专题01平方根与立方根精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦平方根与立方根核心知识点，系统梳理其作为乘方逆运算的定义、符号及性质，明确从有理数过渡到实数的关键节点，为后续二次根式、实数运算提供必备学习支架。 资料通过对比辨析平方根与立方根的异同培养推理意识，以双重非负性等重点突破抽象能力，分层题型设计兼顾基础与提升，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题01平方根与立方根精讲学案 核心立意 平方根与立方根是乘方的逆运算，是从有理数过渡到实数的第一个节点。本节需要精准区分平方根、算术平方根、立方根的定义、符号与性质；掌握算术平方根的双重非负性、三组核心恒等式、小数点移动规律；会解简单的开方方程。既是本章的基础，也是后续学习二次根式、实数运算的必备工具。 平方根与算术平方根 （一）平方根定义 若x2=a，则x叫做a的平方根，记作。 （二）算术平方根（重点） 1.定义：一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；0的算术平方根是0。 2.符号写法：记作，只代表非负根，不带正负号。 3.取值范围：只有a0时，才有意义。 4.双重非负性（本节重中之重，大题必考） 被开方数非负：a0； 算术平方根结果非负：0； 拓展：若|m|+n2+=0，则m=0、n=0、p=0，三类非负数和为 0，各项均为 0。 5.核心公式 ： - （三）平方根三条性质 正数有 2 个平方根，互为相反数； 0的平方根、算术平方根都是0； 负数没有平方根、没有算术平方根。 （四）三个符号区分（易混考点） ：a全部平方根（一正一负）； ：a的算术平方根（仅非负根）； ：a的负平方根。 开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 立方根 1. 立方根定义 若x3=a，则x叫做a的立方根（三次方根），记作，读作 “三次根号a”。 2. 立方根核心性质 （1）任意实数都有唯一立方根，正数、0、负数都能开立方； （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0； （3）重要公式：=-，可把负号提到根号外； （4）恒等式： 3.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 重点辨析 1. 平方根、算术平方根、立方根的对比 算术平方根：仅针对非负数；只有一个，一定非负；符号 。 平方根：仅针对非负数；正数有两个，互为相反数；符号 ±。 立方根：全体实数都有；永远只有一个；符号 ；根指数 3 不可省略。 2. 开平方与开立方的对比 开平方：求平方根的运算；只能对非负数进行；结果可能有 0 个、 1 个或 2 个。 开立方：求立方根的运算；全体实数都可以进行；结果有且只有 1 个。 3.只代表算术平方根，结果一定非负。 =4；而 16 的平方根是4。这是最经典的概念陷阱。 4. 被开方数限制不同：平方根中 a0；立方根中 a 可取全体实数。 5. 根指数习惯不同：平方根的根指数 2 可以省略；立方根的根指数 3 不可省略。 6. 根的个数不同：正数有两个平方根；任意实数只有一个立方根。 7. 恒等式区分：=|a|（需要绝对值）；=a（不要加绝对值）。 8. 概念区分：开平方、开立方是运算；平方根、立方根是运算结果。 1.求正数平方根只写算术平方根，漏掉负根-； 2.混淆平方根与算术平方根，审题看错、±； 3.忽略要求a0，判定有意义； 4.化简直接写成a，忘记加绝对值； 5.双重非负性题型，漏写被开方数≥0 条件； 6.立方根负号处理错误，不会使用=-； 7.估算根式大小逻辑颠倒。 题型 考察方向 难度 题型一 求一个数的算术平方根 ★ 题型二 利用算术平方根的非负性解题 ★★ 题型三 估计算术平方根的取值范围 ★★ 题型四 求算术平方根的整数部分和小数部分 ★★ 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★ 题型六 算术平方根的实际应用 ★★ 题型七 平方根概念理解 ★ 题型八 求一个数的平方根 ★ 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 ★★ 题型十 利用平方根解方程 ★★ 题型十一 平方根的应用 ★★ 题型十二 立方根概念理解 ★ 题型十三 求一个数的立方根 ★ 题型十四 已知一个数的立方根，求这个数 ★★ 题型十五 与立方根有关的规律探索 ★ 题型十六 立方根的实际应用 ★★ 题型十七 算术平方根和立方根的综合应用 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：求一个数的算术平方根 解题思路：① 带分数先化为假分数，小数优先化为分数；② 确定一个非负数，使其平方等于被开方数；③ 仅表示算术平方根，结果不得添加；④ 注意 0 的算术平方根是 0。 1．2的算术平方根是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ，且， ∴ 2的算术平方根是． 2．若，则的算术平方根为_______． 【答案】或 【分析】先根据平方根的定义求出的所有可能值，再代入计算的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， ， 当时，，此时的算术平方根为， 当时，，此时的算术平方根为， 综上所述，的算术平方根为或． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 4．如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义和非负数的性质求出x、y的值，然后求出的值，最后根据的算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 的算术平方根是1． 题型二：利用算术平方根的非负性解题 解题思路：① 牢记双重非负性： 0，被开方数 0；② 识别三类非负代数式：算术平方根、绝对值、实数的平方；③ 若若干个非负数的和为 0，则每一项必为 0；④ 列方程求解参数；⑤ 将参数代入代数式求值。 5．若实数、满足，则______． 【答案】 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，求出与的值，再代入计算即可得到结果 【详解】解：任意实数的绝对值为非负数，任意非负数的算术平方根为非负数，若两个非负数的和为，则每个非负数都为， ，， 解得，， 将，代入得：． 6．已知a，b，c都是实数，且满足，则的值是（    ）． A．4 B．0 C．6 D．-6 【答案】A 【分析】本题利用非负数的性质求解，初中阶段常见的非负数有平方、绝对值、算术平方根，若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0，据此分别求出，，的值，再计算它们的和即可． 【详解】 ， ， ，且， 每个非负数都为0，可得： ，解得， ，解得， ，解得， ． 7．若式子有意义，则____________． 【答案】 【详解】解：∵要有意义， ∴，即， ∴， ∴． 8．已知实数x、y、m满足，且对于任意满足条件的，均为负数，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将用含的式子表达出来，再结合为负数的条件列出不等式分析求解． 【详解】解：由，得， 由二次根式有意义的条件，得，即． 为负数， ，代入的表达式得， 移项得， 需要找到的最大值． 设，， 在时随的增加而增加， 在时随的增加而减少， 又在时也随的增加而减少， 在时随的增加而减少， 当时，取得最大值， ． 题型三：估计算术平方根的取值范围 解题思路：① 找出介于被开方数两侧的相邻完全平方数；② 依据平方的大小关系，确定算术平方根的整数区间；③ 必要时进一步缩小取值范围；④ 不要颠倒被开方数与算术平方根的大小关系。 9．估计的值应在（     ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵，，而， ∴． 10．已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 【答案】4 【分析】先确定的取值范围，找到介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式确定整数的值． 【详解】解：， ，即， ，且为整数， ． 11．已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了无理数的大小估算，求平方根，首先求出，然后估计的整数部分，然后根据选项即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 题型四：求算术平方根的整数部分和小数部分 解题思路：① 利用夹逼法，确定无理数所在的两个连续整数；② 较小整数即为该无理数的整数部分；③ 用无理数减去整数部分，得到小数部分；④ 小数部分满足 0小数部分<1，注意运算顺序。 12．的小数部分是a，则a的值是（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 的整数部分是3，小数部分为， 故选：B． 13．已知是的整数部分，是它的小数部分，则________． 【答案】 【分析】先估算无理数的大小，得到其整数部分，再根据无理数减去整数部分得到小数部分，将，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ， ，， ． 14．根据所学可知，则的整数部分是1，的小数部分是，若设的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 先确定的整数部分m和小数部分n，然后计算的值． 【详解】解：∵  ， ∴， ∴． 故选：A． 题型五：与算术平方根有关的规律探索题 解题思路：① 计算给出的示例；② 观察被开方数与算术平方根的倍数或小数点变化；③ 归纳规律：被开方数扩大 n2 倍，算术平方根扩大 n 倍；④ 运用规律求解；⑤ 选取样本验证规律。 15．先观察规律，再求值：已知，，，…，则（     ） A．2000 B．20000 C．200000 D．2000000 【答案】B 【分析】先观察已知算式，总结被开方数与对应算术平方根的变化规律，再利用规律求解，也可利用积的算术平方根性质直接计算． 【详解】解：观察已知式子可得规律：被开方数中后每增加个，结果中后就增加个． 所求中，被开方数后共有个， 结果中后应有个，即． 16．已知：若，，则 __________________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右移动2位，算术平方根的小数点向右移动1位，据此规律计算即可． 【详解】解：， 与相比，被开方数的小数点向右移动4位，算术平方根的小数点向右移动2位， 所以． 17．将一组数按如下方式进行排列：则第九行左起第3个数是（   ） 第一行        第二行       2   第三行         …… A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先整理得到原数列的统一规律，再根据排列规则确定所求数是原数列的第几项，代入规律计算即可． 【详解】解：将原数列统一改写为二次根式形式，可得原数列第个数为，为正整数， 观察排列规律可得：第行有个数， ∵前8行的数的总个数为 ， ∴第九行左起第3个数是原数列的第个数， 将代入规律得：． 题型六：算术平方根的实际应用 解题思路：① 设定合适的未知量，通常为长度；② 依据面积公式建立平方型方程；③ 开平方求解；④ 根据实际意义舍去负根；⑤ 验证结果的合理性。 18．如图，一块面积为的正方形丝巾，它的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形面积的计算，根据正方形的面积公式边长的平方等于面积求解算术平方根即可． 【详解】解：设正方形丝巾的边长为 ， 正方形的面积为 ， ， ∴， ， ，即正方形丝巾的边长是 ． 19．一个正方形的面积是，其边长是______；另一个正方形的面积是这个正方形面积的3倍，那么它的边长是______． 【答案】 【分析】根据正方形面积等于边长的平方，边长为正数，因此求边长就是对面积开算术平方根，先计算第一个正方形的边长，再求出第二个正方形的面积，进而计算其边长. 【详解】解：设正方形的边长为，正方形面积满足，且边长， 对于第一个正方形，已知面积， ，， ； 对于第二个正方形，已知它的面积是第一个正方形面积的倍， ， ，， . 20．如图，将一个小正方形放入到一个大正方形中，阴影部分的面积等于小正方形的面积，则大正方形与小正方形的边长之比（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据题意得，，即，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴大正方形与小正方形的边长之比， 故选：B． 题型七：平方根概念理解 解题思路：① 区分平方根与算术平方根的定义；② 负数不存在平方根；③ 正数有两个互为相反数的平方根；④ 0 的平方根是 0；⑤ 仔细审题，明确求解目标。 21．一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为___________． 【答案】0 【分析】根据平方根的定义，正数的两个不同平方根互为相反数，据此列出方程求解即可得到的值． 【详解】解：一个正数的两个不同的平方根分别是和， 解得． 22．下列说法正确的是（   ） A．算术平方根为本身的数是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的立方根为 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根及算术平方根的概念，解题的关键是明确负数无平方根、立方根的唯一性及算术平方根的非负性．根据平方根、立方根、算术平方根的定义，依次分析各选项的正误． 【详解】解：A、和的算术平方根都是本身，故此选项错误不符合题意； B、的算术平方根是，故此选项正确符合题意； C、，的平方根是，不是，故此选项错误不符合题意； D、，的立方根是，不是，故此选项错误不符合题意． 故选：B． 23．若的两个平方根分别是和，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的定义得到，，则可求出，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵2026的两个平方根是和， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型八：求一个数的平方根 解题思路：① 先判断：负数没有平方根，无实数解；② 找出一对互为相反数的数，使其平方等于已知数；③ 正数的平方根必须标注；④ 带分数化为假分数后再计算；⑤ 0 的平方根是 0，不写成 0。 24．13的平方根是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴13的平方根是． 25．若一个数的一个平方根是2026，则它的另一个平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根的基本性质，一个正数的两个平方根互为相反数，利用该性质可直接求解． 【详解】∵ 一个正数的两个平方根互为相反数， 这个数的一个平方根是， ∴ 它的另一个平方根是． 26．如果，，那么的平方根是________． 【答案】 【分析】当一个非负数的被开方数扩大（或缩小） 倍、 倍……（即 倍）时，它的算术平方根会相应地扩大（或缩小） 倍、 倍……（即 倍）． 【详解】解：∵， ∴， ∴的平方根是． 27．若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，则的值为（      ） A．8 B．26 C．10或26 D．8或24 【答案】C 【分析】根据相反数、倒数、平方根的定义可得，，，代入求值即可． 【详解】解： a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是16的平方根， ，，， 当时， ； 当时， ； 综上：的值为10或26． 题型九：已知一个数的平方根，求这个数 解题思路：① 正数的两个平方根互为相反数；② 将两个平方根相加，令其和为 0，解出参数；③ 把参数代入任意一个平方根；④ 将平方根平方，得到原数；⑤ 若两个平方根相等，则原数为 0。 28．已知一个数的两个平方根是和，则数是__________． 【答案】 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数求出的值，再计算得到. 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得 ， 将代入，得， ∴. 29．的平方根是，的立方根是2，则_______． 【答案】13 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义． 根据平方根和立方根的定义，求出a和b的值，再计算它们的和即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， 解得， 则． 故答案为：13． 30．若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【答案】C 【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此进行列式，得，再求出这个正数，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴这个正数是． 题型十：利用平方根解方程 解题思路：① 将含未知数的平方项单独置于等号一侧；② 若等号右侧为负数，则方程无实数解；③ 两边同时开平方，必须添加 ；④ 拆分为两个一元一次方程；⑤ 分别求解，得到两个根。 31．若二次根式，则的值是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用算术平方根解方程，根据的算术平方根是即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， 故选：A． 32．若，则_________． 【答案】 【分析】化简左边的平方项，根据平方根的定义求解x即可． 【详解】解：∵， ∴原等式可化为， ∵，， ∴． 33．已知，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式、利用平方根解方程，熟练掌握平方差公式是解题关键．令，则，利用平方差公式计算可得，再利用平方根解方程即可得． 【详解】解：令， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 34．如图为2025年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（   ） A．80 B．162 C．297 D．377 【答案】B 【分析】本题考查日历中数字的规律以及利用平方根解方程，解题的关键在于找出日历中正方形方框内最小数、最大数与中间数的关系． 根据题意得出，然后将选项代入，利用平方根解方程判断即可． 【详解】解：在日历中，同一列相邻两个数相差，同一行相邻两个数相差， 那么最小的数是，最大的数是， 已知最小的数与最大的数的积记为，则， ∴． 选项A：当时，，解得：（负值舍去），不符合题意； 选项B：当时，，解得： （负值舍去），符合题意； 选项C：当时，，解得：（负值舍去），不符合题意； 选项D：当时，，解得：（负值舍去），不符合题意； 故选：B． 题型十一：平方根的应用 解题思路：① 提取实际情境中的平方等量关系，多与面积相关；② 列出对应的方程；③ 开平方运算；④ 根据现实约束舍去负根；⑤ 规范作答，留意单位。 35．已知一个正数的两个平方根分别是和3，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：一个正数的两个平方根是和3， ， ， ∴ 故选：D． 36．已知数3，27，加入数，使这三个数中，有一数为另外两个数的乘积的一个平方根，则的值可以是__________________．（写出所有可能） 【答案】或243或 【分析】根据题意先分3种情况：①；②，③，然后分别解之即可求出a． 【详解】解：依题意可知：①，解得； ②，解得； ③，解得． 故答案为：或243或． 【点睛】本题主要考查了平方根概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 37．按照国际标准，A系列纸为长方形．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……，将一张纸按如图所示的方式折叠，据此可以发现，A系列纸的长与宽的关系为（） A．长是宽的2倍 B．长是宽的倍 C．宽是长的倍 D．宽是长的倍 【答案】B 【详解】解：用两张纸，都按照左侧方式，将纸张线沿虚线剪开, 将四块等腰直角三角形形状的纸张，以三角形的斜边为边，以直角边为对角线，按照右侧图形进行拼装，比较两个图形正方形部分的面积，可以得到边长的平方比． 由题意，已知， ， ， 即，A系列纸的长是宽的倍． 故选：B． 题型十二：立方根概念理解 解题思路：① 任意实数有且仅有一个立方根；② 立方根的符号与被开方数保持一致；③ 对比平方根：负数可以取立方根，但没有平方根；④ 表示唯一的立方根，不得添加。 38．已知实数的立方根是，则实数的立方根是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的定义，解题的关键是掌握求一个数的立方根． 根据立方根的定义，先求出实数的值，再计算的值，最后求其立方根． 【详解】解：由题意得，实数的立方根是，即， 故， ∴， ∴， 故答案为：． 39．下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据负数的立方根是负数，正数的立方根是正数进行逐项分析计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项运算正确，不符合题意； B、，故该选项运算正确，不符合题意； C、，故该选项运算正确，不符合题意； D、，故该选项运算错误，符合题意； 故选：D 40．的平方根为，的立方根为2，则的值为（   ） A． B．3 C． D．不确定 【答案】B 【分析】根据平方根定义立方根定义列式求出a，b，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵的平方根为，的立方根为2， ∴，， 解得：，， ∴， 故选B； 【点睛】本题考查平方根的定义，立方根的定义，解题的关键是根据定义列式求解． 题型十三：求一个数的立方根 解题思路：① 寻找一个数，使其立方等于被开方数；② 负数可以开立方，结果为负；③ 带分数先化为假分数；④ 立方根仅有一个，不添加 ；⑤ 0 的立方根是 0。 41．27的立方根是________． 【答案】3 【分析】找到立方等于27的数即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴的立方根是． 42．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根和立方根的性质，逐项判断，即可解答． 【详解】解：，故A错误． ，故B错误． ，故C正确． ， ，故D错误． 43．已知，则______． 【答案】 0.2466 【分析】将待求的变形为含已知的形式，利用立方根的运算性质计算即可得到结果． 【详解】， ， 原式． 44．对于实数、，定义运算“”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（   ） A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是2 D．立方根是 【答案】D 【分析】先根据新定义运算求出的结果，再结合相关定义判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的结果没有平方根和算术平方根，立方根为． 题型十四：已知一个数的立方根，求这个数 解题思路：① 依据定义：原数等于立方根的三次方；② 对已知的立方根进行立方运算；③ 注意负数的立方结果为负；④ 化简得到原数；⑤ 通过反向开立方检验结果。 45．已知的立方根是，的算术平方根是．则________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义和算术平方根的定义，求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：的立方根是，的算术平方根是， ，， 解得，， ． 46．若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据立方根求这个数，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根是， 故选：C． 47．若与互为相反数，则t的值为____． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义和立方根的性质，得到两个被开方数之和为，列出一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：与互为相反数， ， 解得． 48．已知：是的立方根，是的相反数，且．那么的（）次方根为___________． 【答案】当为偶数时，为；当为奇数时，为 【分析】根据立方根的定义得到根指数的关系，根据相反数的性质得到与的关系，结合已知列方程组求解，得到后再根据乘方的定义求的次方根． 【详解】解：是的立方根， ， 是的相反数， ， 两边立方得：， 又，， ， ， ， 整理得：， 联立， 解得：， ， ， 求的（）次方根：当为偶数时，正数的偶次方根有两个，互为相反数，结果为；当为奇数时，正数的奇次方根只有一个正根，结果为． 题型十五：与立方根有关的规律探索 解题思路：① 计算给出的各组式子；② 观察被开方数与立方根的小数点移动位数；③ 归纳规律：被开方数的小数点每移动三位，立方根向同方向移动一位；④ 利用规律直接求解；⑤ 选取例子验证猜想。 49．已知，，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根，正确掌握相关的定义与性质是解题的关键． 利用立方根的性质结合已知数据得出答案即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 50．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 【答案】14 【分析】根据“立方”对应的展开式求解的展开式，对应求解的值，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，令，， 则， 故，， 则． 51．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴排除选项、， 接下来求的立方根： 第一步：确定位数，∵，，且 ， ∴，即是两位数； 第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步：确定十位数字，划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 题型十六：立方根的实际应用 解题思路：① 识别情境中的立方关系，多为正方体的体积与棱长；② 设立未知量，建立方程；③ 对等号两边同时开立方；④ 结合实际意义取正值；⑤ 核对计算，标注单位。 52．春季万物复苏，植物会因为快速生长而进行频繁的细胞分裂．某种植物细胞可以近似看作棱长为3的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方体体积公式计算原体积，再求出体积增大后的新体积，最后根据正方体体积与棱长的关系计算新棱长即可． 【详解】解：∵原正方体的棱长为3， ∴原正方体的体积为， ∵新体积增大为原来的2倍， ∴新正方体的体积为， 设新正方体的棱长为，由正方体体积公式得， ∴． 53．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 【答案】 【分析】依据锻造前后铁块体积不变，先计算原长方体的体积，再根据立方体体积公式结合立方根的概念即可求出棱长． 【详解】解：由题意得，锻造前后铁块的体积不变，原长方体铁块的体积为， 设立方体铁块的棱长为， 根据立方体体积公式得， 因此即锻造成的立方体铁块的棱长为． 54．已知半径为的球的体积是，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是_______． 【答案】3 【分析】设这种容器的半径为，根据题目所给体积公式，列出方程求解即可． 【详解】解：设这种容器的半径为， ， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了立方根的应用，解题的关键是根据题意列出方程，熟练掌握立方根的定义，根据立方根的定义解该方程． 55．要生产一个底面为正方形的长方体形容器，容积为（立方分米），使它的高是底面边长的2倍，则底面边长为（    ） A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米 【答案】C 【分析】设底面边长为x分米，则高为分米，根据长方体体积公式列出方程，求出的值即可． 【详解】解：设底面边长为x分米，则高为分米，根据题意得， ， ， 解得， 所以底面边长为4分米， 故选：C 【点睛】本题主要考查了立方根的实际应用，正确列出方程是解答本题的关键． 题型十七：算术平方根和立方根的综合应用 解题思路：① 厘清平方根、算术平方根、立方根的定义与取值限制；② 平方根、算术平方根要求被开方数非负，立方根无此限制；③ 根据全部条件列出等式或不等式；④ 求出参数的取值；⑤ 将参数代入，按要求进行开方运算；⑥ 检验每一步是否符合概念约束。 56．如果的算术平方根是2，27的立方根是，则（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据算术平方根以及立方根算出、即可得到答案． 【详解】解：的算术平方根是2， ， ， 27的立方根是， ，即， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键． 57．已知的平方根是的立方根是，则______． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义、立方根定义定义等知识，根据题意，求出值代入即可，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 【详解】解：的平方根是的立方根是， ，，解得，， ， 故答案为：． 58．已知的算术平方根是2，的立方根是，则的值是_______． 【答案】8 【分析】利用算术平方根、立方根的定义求出的值，代入进行计算即可． 【详解】解：的算术平方根是2，的立方根是， ，， 解得：，， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的定义，熟练掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键． 59．现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可． 【详解】解：∵体积是125的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块， ∴每一块的棱长l＝2.5cm， ∵长方形面积是36 ，长方形木板的长是宽的4倍， 设宽为x cm，长为4x cm， x•4x＝36， 得：x＝3， ∴长为12 cm，根据题意,得2.5n≤12， ∴n≤4.8， ∵n是正整数， ∴n的最大值是4． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方体的体积，长方形的面积，算术平方根即平方根中的正的那个，不等式的整数解，熟练求不等式的整数解是解题的关键． 解答题 1．求式子中的x：． 【答案】或 【详解】解： 或 解得或． 2．已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)a，b值分别为3，4 (2)的算术平方根为2 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，求出，再根据立方根的定义得求出b； （2）根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得； ∵的立方根是2， ∴， 解得， 答：a，b值分别为3，4； （2）解：∵， ∴， 答：的算术平方根为2． 3．若与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】根据相反数的定义得出，根据绝对值及算术平方根的非负数性质得出，，进而求出，，即可求出代数式的值． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 4．已知的算术平方根是4，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义求出的值，再通过估算无理数得到的值，代入式子计算结果后，求结果的平方根即可； 【详解】解：的算术平方根是4， ， 解得， 的立方根是3， ， 将代入得， 解得， ， ， ， 将代入，得， 的平方根为． 5．新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是 ，的“青一区间”是 ； (2)若无理数为正整数)的“青一区间”为的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“青一区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“青一区间”求出a的取值范围，再根据为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相减可得，求出，再根据“青一区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：，， 的“青一区间”是，的“青一区间”是； （2）解：无理数的“青一区间”为， ， 即， 的“青一区间”为， ， 即， ， 综上所述，， 为正整数， ∴； （3）解：， ，， ， ， ， ，， 得， 即 ， ∴ 的算术平方根为， ∵ ∴， 的算术平方根的“青一区间”是． 6．小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 7．按照国际标准，系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……将纸按如图1所示的方式折叠，你有什么发现？ (1)你的发现： ； (2)你能据此估算纸的长与宽分别是多少毫米吗（结果取整数）？参考数据：，，，，， 【答案】(1)A系列纸矩形的长是宽的倍（答案不唯一） (2)长为毫米，宽为毫米 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）设纸的长为毫米，宽为毫米，根据面积得到，然后求解即可； 设纸的宽为b毫米，长为毫米，根据面积得到，然后求解即可；． 【详解】（1）解：我的发现：A系列纸矩形的长是宽的倍； （2）解：设纸的长为毫米，宽为毫米，则． 解得，（毫米） 设纸的宽为b毫米，长为毫米，则． 解得，（毫米）． 8．如图1是一个立方体木块，其体积是． (1)求立方体的棱长； (2)如图2所示，在立方体木块中挖去一个圆柱体后，木块体积只剩，求圆柱体底面半径．（取3.14） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根和平方根的应用，掌握正方体和圆柱体的体积是解题关键． （1）根据正方体的体积公式求解即可； （2）设圆柱体底面半径为，用正方体的体积减圆柱的体积列方程求解即可． 【详解】（1）解：立方体木块的体积是， 则棱长为； （2）解：设圆柱体底面半径为， 则， 解得：（负值舍去）， 即圆柱体底面半径为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01平方根与立方根精讲学案 核心立意 平方根与立方根是乘方的逆运算，是从有理数过渡到实数的第一个节点。本节需要精准区分平方根、算术平方根、立方根的定义、符号与性质；掌握算术平方根的双重非负性、三组核心恒等式、小数点移动规律；会解简单的开方方程。既是本章的基础，也是后续学习二次根式、实数运算的必备工具。 平方根与算术平方根 （一）平方根定义 若x2=a，则x叫做a的平方根，记作。 （二）算术平方根（重点） 1.定义：一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；0的算术平方根是0。 2.符号写法：记作，只代表非负根，不带正负号。 3.取值范围：只有a0时，才有意义。 4.双重非负性（本节重中之重，大题必考） 被开方数非负：a0； 算术平方根结果非负：0； 拓展：若|m|+n2+=0，则m=0、n=0、p=0，三类非负数和为 0，各项均为 0。 5.核心公式 ： - （三）平方根三条性质 正数有 2 个平方根，互为相反数； 0的平方根、算术平方根都是0； 负数没有平方根、没有算术平方根。 （四）三个符号区分（易混考点） ：a全部平方根（一正一负）； ：a的算术平方根（仅非负根）； ：a的负平方根。 开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 立方根 1. 立方根定义 若x3=a，则x叫做a的立方根（三次方根），记作，读作 “三次根号a”。 2. 立方根核心性质 （1）任意实数都有唯一立方根，正数、0、负数都能开立方； （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0； （3）重要公式：=-，可把负号提到根号外； （4）恒等式： 3.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 重点辨析 1. 平方根、算术平方根、立方根的对比 算术平方根：仅针对非负数；只有一个，一定非负；符号 。 平方根：仅针对非负数；正数有两个，互为相反数；符号 ±。 立方根：全体实数都有；永远只有一个；符号 ；根指数 3 不可省略。 2. 开平方与开立方的对比 开平方：求平方根的运算；只能对非负数进行；结果可能有 0 个、 1 个或 2 个。 开立方：求立方根的运算；全体实数都可以进行；结果有且只有 1 个。 3.只代表算术平方根，结果一定非负。 =4；而 16 的平方根是4。这是最经典的概念陷阱。 4. 被开方数限制不同：平方根中 a0；立方根中 a 可取全体实数。 5. 根指数习惯不同：平方根的根指数 2 可以省略；立方根的根指数 3 不可省略。 6. 根的个数不同：正数有两个平方根；任意实数只有一个立方根。 7. 恒等式区分：=|a|（需要绝对值）；=a（不要加绝对值）。 8. 概念区分：开平方、开立方是运算；平方根、立方根是运算结果。 1.求正数平方根只写算术平方根，漏掉负根-； 2.混淆平方根与算术平方根，审题看错、±； 3.忽略要求a0，判定有意义； 4.化简直接写成a，忘记加绝对值； 5.双重非负性题型，漏写被开方数≥0 条件； 6.立方根负号处理错误，不会使用=-； 7.估算根式大小逻辑颠倒。 题型 考察方向 难度 题型一 求一个数的算术平方根 ★ 题型二 利用算术平方根的非负性解题 ★★ 题型三 估计算术平方根的取值范围 ★★ 题型四 求算术平方根的整数部分和小数部分 ★★ 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★ 题型六 算术平方根的实际应用 ★★ 题型七 平方根概念理解 ★ 题型八 求一个数的平方根 ★ 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 ★★ 题型十 利用平方根解方程 ★★ 题型十一 平方根的应用 ★★ 题型十二 立方根概念理解 ★ 题型十三 求一个数的立方根 ★ 题型十四 已知一个数的立方根，求这个数 ★★ 题型十五 与立方根有关的规律探索 ★ 题型十六 立方根的实际应用 ★★ 题型十七 算术平方根和立方根的综合应用 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：求一个数的算术平方根 解题思路：① 带分数先化为假分数，小数优先化为分数；② 确定一个非负数，使其平方等于被开方数；③ 仅表示算术平方根，结果不得添加；④ 注意 0 的算术平方根是 0。 1．2的算术平方根是（     ） A．2 B． C． D． 2．若，则的算术平方根为_______． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 题型二：利用算术平方根的非负性解题 解题思路：① 牢记双重非负性： 0，被开方数 0；② 识别三类非负代数式：算术平方根、绝对值、实数的平方；③ 若若干个非负数的和为 0，则每一项必为 0；④ 列方程求解参数；⑤ 将参数代入代数式求值。 5．若实数、满足，则______． 6．已知a，b，c都是实数，且满足，则的值是（    ）． A．4 B．0 C．6 D．-6 7．若式子有意义，则____________． 8．已知实数x、y、m满足，且对于任意满足条件的，均为负数，则的取值范围是（     ）. A． B． C． D． 题型三：估计算术平方根的取值范围 解题思路：① 找出介于被开方数两侧的相邻完全平方数；② 依据平方的大小关系，确定算术平方根的整数区间；③ 必要时进一步缩小取值范围；④ 不要颠倒被开方数与算术平方根的大小关系。 9．估计的值应在（     ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 10．已知，，，．若x为整数且，则x的值为_________． 11．已知 则以下对|x|的估算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型四：求算术平方根的整数部分和小数部分 解题思路：① 利用夹逼法，确定无理数所在的两个连续整数；② 较小整数即为该无理数的整数部分；③ 用无理数减去整数部分，得到小数部分；④ 小数部分满足 0小数部分<1，注意运算顺序。 12．的小数部分是a，则a的值是（    ） A．4 B． C．3 D． 13．已知是的整数部分，是它的小数部分，则________． 14．根据所学可知，则的整数部分是1，的小数部分是，若设的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 题型五：与算术平方根有关的规律探索题 解题思路：① 计算给出的示例；② 观察被开方数与算术平方根的倍数或小数点变化；③ 归纳规律：被开方数扩大 n2 倍，算术平方根扩大 n 倍；④ 运用规律求解；⑤ 选取样本验证规律。 15．先观察规律，再求值：已知，，，…，则（     ） A．2000 B．20000 C．200000 D．2000000 16．已知：若，，则 __________________． 17．将一组数按如下方式进行排列：则第九行左起第3个数是（   ） 第一行        第二行       2   第三行         …… A． B． C． D． 题型六：算术平方根的实际应用 解题思路：① 设定合适的未知量，通常为长度；② 依据面积公式建立平方型方程；③ 开平方求解；④ 根据实际意义舍去负根；⑤ 验证结果的合理性。 18．如图，一块面积为的正方形丝巾，它的边长是（     ） A． B． C． D． 19．一个正方形的面积是，其边长是______；另一个正方形的面积是这个正方形面积的3倍，那么它的边长是______． 20．如图，将一个小正方形放入到一个大正方形中，阴影部分的面积等于小正方形的面积，则大正方形与小正方形的边长之比（    ）    A． B． C． D． 题型七：平方根概念理解 解题思路：① 区分平方根与算术平方根的定义；② 负数不存在平方根；③ 正数有两个互为相反数的平方根；④ 0 的平方根是 0；⑤ 仔细审题，明确求解目标。 21．一个正数的两个不同的平方根分别是和，则的值为___________． 22．下列说法正确的是（   ） A．算术平方根为本身的数是 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的立方根为 23．若的两个平方根分别是和，则的值是（     ） A． B． C． D． 题型八：求一个数的平方根 解题思路：① 先判断：负数没有平方根，无实数解；② 找出一对互为相反数的数，使其平方等于已知数；③ 正数的平方根必须标注；④ 带分数化为假分数后再计算；⑤ 0 的平方根是 0，不写成 0。 24．13的平方根是___________． 25．若一个数的一个平方根是2026，则它的另一个平方根为（     ） A． B． C． D． 26．如果，，那么的平方根是________． 27．若实数互为相反数，互为倒数，是16的平方根，则的值为（      ） A．8 B．26 C．10或26 D．8或24 题型九：已知一个数的平方根，求这个数 解题思路：① 正数的两个平方根互为相反数；② 将两个平方根相加，令其和为 0，解出参数；③ 把参数代入任意一个平方根；④ 将平方根平方，得到原数；⑤ 若两个平方根相等，则原数为 0。 28．已知一个数的两个平方根是和，则数是__________． 29．的平方根是，的立方根是2，则_______． 30．若一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 题型十：利用平方根解方程 解题思路：① 将含未知数的平方项单独置于等号一侧；② 若等号右侧为负数，则方程无实数解；③ 两边同时开平方，必须添加 ；④ 拆分为两个一元一次方程；⑤ 分别求解，得到两个根。 31．若二次根式，则的值是（    ） A．2 B． C．0 D． 32．若，则_________． 33．已知，那么的值为______． 34．如图为2025年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为n，中间位置上的数记为m．下列所给的数据中，n不可能是（   ） A．80 B．162 C．297 D．377 题型十一：平方根的应用 解题思路：① 提取实际情境中的平方等量关系，多与面积相关；② 列出对应的方程；③ 开平方运算；④ 根据现实约束舍去负根；⑤ 规范作答，留意单位。 35．已知一个正数的两个平方根分别是和3，则的值是(    ) A． B． C． D． 36．已知数3，27，加入数，使这三个数中，有一数为另外两个数的乘积的一个平方根，则的值可以是__________________．（写出所有可能） 37．按照国际标准，A系列纸为长方形．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……，将一张纸按如图所示的方式折叠，据此可以发现，A系列纸的长与宽的关系为（） A．长是宽的2倍 B．长是宽的倍 C．宽是长的倍 D．宽是长的倍 题型十二：立方根概念理解 解题思路：① 任意实数有且仅有一个立方根；② 立方根的符号与被开方数保持一致；③ 对比平方根：负数可以取立方根，但没有平方根；④ 表示唯一的立方根，不得添加。 38．已知实数的立方根是，则实数的立方根是_______． 39．下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 40．的平方根为，的立方根为2，则的值为（   ） A． B．3 C． D．不确定 题型十三：求一个数的立方根 解题思路：① 寻找一个数，使其立方等于被开方数；② 负数可以开立方，结果为负；③ 带分数先化为假分数；④ 立方根仅有一个，不添加 ；⑤ 0 的立方根是 0。 41．27的立方根是________． 42．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 43．已知，则______． 44．对于实数、，定义运算“”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是（   ） A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是2 D．立方根是 题型十四：已知一个数的立方根，求这个数 解题思路：① 依据定义：原数等于立方根的三次方；② 对已知的立方根进行立方运算；③ 注意负数的立方结果为负；④ 化简得到原数；⑤ 通过反向开立方检验结果。 45．已知的立方根是，的算术平方根是．则________． 46．若一个数的立方根是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 47．若与互为相反数，则t的值为____． 48．已知：是的立方根，是的相反数，且．那么的（）次方根为___________． 题型十五：与立方根有关的规律探索 解题思路：① 计算给出的各组式子；② 观察被开方数与立方根的小数点移动位数；③ 归纳规律：被开方数的小数点每移动三位，立方根向同方向移动一位；④ 利用规律直接求解；⑤ 选取例子验证猜想。 49．已知，，则_______． 50．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 51．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 题型十六：立方根的实际应用 解题思路：① 识别情境中的立方关系，多为正方体的体积与棱长；② 设立未知量，建立方程；③ 对等号两边同时开立方；④ 结合实际意义取正值；⑤ 核对计算，标注单位。 52．春季万物复苏，植物会因为快速生长而进行频繁的细胞分裂．某种植物细胞可以近似看作棱长为3的正方体，当它的体积增大到原来的2倍时，这个正方体的棱长是（   ） A．5 B．6 C． D． 53．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 54．已知半径为的球的体积是，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是_______． 55．要生产一个底面为正方形的长方体形容器，容积为（立方分米），使它的高是底面边长的2倍，则底面边长为（    ） A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米 题型十七：算术平方根和立方根的综合应用 解题思路：① 厘清平方根、算术平方根、立方根的定义与取值限制；② 平方根、算术平方根要求被开方数非负，立方根无此限制；③ 根据全部条件列出等式或不等式；④ 求出参数的取值；⑤ 将参数代入，按要求进行开方运算；⑥ 检验每一步是否符合概念约束。 56．如果的算术平方根是2，27的立方根是，则（    ） A． B．1 C． D．3 57．已知的平方根是的立方根是，则______． 58．已知的算术平方根是2，的立方根是，则的值是_______． 59．现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 解答题 1．求式子中的x：． 2．已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 3．若与互为相反数，求的值． 4．已知的算术平方根是4，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 5．新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以，所以的“青一区间”为的“青一区间”为．请解答下列问题： (1)的“青一区间”是 ，的“青一区间”是 ； (2)若无理数为正整数)的“青一区间”为的“青一区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求的算术平方根的“青一区间”． 6．小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 7．按照国际标准，系列纸为长方形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸……将纸按如图1所示的方式折叠，你有什么发现？ (1)你的发现： ； (2)你能据此估算纸的长与宽分别是多少毫米吗（结果取整数）？参考数据：，，，，， 8．如图1是一个立方体木块，其体积是． (1)求立方体的棱长； (2)如图2所示，在立方体木块中挖去一个圆柱体后，木块体积只剩，求圆柱体底面半径．（取3.14） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $