精品解析：云南玉溪澄江市第一中学2026-2027学年上学期高二年级开学考数学试卷

澄江一中2026-2027学年上学期高二年级 开学考数学试卷 试卷分值：150分；考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（   ） A. B. 80 C. D. 3. 已知，下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若为钝角，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某射手每次射击击中目标的概率为，且各次射击相互独立．若该射手射击3次，则恰好击中2次的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 一个圆锥的底面积为 ，母线长为 5，则该圆锥的侧面积为（ ） A. 15 B. C. 30 D. 7. 设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）． A. 6 B. C. 12 D. 8. 已知函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 是纯虚数 10. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则事件与相互独立 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为90° B. C. 直线平面 D. 三棱锥的体积为1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 13. 数据1，2，3，5，5，6，10，9，8，7的60%分位数是___________． 14. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为___________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，且与的夹角为． （1）求的值； （2）求的值； （3）若与垂直，求的值． 16. 随着海南自由贸易港建设的蓬勃发展，某旅游网站为了解游客对“三亚一日游”的满意度，现统计参与调查的游客年龄层次，将这200人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为，，，，，并得到频率分布直方图如下： （1）求实数的值； （2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）估计这200人年龄的第75百分位数. 17. 在中，角，，的对边分别为，，．已知． （1）求角； （2）若，，求． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． （1）求棱锥的体积： （2）求证：平面． 19. 已知函数的最小正周期为. （1）求及； （2）求的单调区间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 澄江一中2026-2027学年上学期高二年级 开学考数学试卷 试卷分值：150分；考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 已知向量，若，则（   ） A. B. 80 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 向量，，且， ∴，解得. ∴ ，. 3. 已知，下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ ，根据不等式性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ ， 不等式两边加同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此A错误； ∵ 不等式两边减同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此B正确； ∵ 不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变， ∴ ，因此C正确； 不等式两边减，得，因此D正确． 4. 若为钝角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，则. 5. 某射手每次射击击中目标的概率为，且各次射击相互独立．若该射手射击3次，则恰好击中2次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知：， 由， ， 恰好击中2次的概率为． 6. 一个圆锥的底面积为 ，母线长为 5，则该圆锥的侧面积为（ ） A. 15 B. C. 30 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆锥的底面积算出底面半径，再利用侧面积公式即可. 【详解】由底面积为，得底面半径，又母线长，则圆锥的侧面积为. 7. 设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ）． A. 6 B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出角的正弦值，然后利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】由已知可得，且 所以，. 所以，. 8. 已知函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，， ． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 是纯虚数 【答案】ABD 【解析】 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B正确； C选项，， 故在复平面内对应的点坐标为，在第一象限，C错误； D选项，， 为纯虚数，D正确. 10. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则事件与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件互斥以及事件的运算性质计算，即可判断A、B、C；根据对立事件概率公式以及事件的独立性即可判断D. 【详解】对于A项，因为与互斥， 所以，故A正确； 对于B项，因为与相互独立， 所以， 所以，.故B正确； 对于C项，因为， 所以，.故C错误； 对于D项，由，可得， 所以，， 所以， 事件与相互独立.故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与直线所成角为90° B. C. 直线平面 D. 三棱锥的体积为1 【答案】AC 【解析】 【详解】A：由正方体的性质可知：平面， 因为平面， 所以，因此直线与直线所成角为90°，所以本选项结论正确； B：由正方体性质可知：，所以有， 因为，所以不成立，因此本选项结论不正确； C：连接，由正方体的性质可得：，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以直线平面，故本选项结论正确； D：由正方体的性质可得：平面 三棱锥的体积为，故本选项结论不正确； 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数（，且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【详解】因为且，， 则时，， 函数（，且）的图象恒过定点. 所以点P的坐标为. 13. 数据1，2，3，5，5，6，10，9，8，7的60%分位数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的计算规则求解即可. 【详解】 首先将给定数据从小到大排列：，样本容量， 计算索引值：，为整数，因此分位数为排序后第项和第项数据的算术平均数， 排序后第6项为，第7项为，故分位数为。 14. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用长方体和外接球的关系可求球的半径，利用面积公式可得答案. 【详解】因为长方体的三条棱的长分别为，所以其对角线的长为， 因为长方体的各顶点均在同一球的球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，即半径为， 所以球表面积为. 故答案为： 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，且与的夹角为． （1）求的值； （2）求的值； （3）若与垂直，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量，且与的夹角为，利用数量积的定义求解； （2）由求解； （3）根据与垂直，由求解. 【小问1详解】 因为向量，且与的夹角为， 所以； 【小问2详解】 因为向量，且， 所以， ； 【小问3详解】 因为与垂直， 所以， ， 解得. 16. 随着海南自由贸易港建设的蓬勃发展，某旅游网站为了解游客对“三亚一日游”的满意度，现统计参与调查的游客年龄层次，将这200人按年龄（岁）（年龄最大不超过65岁，最小不低于15岁的整数）分为5组，依次为，，，，，并得到频率分布直方图如下： （1）求实数的值； （2）估计这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）估计这200人年龄的第75百分位数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 【小问2详解】 设这200人年龄的样本平均数为， ， 所以. 【小问3详解】 因为年龄在的频率为， 而年龄在的频率为， 所以设这200人年龄的第75百分位数为，则， 则， 解得. 17. 在中，角，，的对边分别为，，．已知． （1）求角； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可. （2）由计算出，再利用正弦定理即可. 【小问1详解】 由余弦定理得. 因为，所以. 【小问2详解】 因为，且， 所以. 由正弦定理，得，即. 解得． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． （1）求棱锥的体积： （2）求证：平面． 【答案】（1）2； （2）证明:若为中点，连接，E为PD的中点， 所以且，又，， 所以且，故为平行四边形， 则，平面，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）由题设知为直角梯形，结合已知求其面积，根据平面知四棱锥的高为，利用体积公式求体积. （2）若为中点，连接，根据中位线、平行四边形性质可得，最后由线面平行的判定可证出结论. 【小问1详解】 由，知：为直角梯形， 又，且平面， 所以，故， 所以四棱锥的体积. 【小问2详解】 略 19. 已知函数的最小正周期为. （1）求及； （2）求的单调区间. 【答案】（1）；. （2）的单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】 【小问1详解】 ， 因为的最小正周期为，且，可得，解得， 因此， . 【小问2详解】 令， 可得，即的单调递增区间为， ， 可得，即的单调递减区间为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $