专题07直角三角形与角平分线精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册

本讲义聚焦直角三角形与角平分线核心知识，系统梳理直角三角形定义、角的互余性质、斜边中线性质、30°角性质及HL全等判定，结合角平分线性质与判定，构建从概念辨析到推理应用的学习支架。 资料通过分层题型（基础到综合）和重点辨析培养推理意识，规范几何语言提升表达能力，实际应用题（如度假村位置问题）发展应用意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题07直角三角形与角平分线精讲学案 核心立意 掌握直角三角形、角平分线的性质与判定，区分性质、判定的推理逻辑；能运用定理完成角度计算、线段等量转化、几何证明，规范几何证明书写，建立严谨的演绎推理思维。 直角三角形基本概念 1.定义：有一个内角等于90的三角形叫做直角三角形，记作Rt△ABC（∠ C=90）。 2.边的命名：构成直角的两条边叫直角边；直角所对的最长边叫斜边。 3.角的标识：直角符号，直角固定为90，另外两个锐角均为锐角。 直角三角形三大性质 1.角的性质 内容：直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 几何语言：在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 2.斜边中线性质 内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 几何语言：在 Rt△ABC 中，若∠C=90°，D 为 AB 中点，则 CD=AB 3.30° 角性质 内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 几何语言：在 Rt△ABC 中，若∠C=90°，∠A=30°，则 BC=AB 直角三角形全等的判定（HL 定理） 一般判定：SSS、SAS、ASA、AAS（均适用）。 特殊判定（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 符号语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C' ⇒ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。 注意：HL 仅适用于直角三角形，书写必须注明 “Rt△” 直角三角形判定（高频考点） 1.定义判定 内容：有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 几何语言：在△ABC 中，若∠C=90°，则△ABC 是直角三角形 2.角的判定 内容：有两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言：在△ABC 中，若∠A+∠B=90°，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 3.中线判定 内容：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 几何语言：在△ABC 中，若 D 为 AB 中点，且 CD=AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 角平分线 ✅性质（已知角平分线，推导线段相等） 角平分线上任意一点，到角两边垂线段的距离相等；可直接证明线段相等，简化全等证明步骤。 ✅判定（已知距离相等，判定射线是角平分线） 在角的内部，到角两边垂线段距离相等的点，在这个角的平分线上。 补充要点： ① 角平分线定义：从角顶点出发的射线，将一个角分成两个相等的角；掌握角平分线尺规作图。 ② 三角形内心：三角形三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边距离相等。 重点辨析 1. 逻辑区分：性质：图形具备特征 ⇒ 得到结论；判定：已知条件 ⇒ 判断图形特征。二者推理方向相反，证明时不能因果颠倒。 2. 角平分线定理里的“距离”特指垂线段，斜线段长度相等，不可直接使用该定理。 3. 角平分线判定有前置条件：点必须在角的内部，角外部满足距离相等的点不在角平分线上。 4. HL定理仅适用于直角三角形，书写证明过程，必须标注Rt。 5. 30°线段相关结论，前提一定是直角三角形，脱离该前提，结论不成立。 1. 混淆性质与判定，证明推理因果倒置，逻辑错误。 2. 使用角平分线定理，缺少垂直条件，误用斜线段推导。 3. HL证全等，未标注Rt，缺少直角前提。 4. 运用30°相关结论，遗漏“直角三角形”前置条件。 5. 中线判定直角三角形，错误理解为中线等于另外一条边的一半。 6. 角平分线判定忽略“点在角内部”的限制条件。 题型 考察方向 难度 题型一 直角三角形的两个锐角互余 ★ 题型二 锐角互余的三角形是直角三角形 ★ 题型三 斜边的中线等于斜边的一半 ★★ 题型四 含 30 度角的直角三角形 ★★ 题型五 用 HL 证全等（HL） ★★ 题型六 全等的性质和 HL 综合（HL） ★★★ 题型七 作角平分线 ★ 题型八 角平分线的性质定理 ★★ 题型九 角平分线的判定定理 ★★ 题型十 角平分线性质的实际应用 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★综合拔高； 题型一：直角三角形的两个锐角互余 解题思路：①确定该三角形是直角三角形；②直接得到两个锐角相加等于90°；③结合对顶角、外角进行角度计算。 1．在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知直角和的度数，用减去的度数即可求出的度数． 【详解】∵在中，， ∴． 2．如图，在中，，，垂足为．，则________度． 【答案】 【分析】由题意可得，，，则有． 【详解】解：， ， ， 又有， ． 3．如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据“”判定，利用全等三角形对应角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 在中，． 4．如图，是的高，交于点E．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形的外角定理，角的和差等，解题的关键是掌握以上性质． 