2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（课时跟踪检测）-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦一元二次方程的解集及根与系数关系，分层梯度清晰，从概念理解到综合应用逐步深化，适配新授课知识巩固与思维培养，体现运算能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方程求解、解集表示|如第1题直接求解整数解集，第8题用根与系数关系求参数，巩固基本概念| |中档|根与系数关系应用|如第2题代数式求值、第3题结合判别式与根的平方和，培养推理能力| |提高|综合创新与跨知识点|如第12题换元法解高次方程、第14题结合集合与二次函数，发展应用意识|

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.C　由（3x－1）（x＋3）＝0，解得x＝或x＝－3，又因为x∈Z，所以x＝－3，所以集合{x∈Z｜（3x－1）（x＋3）＝0}可化简为{－3}.故选C. 2.D　因为a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根， 所以a2＋a－3＝0，a＋b＝－1， 两式相减，得a2－b＝4，所以a2－b＋2 024＝4＋2 024＝2 028.故选D. 3.B　设方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有两个不等实数根分别为x1，x2，有x1＋x2＝－2（m－2），x1·x2＝m2＋4，这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则有＋－x1x2＝21， 即（x1＋x2）2－3x1x2＝4（m－2）2－3（m2＋4）＝m2－16m＋4＝21， 解得m＝－1或m＝17， 方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有两个不等实数根，Δ＝4（m－2）2－4（m2＋4）＞0，得m＜0，所以m＝－1.故选B. 4.A　因为实数a≠b，且a2－5a＋2＝0，b2－5b＋2＝0，所以a，b为方程x2－5x＋2＝0的两个不相等的根.所以a＋b＝5，ab＝2.所以＋＝＝＝＝＝－.故选A. 5.ABC　由题意可知x≠－1且x≠0，则原方程可化为x＝，得x2－2x－m＝0，若方程有一根为0，则m＝0，此时原方程的解为x＝2（x＝0舍去），符合题意；若方程有一根为－1，则m＝3，此时原方程的解为x＝3（x＝－1舍去），符合题意；若Δ＝4＋4m＝0，解得m＝－1，故原方程为x2－2x＋1＝0，解得x＝1.故选A、B、C. 6.{1，3}　解析：由题意可知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，则（－5）2＋5a－5＝0⇒a＝－4，代入方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x｜x2＋ax＋3＝0，a∈R}＝{1，3}. 7.－1　解析：实数a，b分别满足a2＋3a＋1＝0，b2－3b＋1＝0，故－a，b为方程x2－3x＋1＝0的两根，由根与系数的关系可知－ab＝1，即ab＝－1. 8.－6　解析：由根与系数的关系知，x1＋x2＝－1，x1x2＝c，所以x2＋x1＝x1x2（x1＋x2）＝－c＝6，解得c＝－6. 9.解：（1）∵方程有实数根， ∴Δ＝4（m＋1）2－4（m2－1）＝8m＋8≥0，∴m≥－1. （2）∵方程有两个不相等的实根x1，x2， ∴Δ＝4（m＋1）2－4（m2－1）＝8m＋8＞0，∴m＞－1， 且x1＋x2＝－2（m＋1），x1x2＝m2－1， ∴（x1－x2）2＝－4x1x2＝16－2x1x2， （x1＋x2）2＝16＋2x1x2，4（m＋1）2＝16＋2（m2－1）， ∴m2＋4m－5＝0，m＝－5或m＝1. ∵m＞－1，∴m＝1. 10.A　由题意可知，x＝2是m2x2－（m＋3）x＋4＝0的解，但不是唯一的解， 因此4m2－2（m＋3）＋4＝0，解得m＝1或m＝－. 当m＝1时，x＝2是x2－4x＋4＝0唯一的解，故不满足题意； 当m＝－时， 则x2－x＋4＝0，即x2－10x＋16＝0，解得x＝2或x＝8，满足题意.综上所述，m＝－.故选A. 11.－1　解析：因为集合A＝{x｜2x2－5x＋2＝（2x－1）·（x－2）＝0}，即集合A＝{，2}，所以∁UA＝{－2，3}＝{，}.因为≥0⇒＝3⇒a＝1，所以＝－2⇒b＝－2，所以a＋b＝－1. 12.解：（1）设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0（a≥0）， 即（a－1）（a－9）＝0， 解得a＝1或a＝9， 当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3. ∴原方程的解集是{1，－1，3，－3}. （2）设x＋＝y， 则原方程可化为y2－2－3y＝2，即y2－3y－4＝0， ∴（y＋1）（y－4）＝0， 解得y＝－1或y＝4， 即x＋＝－1（方程无解，舍去）或x＋＝4， 故x＋＝4. 13.－1，0，　a＝0或a＞　解析：P＝{x｜x2－x－2＝0}＝{－1，2}，Q＝{x｜mx－1＝0}，Q⊆P，则当Q＝∅时，m＝0，满足题意；当Q≠∅时，则Q＝{－1}或Q＝{2}，将－1和2分别代入mx－1＝0，解得m＝－1，m＝.综上所得，实数m的值为－1，0，. P＝{－1，2}，Q＝{x｜ax2＋2x＋2＝0}，且Q是P的真子集，则当Q＝∅时，则a≠0，Δ＝4－8a＜0，解得a＞，满足题意；当Q≠∅时，则当a＝0时，Q＝{－1}满足题意；当Q≠∅时，则当a≠0时，Δ＝4－8a＝0，则a＝，此时Q＝{－2}，不满足Q是P的真子集.综上所得， 实数a的取值范围为a＝0或a＞. 