK＝AF，连接OK，先求出∠AOB＝120°得∠AOF＝60°，依据“ASA”判定△OAK和△OAF全等得∠AOK＝∠AOF＝60°，进而得∠BOK＝∠BOE＝60°，由此可依据“ASA”判定△OBK和△OBE全等得BK＝BE，据此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①连接OC，过点O作OP⊥AC于点P，OH⊥AB于点H，如图1所示： ∵∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，OD⊥BC于点D， ∴OP＝OH，OH＝OD， ∴OP＝OD， ∴点O在∠ACB的平分线上， ∴OC平分∠ACB， 故结论①正确； ④∵OD＝a， ∴OH＝OP＝OD＝a，AB+BC+CA＝2b， ∵S△OABAB•OH•AB，S△OBCBC•OD•BC，S△OACAC•OP•AC， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC•（AB+BC+CA）2b＝ab， 故结论④不正确； ②在△ABCD中，∠ABC+∠ABC＝180°﹣∠C， 根据角平分线定义得：∠OBA＝∠OBC∠ABC，∠OAB＝∠OAC∠ABC， ∴∠OBA+∠OAB（∠ABC+∠ABC）（180°﹣∠C）＝90°∠C， 在△OAB中，∠AOB＝180°﹣（∠OBA+∠OAB）＝180°﹣（90°∠C）＝90°∠C， 故结论②正确； ③在AB上截取AK＝AF，连接OK，如图2所示： ∵∠C＝60° ∴∠AOB＝90°∠C＝120°， ∴∠AOF＝∠BOE＝180°﹣∠AOB＝60°， 在△OAK和△OAF中， ， ∴△OAK≌△OAF（SAS）， ∴∠AOK＝∠AOF＝60°， ∴∠BOK＝∠AOB﹣∠AOK＝60°， ∴∠BOK＝∠BOE＝60°， 在△OBK和△OBE中， ， ∴△OBK≌△OBE（ASA）， ∴BK＝BE， ∴AF+BE＝AK+BK＝AB， 故结论③正确， 综上所述：正确的结论是①②③． 故答案为：①②③． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 15．（3分）如图，已知△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．若△ABC的面积等于12，则△BDE的面积等于 　3　 ． 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积即可得到结论． 【解答】解：∵E是边AC的中点，△ABC的面积等于12， ∴S△ABES△ABC＝6， ∵点D是边AB的中点， ∴△BDE的面积S△ABE， 故答案为：3． 【点评】本题考查了三角形中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分） 16．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求∠BPC的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：∵BP平分∠ABC （已知）， ∴∠PBC80°＝40°． 同理可得∠PCB＝　25°　 ． ∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（ 　三角形内角和定理　 ）， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质）． ∴∠BPC＝　115　 °． 【分析】根据角平分线的定义以及三角形内角和定理解决问题即可． 【解答】解：∵BP平分∠ABC（已知）， ∴∠PBC∠ABC80°＝40°． 同理可得∠PCB＝25°． ∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB（等式的性质） ＝180°﹣40°﹣25°． ＝115°． 故答案为：BP平分∠ABC，25°，三角形内角和定理，115． 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17．（7分）已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m． （1）求m的取值范围； （2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长． 【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可； （2）分BC＝AC，AB＝AC两种情况讨论即可． 【解答】解：（1）已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m， ∴20﹣8＜2m＜20+8， 解得：6＜m＜14； （2）△ABC是等腰三角形，分两种情况讨论： 当AB＝AC时，得：2m＝20， 解得：m＝10， 此时△ABC的周长＝20+20+8＝48； 当BC＝AC时，得：2m＝8， 解得m＝4； ∵6＜m＜14， ∴此种情况不合题意， 综上所述，m的值为10，△ABC的周长为48． 【点评】本题考查了勾股定理，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握三角形三边关系是解题的关键． 18．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC，AB⊥AC，直线l经过A点，BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D、E． （1）证明：△BDA≌△AEC； （2）写出BD、DE、EC之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据垂直的定义可知∠BDA＝∠CEA＝90°、∠BAC＝90°，根据同角的余角相等可得∠CAE＝∠ABD，利用AAS即可证明△ABD≌△CAE； （2）根据全等三角形的性质可证BD＝AE，CE＝AD，根据线段之间的关系可知DE＝BD+EC． 【解答】（1）证明：∵BD⊥l，CE⊥l， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）； （2）解：DE＝BD+EC，理由如下： 由（1）可知△ABD≌△CAE， ∴BD＝AE，CE＝AD， ∴DE＝AD+AE＝BD+EC． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分） 19．（9分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°． （1）尺规作图：作∠ACB的角平分线交AB于O；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若AC＝6，求BO的长． 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据三角形内角和求出∠ACB，根据角平分线得出，继而利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边求出，OC＝2OB，然后利用勾股定理可得结果． 【解答】解：作∠ACB的角平分线交AB于O，如图所示： ； （2）∵∠A＝30°，∠B＝90°，AC＝6， ∴，∠ACB＝60°， 又∵OC平分∠ACB， ∴， ∴OC＝2OB， 在Rt△BOC中，OB2+BC2＝OC2，即：OB2+32＝4OB2， 解得：． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线的作法，熟连运用相关知识进行角和边的转化． 20．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且DF＝BD． （1）若AC＝8，AB＝10．且△ABC的面积等于24，则DE的长为　　 ． （2）求证：CF＝BE． 【分析】（1）由S△ACD+S△ABD＝S△ABC＝24，且AC＝8，AB＝10，DC＝DE，根据三角形的面积公式得到DE． （2）由∠C＝90°，ED⊥AB于点E，得DC⊥AC于点C，∠DEB＝90°，因为AD平分∠CAB，所以DC＝DE，而DF＝DB，可根据“HL”证明Rt△DCF≌Rt△DEB，则CF＝BE． 【解答】（1）解：∵S△ACD+S△ABD＝S△ABC＝24， ∴AC•DCAB•DE＝24， ∵AC＝8，AB＝10，DC＝DE， ∴8DE10DE＝24， 解得DE， ∴DE的长是， 故答案为：． （2）证明：∵∠C＝90°，ED⊥AB于点E， ∴DC⊥AC于点C，∠DEB＝90°， ∵AD平分∠CAB，DC⊥AC于点C，ED⊥AB于点E， ∴DC＝DE， 在Rt△DCF和Rt△DEB中， ， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）， ∴CF＝BE． 【点评】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明Rt△DCF≌Rt△DEB是解题的关键． 21．（9分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC的延长线于点F． （1）求证：BE＝CF； （2）如果AB＝20，AC＝8，求AE的长． 【分析】（1）连接DB、DC，结合等腰三角形的三线合一，得出DB＝DC，再证明Rt△BDE≌Rt△CFD即可得出结论； （2）由（1）可得出CF＝BE，且AE＝AF＝AC+CF，而CF＝BE＝AB﹣AE，代入可求 【解答】（1）证明：连接DB、DC， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∵DG⊥BC且平分BC于点G， ∴DB＝DC， 在Rt△BDE和Rt△CFD中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴BE＝CF； （2）解：由（1）知BE＝CF， 且在△ADE和△ADF中 ∴△ADE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF＝AC+CF， 而CF＝BE＝AB﹣AE， ∴AE＝AC+AB﹣AE， ∴2AE＝AC+AB＝8+20＝28， ∴AE＝14． 【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的三线合一，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22．（13分）杭州风景如画，苏堤、白堤纵横交错，断桥、三潭印月相映成趣．在这些优美的景观布局中，蕴含着丰富的几何图形与位置关系．某数学实践小组在游览时发现，景观栈道、桥梁结构与观景路线中常常出现三角形与平行线的组合．请结合下列图形与情境，运用所学知识解决下列问题：如图1，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，直线a与边AC，AB分别交于D，E两点，直线b与边BC，AC分别交于F，G两点，且a∥b． （1）若∠AED＝35°，求∠BFG的度数； （2）如图2，P为边AB上一点，连结PF，若∠PFG+∠BFG＝180°，请你探索∠PFG与∠AED的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若∠AED＝n，延长AB交直线b于点Q，在线段DG上有一点M，连结ME，MQ，请直接写出∠MEQ，∠EMQ，∠MQF之间的数量关系（用含n的式子表示）． 【分析】（1）过点B作直线BH∥a，结合平行线性质即可得出结论． （2）过点B作直线BH∥a，结合平行线性质即可． （3）结合题意，分为①当点M在DC上时；②当点M在DC的延长线上时，两种情况画出图形，分类讨论即可． 【解答】解：（1）如图，过点B作直线BH∥a， ∴∠ABH＝∠AED＝35°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBH＝90°﹣∠ABH＝55°， ∵BH∥a，a∥b， ∴BH∥b， ∴∠CBH+∠BFG＝180°， ∴∠BFG＝180°﹣∠CBH＝125°； （2）∠AED+∠PFG＝90°，理由如下： 如图，过点B作直线BH∥a， 由（1）得，BH∥a∥b， ∴∠ABH＝∠AED， 又∵∠CBH+∠ABH＝∠ABC＝90°， ∴∠CBH+∠AED＝90°， ∵BH∥b， ∴∠CBH+∠BFG＝180°， 又∵∠PFG+∠BFG＝180°， ∴∠CBH＝∠PFG， ∴∠AED+∠PFG＝90°； （3）∠MEQ+∠EMQ﹣∠MQF＝180°﹣n或∠MEQ+∠EMQ+∠MQF＝180°﹣n． 当点M在DC上时，如图， 在△QEM中，∠MEQ+∠EMQ+∠EQM＝180°， ∵a∥b， ∴∠EQF＝∠AED＝n， ∵∠EQM＝∠EQF﹣∠MQF， ∴∠MEQ+∠EMQ+∠EQF﹣∠MQF＝180°， ∴∠MEQ+∠EMQ+m﹣∠MQF＝180°， ∴∠MEQ+∠EMQ﹣∠MQF＝180°﹣n； 当点M在DC的延长线上时，如图， 在△QEM中，∠MEQ+∠EMQ+∠EQM＝180°， ∵a∥b， ∴∠EQF＝∠AED＝n， ∵∠EQM＝∠EQF+∠MQF， ∴∠MEQ+∠EMQ+∠EQF+∠MQF＝180°， ∴∠MEQ+∠EMQ+n+∠MQF＝180°， ∴∠MEQ+∠EMQ+∠MQF＝180°﹣n； 综上，∠MEQ+∠EMQ﹣∠MQF＝180°﹣n或∠MEQ+∠EMQ+∠MQF＝180°﹣n． 【点评】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键． 23．（14分）在平面直角坐标系中，直线MN交x轴正半轴于点M，交y轴负半轴于点N（0，﹣3），∠ONM＝30°，作线段MN的垂直平分线交x轴于点A，交y轴于点B． （1）如图1，点M的坐标为 　（，0）　 ，点A的坐标为 　（，0）　 ； （2）如图2，过点M作y轴的平行线l，P是l上一点，且位于x轴上方，若S△ANP＝6，求点P坐标； （3）如图3，点Q是y轴的一个动点，连接QM，AQ，将△MAQ沿AQ翻折得到△M1AQ，当△M1MN是等腰三角形时，求点Q的坐标． 【分析】（1）证明MN＝2OM，∠NMO＝60°，利用勾股定理求解OM，再利用待定系数法求解MN的解析式，求解MN的中点T的坐标为：（），∠MAB＝30°，过T作TS⊥AM于S，则AT＝2ST＝3，可得AS，从而可得A的坐标； （2）在y轴上取一点Q（0，y），使得S△ANQ＝6．可得Q1（0，9），Q2（0，﹣15）．求解AN的解析式为：yx﹣3，作QP∥AN交l于P，则Q1P：yx+9，同理Q2P：yx﹣15，从而可得答案； （3）分三种情况讨论：①如图，当MN＝MM1＝2时；②当NM＝NM1时，③当M1M＝M1N时，M1在直线AB上，再结合图形解得即可． 【解答】解：（1）∵N（0，﹣3），∠ONM＝30°， ∴MN＝2OM，∠NMO＝60°， ∴（2OM）2＝OM2+32， 解得：OM， ∴M（，0）， 设MN为y＝kx+b，把M、N的坐标代入得： ， 解得：k，b＝﹣3， ∴MN：yx﹣3， ∵AB垂直平分MN， ∴MN的中点T的坐标为：（），∠MAB＝30°， 过T作TS⊥AM于S，则AT＝2ST＝3，如图1， ∴AS， ∴AO， ∴A（，0}）； 故答案为：（，0），（，0）； （2）在y轴上取一点Q（0，y），使得S△ANQ＝6． ∵S△ANQNQ•OA， ∴|y+3|•6， 解得y1＝9，y2＝﹣15， ∴Q1（0，9），Q2（0，﹣15）． ∵A（，0），N（0，﹣3）， 同理可得：AN的解析式为：yx﹣3， 作QP∥AN交l于P，如图2， ∴Q1P：yx+9， ∴y9＝6，即P（，6）， 同理Q2P：yx﹣15， ∴P（，﹣18）（舍）． 综上：P（，6）； （3）①如图3.1，当MN＝MM12时， 由轴对称的性质可得：AM1＝AM＝2， ∵AN2， ∴AN＝AM1＝MM1＝MN， ∴由垂直平分线的判定定理可得：AM，M1N互相垂直平分， ∴M1在y轴上，且M1（0，3）， 设AQ＝M1Q＝m， ∴m2＝（3﹣m）2，解得：m＝2， ∴QO＝1， ∴Q（0，1）． ②当NM＝NM1时，如图3.2， 由AN＝NM＝AM＝2， ∴△ANM为等边三角形， 此时Q，N重合， ∴Q（0，﹣3）； ③当M1M＝M1N时，M1在直线AB上，如图3.3， ∵∠OAB＝30°， ∴∠M1AO＝150°，∠QAM150°＝75°，∠AQO＝15°， 作∠RAO＝60°，R在y轴上， ∴∠QAR＝15°＝∠AQR，∠ARO＝30°， ∴AR＝QR＝2，OR3． ∴Q（0，3+2）； 同理：如图，当Q在K的位置，M1在H的位置， 此时Q（0，3﹣2）． 综上：Q（0，1）或（0，﹣3）或（0，3±2）． 【点评】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，线段的垂直平分线的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，二次根式的运算，等腰三角形的定义，坐标与图形面积，本题难度大，清晰的分类讨论，利用数形结合的方法解题是关键 学科网（北京）股份有限公司 $