根据高得出直角，根据直角三角形的两个锐角互余得出，利用三角形外角定理求出，最后利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 题型二：锐角互余的三角形是直角三角形 解题思路：①在同一个三角形中，算出两个内角的和；②若两角之和为90°，则第三个角是直角；③判定这个三角形为直角三角形。 5．若一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 设中，，则，由三角形的内角和定理，即可判断三角形的形状． 【详解】解：不妨设中，，则， 又∵， ∴， ∴， ∴ 三角形为直角三角形． 故选：B． 6．如图，在中，，，D是的中点，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的特征，根据等腰三角形的性质得，，再根据直角三角形的特征即可求解，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ，， ， D是的中点，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 7．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 8．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、， ∴， ∴，故三角形三个内角的度数分别为、、， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、设，，（为正数）， ∵， ∵， ∴， ∴，，， ∴此选项中不是直角三角形，符合题意； 、∵，， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 故选：． 题型三：斜边的中线等于斜边的一半 解题思路：①正向使用：在直角三角形中找到斜边和斜边中点，连接斜边中线，中线长度 = 斜边长度的一半，得到等腰三角形，完成线段等量转化；②逆用判定：三角形一条边上的中线等于这条边的一半，可判定该三角形是直角三角形，这条边为斜边。 9．如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵在中，，，点为的中点， ∴． 10．如图，在中，，E，F分别是边的中点，若，则________． 【答案】4 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案 ． 【详解】解：∵，点E为的中点， ∴ ． 11．如图，有一架梯子斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，小明需要爬梯子（）到高处作业． 为安全起见，防止梯子沿墙下滑，他将梯子中点与墙角用绳子系紧． 请问∶ 这种操作方式能达到安全目的吗？____________（填“能”或“不能”或“不确定”）． 【答案】不能 【分析】由题意可知是定值，但的位置不固定，即可判断是否安全． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴是定值，与的位置无关，即绳子对梯子没有固定作用，故这种操作方式不能达到安全目的． 12．如图，在中，，，，．点、、分别是边、、上的动点，点是的中点，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而得点的运动轨迹，则当时，的长度最短，即最短，由直角三角形面积计算公式求出后即可得的最小值． 【详解】解：连接， ，点、、分别是边、、上的动点，点是的中点，， ， 即点在以为圆心，为半径的圆上运动， 垂线段最短， 当时，的长度最短，此时，也最短， ， ， 最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段最短，解题关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出点的运动轨迹． 题型四：含 30 度角的直角三角形 解题思路：①正向：在直角三角形中找到30°角，30°角所对直角边 = 斜边，用来求线段长；②逆向：在直角三角形中，若直角边等于斜边一半，这条直角边所对的角为30°。 13．如图，在中，，则的长是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据30度角的性质作答即可． 【详解】解：∵， ∴． 14．某景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若于点，，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：，， ． 15．如图，在中，于点，，则的长为__________． 【答案】4 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数，的度数，利用含角的直角三角形的性质依次求出、的长即可． 【详解】解：， ． ， ， ． ， ． 在中，， ． 16．如图，在四边形中，，，，，将沿翻折得到，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的翻折问题，涉及到勾股定理，解直角三角形等知识点，理解并熟练运用正切函数的定义是解题关键． 过点作于点，作于点，则四边形为矩形，可得，由折叠的性质，可知，，，则为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】解：过点作于点，作于点，如解图所示，则四边形为矩形． ∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． 由折叠的性质，可知，． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴. 题型五：用 HL 证全等（HL） 解题思路：①确认两个都是直角三角形；②找到斜边、一条直角边对应相等；③利用HL证明两个Rt△全等；④书写证明时，必须标注Rt△。 17．如图，在的两边上，取，分别过点，作，的垂线，交点为，连接，则，用到的判定方法为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由，，可得，然后通过“”即可证明，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴用到的判定方法为， 故选：． 18．如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为______秒时，和全等． 【答案】4或8/8或4 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，．分和两种情况，根据定理推出和全等，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ①当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴， 所以运动时间为秒； ②当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴， 所以运动时间为秒； 综上：当运动时间为4秒或秒时，和全等． 故答案为：4或8． 19．如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握其判定的方法和性质是解题的关键． 根据题意，可证，得到，则有，再证，得到，由，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 题型六：全等的性质和 HL 综合（HL） 解题思路：①在图中找出一对直角三角形；②寻找条件证明斜边、直角边对应相等；③使用HL证明全等；④利用全等三角形对应边、对应角相等，继续推结论。 20．如图，在四边形中，，，且，，则线段的长为（　　） A． B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，得到是解答本题的关键． 连接，证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：C． 21．如图，在中，，于点，．如果，那么______． 【答案】6 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等判定的方法是解题的关键； 先证明推出，则，即可推出结果． 【详解】解：在和中， ∴ ∴ ∴ 故答案为：6 ． 22．如图，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴和均为直角三角形， ∵在和中， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型七：作角平分线 解题思路：①以角顶点为圆心画弧，交角两条边于两个交点；②分别以两交点为圆心，大于两点距离一半的长度，在角内部画弧，两弧交于一点；③连接角顶点与交点，这条射线就是角平分线。 23．观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段是的（    ） A．中线 B．高线 C．中垂线 D．角平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规基本作图，掌握角平分线的尺规作图方法是解题的关键． 根据角平分线的尺规作图的作法即可解答． 【详解】解：由作图过程可得：线段是的角平分线． 故选：D． 24．如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D．则的度数为________． 【答案】/度 【分析】根据三角形的内角和为和角平分线的性质求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由作图可知，是的角平分线， ∴， 在中，， ∴． 25．在中，下列尺规作图的方法能确定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，得到点在边的垂直平分线上，据此进行判断即可. 【详解】解：由题意，点在边的垂直平分线上， 故只有选项D符合题意，其它选项均不能确定. 题型八：角平分线的性质定理 解题思路：①已知射线是角平分线；②在平分线上取一点，向角的两边作垂线；③两条垂线段长度相等，直接证明线段相等。 26．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（     ） A．13 B．26 C．36 D．18 【答案】D 【分析】过点作，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的面积. 27．如图，在中，平分交于点D，若，，，则的面积是_______． 【答案】7 【分析】过点D作于点E，于H，先根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质可以得到，求出的面积，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，于H， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 利用角平分线的性质、平行线的性质通过设未知数表示出相关线段长度，进而求出点到的距离． 【详解】解：∵ ∴ ∵分别平分和∠DCB ∴设， 则， 即 ∴ ∴ 作于点E，如图 ∵平分，， ∴ 同理可得 ∵，， ∵ ∴ ∴ 故选：C ． 题型九：角平分线的判定定理 解题思路：①确认点在角的内部；②证明这个点到角两边垂线段长度相等；③判定这个点在角平分线上。 29．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是角的平分线”他这样做的依据是（    ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的判定，根据角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上进行判断即可． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， 两把完全相同的长方形直尺， ， 平分角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上， 故选：B． 30．如图，在中，，点D在上，于点E，且．若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理以及三角形内角和定理，能判断出是的平分线是解题的关键． 先根据角平分线的判定定理得出是的平分线，设则，在中，根据三角形内角和定理可得，解方程即可求得的度数． 【详解】解：，且． 是的平分线， ， 设则 在中，由三角形内角和定理可得， 即 解得，即 故答案为：. 31．如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．下列结论正确的是（   ）． ①        ② ③平分        ④平分 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．通过证明，根据全等三角形的性质可得②；利用三角形内角和定理和对顶角相等，可判断①，过点O分别作，垂足分别为E，F，根据全等三角形对应边的高相等可得，进而可判断③④． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，故②正确； ， 设和交于点N， ∵， ∴，即，故①正确； 过点O分别作，垂足分别为E，F， ∵， ∴， ∴平分，故③错误，④正确； 综上，正确的有①②④， 故选：B． 题型十：角平分线性质的实际应用 解题思路：①把实际问题转化为几何角模型；②找到目标点，向角两边作垂线段；③利用角平分线上点到两边距离相等求解 32．某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在三条角平分线的交点处． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点． 故选D． 33．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【详解】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 34．某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质， 由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的修建点有2个． 【详解】解：作和的平分线相交于，过作于E，于F，于G，    ∴， 即和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； 同理∶ 和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：B． 解答题 1．如图，． (1)用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中所作角平分线上取一点，若，求点到的距离． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线，于点，，再分别以点，为圆心，大于一半的长为半径画弧，在的内部交于点，作射线，则即为所求； （2）作交于点Q，根据30度角的性质作答即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，作交于点Q， ∵，平分， ∴， ∵， ∴． 2．在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 【答案】(1)证明：∵，， ； (2)证明：作于点N， ， ， ， ∵， ， ， ，， ∴平分， ； (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质证明结论即可； （2）作于点N，证明，得出，进而得出平分，即可得出结论； （3）作于点P，作于点Q，证明，证明得出，得出，设，求出，结合，求出k值即可求出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：作于点P，作于点Q， ∵平分， ， ， 同理：， ， 由（2）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， ， ． 3．如图：在中，，M是斜边的中点，将沿折叠，点A落在点D处，若恰好与垂直，求的度数． 【答案】 【分析】因为中M是斜边中点，所以根据直角三角形斜边中线性质，可得，进而得到．因为沿折叠得到，所以根据折叠的性质，可得，进而确定与的等量关系．因为，所以在对应的直角三角形中，可得与互余，结合前面得到的和的倍数关系，即可建立关于的方程求解． 【详解】 解：在中，，是斜边的中点， ∴， ∴ ． ∵沿折叠得到， ∴， ∴． ∵， 设交于点，则， 在中， ， 代入， 得， 解得． 4．如图，在中，是过点A的直线，于点于点E，且． (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)解：与全等，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； (2)18 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余、三角形面积公式等知识，证明是解题关键． （1）利用“”证明与全等即可； （2）结合全等三角形的性质证明，然后由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴的面积． 5．如图，，，，相交于点． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：在中， ， ∴； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用“”证明即可； （）根据全等三角形的性质求出，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．如图，在中，，点分别在边上，且的垂直平分线交于点，交于点，连结． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 是直角三角形，理由如下 ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形的性质与判定，三角形的外角的性质； （1）由线段垂直平分线的性质得，则有；由得，再由直角三角形的性质得，即可说明是直角三角形； （2）根据，得出，根据得出，再根据三角的外角的性质，即可求解． 【详解】（1） 略 （2）解：∵， 设 ∵ ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07直角三角形与角平分线精讲学案 核心立意 掌握直角三角形、角平分线的性质与判定，区分性质、判定的推理逻辑；能运用定理完成角度计算、线段等量转化、几何证明，规范几何证明书写，建立严谨的演绎推理思维。 直角三角形基本概念 1.定义：有一个内角等于90的三角形叫做直角三角形，记作Rt△ABC（∠ C=90）。 2.边的命名：构成直角的两条边叫直角边；直角所对的最长边叫斜边。 3.角的标识：直角符号，直角固定为90，另外两个锐角均为锐角。 直角三角形三大性质 1.角的性质 内容：直角三角形的两个锐角互余（和为 90°） 几何语言：在 Rt△ABC 中，若 ∠C=90°，则 ∠A + ∠B = 90° 2.斜边中线性质 内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 几何语言：在 Rt△ABC 中，若∠C=90°，D 为 AB 中点，则 CD=AB 3.30° 角性质 内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 几何语言：在 Rt△ABC 中，若∠C=90°，∠A=30°，则 BC=AB 直角三角形全等的判定（HL 定理） 一般判定：SSS、SAS、ASA、AAS（均适用）。 特殊判定（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 符号语言：在 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C' 中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C' ⇒ Rt△ABC≌Rt△A'B'C'。 注意：HL 仅适用于直角三角形，书写必须注明 “Rt△” 直角三角形判定（高频考点） 1.定义判定 内容：有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形 几何语言：在△ABC 中，若∠C=90°，则△ABC 是直角三角形 2.角的判定 内容：有两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言：在△ABC 中，若∠A+∠B=90°，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 3.中线判定 内容：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形 几何语言：在△ABC 中，若 D 为 AB 中点，且 CD=AB，则∠C=90°，△ABC 是直角三角形 角平分线 ✅性质（已知角平分线，推导线段相等） 角平分线上任意一点，到角两边垂线段的距离相等；可直接证明线段相等，简化全等证明步骤。 ✅判定（已知距离相等，判定射线是角平分线） 在角的内部，到角两边垂线段距离相等的点，在这个角的平分线上。 补充要点： ① 角平分线定义：从角顶点出发的射线，将一个角分成两个相等的角；掌握角平分线尺规作图。 ② 三角形内心：三角形三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边距离相等。 重点辨析 1. 逻辑区分：性质：图形具备特征 ⇒ 得到结论；判定：已知条件 ⇒ 判断图形特征。二者推理方向相反，证明时不能因果颠倒。 2. 角平分线定理里的“距离”特指垂线段，斜线段长度相等，不可直接使用该定理。 3. 角平分线判定有前置条件：点必须在角的内部，角外部满足距离相等的点不在角平分线上。 4. HL定理仅适用于直角三角形，书写证明过程，必须标注Rt。 5. 30°线段相关结论，前提一定是直角三角形，脱离该前提，结论不成立。 1. 混淆性质与判定，证明推理因果倒置，逻辑错误。 2. 使用角平分线定理，缺少垂直条件，误用斜线段推导。 3. HL证全等，未标注Rt，缺少直角前提。 4. 运用30°相关结论，遗漏“直角三角形”前置条件。 5. 中线判定直角三角形，错误理解为中线等于另外一条边的一半。 6. 角平分线判定忽略“点在角内部”的限制条件。 题型 考察方向 难度 题型一 直角三角形的两个锐角互余 ★ 题型二 锐角互余的三角形是直角三角形 ★ 题型三 斜边的中线等于斜边的一半 ★★ 题型四 含 30 度角的直角三角形 ★★ 题型五 用 HL 证全等（HL） ★★ 题型六 全等的性质和 HL 综合（HL） ★★★ 题型七 作角平分线 ★ 题型八 角平分线的性质定理 ★★ 题型九 角平分线的判定定理 ★★ 题型十 角平分线性质的实际应用 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★综合拔高； 题型一：直角三角形的两个锐角互余 解题思路：①确定该三角形是直角三角形；②直接得到两个锐角相加等于90°；③结合对顶角、外角进行角度计算。 1．在中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，垂足为．，则________度． 3．如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 4．如图，是的高，交于点E．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型二：锐角互余的三角形是直角三角形 解题思路：①在同一个三角形中，算出两个内角的和；②若两角之和为90°，则第三个角是直角；③判定这个三角形为直角三角形。 5．若一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 6．如图，在中，，，D是的中点，，则______． 7．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 8．下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 题型三：斜边的中线等于斜边的一半 解题思路：①正向使用：在直角三角形中找到斜边和斜边中点，连接斜边中线，中线长度 = 斜边长度的一半，得到等腰三角形，完成线段等量转化；②逆用判定：三角形一条边上的中线等于这条边的一半，可判定该三角形是直角三角形，这条边为斜边。 9．如图，在中，，，点为的中点，则的长度为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．如图，在中，，E，F分别是边的中点，若，则________． 11．如图，有一架梯子斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，小明需要爬梯子（）到高处作业． 为安全起见，防止梯子沿墙下滑，他将梯子中点与墙角用绳子系紧． 请问∶ 这种操作方式能达到安全目的吗？____________（填“能”或“不能”或“不确定”）． 12．如图，在中，，，，．点、、分别是边、、上的动点，点是的中点，若，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型四：含 30 度角的直角三角形 解题思路：①正向：在直角三角形中找到30°角，30°角所对直角边 = 斜边，用来求线段长；②逆向：在直角三角形中，若直角边等于斜边一半，这条直角边所对的角为30°。 13．如图，在中，，则的长是（    ） A． B．1 C． D． 14．某景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若于点，，则的长为_____． 15．如图，在中，于点，，则的长为__________． 16．如图，在四边形中，，，，，将沿翻折得到，连接，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 题型五：用 HL 证全等（HL） 解题思路：①确认两个都是直角三角形；②找到斜边、一条直角边对应相等；③利用HL证明两个Rt△全等；④书写证明时，必须标注Rt△。 17．如图，在的两边上，取，分别过点，作，的垂线，交点为，连接，则，用到的判定方法为（    ） A． B． C． D． 18．如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为______秒时，和全等． 19．如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型六：全等的性质和 HL 综合（HL） 解题思路：①在图中找出一对直角三角形；②寻找条件证明斜边、直角边对应相等；③使用HL证明全等；④利用全等三角形对应边、对应角相等，继续推结论。 20．如图，在四边形中，，，且，，则线段的长为（　　） A． B．4 C．3 D． 21．如图，在中，，于点，．如果，那么______． 22．如图，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型七：作角平分线 解题思路：①以角顶点为圆心画弧，交角两条边于两个交点；②分别以两交点为圆心，大于两点距离一半的长度，在角内部画弧，两弧交于一点；③连接角顶点与交点，这条射线就是角平分线。 23．观察如图所示的尺规作图痕迹，则线段是的（    ） A．中线 B．高线 C．中垂线 D．角平分线 24．如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D．则的度数为________． 25．在中，下列尺规作图的方法能确定的是（   ） A． B． C． D． 题型八：角平分线的性质定理 解题思路：①已知射线是角平分线；②在平分线上取一点，向角的两边作垂线；③两条垂线段长度相等，直接证明线段相等。 26．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（     ） A．13 B．26 C．36 D．18 27．如图，在中，平分交于点D，若，，，则的面积是_______． 28．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 题型九：角平分线的判定定理 解题思路：①确认点在角的内部；②证明这个点到角两边垂线段长度相等；③判定这个点在角平分线上。 29．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是角的平分线”他这样做的依据是（    ） A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D．以上均不正确 30．如图，在中，，点D在上，于点E，且．若，则的度数为______． 31．如图，在和中，，，，．连接，交于点，连接．下列结论正确的是（   ）． ①        ② ③平分        ④平分 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 题型十：角平分线性质的实际应用 解题思路：①把实际问题转化为几何角模型；②找到目标点，向角两边作垂线段；③利用角平分线上点到两边距离相等求解 32．某镇政府为促进旅游发展，准备在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示．要使度假村到三条公路的距离相等，这个度假村应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三边垂直平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三条角平分线的交点处 33．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 34．某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 解答题 1．如图，． (1)用无刻度的直尺和圆规作的平分线；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中所作角平分线上取一点，若，求点到的距离． 2．在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 3．如图：在中，，M是斜边的中点，将沿折叠，点A落在点D处，若恰好与垂直，求的度数． 4．如图，在中，是过点A的直线，于点于点E，且． (1)与全等吗？请说明理由； (2)求的面积． 5．如图，，，，相交于点． (1)证明：； (2)若，，求的长． 6．如图，在中，，点分别在边上，且的垂直平分线交于点，交于点，连结． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)若，求的度数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $