专题03二次根式及其性质精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册

本讲义聚焦二次根式及其性质核心知识点，承接实数开方知识，为后续化简与运算奠基，涵盖定义（三大判定条件）、有意义条件（被开方数非负等）、双重非负性及两条基本性质，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料通过易混点对比（如()²与√a²）、分难度题型（★到★★★★）及清晰解题思路设计，以分类讨论培养推理意识，双重非负性强化抽象能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

专题03二次根式及其性质精讲学案 核心立意 二次根式是实数开方知识的延伸，是后续二次根式化简与运算的基础。本节要求：理解二次根式的定义；掌握二次根式有意义的条件、双重非负性以及两条基本性质；会求字母的取值范围；区分 ()2与 ；运用分类讨论、非负数思想解决问题。 二次根式的定义 1.定义：形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 2.判定三大条件： 带有二次根号； 根指数为 2（默认省略，区别立方根）； 被开方数a整体必须大于或等于 0。 3.补充说明： a可以是数字、字母、整式、分式；k、+b这类含二次根式的式子，统称为含二次根式的代数式。 4.基础题型：判断式子是否为二次根式；求根式有意义时字母的取值范围。 二次根式有意义的条件（必考） 有意义：a 0，基础选择题高频，被开方数为非负数。 无意义：a < 0，负数没有算术平方根。 有意义：a > 0，双重限制，被开方数非负且分母不能等于 0。 有意义：a+1 0，将括号内整体看作被开方数，整体大于或等于 0。 核心性质｜必背清单 性质1解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质2解读：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，符号问题是高频易错点。 性质3:逆用可用于根式化简。 性质4:逆用常用于分母有理 化简二次根式一般方法 根式化简常用速记结论 1.a≥0时，=a； 2.a<0时，=-a； 3.=0，()2=0； 4.拓展：=|x-y|，化简必须分x y、x<y讨论。 易混点直击：()2 vs 对比 ()2成立条件：(a≥0)，被开方数非负，根式才有意义 运算顺序：先开二次方，再平方 计算结果：直接等于a 本质特征：非负数的开方与平方互为逆运算，结果唯一 成立条件：a为任意实数，任何数平方后都是非负数 运算顺序：先平方，再开二次方 计算结果：结果为|a|，再根据a正负去掉绝对值 本质特征：任意数平方后再开方，最终结果一定是非负数 1. 判断二次根式时，只看根号形式，忽略 a0 的规定。 2. 混淆两条性质的适用条件，把 直接化简为 a。 3. 求复合代数式的取值范围时，只考虑被开方数，漏掉分母不为 0。 4. 运用“非负数之和为 0”时，解出参数后不检验被开方数。 5. 混淆“二次根式有意义”和“含有二次根式的代数式有意义”，错用约束条件。 6. 误认为 可以取负值。 题型 考察方向 难度 题型一 二次根式的识别 ★ 题型二 求二次根式的值 ★ 题型三 求二次根式中的参数 ★★ 题型四 二次根式有意义的条件 ★★ 题型五 利用二次根式的性质化简 ★★★ 题型六 复合二次根式的化简 ★★★ 题型七 最简二次根式的判断 ★★ 题型八 化为最简二次根式 ★★★ 题型九 已知最简二次根式求参数 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题 题型一：二次根式的识别 解题思路：① 判断式子是否含有二次根号，排除根指数不为2的根式，如。② 确定被开方数，检验被开方数是否大于或等于 0。③ 同时满足上述两个条件，该式子才是二次根式。 1．二次根式中，被开方数是______，系数是______，根指数是______． 2．下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 3．下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二：求二次根式的值 解题思路：① 将已知字母的值代入被开方数。② 计算被开方数的数值。③ 求出它的算术平方根，结果只能取非负数。 4．当时，二次根式的值为________． 5．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是______________ 题型三：求二次根式中的参数 解题思路：① 找出式中每一个二次根式的被开方数。② 根据被开方数 \ge 0 列出不等式；若同时出现和，可得 a=0。③ 求解参数，将参数代回原式，计算目标代数式的值。 8．如果，那么的值为______． 9．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 10．已知是正整数，则满足条件的最小整数n为______． 11．若是整数，则a能取的最小整数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型四：二次根式有意义的条件 解题思路：① 找出全部二次根式，令每一个被开方数 0。② 若代数式含有分母，增加约束条件：分母 0。③ 联立得到不等式组，求解，写出未知数的取值范围。 12．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 13．若式子有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 14．若x为实数，且，则的值______． 15．若，则（   ） A． B． C． D．1 题型五：利用二次根式的性质化简 解题思路：① 将根号内的表达式整理为平方形式 。② 利用题目的已知条件，判断 a 的正负性。③ 依据公式=|a| 去掉根号：当 a0 时，结果为 a；当 a<0 时，结果为 -a。 16．化简：________． 17．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 18．把中根号外的移入根号内得________． 19．对任意正数，定义运算“※”：当，；当，则．若（），则的值为___________． 题型六：复合二次根式的化简 解题思路：① 观察根号内的式子，验证是否符合 x+y2 的结构。② 将根号内的代数式配成完全平方形式()2。③ 利用 =|a| 开方，根据算术平方根的非负性舍去负值。 20．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 21．若，则的值为_______． 22．计算：_______． 23．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 题型七：最简二次根式的判断 解题思路：① 检查被开方数是否为整数或整式。② 检查被开方数不含可以开得尽方的因数或因式。③ 同时满足以上两条，即为最简二次根式。 24．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 25．