5.2.1 三角函数的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦三角函数概念，涵盖任意角三角函数定义、各象限符号、诱导公式一及求值方法。通过复习初中锐角三角函数，以“非锐角时如何定义”设问衔接，借助单位圆从特殊角探究到一般定义，构建学习支架。 其亮点在于以单位圆为载体，通过“探究-生成-运用”流程渗透数学抽象、逻辑推理和数学运算。如从终边交点坐标抽象函数定义，推导各象限符号，例1求5π/3三角函数值等。方法总结系统，助学生深化理解，教师可提升教学效率。

第五章 三角函数 5.2 三角函数的概念 课时1 三角函数的概念 1 学习目标 1.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.（数学抽象） 2.掌握任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）在各象限的符号.（逻辑推理） 3.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、正切值.（数学运算） 4.掌握公式并会应用.（数学运算） 2 复习导入 思考：初中学习的锐角三角函数的定义是什么？ A C B a b c 当角α不是锐角时，如何定义任意角的三角函数呢? 前面我们已经将角的范围推广到实数集R上，自然我们就会考虑任意角的三角函数. 如图，以单位圆的圆心O为原点， 以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，则点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y)，射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP． 新知探究 探究1：当时，点P的坐标是什么？当或时， 点P的坐标又是什么？ 新知探究 探究2：任意一个角，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？ 任意角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数. 设是一个任意角， ∈R，它的终边与单位圆相交于点P(x，y) (1)把点P的纵坐标y叫做的正弦函数,记作sin, 即 y=sinα; (2)把点P的横坐标x叫做的余弦函数,记作cos, 即 x=cosα (3)把点P的纵坐标和横坐标的比值叫做的正切函数,记作tan, 即 (x≠0) 新知生成 概念讲解 探究4：对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的sinα，cosα，tanα的值是否存在？是否唯一？ O x y · · 角α的终边在y轴上时,终边与单位圆交于P（0,1）或P（0，-1）此时x=0,因此 tanα的值无意义,除此之外,其他的角的三角函数值都是唯一确定的. 概念讲解 三角函数 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数（trigonometic function），通常将它们记为 正弦函数：y=sinx， x∈R； 余弦函数：y=cosx， x∈R； 正切函数：y=tanx， ． 特别提醒:（1）在任意角的三角函数的定义中,应该明确 是一个任意角. （2）三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点 所在终边上的位 置无关,而由角 的终边位置决定. （3）要明确是一个整体,不是 与 的乘积,它是“正弦函数”的一个记号,就 如表示自变量为的函数一样,离开自变量的“”“”“ ”等是没有意义的. 10 例1.求的正弦、余弦和正切值． O x y 例1.求的正弦、余弦和正切值． O x y 1 M 解：在坐标系中作出∠AOB= ，易知: ∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为， 所以 典例分析 如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点）的坐标为，点与原点的距离为求证： 如果所取的点不是终边与单位圆的交点呢？角的三角函数值又该如何求解呢？ 例1 （1）已知角 的终边与单位圆的交点为,,则 ____. （2）已知角 的终边落在射线上,求 , 的值. 15 例1 （1）已知角 的终边与单位圆的交点为,,则 ____. （2）已知角 的终边落在射线上,求 , 的值. [解析] （1）因为点,在单位圆上,则,解得 ,所以 . （2）设射线上任意一点,,则 , , , , . 16 方法总结 利用三角函数的定义求值的策略 （1）已知角 的终边在直线上,求 的三角函数值时,常用的解题方法有以下两种: ①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用三角函数的定义求出相应的 三角函数值. ②因为注意到角的终边为直线,所以应分两种情况来处理,先取射线上任意一点坐 标,则对应角的正弦值,余弦值 ,正切值 ,对另一条射线也如此操作. （2）当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参 数进行分类讨论. 17 巩固训练 已知角 的终边过点,则 _______. 1或 18 巩固训练 已知角 的终边过点,则 _______. 1或 [解析] 因为 , ①若,则,角 在第二象限,, , 所以 . ②若,则,角 在第四象限,, , 所以 . 19 思考： 根据任意角三角函数的定义，sinα，cosα，tanα的值的符号取决于什么？ - + + + + + - - - - - + y O x O x y O x y 新知探究—各象限三角函数值的符号 例2（1） 若角 同时满足且,则角 的终边一定位于( ) . D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 由,可知 的终边可能位于第三或第四象限,也可能与 轴的负半轴重合; 由,可知 的终边可能位于第二或第四象限.故 的终边只能位于第四象限. （2） ___0.（填“ ”或“ ”） [解析] 因为 是第四象限角,所以,因为 是第三象限角,所以 ,所以 . 21 方法总结 正弦、余弦函数值的正、负规律 22 巩固训练1 若,则点 位于( ) . B A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 23 巩固训练2 当 为第二象限角时, 的值是( ) . C A.1 B.0 C.2 D. [解析] 为第二象限角,, ， . 24 变式训练.(1)已知点在第三象限，则角α的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)（多选）函数的值可能为( ) A. B. C. D. BD B 思考：如果角α与β的终边相同，那么sinα与sinβ有什么关系？cosα与cosβ有什么关系？tanα与tanβ有什么关系？ 终边相同，则终边与单位圆交点坐标相同，则三角函数值相等。 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0~2π（或0°~360°）角的三角函数值 探究3 诱导公式一 例3 计算下列各式的值: （1） ; （2） . 27 例3 计算下列各式的值: （1） ; （2） . [解析] （1）原式 . （2）原式 . 28 方法总结 利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤 29 巩固训练1 的值是( ) . C A. B. C. D. 巩固训练2 _ ______. 30 1.已知角 的终边过点,则 的值是( ) . B A. B. C. D. [解析] 角 的终边经过点,,, , . .故选B. 31 2.点 ， 所在的象限是( ) . C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] ， .故选C. 3.若，则 为____________象限角. 第一或第四 [解析] ， 与 同号， 为第一或第四象限角. 32 4. ___. 4 [解析] 原式 . 33 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”,错误的打“×”） （1） 表示 与 的乘积.( ) × （2） 设角 终边上的点,,则,且越大, 的值越大. ( ) × （3） 终边相同的角的同一三角函数值相等.( ) √ （4） 终边落在 轴上的角的正切函数值为0.( ) × 34 2.已知角 的终边与单位圆交于点，，则 的值为( ) . B A. B. C. D. 3.若,则角 的终边在( ) . B A.第一或第四象限 B.第一或第三象限 C.第一或第二象限 D.第二或第四象限 [解析] 因为,所以,或, , 所以角 的终边在第一或第三象限. 4. ____. [解析] . 35 解：设角的终边与单位圆交于点，分别过点作轴的垂线，垂足分别为， 则， ∽. 所以得到, 即. 因为与同号，所以，即. 同理可证： ，. $