第7讲 函数的单调性与最值课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦函数单调性与最值专题，依据课标要求覆盖单调性定义、应用及最值值域求法三大考查维度，通过梳理高考真题明确单调性判断、参数范围求解等高频考点，归纳选择、填空、解答题典型题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题训练+技巧提炼+素养培养”，精选教材改编题及2025年阶段考真题，如例2用定义法五步证明单调性培养数学思维，例5通过复合函数单调性构建不等式组提升数学语言表达。特设易错点警示，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，高效冲刺高考。

第2章 函数 第7讲 函数的单调性与最值 2027届高考一轮复习 数学 1 【课标要求】 1.了解函数单调性的概念，会讨论和证明一些简单函数的单调性. 2.利用函数的单调性求最值，求单调区间及参数的取值范围. 3.理解函数的最大(小)值的概念及几何意义，熟练掌握基本初等函数的值域，掌握求函数的值域和最值的基本方法. 名师导学第一轮总复习 高三数学 2 【知识要点】 1.单调函数 （1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果， 当 时，都有 ______________，那么就称函数 在区间 上单调递增. 当 时，都有 ______________，那么就称函数 在区间 上单调递减. 名师导学第一轮总复习 高三数学 3 增函数 减函数 图象 特征 ______________________________________ 自左向右看图象是上升的 ____________________________________ 自左向右看图象是下降的 续表 　(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上　 　或　 　，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.  单调递增 单调递减 名师导学第一轮总复习 高三数学 4 2.函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数 满足 条件 ，都有__________； ，使得___________ ，都有__________； ，使得___________ 结论 为最大值 为最小值 3.函数的值域 函数f(x)的值域是　 　的集合，记为{y|y=f(x)，x∈A}，其中A为f(x)的定义域.  函数值y 名师导学第一轮总复习 高三数学 5 【重要结论】 1.函数单调性的判断 (1)∀x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减). (2)在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数. (3)函数y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y=-f(x)，y=的单调性相反. (4)复合函数的单调性:同增异减. 名师导学第一轮总复习 高三数学 6 2.常用函数的值域 (1)一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)， 当a>0时，值域为; 当a<0时，值域为. (3)反比例函数y=(k≠0)的值域为(-∞，0)∪(0，+∞). (4)指数函数y=ax(a>0且a≠1)的值域为(0，+∞). (5)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的值域为R. (6)正、余弦函数y=sin x，y=cos x的值域为[-1，1];正切函数y=tan x的值域为R. 名师导学第一轮总复习 高三数学 7 【基础检测】 概念辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y=f(x)在(-∞，1]上是减函数，在[1，+∞)上是增函数，则函数的最小值是1，最大值是+∞.(　　) (2)函数y=x+的值域是[1，+∞).(　　) (3)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.(　　) (4)函数y=的单调递减区间是(-∞，0)∪(0，+∞).(　　) (5)函数y=f(x)的单调增区间为非空集合A，函数y=f(x)在区间B上单调递增，则A=B.(　　) × × √ × × 名师导学第一轮总复习 高三数学 8 教材改编 2.[必修1p81例5]y=在区间[3，4]上的最大值为(　　) A.2 B. C. D.4 A [解析] y===+1， ∵y=+1在区间[3，4]上单调递减， ∴当x=3时，y取得最大值，最大值为+1=2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 9 3.[必修1p86T7]函数f(x)=x2-2x的单调递增区间是　　 　　　　　　.  [1，+∞)(或(1，+∞)) 4.[必修1p100T4]若函数f(x)=x2-2mx+1在[2，+∞)上是增函数，则实数m的取值范围是　　　　　　.  (-∞，2] [解析] 由题意知，[2，+∞)⊆[m，+∞)，∴m≤2. 名师导学第一轮总复习 高三数学 10 5.若函数f(x)=(a≥1)在区间[0，1]内的最大值为3，则a=　　　　　　.  3 [解析] f(x)==1+，当a=1时，f(x)=1，不符合题意; 当a>1时，即a-1>0，f(x)在区间[0，1]内单调递减， f(x)max=f(0)=a=3，符合题意; 综上所述，a=3. 名师导学第一轮总复习 高三数学 11 考点1 函数的单调性与单调区间 角度1.求具体函数的单调区间 例1　(1)函数y=ln(x2-2x)的单调递减区间是(　　) A.(-∞，1) B.(1，+∞) C.(-∞，0) D.(2，+∞) C [解析] 由y=ln(x2-2x)，∴x2-2x>0，解得x<0或x>2， 所以函数y=ln(x2-2x)的定义域为(-∞，0)∪(2，+∞)， 令u=x2-2x，则函数u=x2-2x在(-∞，0)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 而函数y=ln u在(0，+∞)上为增函数， 由复合函数单调性可得y=ln(x2-2x)的单调递减区间为(-∞，0). 名师导学第一轮总复习 高三数学 12 (2)函数y=|x|(1-x)在区间A上是减函数，那么区间A可以是 　　　 　 . (-∞，0)，(答案不唯一) [解析] 由题意得y=f(x)=|x|(1-x)=作出其图象如图: 由图象可知函数在区间(-∞，0)，上是减函数，故区间A可以是(-∞，0)，，或其子集. 名师导学第一轮总复习 高三数学 13 [小结](1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间,常用方法:①定义法;②导数法;③图象法;④性质法. (2)求复合函数y=f(g(x))的单调区间,一要注意先确定函数的定义域,二要利用外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,判断的依据是“同增异减”. (3)单调区间只能用区间表示,不能用不等式或集合表示,当函数有多个不连续的单调区间时,不能用符号“∪”连接,只能用“逗号”或“和”连接. 名师导学第一轮总复习 高三数学 14 角度2.利用定义证明函数的单调性 例2　已知函数f(x)=ax2-2x-3，不等式f(x)>0的解集为{x|x<-1或x>3}. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设g(x)=，判断g(x)在区间(0，+∞)上的单调性，并用定义法证明. [解析] (1)由题意得:-1，3是ax2-2x-3=0的两根， 故解得a=1， ∴f(x)=x2-2x-3. 名师导学第一轮总复习 高三数学 15 (2)g(x)在(0，+∞)上单调递增，证明如下: 因为g(x)==x--2，任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2， g(x1)-g(x2)=x1--2-=(x1-x2)-+=(x1-x2)-=(x1-x2)， ∵x1<x2，∴x1-x2<0， 又∵x1，x2∈(0，+∞)，∴1+>0， ∴(x1-x2)<0，∴g(x1)-g(x2)<0，∴g(x1)<g(x2)， ∴g(x)在区间(0，+∞)上单调递增. 名师导学第一轮总复习 高三数学 16 [小结]利用定义证明函数f(x)在给定区间D上的单调性的一般步骤:①任取x1，x2∈D，且x1<x2;②作差;③变形(通常是因式分解、通分、配方);④判断符号(即判断f(x1)-f(x2)的符号);⑤下结论(即指出函数f(x)在给定区间D上的单调性). 名师导学第一轮总复习 高三数学 17 1.函数f(x)=|x2-6x+8|的单调递增区间为(　　) A.(3，+∞) B.(-∞，2)，(4，+∞) C.(2，3)，(4，+∞) D.(-∞，2)，(3，4) C [解析] 作出函数f(x)=的图象，如图所示. 由图象得f(x)=的单调递增区间为(2，3)和(4，+∞). 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 18 2.判断并证明函数f(x)=(其中a>0)在区间(-1，1)上的单调性. [解析] 法一(定义法):设-1<x1<x2<1， 则f(x1)-f(x2)=-==. ∵-1<x1<x2<1，∴x2-x1>0，x1x2+1>0，(-1)(-1)>0. 因此当a>0时，f(x1)-f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，此时函数f(x)在区间(-1，1)上为减函数. 法二(导数法):对f(x)=求导得f'(x)==. 