在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 26．若，（为整数），则下列式子中一定为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型八：化为最简二次根式 解题思路：① 对被开方数分解质因数（整式则进行因式分解）。② 将能开得尽方的因数或因式移到根号外侧。③ 确认根号内不含分母、不含可开方的因数或因式。 27．将化成最简二次根式_____． 28．在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 29．计算：__________． 30．把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型九：已知最简二次根式求参数 解题思路：① 根据最简二次根式的两条判定规则，列出对应的限制条件。② 若两个根式是同类二次根式，则令它们的被开方数相等，建立方程。③ 求出参数的值，代回原式检验，确认根式满足最简二次根式的要求。 31．二次根式是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：______． 32．最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 33．请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 34．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 解答题 1．已知实数，满足，求的值． 2．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 3．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 4．化简 (1)； (2)； (3)． 5．观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：_______； (2)用含的式子表示出第个等式：_______； (3)计算：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次根式及其性质精讲学案 核心立意 二次根式是实数开方知识的延伸，是后续二次根式化简与运算的基础。本节要求：理解二次根式的定义；掌握二次根式有意义的条件、双重非负性以及两条基本性质；会求字母的取值范围；区分 ()2与 ；运用分类讨论、非负数思想解决问题。 二次根式的定义 1.定义：形如(a≥0)的式子叫做二次根式。 2.判定三大条件： 带有二次根号； 根指数为 2（默认省略，区别立方根）； 被开方数a整体必须大于或等于 0。 3.补充说明： a可以是数字、字母、整式、分式；k、+b这类含二次根式的式子，统称为含二次根式的代数式。 4.基础题型：判断式子是否为二次根式；求根式有意义时字母的取值范围。 二次根式有意义的条件（必考） 有意义：a 0，基础选择题高频，被开方数为非负数。 无意义：a < 0，负数没有算术平方根。 有意义：a > 0，双重限制，被开方数非负且分母不能等于 0。 有意义：a+1 0，将括号内整体看作被开方数，整体大于或等于 0。 核心性质｜必背清单 性质1解读：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 性质2解读：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值，符号问题是高频易错点。 性质3:逆用可用于根式化简。 性质4:逆用常用于分母有理 化简二次根式一般方法 根式化简常用速记结论 1.a≥0时，=a； 2.a<0时，=-a； 3.=0，()2=0； 4.拓展：=|x-y|，化简必须分x y、x<y讨论。 易混点直击：()2 vs 对比 ()2成立条件：(a≥0)，被开方数非负，根式才有意义 运算顺序：先开二次方，再平方 计算结果：直接等于a 本质特征：非负数的开方与平方互为逆运算，结果唯一 成立条件：a为任意实数，任何数平方后都是非负数 运算顺序：先平方，再开二次方 计算结果：结果为|a|，再根据a正负去掉绝对值 本质特征：任意数平方后再开方，最终结果一定是非负数 1. 判断二次根式时，只看根号形式，忽略 a0 的规定。 2. 混淆两条性质的适用条件，把 直接化简为 a。 3. 求复合代数式的取值范围时，只考虑被开方数，漏掉分母不为 0。 4. 运用“非负数之和为 0”时，解出参数后不检验被开方数。 5. 混淆“二次根式有意义”和“含有二次根式的代数式有意义”，错用约束条件。 6. 误认为 可以取负值。 题型 考察方向 难度 题型一 二次根式的识别 ★ 题型二 求二次根式的值 ★ 题型三 求二次根式中的参数 ★★ 题型四 二次根式有意义的条件 ★★ 题型五 利用二次根式的性质化简 ★★★ 题型六 复合二次根式的化简 ★★★ 题型七 最简二次根式的判断 ★★ 题型八 化为最简二次根式 ★★★ 题型九 已知最简二次根式求参数 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题 题型一：二次根式的识别 解题思路：① 判断式子是否含有二次根号，排除根指数不为2的根式，如。② 确定被开方数，检验被开方数是否大于或等于 0。③ 同时满足上述两个条件，该式子才是二次根式。 1．二次根式中，被开方数是______，系数是______，根指数是______． 【答案】 / 2 【详解】解：根据二次根式的定义，在中，根号内的式子为被开方数，为二次根式的系数，二次根式的根指数为； ∴由可得被开方数是，系数是，根指数是． 2．下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一般地，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：被开方数为负，根指数为3，均不是二次根式． 当时，的被开方数小于0，不是二次根式． ∵， ∴ ∴一定是二次根式． 3．下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果． 【详解】解：①，，根指数为2，是二次根式． ②，，不是二次根式． ③，，，根指数为2，是二次根式． ④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式． ⑤，，根指数为2，是二次根式． ⑥，，，不是二次根式． ⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式． 综上，符合条件的二次根式共4个． 题型二：求二次根式的值 解题思路：① 将已知字母的值代入被开方数。② 计算被开方数的数值。③ 求出它的算术平方根，结果只能取非负数。 4．当时，二次根式的值为________． 【答案】 【分析】将的值代入二次根式计算化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 5．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式求值，将代入二次根式，直接求解即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是______________ 【答案】 【分析】根据数的排列方法可知，第一排：个数，第二排个数．第三排个数，第四排个数，…第排有个数，从第一排到排共有：…个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：表示第排从左向右第个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是， ， ， 则所表示的数是， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键． 题型三：求二次根式中的参数 解题思路：① 找出式中每一个二次根式的被开方数。② 根据被开方数 \ge 0 列出不等式；若同时出现和，可得 a=0。③ 求解参数，将参数代回原式，计算目标代数式的值。 8．如果，那么的值为______． 【答案】±5 【分析】根据算术平方根的意义分类讨论，可得答案． 【详解】解：，根据绝对值的定义，可得， 故答案为±5 【点睛】本题考查算术平方根的意义，根据a的取值情况进行分类讨论是解题的关键． 9．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先化简，根据二次根式的性质，若为整数，则被开方数必须是完全平方数，结合完全平方数的质因数特征即可求出最小的正整数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 是整数，是正整数， ∴ 必须是整数，即是完全平方数， ∵ ，要使为完全平方数，需要补充质因数和，使所有质因数的指数均为偶数， ∴ 正整数的最小值为． 10．已知是正整数，则满足条件的最小整数n为______． 【答案】3 【分析】先变形得到，根据题意n必须是3的完全平方数倍，所以最小正整数n为3． 【详解】解：∵，而是整数， ∴最小正整数n为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，一般利用化简二次根式． 11．若是整数，则a能取的最小整数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再根据是整数，即可求得a能取的最小整数． 【详解】解：成立， ，解得， 又是整数， a能取的最小整数为0， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握和运用次根式有意义的条件是解决本题的关键． 题型四：二次根式有意义的条件 解题思路：① 找出全部二次根式，令每一个被开方数 0。② 若代数式含有分母，增加约束条件：分母 0。③ 联立得到不等式组，求解，写出未知数的取值范围。 12．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于的不等式，求解即可获得答案． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 13．若式子有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义，需同时满足二次根式有意义和分母不为的条件， ∴且， 解得． 14．若x为实数，且，则的值______． 【答案】或 【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），得到的值，再求出，分情况计算得到的结果． 【详解】解：根据二次根式被开方数为非负数，可得， ∴， 解得：或； 将代入，得， 当时，； 当时，； 综上，的值为或． 15．若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 根据二次根式具有非负性可得且求出的取值范围，再利用对所求式子进行化简，根据求出的取值范围确定绝对值内式子的正负，进而得到答案． 【详解】解：由题意可得，且 ， ， 故选：D 题型五：利用二次根式的性质化简 解题思路：① 将根号内的表达式整理为平方形式 。② 利用题目的已知条件，判断 a 的正负性。③ 依据公式=|a| 去掉根号：当 a0 时，结果为 a；当 a<0 时，结果为 -a。 16．化简：________． 【答案】 【详解】解：． 17．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误． 18．把中根号外的移入根号内得________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的符号，再将根号外的因式移入根号化简，注意保留符号． 【详解】解：∵ 二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴，即， ∴原式 ． 19．对任意正数，定义运算“※”：当，；当，则．若（），则的值为___________． 【答案】9或25/25或9 【分析】分两种情况，即或，分别列方程即可解答． 【详解】 当时， ， 则可得， ， ，符合题意； 当时， ， 则可得， ， ，符合题意； 综上，的值为或． 题型六：复合二次根式的化简 解题思路：① 观察根号内的式子，验证是否符合 x+y2 的结构。② 将根号内的代数式配成完全平方形式()2。③ 利用 =|a| 开方，根据算术平方根的非负性舍去负值。 20．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 【答案】C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 21．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据给出的二次根式乘法法则，将被开方数分解为完全平方数与非负因数的乘积，再进行化简即可得到结果． 【详解】解：． 22．计算：_______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ． 23．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 题型七：最简二次根式的判断 解题思路：① 检查被开方数是否为整数或整式。② 检查被开方数不含可以开得尽方的因数或因式。③ 同时满足以上两条，即为最简二次根式。 24．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、的被开方数是小数，可化简，，不是最简二次根式； B、的被开方数中含有能开得出来的因数，可化简，，不是最简二次根式； C、的被开方数中含有分母，可化简，，不是最简二次根式； D、的被开方数中既没有分母，也不含能开得出来的因数，是最简二次根式，故符合题意． 25．在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断所给二次根式即可． 【详解】解：满足两个条件，是最简二次根式； 中被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 中被开方数含分母，不是最简二次根式； 中，被开方数可开得尽方，不是最简二次根式； 中，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 因此符合条件的最简二次根式共个． 26．若，（为整数），则下列式子中一定为最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】A、，(为整数)，则不一定是最简二次根式，例如取，取2，则不是最简二次根式，A错误； B、(为整数)，则等于2或3，为或，均不是最简二次根式，B错误； C、，当时，无意义；时，，C错误； D、(为整数)，则等于2或3，为或，均是最简二次根式，D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．掌握二次根式的定义是解题的关键． 题型八：化为最简二次根式 解题思路：① 对被开方数分解质因数（整式则进行因式分解）。② 将能开得尽方的因数或因式移到根号外侧。③ 确认根号内不含分母、不含可开方的因数或因式。 27．将化成最简二次根式_____． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质，将被开方数分解出完全平方因数，再进行化简即可． 【详解】解：． 28．在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，被开方数的因数是整数，因式是整式，依据此两项要求进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有开得尽的因式，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、被开方数含有看得见的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 29．计算：__________． 【答案】 【分析】把原式化为，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ； 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键． 30．把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式．解题的关键是掌握二次根式的性质并能够正确利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 题型九：已知最简二次根式求参数 解题思路：① 根据最简二次根式的两条判定规则，列出对应的限制条件。② 若两个根式是同类二次根式，则令它们的被开方数相等，建立方程。③ 求出参数的值，代回原式检验，确认根式满足最简二次根式的要求。 31．二次根式是最简二次根式，请写出一个符合条件的m的值：______． 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含平方因子，因此 需无平方因子，故 不能是3的倍数且自身无平方因子， 【详解】解：当，则，3无平方因子，故是最简二次根式 故答案为：1（答案不唯一）． 32．最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式与的被开方数相同，得，解出，即可． 【详解】∵最简二次根式与的被开方数相同， ∴， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查最简二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 33．请写出一个正整数的值：___________，使是最简二次根式． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查最简二次根式的概念，最简二次根式要求被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，根据概念结合a是正整数解答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式，且a为正整数， ∴不能含有能开得尽方的因数， 当时，， 是最简二次根式，符合要求，故答案为2（答案不唯一）． 34．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 解答题 1．已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合二次根式的非负性，得，即，又因为，得，整理，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：结合二次根式有意义的性质，得， ∴， 即， ∴， 则 ． 2．已知二次根式，回答下列问题： (1)当为何值时，该二次根式有意义？ (2)当时，求该二次根式的值；当该二次根式的值为时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，值为；当值为时， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件解答即可． （2）将代入即可求解，令时，求解即可 【详解】（1）解：要使该二次根式有意义，需满足， 解得：， ∴当时，该二次根式有意义． （2）解：当时，则， 令时，则， 解得：． 3．已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是________． 可取的最小整数是__________． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 【详解】解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 4．化简 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （2）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果； （3）先利用完全平方公式进行变形，再利用二次根式的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 5．观察下列等式，归纳等式规律，解决下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， (1)根据上述等式规律，直接写出第5个等式：_______； (2)用含的式子表示出第个等式：_______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据分数的分母变化规律即可解答； （2）根据分数的分母变化规律即可解答； （3）根据相邻两项相加后抵消的规律，利用（2）的结论计算求值即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：； （2）解：由上规律可得，第个等式为：； （3）解：原式 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $