精品解析：浙江嘉兴市2026-2027学年高三上学期9月基础测试数学试题

2026年高三基础测试 数学 试题卷 （2026.9） 本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以， 因为， 所以. 2. 已知，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】， ， 解得或 又，得. 3. 函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的图像关于点中心对称， 所以，即， 所以的最小值为. 4. 某古塔为八角形仿木结构阁楼式砖身木檐塔，共层，每层层高相同且都有檐廊．塔身由底向上逐层收小，可近似的看成一个正八棱台．记第层的檐廊外沿周长为（单位：米），若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差中项的概念即可求解. 【详解】由等差中项可得：，即. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数、三角函数、指数等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】， ， ， 所以. 6. 若是函数的极小值点，则函数的极大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据极值点列方程，求得，进而求得的极大值. 【详解】函数的定义域是， ， ， 所以在区间上单调递增， 在区间上，单调递减， 所以的极大值为. 7. 某质点在数轴上从原点开始运动，每次运动时原地弹跳的概率为，向右移动一个单位的概率为．若X表示质点第一次到达坐标为3的点所需的运动次数，则（ ） 参考数据：若，则，． A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】令表示第次运动时，质点第一次到达坐标3，再由第一次在第步到达3，前次运动，恰好向右运动2次，得到，再由得到，再由，化简即可求解. 【详解】令表示第次运动时，质点第一次到达坐标3，第一次在第步到达3， 要第一次在第步到达3，前次运动，恰好向右运动2次，原地弹跳次， 第次运动，向右移动1次，每次向右移动，原地弹跳概率为 ， 故，所以， 则， 因为，， 因为，所以，， 对求导可得， ， 对求导可得，， 对求导可得，， 所以. 8. 在三棱锥中，，点B，C到棱所在直线的距离均为1，点H为棱上一点，满足平面，且，则棱的长度不可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意确定点B，C在以所在直线为轴、底面半径为1的圆柱的侧面上；再推出，求出，确定平面与圆柱的交线是以为长轴、圆柱的底面直径2为短轴的椭圆，由此可知线段为该椭圆的焦点弦，即可求得答案. 【详解】如图，在三棱锥中，，点B，C到棱所在直线的距离均为1， 故点B，C在以所在直线为轴、底面半径为1的圆柱的侧面上； 又点H为棱上一点，满足平面，且，平面， 则，则，， 故且在平面与圆柱的交线上， 设直线与圆柱侧面的交点为，如图，， 同理，则， 结合圆锥曲线性质可知平面与圆柱的交线是以为长轴、圆柱的底面直径2为短轴的椭圆， ，则H恰为该椭圆的焦点，因此线段为该椭圆的焦点弦，（不含长轴，否则共面）， 当时，，故， 结合选项可知棱的长度不可能为4. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为实数 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用共轭复数的概念，复数的乘方运算及模长公式一一判定选项即可. 【详解】对于A，由共轭复数的概念可知，故A正确； 对于B，易知，故B错误； 对于C，由上可知， 所以是实数，故C正确； 对于D，由上可知， 故D错误. 10. 已知平面向量，满足，，是在上的投影向量，则（ ） A. 的取值范围为 B. 存在，，使得 C. D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知，， 两边平方得，，， 又，所以，故A选项正确； 若，则，所以， 可得，而，矛盾，故B选项错误； 是在上的投影向量，， 即，故C选项正确； ， 令，，， 函数随增大单调递增，最小值在处， ，故D选项正确. 11. 已知椭圆C：和曲线D：在轴上方的两个交点为和，动点在椭圆上，且，．若直线l与相切于点，与交于P，Q两点，则（ ） A. B. 的最小值为5 C. D. 四边形的面积的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出点，的坐标，再求出直线关于，的解析式， 对于A，已知点，，的坐标，分别求出，的斜率，根据斜率的几何意义及正切的两角差公式即可求出的值； 对于B，联立直线和曲线，得出，两点坐标与，的关系，再分别算出，，与，的关系，根据，算出的取值范围， ，根据的取值范围，判断不等式能否取等； 对于C，根据算出， ，相加得，再计算出，即可得出答案； 对于D，，，求的取值范围即求的取值范围，平行于轴，即可得出到的距离，，所以，根据的取值范围即可求出的取值范围. 【详解】联立， 得，则两条曲线在轴上方的两个交点为和. 设直线， 联立 消去得， 因为直线与椭圆相切，所以， 又，得， 化简得，所以， 即直线. 对于A，因为，，， 直线的斜率，直线的斜率， ；错误； 对于B，联立， 得或， 不妨设，， 则，同理，则， 因为在椭圆上，，即 所以， 由于，所以，即， 又，所以， 则，， 所以；当时，取等号；正确； 对于C，因为平行轴，所以， 对于有一个顶点在原点的三角形，另外两点分别是，， 有如下面积公式：， 对于，，，， 则，同理， 所以；正确； 对于D，，且， 在曲线上，到的距离，， 所以， 总面积.正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【答案】 【解析】 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 13. 已知数据，，，的平均数为1，方差为2；数据，，，，，的平均数为2，方差为1．现将两组数据合并，则数据，，，，，，，，，的平均数为___________，方差为___________． 【答案】 ①. 1.6## ②. 1.64## 【解析】 【分析】根据平均数、方差的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 两组数据合并后，平均数为， 所以合并后方差为. 14. 在中，若，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理与余弦定理结合基本不等式求最值即可. 【详解】已知由正弦定理， 整理得：，又， 由基本不等式，可得：，当且仅当时取等， 由可得：， 两边平方得：，两边同乘得：，当且仅当时取等， 故.当且仅当时取等. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的各项均为正数，记为的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列基本量的计算可求解公比，即可求解通项， （2）利用等比求和公式得，进而根据裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则， 由题意知，所以，解得或（舍去）， 所以，所以． 【小问2详解】 ，所以， 所以， 所以． 16. 如图，四棱锥中，，，，，． （1）求证：； （2）若，求与面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取中点O，连接，， 由可知：， 在底面中，由题意可知， ，，， 所以四边形是矩形，， 又因为，平面， 所以平面， 又平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明线线垂直； （2）求直线与平面所成角，可采用空间向量法、等体积法或几何定义法求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）可知，又，所以， 若，由，知， 即，又，. 法一：以O为原点，，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示: 易知：，，，，， 则有，，. 设平面的法向量为，则 由，令，则，， 则. 设与面所成角为， 则. 法二：设与面所成角为，点到面的距离为，则， 由，，可知，面. 由，，可得：，即 计算可得：. 在中，，，所以. 所以，. 法三：延长交的延长线于点，取的中点，连接，则有. 由，，可知，平面， 又平面，故. 又，，故平面， 又平面，所以. 由，可得平面， 过作，交于点，则由平面知. 因为，所以平面， 所以是与面所成角，在中，，， 则， ， 所以在中，. 17. 一个箱子中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从箱子中随机取出1个球后放入2个与该球完全相同的球，按此规则连续操作3次． （1）求第2次操作取到的是白球的概率； （2）求第2次操作取到的是黑球，其余两次取到的是白球的概率； （3）记连续操作3次后箱子中白球的个数为，求的分布列和期望． 【答案】（1） （2） （3） X 3 4 5 6 P ． 【解析】 【分析】（1）根据全概率计算公式计算求解即可； （2）结合（1），根据条件概率公式计算求解即可； （3）列举随机变量的所有可能取值，计算对应概率即可列出分布列，根据数学期望计算公式计算可得数学期望. 【小问1详解】 设第次取到白球为事件（，2，3），则取到黑球为事件， 所以； 【小问2详解】 结合（1）可知：，， 记第1次取到白球且第2次取到黑球为事件， 则， 又因为，所以； 【小问3详解】 的可能取值为3，4，5，6，于是有： 表示3次操作均取到黑球，故：， 表示3次操作中只有一次取到白球，另外两次均取到黑球， ， 表示3次操作中有两次取到白球，一次取到黑球， 表示3次操作均取到白球，， 分布列为： X 3 4 5 6 P 所以． 18. 已知双曲线（，）的左顶点到其渐近线的距离为． （1）求C的方程； （2）斜率为且不过原点的直线与双曲线的右支交于，两点，线段的中点为S，射线分别与曲线和直线：交于点P，Q，且． （ⅰ）求证：直线过定点T，并求出点T的坐标； （ⅱ）设直线，与分别交于点D，E，求的大小． 【答案】（1） （2）（i）（方法一）设：，，，， 联立， 所以， 则，所以直线的方程为：， 与联立可得：， 由可得： 化简整理可得：，即直线：， 所以直线过定点； （方法二）：设：，，， 所以 同时，由点M，N在双曲线上可得：， 作差得：① 由于点S为线段的中点，所以，， 所以①化简为：，即直线的斜率为，所以方程为：，与联立可得：， 由可得：， 化简整理可得：，即直线：，所以直线过定点； （方法三）设：，，，， 所以， 由可得，所以直线的方程为：， 与联立可得：， 由可得：， 化简整理可得：，即直线：，所以直线过定点. 定点为； （ii）. 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的概念及点到直线的距离公式计算即可； （2）（i）方法一、设直线方程及的坐标，联立直线与曲线结合韦达定理、中点坐标公式含参确定直线，再联立曲线结合弦长关系得出方程确定定点；方法二、设直线方程及的坐标，联立直线与曲线结合韦达定理得出，再利用点差法及中点坐标含参确定直线，联立曲线结合弦长关系得出方程确定定点；方法三、设直线方程及的坐标，联立直线与曲线结合韦达定理得出，直接利用中点弦性质结论确定直线，联立曲线结合弦长关系得出方程确定定点； （ii）方法一、结合上问结论及韦达定理、平面向量数量积计算即可；方法二、设直线、的倾斜角，根据斜率与倾斜角的关系、韦达定理计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一、当时， 在中，令，并两式相乘可得： 于是有，所以的大小为． 