14.解：（1）由函数y＝x2－2ax＋a，令y＝0，即x2－2ax＋a＝0. 因为方程y＝0有两个不相等的实数根x1，x2，可得x1＋x2＝2a，x1x2＝a. 又因为＋＝6－，可得＝， 即（x1＋x2）2－2x1x2＝6x1x2－3，即（x1＋x2）2－8x1x2＋3＝0， 将x1＋x2＝2a，x1x2＝a代入，可得4a2－8a＋3＝0，解得a＝或a＝. 又由Δ＝（－2a）2－4a＞0，即a（a－1）＞0，解得a＜0或a＞1， 所以a＝，即实数a的值为. （2）由集合A＝{x｜x2＋4x＝0}＝{－4，0}， 集合B＝{x｜x2－2ax＋a＝－（4a＋2）x－a2＋a＋1}， ＝{x｜x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0}. 因为A∪B＝A，可得B⊆A. 若B＝∅时，即方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0无实数根， 则满足Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＜0，解得a＜－1； 若B＝{0}时，把x＝0代入方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，解得a＝±1， 当a＝1时，方程x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－4，此时B＝{－4，0}，舍去； 当a＝－1时，方程x2＝0，解得x＝0，此时B＝{0}，符合题意； 若B＝{－4}时，把x＝－4代入方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，解得a＝1或a＝7， 当a＝1时，方程x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－4，此时B＝{－4，0}，舍去； 当a＝7时，方程x2＋16x＋48＝0，解得x＝－4或x＝－12，此时B＝{－4，－12}，舍去； 若B＝{－4，0}时，可得解得a＝1，符合题意. 综上可得，实数a满足a≤－1或a＝1，即实数a的取值范围为（－∞，－1]∪{1}. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 1.集合{x∈Z｜（3x－1）（x＋3）＝0}可化简为（　　） A.{，－3} B.{－，3} C.{－3} D.{3} 2.若a，b是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则a2－b＋2 024的值是（　　 ） A.2 025 B.2 026 C.2 027 D.2 028 3.已知关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有两个不等实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则实数m的值是（　　） A.17 B.－1 C.17或－1 D.－17或1 4.若实数a≠b，且a2－5a＋2＝0，b2－5b＋2＝0，则代数式＋的值为（　　） A.－ B. C.－ D.－2 5.〔多选〕若方程＝的解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（　　） A.{1} B.{2} C.{3} D.{4} 6.若－5∈{x｜x2－ax－5＝0，a∈R}，则集合{x｜x2＋ax＋3＝0，a∈R}＝　　　　. 7.已知实数a，b分别满足a2＋3a＋1＝0，b2－3b＋1＝0，且a＋b≠0，则ab的值为　　　　. 8.方程x2＋x＋c＝0的两个实数根为x1，x2，若x2＋x1＝6，则实数c＝　　　　. 9.已知关于x的一元二次方程x2＋2（m＋1）x＋m2－1＝0. （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程有两个不相等的实根x1，x2，且满足（x1－x2）2＝16－2x1x2，求实数m的值. 10.设m∈R，若“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分不必要条件，则实数m的值为（　　 ） A.－ B.1 C.－或1 D.－1或 11.设集合U＝{－2，，2，3}，A＝{x｜2x2－5x＋2＝0}，B＝{，}，若∁UA＝B，则a＋b＝　　　　. 12.在学习解一元二次方程之后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们也可通过变形将其转化为一元二次方程来解.例如：方程：x2－3｜x｜＋2＝0. 其解法为：设｜x｜＝y，则原方程可化为y2－3y＋2＝0（y≥0）. 解得y1＝1，y2＝2. 当y＝1时，｜x｜＝1，∴x＝±1； 当y＝2时，｜x｜＝2，∴x＝±2. ∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2. 上述解方程的方法叫做“换元法”. 请用“换元法”解决下列问题： （1）解方程：x4－10x2＋9＝0； （2）若实数x满足x2＋－3x－＝2，求x＋的值. 13.已知集合P＝{x｜x2－x－2＝0}，若集合Q＝{x｜mx－1＝0}，且Q⊆P，则实数m的值为　　　　；若集合Q＝{x｜ax2＋2x＋2＝0}，且Q是P的真子集，则实数a的取值范围为　　　　. 14.已知y＝x2－2ax＋a. （1）若方程y＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且＋＝6－，求实数a的值； （2）若集合A＝{x｜x2＋4x＝0}，B＝{x｜x2－2ax＋a＝－（4a＋2）x－a2＋a＋1}，若A∪B＝A，求a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $