1.4.2.1 用空间向量研究距离问题 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦用空间向量解决距离问题，涵盖点到直线、点到平面等类型。通过复习回顾几何关系的向量条件及投影概念搭建支架，衔接新课引入的距离问题探究，引导学生从旧知过渡到公式推导。 其亮点在于以问题驱动结合直观想象与逻辑推理，如通过投影向量和直角三角形推导距离公式，典例分析中用正方体模型建立坐标系运算。小结梳理公式体系，助力学生用数学语言表达几何关系，提升空间向量应用能力，也为教师提供系统教学资源。

讲课人： 日期： 1.4.2.1用空间向量研究距离问题 学习目标 学习目标 核心素养 1.掌握空间向量方法解决点到直线、点到平面、平行直线、平行平面间的距离问题. 直观想象 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 逻辑推理 复习回顾 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 复习回顾 Q l A(C) B D 投影 投影向量 =∙COS<> ∙ 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任得到什么结论？ 新课引入 立体几何中包括哪些距离问题？ 两点之间的距离 点到直线的距离 点到平面的距离 两条平行直线的距离 两个平行平面的距离 异面直线间的距离等 如何用空间向量解决这些距离问题呢？ 探索新知 探究：已知直线的单位方向向量为,A是直线上的定点,P是直线外一点,如何利用这些条件求点P到直线l的距离? A P Q 如图，直线l上的投影向量为则在直角三角形APQ 中，，∠ PAQ都是确定的（A，P都是定点）. = 探索新知 1、已知点 ，直线过原点且一个方向向量为， 则点到直线 的距离为( ) A. B.1 C. D. [解析] 取,又，所以，则点到直线 的 距离 .故选A. √ 探索新知 B　解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 ＝(0，1，0)，＝(0，，1)． 所以点A到直线BE的距离为. 变式训练：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是(　　) A．　　B．　　C．　　D． 探索新知 思考：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？ 探索新知 思考：你能类比点到直线的距离公式的推导过程，推导出点到平面的距离公式吗？ 已知平面𝛼的法向量为n，A是平面𝛼内的定点，P是平面𝛼外一点.如何求点P到平面𝛼的距离？ 过P作平面𝛼的垂线l，交平面𝛼于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面𝛼的距离就是直线l上的投影向量为长度. 因此 PQ= = n P A Q 探索新知 思考：当直线与平面平行时，如何求直线与平面的距离？两平行平面间的距离呢？ 如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解；如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. 注：只有线面(或面面)平行时，才有线面(面面)距离 探索新知 1．已知平面α的一个法向量n＝(2，－2，1)，点A(1，3，0)在α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为(　　) A． 　 B． C．　 D． D　解析：＝(3，2，－4)．又平面α的一个法向量为n＝(2，－2，1)，所以P到α的距离为. 探索新知 变式训练：若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=2，则点P到平面ABC的距离是 A. B. C. D. 2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C1到平面ACD1的距离 为　　　. √ 典例分析 例6：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点. （1）求点B到直线AC1的距离；（2）求直线 FC 到平面AEC1的距离. 解：以D1为原点，D1 A1，D1 C1，D1 D所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)， 所以 （1）取 则 所以点B到直线AC1的距离为 典例分析 设平面AEC1的法向量为 n=(x,y,z)，则 （2）因为 ， 所以 FC∥EC1，所以 FC∥平面AEC1； 所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离. 所以 ；取z=1，则x=1，y=2； ，所以 又因为 ，所以点F到平面AEC1的距离为 即直线FC到平面AEC1的距离为 所以n=(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量. 典例分析 用空间向量解决立体几何问题的"三步曲": 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题 得到所求距离 建立空间直角坐标系，求所需向量的坐标 应用向量距离计算公式 课堂小结 点到直线的距离： 点到平面的距离： 课堂检测 C 课堂检测 2、 课堂检测 课堂检测 课后作业 课本第35页课后习题（15分钟） 分层作业基础练（20分钟） 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： $