29.1.2 过三点的圆（第1课时）教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“不在同一直线上的三点确定一个圆”核心知识点，涵盖三角形外接圆、外心等概念。课堂导入通过复习圆的集合定义和点与圆位置关系，设问“只给点能否作圆”引出课题，搭建新旧知识桥梁形成学习支架。 特色在于探究式递进教学，从过一点、两点到三点逐步推导，结合垂直平分线性质培养几何直观和空间观念。尺规作图示范与学生同步操作发展推理意识，分类对比三类三角形外心位置突破难点。帮助学生提升作图与推理能力，为教师提供逻辑清晰的教学流程。

29.1.2 过三点的圆（第1课时）教学设计 课题 29.1.2 过三点的圆（第1课时） 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 1.掌握核心结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2.掌握尺规作图方法，能独立完成过不在同一直线上三点作圆、作三角形外接圆。 3.理解三角形外接圆、圆内接三角形、外心的定义，分清锐角、直角、钝角三角形外心的位置。 教学重点 不在同一直线上的三点确定一个圆。 教学难点 区分锐角、直角、钝角三角形外心的不同位置。 教学方法 讲授法、探究法、合作交流、动手作图 教学准备 多媒体课件、圆规、直尺、三角板 课后练习 完成课本第29.1节随堂练习及课后巩固练习 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、复习回顾 ①圆的集合定义：圆是平面内到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合； ②点与圆位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外。 设问：已知圆心、半径可作圆，如果只给出平面上若干个点，能不能画出经过这些点的圆？ 引出课题：今天探究过点作圆的规律，板书课题。 集体口头作答圆的概念填空：圆的集合定义、点与圆的三种位置关系，思考若只给出若干点能否画出经过这些点的圆 复习上一节圆的核心概念，为本节课“到定点距离相等找圆心”提供理论依据，搭建新旧知识桥梁，贴合课件开篇逻辑。 二、探究1 过三点确定 一个圆 探究1：不在同一直线上的三点确定一个圆。 出示问题：过已知点A能作多少个圆？ 总结：只要选取A以外任意一点作为圆心，圆心到A的距离为半径，就能画出符合要求的圆。过一点可以作无数个圆。 出示问题：过A、B两个点可以作多少个圆？圆心有什么规律？ 引导：圆上点到圆心距离相等，因此圆心到A、B距离必须相等。 结合线段垂直平分线性质归纳：到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上。 结论：过两点能作无数个圆，所有圆心都在线段AB的垂直平分线上。 出示探究：不在同一直线上的三点A、B、C，能否作圆？如何确定圆心？ 分步推理：①圆心到A、B距离相等→圆心在AB垂直平分线上；②圆心到B、C距离相等→圆心在BC垂直平分线上。 ③两条垂直平分线交点同时满足到A、B、C距离相等，交点即为唯一圆心O。 在草稿纸上尝试过一点作圆并汇报能作无数个圆；画图思考过两点作圆并归纳圆心都在AB垂直平分线上；由垂直平分线性质逐层推导：圆心在AB垂直平分线上且也在BC垂直平分线上，两垂直平分线交点O即为唯一圆心 从最简单的单点入手，逐层递进开展探究，降低新知理解门槛，初步感知圆心不唯一的情况；联系线段垂直平分线旧知，为三点找圆心做铺垫，建立“等距点→垂直平分线”推理思路。 三、探究1续 尺规作图与 确定圆定理 在黑板示范完整尺规作图步骤，学生同步临摹： （1）分别作线段AB、BC的垂直平分线l₁、l₂； （2）两垂直平分线l₁、l₂交于点O； （3）以O为圆心，OA长为半径画圆，即为经过A、B、C的圆。 定理板书：不在同一条直线上的三个点确定一个圆（有且只有一个圆）。 跟随教师示范同步临摹尺规作图：作AB、BC的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA为半径画圆得到过A、B、C的圆，记录“不在同一直线上的三个点确定一个圆”定理 综合垂直平分线性质完成作图推导，完整展示标准尺规流程，落实本节课核心重点，逻辑层层递进。 四、探究2 三角形的外 接圆与外心 探究2：三角形的外接圆。 讲解三个概念： 三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆； 圆的内接三角形：三角形三个顶点都在同一个圆上，这个三角形叫该圆的内接三角形； 三角形的外心：三角形三条边垂直平分线的交点，也是外接圆圆心。 性质：外心到三角形三个顶点的距离相等（均为外接圆半径）。 分类观察外心位置：课件依次出示锐角、直角、钝角三角形外接圆示意图，分组观察外心位置。 师生汇总结论： ①锐角三角形：外心在三角形内部； ②直角三角形：外心在斜边中点，斜边为外接圆直径； ③钝角三角形：外心在三角形外部。 补充：直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，即 （c为斜边长）。 提示：分类对比三类三角形外心位置，突破本节课难点，图形化记忆区分。 听讲外接圆、内接三角形、外心三个概念，理解外心是三边垂直平分线交点、到三顶点距离相等；观察锐角、直角、钝角三角形外接圆示意图，分组归纳：锐角外心在内、直角外心在斜边中点、钝角外心在外，记录直角三角形外心半径等于斜边一半 由三点作圆自然过渡到三角形外接图形概念，规范专业几何术语，夯实概念基础；分类对比三类三角形外心位置，突破本节课难点，帮助学生图形化记忆区分。 五、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知。 检测围绕过三点作圆、三角形外接圆与外心位置、外接圆半径计算展开。 独立完成课件中的当堂练习，重点核对过三点作圆的尺规作图步骤、三类三角形外心位置判断、直角三角形外接圆半径计算，集体评议订正 当堂检验学生对过三点确定一个圆、三角形外接圆与外心概念的掌握情况，反馈矫正，巩固尺规作图与几何推理能力。 六、课堂小结 提问：今天我们学习了哪些知识？ 1. 作圆规律：过一点/两点可以作无数个圆；不在同一直线上三点确定一个圆。 2. 作图方法：作两条边垂直平分线，交点为圆心。 3. 外接圆与外心：外心是三边垂直平分线交点，外心到三顶点距离相等；三类三角形外心位置不同（锐角在内、直角在斜边中点、钝角在外）。 回顾作圆规律、作图方法、外接圆与外心概念及三类外心位置，畅谈尺规作图与外接圆经验 梳理作圆规律、作图方法与外接圆外心概念，帮助学生建构圆的确定与外接圆的完整认知，强化几何作图与推理意识。 板书设计 29.1.2 过三点的圆（第1课时） 一、作圆规律 过一点：无数个圆 过两点：无数个圆，圆心在垂直平分线上 过不在同一直线三点：确定一个圆 二、尺规作图步骤 作AB、BC垂直平分线交于O 以O为圆心、OA为半径画圆 三、外接圆与外心 外接圆/内接三角形/外心定义 外心到三顶点距离相等 四、三类外心位置 锐角：内部 直角：斜边中点(半径=½ 斜边) 钝角：外部 板演：过三点作圆作图 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $