2.1等式的性质与不等式性质（第1课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式与不等式性质第1课时，核心涵盖不等关系抽象、实数大小比较基本事实及作差法。课堂通过限速、酸奶质量等现实情境问题导入，引导学生用不等式表示关系，再以杂志定价问题引出性质学习，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如借助赵爽弦图探究重要不等式，培养几何直观与创新意识；通过作差法比较代数式大小（例1及变式），发展逻辑推理与运算能力；用不等式组表示蛋糕制作原料限制（例2），强化模型意识。小结归纳比较依据与作差步骤，助力学生系统掌握，也为教师提供清晰教学流程与实例支撑。

2.1 等式的性质与不等式的性质 （第1课时） 人教A版2019数学 必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 等式性质与不等式性质 相等关系与不等关系 等式性质与不等式的性质 基本不等式 基本不等式 基本不等式的应用 二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式及解法 一元二次不等式的应用 本章知识框图 课标要求 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式和不等式的共性与差异，掌握基本不等式 03 01 02 经历重要不等式的探索过程，并能证明，积累基本活动经验，提升数学运算、逻辑推 理素养. 能从情境中抽象出不等关系，并能写出相应的不等式(组），发展数学抽象素养 课时教学目标 理解两个实数大小关系的基本事实，体会其蕴含的数学思想方法，并能用基本事实作为理论支撑 去比较两个代数式的大小 问题1：在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，你能举出几个具有相等或不等 关系的例子吗？ 环节一 新课导入 类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等． 相等用等式表示，不等用不等式表示． 多与少 大与小 长与短 重与轻 环节二 新课探究 问题2：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速40km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%， 蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短． 设该路段行驶的汽车速度为，则 设三角形三边分别为，则 设是直线外任意一点，是到的垂线段，是直线上任意一点，则 环节二 新课探究 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式.接着，就可以用不等式研究相应的问题了． 元万本 单价提高元销量减少2000本 单价提高元销量减少2万本 环节二 新课探究 如何解不等式①呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质． 解：设提价后每本杂志的单价为元，则销售总收入为万元. 于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为： ① 求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围． 环节二 新课探究 环节二 新课探究 0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了“标杆”. 比较大小的方法 环节三 应用新知 例1 【分析】数字的大小可以通过作差后与0比较，类比我们也可以比较它们的大小. 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 答案：A 变式训练 环节三 应用新知 答案：BCD 环节二 新课探究 4个全等的直角三角形 1个小正方形 大正方形 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的证明. 相等关系 环节二 新课探究 4个全等的直角三角形面积 大正方形面积 不等关系 4个全等的直角三角形面积 大正方形面积 大于 等于 环节二 新课探究 重要不等式 变式训练 环节三 应用新知 两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小 环节三 应用新知 例2 所以x，y满足的不等式组为： 【详解】①制作A，B两种蛋糕需要的面粉不超过1000g，用不等式表示为； ②制作A，B两种蛋糕需要的黄油不超过600g，用不等式表示为； ③制作A，B两种蛋糕需要的牛奶不超过350mL，用不等式表示为； ④A，B两种蛋糕的制作量都应不少于0，且为整数个，故． 变式训练 环节三 应用新知 变式训练 环节三 应用新知 答案：D 文字语言 数学符号 文字语言 大于 ＞ 大于，高于，超过 小于 ＜ 小于，低于，少于 大于或等于 ≥ 至少，不少于，不低于 小于或等于 ≤ 至多,不多于,不超过 环节四 归纳小结 作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论 1．比较两个实数大小关系的依据： 2．作差比较法： 环节五 作业布置 P35的6(3)、7(1)(3)题； p42习题2.1的3(1)(4)题. 感谢聆听 问题3：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 问题3：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图2.1-2，设是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B． 当点在点的左边时，； 当点在点的右边时，． 实数大小的比较的基本事实 关于实数大小的比较，有以下基本事实： 如果是正数，那么； 如果等于0，那么； 如果是负数，那么．反过来也对． 这个基本事实可以表示为： 实数大小的比较的基本事实 比较和的大小． 解：因为 =(， 所以． 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小． 图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客． 你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客． 你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 某蛋糕师制作A，B两种蛋糕，原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下： 制作一个A种蛋糕需要面粉150g，黄油100g，牛奶50mL； 制作一个B种蛋糕需要面粉200g，黄油140g，牛奶70mL． 现有面粉1000g，黄油600g，牛奶350mL．若分别制作x个A种蛋糕，y个B种蛋糕．试列出x，y满足的不等式组． $