又a>0，(x2-1)2>0，x2+1>0，所以f'(x)<0，所以函数f(x)在区间(-1，1)上为减函数. 名师导学第一轮总复习 高三数学 19 考点2 函数单调性的应用 角度1.利用单调性比较大小 例3　已知定义域为R的函数f(x)，∀x1，x2∈R，x1<x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，则(　　) A.f(3)<f(π)<f(2) B.f(π)<f(3)<f(2) C.f(2)<f(π)<f(3) D.f(π)<f(2)<f(3) B [解析] 因为∀x1，x2∈R，x1<x2，则x1-x2<0，且(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0，可得f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，可知f(x)是R上的减函数，且π>3>2， 所以f(π)<f(3)<f(2).故选B. [小结]比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 名师导学第一轮总复习 高三数学 20 角度2.利用函数的单调性解不等式 例4　已知函数f(x)=若f(2-a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，-1)∪(2，+∞) B.(-1，2) C.(-2，1) D.(-∞，-2)∪(1，+∞) C [解析] 根据f(x)的解析式做出f(x)的大致图象，如图所示: 名师导学第一轮总复习 高三数学 21 可知f(x)在定义域R内单调递增， 因为f(2-a2)>f(a)，则2-a2>a， 解得-2<a<1， 所以实数a的取值范围是(-2，1).故选C. [小结]求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域. 名师导学第一轮总复习 高三数学 22 角度3.由函数单调性求参数范围 例5　(2025高三下·河北·阶段考)已知函数y=f(x-4)在R上单调递增，y=f(ln(mx-3))在(-∞，-1)上单调递减，则m的取值范围为(　　) A.(-∞，-3) B.(-∞，-3] C.[-3，0) D.(-3，0) B [解析] 根据题意，函数f(x-4)在R上单调递增，则f(x)在R上单调递增， 令g(x)=ln(mx-3)，则g(x)在(-∞，-1)上单调递减， 所以m<0且-m-3≥0，∴m≤-3， 故选B. 名师导学第一轮总复习 高三数学 23 [小结]利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 名师导学第一轮总复习 高三数学 24 3.已知函数f(x)=x2-2x+m，设a=f，b=f(2)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b<a<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<b<c A [解析] 因为函数f(x)=x2-2x+m在(1，+∞)上单调递增且关于直线x=1对称， 所以a=f=f，因为1<2<<3， 所以f(2)<f<f(3)，即b<a<c.故选A. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 25 4.(2025高三·江苏南通·阶段考)已知函数f(x)=ln(x2-ax)在区间(1，2)内单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.a≥2 B.a≥1 C.a≤2 D.a≤1 D [解析] 设t=x2-ax，因为y=ln t为(0，+∞)上的增函数， 而f(x)=ln(x2-ax)在区间(1，2)内单调递增，故t=x2-ax为区间(1，2)内的增函数，且t>0在区间(1，2)内恒成立，故故a≤1，故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 26 5.设定义在R上的函数f(x)满足:当x1<x2时，总有f(x2)<f(x1)，且f(1)=2，则不等式f(x)>2x的解集为(　　) A.(-∞，1) B.(1，+∞) C.(-1，1) D.(-∞，1)∪(1，+∞) A [解析] 由f(x2)<f(x1)⇒<， 令g(x)=，可知当x1<x2时，g(x2)<g(x1)， 所以g(x)在定义域R上单调递减， 又f(x)>2x⇒>1=，即g(x)>g(1)，所以由单调性解得x<1.故选A. 名师导学第一轮总复习 高三数学 27 考点3 函数的值域与最值 角度1.求函数的值域 例6　求下列函数的值域: (1)y=x+2; (2)y=x-; (3)y=+. [解析] (1)设=t(t≥0)，所以x=1-t2. 所以y=f(x)=x+2=1-t2+2t=-(t-1)2+2. 所以当t=1即x=0时，ymax=2. 所以函数的最大值为2，无最小值，值域为(-∞，2]. 名师导学第一轮总复习 高三数学 28 (2)由4-x2≥0，得-2≤x≤2，所以设x=2cos θ(θ∈[0，π])， 则y=2cos θ-=2cos θ-2sin θ=2cos， 因为θ+∈，所以cos∈， 所以函数的值域为[-2，2]. (3)由得3≤x≤5，则y2=2+2=2+2，3≤x≤5，又-(x-4)2+1∈[0，1]， 则2∈[0，2]，∴2≤y2≤4， 又y≥0，∴≤y≤2，故函数的值域为[，2]. 名师导学第一轮总复习 高三数学 29 [小结]函数值域的常见求法: (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值(或值域). (2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,得出最值(或值域). (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值(或值域). (4)分离常数法:求形如y=(ac≠0)的函数的最值(或值域)常用分离常数法求解. (5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值(或值域). (6)导数法:先利用导数求出函数的极大值和极小值,再确定函数的最值(或值域). 名师导学第一轮总复习 高三数学 30 角度2.函数的最值及应用 例7　函数y=在区间上的最大值和最小值的乘积为　　　　.  10+40 [解析] 令t=x-1，x=t+1，∵x∈，∴t∈， ∴y===2+1， 令g(t)=2+1，t∈， 名师导学第一轮总复习 高三数学 31 由对勾函数的性质可知，函数g(t)在上为减函数，在上为增函数， ∵g=10，g()=4+1，g(2)=7， ∴g(t)max=10，g(t)min=4+1， ∴函数y=在区间上的最大值和最小值分别为10，4+1， ∴函数y=在区间上的最大值和最小值的乘积为40+10. 名师导学第一轮总复习 高三数学 32 [小结]1.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,那么f(x)在区间端点处取最值;如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减,那么在区间[a,c]上ymax=f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增,那么在区间[a,c]上ymin=f(b),从而得出值域. 2.含参变量的函数最值问题的求解关键是参变量分类标准的确定. 名师导学第一轮总复习 高三数学 33 6.(2025·北京朝阳·二模)已知函数f(x)=存在最小值，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，1] B.(-∞，1) C.[1，+∞) D.(1，+∞) A [解析] 当x≤1时，f(x)=x2+1，所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，1]上单调递增，则f(x)min=f(0)=1， 当x>1时，f(x)=2x-a，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增，无最小值， 根据题意，f(x)存在最小值，所以2-a≥1， 即a≤1.故选A. 巩固训练 名师导学第一轮总复习 高三数学 34 7.(2025·山东日照·二模)已知函数f(x)=的值域为R，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. D 名师导学第一轮总复习 高三数学 35 [解析] 因为函数f(x)= 当x≥1时，f(x)=log5x单调递增，所以值域为[0，+∞)， 要使得分段函数的值域为R， 则当x<1时，f(x)=(1-3a)x+5a的取值包含(-∞，0)的每一个取值， 所以解得-≤a<， 故选D. 名师导学第一轮总复习 高三数学 36 8.已知函数f(x)=x+，h(x)=x2+-2tf(x)(t<0)，若对∀x1，x2∈，都有|h(x1)-h(x2)|≤，则实数t的取值范围是　　　　　.  [解析] 由题意，函数h(x)=x2+-2t，令z=x+，可得y=z2-2tz-2， 易知函数z=x+在上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以z∈， 因为函数y=z2-2tz-2的对称轴方程为z=t<0， 所以函数y=z2-2tz-2在上单调递增， 当z=2时，y=z2-2tz-2取得最小值，ymin=-4t+2; 名师导学第一轮总复习 高三数学 37 当z=时，y=z2-2tz-2取得最大值，ymax=-5t+. 所以h(x)min=-4t+2，h(x)max=-5t+， 又因为对∀x1，x2∈都有|h(x1)-h(x2)|≤，所以h(x)max-h(x)min≤， 即-5t+-(-4t+2)≤，解得t≥-， 又因为t<0，所以-≤t<0， 所以实数t的取值范围是. 名师导学第一轮总复习 高三数学 38 $