方法二、不妨设点在第一象限，则点在第四象限， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则有为钝角，为锐角， 且， 因为，所以有： 当时， 在中，令，并两式相乘可得： 所以，即， 所以不存在，故． 19. 曲线的曲率是指曲线上某点处的切线方向角对弧长的转动率，常用来刻画曲线的弯曲程度．曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．光滑连续的曲线在点处的曲率的计算公式为，其中为的导函数，为的导函数． （1）求曲线在点处的曲率； （2）设函数，若在点、处的曲率均为． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【答案】（1） （2）（i） （ii）构造函数，其中，则， 由可得，即函数在上单调递减， 由可得，即函数在上单调递增， 所以，故，即， 令，其中，则， 由可得，即函数在上单调递增， 由可得，即函数在上单调递减， 所以，即，即， 由（ⅰ）知，所以，所以， 又，，不妨设，则， 所以， 即， 又由知，所以， 所以，所以. 【解析】 【分析】（1）利用曲率的定义计算即可； （2）（i）利用曲率的定义可知函数有两个零点，令，，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （ii）证明出，，根据可得出，可得出，再结合，，以及以及不等式的基本性质可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，则，， 所以，所以当时，． 另解：，， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）因为， 所以， 所以， 因为在两个不同的点处曲率为， 所以在内有两个不同的实数解， 即有两个不同的正零点． 令，因为， 所以在上单调递增，且值域为， 所以有两个大于的实数解， 等价于有两个不同的实数解． 令，则，令得， 当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减. 所以， 又因为当时，；当时，，如下图所示， 由图可知当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为． （ⅱ）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三基础测试 数学 试题卷 （2026.9） 本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置． 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 某古塔为八角形仿木结构阁楼式砖身木檐塔，共层，每层层高相同且都有檐廊．塔身由底向上逐层收小，可近似的看成一个正八棱台．记第层的檐廊外沿周长为（单位：米），若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若是函数的极小值点，则函数的极大值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 某质点在数轴上从原点开始运动，每次运动时原地弹跳的概率为，向右移动一个单位的概率为．若X表示质点第一次到达坐标为3的点所需的运动次数，则（ ） 参考数据：若，则，． A. 12 B. 9 C. 6 D. 3 8. 在三棱锥中，，点B，C到棱所在直线的距离均为1，点H为棱上一点，满足平面，且，则棱的长度不可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为实数 D. 10. 已知平面向量，满足，，是在上的投影向量，则（ ） A. 的取值范围为 B. 存在，，使得 C. D. 的最小值为 11. 已知椭圆C：和曲线D：在轴上方的两个交点为和，动点在椭圆上，且，．若直线l与相切于点，与交于P，Q两点，则（ ） A. B. 的最小值为5 C. D. 四边形的面积的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 13. 已知数据，，，的平均数为1，方差为2；数据，，，，，的平均数为2，方差为1．现将两组数据合并，则数据，，，，，，，，，的平均数为___________，方差为___________． 14. 在中，若，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等比数列的各项均为正数，记为的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，四棱锥中，，，，，． （1）求证：； （2）若，求与面所成角的正弦值． 17. 一个箱子中装有大小相同的3个白球和2个黑球，现从箱子中随机取出1个球后放入2个与该球完全相同的球，按此规则连续操作3次． （1）求第2次操作取到的是白球的概率； （2）求第2次操作取到的是黑球，其余两次取到的是白球的概率； （3）记连续操作3次后箱子中白球的个数为，求的分布列和期望． 18. 已知双曲线（，）的左顶点到其渐近线的距离为． （1）求C的方程； （2）斜率为且不过原点的直线与双曲线的右支交于，两点，线段的中点为S，射线分别与曲线和直线：交于点P，Q，且． （ⅰ）求证：直线过定点T，并求出点T的坐标； （ⅱ）设直线，与分别交于点D，E，求的大小． 19. 曲线的曲率是指曲线上某点处的切线方向角对弧长的转动率，常用来刻画曲线的弯曲程度．曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．光滑连续的曲线在点处的曲率的计算公式为，其中为的导函数，为的导函数． （1）求曲线在点处的曲率； （2）设函数，若在点、处的曲率均为． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $