2.1 第1课时 不等关系与不等式（PPT课件）-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修一配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“不等关系与不等式”，涵盖不等式定义、作差（商）法比较大小及重要不等式，课前通过诊断分析衔接等式性质，课中以矩形面积、钢管截取等实例引入，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是结合投资方案、糖水浓度等生活实例，用数学眼光发现不等关系，通过作差法变形定号培养数学思维，以不等式组表达实际问题强化数学语言。分层习题助力学生逐步提升，教师可借实例激发兴趣，提高教学效率。

2.1 等式性质与不等式性质 1 第1课时 不等关系与不等式 2 探究点一 用不等式（组）表示不等关系 探究点二 比较两个数（式）的大小 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 理解不等式的概念:（1）能类比等式表示相等关系,举例说明不 等式可以表示不等关系;（2）根据实数大小关系的基本事实,能够利 用作差（商）法比较两个代数式的大小. 4 知识点一 不等式与基本事实 1.不等式的定义 用不等号连接两个解析式所得的式子，叫作不等式. 2.比较两个实数大小的基本事实：对任意两个实数, , ① ; ② ; ③ . 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的__________与 的大小，这种方法叫作作差（商）法. 差（商） 课 前 预 习 5 知识点二 重要不等式 一般地，,,有___,当且仅当 时,等号成立. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）两个实数，之间，有且只有，， 三种关系 中的一种.( ) √ [解析] 任意两个实数,之间，有且只有，， 三种关系中的一种，没有其他大小关系，正确. 课 前 预 习 6 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）设,,则 .( ) × [解析] ， ，错误. （3）已知,,若,则 的最小值是2.( ) √ [解析] ,,若,则 ，当且仅当 时，等号成立，正确. （4）若,,则 .( ) × [解析] 取,,,,满足， ，但 ,错误. 课 前 预 习 7 探究点一 用不等式（组）表示不等关系 例1 用不等式（组）表示下面的不等关系: （1）与 的差是非负数; 解： . （2）用一根长为的铁丝围成一个矩形,矩形的面积大于 ； 解：设矩形的长为,则它的宽为,故有 . 课 中 探 究 8 例1 用不等式（组）表示下面的不等关系: （3）某钢铁厂要把长度为的钢管截成和 两 种，要求钢管的数量不能超过 钢管数量的3倍. 解：设截得的钢管根，截得的钢管 根, 根据题意得 课 中 探 究 9 变式（1）某校计划用不超过1500元的资金购买单价为120元的篮球 和140元的足球，若该校至少要购买8个篮球，且至少要购买2个足球， 则不同的购买方式有( ) A.6种 B.7种 C.8种 D.5种 [解析] 设购买的篮球个数为，足球个数为 ，则根据题意可得符合题意的有序实数对是, , ,, ，所以共有5种不同的购买方式.故选D. √ 课 中 探 究 10 （2）某市环保局为增加城市的绿地面积，提出了两个投资方案：方 案为一次性投资500万元；方案 为第一年投资100万元，以后每年 投资10万元.“经过年之后，方案的投资不少于方案 的投资” 用不 等式表示为______________________. [解析] 方案一次性投资500万元. 方案 第一年投资100万元，两年后总投资为万元，三年后总投资为 万元， ，年后总投资为万元. 因为经过 年之后，方案的投资不少于方案的投资，所以 . 课 中 探 究 11 ［素养小结］ 将不等关系表示成不等式（组）的思路 （1）读懂题意，找准不等式所联系的量. （2）用适当的不等号连接. （3）多个不等关系用不等式组表示. 课 中 探 究 12 探究点二 比较两个数（式）的大小 例2（1）已知，，均为实数，比较 与 的大小. 解： ， 当且仅当且 时取等号, . 课 中 探 究 13 （2）设，，，比较与 的大小. 解：，，， ， ， . 课 中 探 究 14 变式（1）已知,都是正实数，且，试比较 与 的大小. 解：， , 都是正实数，且 ， ， . 课 中 探 究 15 （2）已知，试比较和 的大小. 解：方法一：因为，所以 , ，所以 . 因为，所以，即 . 方法二：因为，所以 , ， 又, ，所以,所以 . 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 比较大小的常用方法 （1）作差法:①作差;②变形;③定号;④下结论. （2）作商法:①作商;②变形;③判断商值与1的大小关系;④下结论. 课 中 探 究 17 拓展 证明：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积. 证明：设圆的周长与正方形的周长均为 ，则圆的面积，正方形的面积 ， ，即 ，原命题得证. 课 中 探 究 18 课后习题 19 1.将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为 ，若 两段绳子的长度之差不小于，则 所满足的不等关系为( ) A. B.或 C. D. √ [解析] 由题意可知另一段绳子的长度为 ，因为两段绳子的长度之差不小于，所以 即 故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 2.设，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 ．故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 3.[2026·保定部分高中高一阶段练]某投资方对某项目提出两个投资 方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元， 以后每年投资30万元.下列不等式表示“经过 年后，方案一的总投资 不多于方案二的总投资”的是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意，经过 年后，方案二的总投资为万元，则表示“经过 年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式为 .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 4.“”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] . 若,则 ,即；若,即 ,则. 所以“”是“ ”的充要条件.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 5.（多选题）下列不等式中恒成立的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，， ，A恒成立； 对于B， ， ,B不恒成立； 对于C， ， ，C恒成立； 对于D，， ，D恒成立.故选 . √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 24 6.持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前 线．从物资集散地到灭火前线的路程为 ，其中靠近灭火前线 的山路崎岖，需用摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知 可用汽车运送的路段的平均速度为 ，设需用摩托车运送的路 段的平均速度为 ，为使物资能在1小时内运送到灭火前线，则 应满足的不等式为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意，汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即 ，故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 25 7.比较大小：___.（填“ ”“ ”或“ ”） [解析] ， ，因为 ，所以 ，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 26 8.若，，则将，， 按大小顺序排列为______ ________（用“ ”连接）. [解析] 因为，，所以，， ，，所以，即 ，，即 ，所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 27 9.（13分）现有学生若干人，住若干间宿舍.如果每间宿舍住4人，那 么还余19人；如果每间宿舍住6人，那么只有一间不满但不空.求宿舍 间数和学生人数. 解：设有间宿舍，则学生人数为 ，依题意得解得 . ， ，11，12，则宿舍间数为10或11或12，对应的学生人数分别为59，63，67. 故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 10.近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为 元/斤、 元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的 猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次购买猪肉的平均单价分别记 为， ，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D., 的大小关系无法确定 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 [解析] 由题意知，， ，显然,，， 由题意知 , 所以,所以,所以 , 所以 ，故选C. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 11.现有如图所示的两种广告牌,其中图①是由两个等腰直角三角形构 成的,图②是一个矩形, 从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系， 并将这种关系用含字母， 的不等式表示出来( ) A. B. C. D. √ [解析] 图①是由两个等腰直角三角形构成的，面积图②是一个矩形，面积. 因为 ，所以由图可知 ．故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 12.已知，，则___（填“ ”或“ ”） [解析] ， ， 因为 ，所以，所以 ，所以，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 13.能够说明“若,,均为正数，则”是真命题的一组数, 可 以为___， _________________. 1 2（答案不唯一） [解析] 因为“若,,均为正数，则 ”是真命题，所以，可得,所以可取， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 14.（15分）已知,，试比较与 的大小. 解：方法一（作差法） ， ，当且仅当 时取等号. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 方法二（作商法）： . ， , . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法三（平方后作差） ， ，. ， ，,又， ， . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.杠杆原理，是使用天平称物品的理论基础，当天平平衡时，由杠 杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物 品质量的乘积.某人使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长 和右臂长之比为 ，先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些 黄金放在天平右盘中使天平平衡，再将5克砝码放在天平右盘中，然 后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，则两次称得的黄金质 量( ) A.大于10克 B.小于10克 C.等于10克 D.无法确定 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 [解析] 设天平的左臂长为，右臂长为，则 ，所以. 设先称得的黄金的实际质量为 克，后称得的黄金的实际质量为克，则，，解得， ， 所以 ，所以 ， 因为，所以，即 ，所以两次称得的黄金质量大于10克.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 16.（15分）[2026·阳江一中高一月考] 已知糖水中有 糖， 往糖水中加入糖 （假设全部溶解），糖水更甜了. （1）请将这个事实表示为一个不等式； 解：由题可得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 16.（15分）[2026·阳江一中高一月考] 已知糖水中有 糖， 往糖水中加入糖 （假设全部溶解），糖水更甜了. （2）证明这个不等式； 证明：因为 ，因为,，所以,，从而 ，即 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 16.（15分）[2026·阳江一中高一月考] 已知糖水中有 糖， 往糖水中加入糖 （假设全部溶解），糖水更甜了. （3）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，窗户面积 与地板面积的比值越大，采光效果越好，若同时增加相同的窗户面积 和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？（只需写结论） 解：住宅的采光效果变好了. 理由：设窗户面积为，地板面积为， ，同时增加的窗户和地板面积为， ，由（1）可知 ，所以住宅的采光效果变好了. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 $